verovatnoĆa i matematiČka statistika · univerzitet u novom sadu fakultet tehniČkih nauka...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U NOVOM SADU
FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA
VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA
FORMULE I TABLICE ZA ISPIT
NOVI SAD 2008.
1
VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA
Uslovna verovatnoća: )(APB )(
)()(
BP
ABPBAP .
Formula totalne verovatnoće: )()()(
1
i
n
i
i HPHAPAP
.
Uopštena formula totalne verovatnoće: )()()(
1
AHPAHBPABP i
n
i
i
.
Bajesova formula:
n
i
ii
kkk
HPHAP
HPHAPAHP
1
)()(
)()()( , nk ,...,2 ,1 .
Jednodimezionalna slučajna promenljiva diskretnog tipa:
......
......:
21
21
n
n
ppp
xxxX , )()( iii xpxXPp , Xi Rx , ... ,2 ,1i
xxi
i
xxi
iX
ii
pxpxF
::
)()( .
Jednodimezionalna slučajna promenljiva neprekidnog tipa:
,1)(,)()()(
dttdttxXPxF x
x
xX
)()( xFx XX u svim tačkama xR u kojima je )(xX neprekidna.
)( bXaP )()()()()()( aFbFdxxbXaPbXaPbXaP XX
b
a
X .
TRANSFORMACIJA SLUČAJNE PROMENLJIVE
X je diskretnog tipa:
Ako je RRg X : transformacija diskretne slučajne promenljive X sa zakonom raspodele
...
...
)(...)()(
...:
21
21
n
n
xpxpxp
xxxX tada je za slučajnu promenljivu Y=g(X) , ,...,..., 21 kY yyyR
)(
m )p(x)(
mi xgym
iyp , pa je zakon raspodele
...)()()(
...:
321
321
ypypyp
yyyY .
X je neprekidnog tipa:
Transformacijom Y=g(X) slučajne promenljive X neprekidnog tipa ne mora da se dobije slučajna
promenljiva neprekidnog tipa. Međutim, ako funkcija g ima neprekidan prvi izvod različt od nule tada se
transformacijom Y=g(X) slučajne promenljive neprekidnog tipa dobija slučajna promenljiva neprekidnog
tipa.
U tom slučaju, neka je )(inf xgmXRx
, ako infimum postoji, a m ako infinum ne postoji.
Dalje, neka je )(sup xgMXRx
, ako supremum postoji, a M ako supremum ne postoji. Tada je
0)( yFY za my , 1)( yFY za My ,
za 0)( xg i m<y<M je ))(()( 1 ygFyF XY ,
za 0)( xg i m<y<M je ))((1)( 1 ygFyF XY .
2
Za oba slučaja gustina Y je:
0)( yY , za my , 0)( yY , za My ,
))(())(()( 11 ygygy XY , za m<y<M
Dvodimenzionalna slučajna promeljiva diskretnog tipa:
),() )()(: ( ),( jijijiij yYxXPyYxXPyxpp , YjXi RyRx , .
Marginalne verovatnoće:
j
ij
j
jiii pyxppxp ),()( ,
i
ji
i
jijj pyxppyp ),()( ,
yyj
ji
xxi
XY
ji
yxpyxF
::
),( ),( .
Marginalni zakoni raspodele:
...)(...)()(
......:
21
21
n
n
xpxpxp
xxxX ,
...)(...)()(
......:
21
21
k
k
ypypyp
yyyY .
Uslovne verovatnoće: )()( ijij xXyYPxyp)(
),(
i
ji
xp
yxp, )()( ijij xXyYPxyp
)(
),(
i
ji
xp
yxp.
Uslovni zakon raspodele:
...)()(
...:
21
21
jjj yxpyxp
xxyYX ,
...)()(
...:
21
21
iii xypxyp
yyxXY ,
)()()()(),( iijjjiji xpxypypyxpyxp .
Nezavisnost: )()(),( jiji ypxpyxp .
Dvodimenzionalna slučajna promeljiva neprekidnog tipa:
yx
XY duutgdtyxF ),(),( . 1),(),(
Fdyyxdx XY .
Marginalne gustine X i Y :
dyyxx XYX ),()( ,
dxyxy XYY ),()( .
Uslovne gustine: )(
),()(
x
yxy
X
XYxXY
,
)(
),()(
y
yxx
Y
XYyYX
Uslovne funkcije raspodele:
y
XYX
y
xXYxXYdttx
xdyyyF ),(
)(
1)()(
.
x
XYY
x
yYXyYX dtyty
dxxxF ),()(
1)()(
.
Slučajne promenljive X i Y neprekidnog tipa su nezavisne ako i samo ako je )()(),( yxyx YXXY
za sve Ryx , .
Dvodimenzionalna slučajna promenljiva neprekidnog tipa ima uniformnu raspodelu u oblasti S ravni
xy ako je njena gustina oblika
Syx
SyxSmyxXY
),( , 0
),( , )(
1
),( , gde je sa )(Sm označena površina oblasti S.
3
Transformacija dvodimenzionalne slučajne promenljive diskretnog tipa
Ako je ),( YXgZ je transformacija slučajne promenljive (X,Y) diskretnog tipa u R, tada je slučajna
promenljiva Z diskretnog tipa sa skupom vrednosti ... ,, 21 zzRZ i verovatnoćama
imk zyxgmk
mi yzp
),(,
k ),p(x)( .
Transformacija dvodimenzionalne slučajne promenljive neprekidnog tipa
Transformacijom slučajne promenljive neprekidnog tipa ne mora da se uvek dobije slučajna
promenljiva neprekidnog tipa.
I ),( YXgZ , )),(,(),( zxyxzx XYXZ z
y
, dx
z
yzxyxdxzxz XYXZZ )),(,(),()(
,
z
ZZ dttzF )()( .
II ),(),,( YXvVYXuU , Jakobijan 0 ),(
),(
v
y
u
yv
x
u
x
vu
yxJ , )),(),,((),( vuyvuxvu XYUV J .
BROJNE KARAKTERISTIKE JEDNODIMENZIONALNE SLUČAJNE PROMENLJIVE
Matematičko očekivanje (očekivanje, očekivana vrednost) slučajne promenljive X je broj )(XE
definisan sa:
1) ,)()( i
ii xpxXE za slučajnu promenljivu X diskretnog tipa,
2)
,)()( dxxxXE X za slučajnu promenljivu X neprekidnog tipa.
Disperzija: 222 )()())(()( XEXEXEXEXD .
Standardizovana (normalizovana) slučajna promenljiva: )(
)(*
XD
XEXX
.
Moment reda k: ,)()(
i
iki
kk xpxXEm ako je X diskretnog tipa,
dxxxXEm Xkk
k )()( , ako je X neprekidnog tipa.
Moment reda 1 je matematičko očekivanje.
Centralni moment reda k: kk XEXEs ))((( . Disperzija je centralni moment reda 2.
Medijana: )()( cc mXPmXP .
Modus m slučajne promenljive X je ona vrednost iz XR :
a) za koju važi )()( ixpmp , 1,1 ii , ako je X diskretnog tipa.
b) za koju gustina )(xX ima lokalni maksimum, ako je X neprekidnog tipa.
BROJNE KARAKTERISTIKE VIŠEDIMENZIONALNE (DVODIMENZIONALNE)
SLUČAJNE PROMENLJIVE:
4
Matematičko očekivanje: ))(),((),( YEXEYXE ))(),...,(),((),...,,( 2121 nn XEXEXEXXXE .
Disperzija: ))(),((),( YDXDYXD ))(),...,(),((),...,,( 2121 nn XDXDXDXXXD .
Mešoviti moment knm : ,),()(
j
jinj
ki
i
nkkn yxpyxYXEm ako je ),( YX je diskretnog tipa,
dyyxyxdxYXEm XYnknk
kn ),()( ,ako je ),( YX je neprekidnog tipa.
Koeficijent korelacije XY : )()(
)()()(*)*,cov(
YDXD
YEXEXYEYXXY
, 0)( XD , 0)( YD .
I) Neka je ),( YX dvodimenzionalna slučajna promenljiva diskretnog tipa.
Uslovno matematičko očekivanje za X, ako je Y=yj:
i
jiiji
jiij yxpxyp
yxpxyYXE ),()(
1)()( .
Uslovno matematičko očekivanje za Y, ako je X=xi:
j
jijij
ijji yxpyxp
xypyxXYE ),()(
1)()( .
Regresija X po Y : Yjjj RyyyYXE :)),(( .
Regresija Y po X : Xiii RxxXYEx :))((,( .
II) Neka je ),( YX dvodimenzionalna slučajna promenljiva neprekidnog tipa.
Uslovno matematičko očekivanje za X, ako je Y=y:
dxxxyYXE yYX )()(
dxyxxy
XYY
),()(
1
.
Uslovno matematičko očekivanje za Y ako je X=x:
dyyyxXYE xXY )()(
dyyxyx
XYX
),()(
1
.
Funkcija )()(1 yYXEyrx se zove regresija X po Y.
Funkcija )()(2 xXYExry je regresija Y po X.
Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive tada je regresija:
I a )),(( jyXE ; I b ))(,( YExi , II a )()(1 XEyrx ; II b )()(2 YExry .
Linearna korelacija: Za slučajne promenljive X i Y se kaže da su linearno korelirane ako su njihove
regresije linearne funkcije, tj. prave. U tom slučaju jednačine regresionih pravih su
))(()(
)()( XEx
X
YYEy XY
, ))((
)(
)()( YEy
Y
XXEx XY
.
Nejednakost Čebiševa: Ako za nenegativnu slučajnu promenljivu X (za svako , 0)( X ) postoji
)( 2XE , tada za svako 0 važi 2
)(
)(2XE
XP , odnosno 2
)() )( (
XDXEXP .
CENTRALNE GRANIČNE TEOREME
I Ako je dat niz nX nezavisnih slučajnih promenljivih pri čemu svaka slučajna promenljiva nX datog
niza ima istu raspodelu, konačno matematičko očekivanje RaXE n )( , Nn i konačnu disperziju
RsXD n2)( , Nn ,tada je
x t
n
i
i
ndtex
ns
anX
P 2
1
2
π)(lim
2
1, za svako Rx .
5
II Teorema Muavr-Laplasa: Ako je dat niz nX nezavisnih slučajnih promenljivih, pri čemu svaka
slučajna promenljiva datog niza nX ima istu Bernulijevu raspodelu
pqX n
10: , 10 p , pq 1 ,
Nn , tada je
x t
n
i
i
ndtex
npq
npX
P 2
1
2
2
1)(lim
,za svako Rx .
Ako slučajna promenljiva Y ima binomnu B ),( pn raspodelu , tada za dovoljno veliko Nn važi približna
jednakost npq
npk
enpq
kYP 2
)(
2
2
1)(
, nk ..., ,2 ,1 ,0 .
III Ako slučajna promenljiva X ima 2n –raspodelu, tada za svako Rx važi:
x t
ndtex
n
nXP 2
2
2
1)
2(lim
.
MATEMATIČKA STATISTIKA
Ako obeležje X ima normalnu N ),( 2m raspodelu tada nX ima normalnu N ),(2
nm
raspodelu.
OCENE PARAMETARA
Ocena ),...,,( 21 nXXXuU je postojana (stabilna) ocena za )( ako je
0) ),...,,()( (lim 21
nn
XXXuP , za svako 0 .
Ocena ),...,,( 21 nXXXuU je centrirana ocena za )( ako je )()),...,,(( 21 nXXXuE .
Ocena ),...,,( 21 nXXXuU je asimptotski centrirana ocena za )( ako je
)()),...,,((lim 21
nn
XXXuE .
Nejednakost Rao Kramera:
),()),(ln
(
))(()(
2
2
k
k
k xpxp
n
UD
za slučajnu promenljivu X diskretnog tipa,
dxxx
n
UD
),()),(ln
(
))(()(
2
2
za slučajnu promenljivu X neprekidnog tipa.
1. Interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p u Bernulijevoj B(p) raspodeli:
Interval poverenja je )UpU(P21
, gde su statistike 1U i 2U dobijene rešavanjem po p
kvadratne jednačine
0)2()( 22222 KpnaKnpnan .
2. Interval poverenja za matematičko očekivanje m obeležja X sa normalnom N (m, 2 )
raspodelom gde je 2 poznato:
)(n
aXm
n
aXP nn , )
2
1(1
a .
3. Interval poverenja za matematičko očekivanje m obeležja X sa normalnom N (m, 2 )
raspodelom gde je 2 nepoznato:
)11
(n
SaXm
n
SaXP n
nn
n , )2
1(1
a .
6
4. Interval poverenja za nepoznatu disperziju 2 obele`ja X sa normalnom N (m, 2 ) raspodelom
kada je m-nepoznato:
Jednostrani interval poverenja:
)0(2
2
b
SnP n je jednostrani interval poverenja za 2 , a )0(
2
b
SnP n za .
Dvostrani interval poverenja:
)(
22
2
a
Sn
b
SnP nn je dvostrani interval poverenja za 2 , a )(
22
a
Sn
b
SnP nn za .
5. Interval poverenja za nepoznatu disperziju 2 obeležja X sa normalnom N (m, 2 ) raspodelom
kada je m poznato:
Jednostrani interval poverenja dobija se slično kao u 4:
)
~
0(2
2
b
SnP n za 2 ,a )
~
0(2
b
SnP n za .
Dvostrani interval poverenja dobija se )
~~
(
22
2
a
Sn
b
SnP nn za 2 , a )
~~
(
22
a
Sn
b
SnP nn za
.
1. Hipoteza H( 0pp ), o verovatnoći u Bernulijevoj B(p) raspodeli
Nađemo brojeve )1( 00
0
pnp
npk
i )
21(1*
(kritična vrednost). Ako je * hipotezu
H( 0pp ) odbacujemo, a ako je * hipotezu H( 0pp ) ne odbacujemo.
2. Hipoteza )mH(m 0 o matemati~kom očekivanju m u normalnoj N ),( 2m raspodeli ako je
poznato
Nađemo brojeve nmxn
0 i )
21(1*
.Ako je * hipotezu )( 0mmH odbacujemo, a
ako je * hipotezu )( 0mmH ne odbacujemo.
3. Hipoteza )( 0mmH o matematičkom očekivanju m u normalnoj N ),( 2m raspodeli ako je nije
poznato
Nađemo brojeve 10
ns
mx
n
n i )
21(1*
F .Ako je * hipotezu )( 0mmH odbacujemo,
a ako je * hipotezu )( 0mmH ne odbacujemo.
4. Hipoteza )( 20
2 H o disperziji 2 , u normalnoj N ),( 2m raspodeli ako je m nepoznato
Nađemo brojeve 20
2
nsn i )1(1* F .Ako je *
hipotezu )( 20
2 H odbacujemo, a ako je
* hipotezu )( 2
02 H ne odbacujemo.
5. Hipoteza )( 20
2 H o disperziji 2 , u normalnoj N ),( 2m raspodeli ako je m poznato
Nađemo brojeve 20
2~
nsn i )1(1* F .Ako je *
hipotezu )( 20
2 H odbacujemo, a ako je
* hipotezu )( 2
02 H ne odbacujemo.
Pirsonov 2 -test
Na osnovu realizovanog uzorka ),...,,( 21 nxxx nalazimo
k
m m
mm
np
npn
1
220
)( .
7
Ako je unapred zadat prag značjanosti tada postupamo na sledeći način:
1. Nađemo vrednost *
iz tablica za 2 raspodelu. Ova vrednost se na neki način može shvatiti kao
dozvoljeno odstupanje pri zadatom pragu značajnosti .
2. Uporedimo vrednosti * i
k
m m
mm
np
npn
1
220
)( i ako je
20
* hipotezu 0
H : )()( 0 xFxF ne odbacujemo,
20
* hipotezu 0
H : )()( 0 xFxF odbacujemo.
Statističke tablice
Normalna raspodela :
x t
dtex 2
2
2
1)(
x .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887 9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830 9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
8
2 - raspodela
x
02
n
2
t1
2
n
dt
)2
n(2
et)x(F
n F
.005 .010 .025 .050 .100 .250 .500 .750 .900 .950 .975 .990 .995
1 .0000 .0000 .0000 .0039 .0158 .102 .455 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 2 .0100 .0201 .0506 .1030 .211 .575 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 3 .0717 .115 .216 .352 .584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8 4 .207 .297 .484 .711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9 5
.412 .554 .831 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7
6 .676 .872 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5 7 .989 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0 9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6 10
2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.3 13.7 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.3 14.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8 14 4.07 4.6 5.63 6.57 7.79 10.2 13.3 17.1 21.2 23.7 26.1 29.1 31.3 15
4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.0 14.3 18.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.9 15.3 19.4 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.8 16.3 20.5 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 13.7 17.3 21.6 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2 19 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 14.6 18.3 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6 20
7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 15.5 19.3 23.8 28.4 31.4 34.2 37.6 40.0
21 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4 22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 17.2 21.3 26.0 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8 23 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 18.1 22.3 27.1 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2 24 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 19.0 23.3 28.2 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6 25
10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 19.9 24.3 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9
26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 20.8 25.3 30.4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3 27 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 21.7 26.3 31.5 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6 28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 22.7 27.3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0 29 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3 30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 24.5 29.3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7
9
Studentova t-raspodela
t
ndx
n
xnn
n
tF
2
12
)1)(2
(
)2
1(
)(
n F
.75 .90 .95 .975 .99 .995 .9995
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
40 60
120
1.000 .816 .765 .741 .727 .718 .711 .706 .703 .700
.697 .695 .694 .692 .691 .690 .689 .688 .688 .687
.686 .686 .685 .685 .684 .684 .684 .683 .683 .683
.681 .679 .677 .674
3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.327
1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325
1.233 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310
1.303 1.296 1.289 1.282
6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812
1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725
1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697
1.684 1.671 1.658 1.645
12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086
2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042
2.021 2.000 1.980 1.960
31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764
2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528
2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457
2.423 2.390 2.358 2.326
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169
3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845
2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750
2.704 2.660 2.617 2.576
636.619 31.598 12.941 8.610 6.859 5.959 5.405 5.041 4.781 4.587
4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850
3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646
3.551 3.460 3.373 3.291
10
Raspodela Kolmogorov-Smirnova
k
kk eQ222)1()(
)(Q )(Q )(Q )(Q )(Q )(Q
0,32 0,0000 0,66 0,2236 1,00 0,7300 1,34 0,9449 1,68 0,9929 2,00 0,9993 0,33 0,0001 0,67 0,2396 1,01 0,7406 1,35 0,9478 1,69 0,9934 2,01 0,9994 0,34 0,0002 0,68 0,2558 1,02 0,7508 1,36 0,9505 1,70 0,9938 2,02 0,9994 0,35 0,0003 0,69 0,2722 1,03 0,7608 1,37 0,9531 1,71 0,9942 2,03 0,9995 0,36 0,0005 0,70 0,2888 1,04 0,7704 1,38 0,9556 1,72 0,9946 2,04 0,9995 0,37 0,0008 0,71 0,3055 1,05 0,7798 1,39 0,9580 1,73 0,9950 2,05 0,9996 0,38 0,0013 0,72 0,3223 1,06 0,7889 1,40 0,9603 1,74 0,9953 2,06 0,9996 0,39 0,0019 0,73 0,3391 1,07 0,7976 1,41 0,9625 1,75 0,9956 2,07 0,9996 0,40 0,0028 0,74 0,3560 1,08 0,8061 1,42 0,9646 1,76 0,9959 2,08 0,9996 0,41 0,0040 0,75 0,3728 1,09 0,8143 1,43 0,9665 1,77 0,9962 2,09 0,9997 0,42 0,0055 0,76 0,3896 1,10 0,8223 1,44 0,9684 1,78 0,9965 2,10 0,9997 0,43 0,0074 0,77 0,4064 1,11 0,8399 1,45 0,9702 1,79 0,9967 2,11 0,9997 0,44 0,0097 0,78 0,4230 1,12 0,8374 1,46 0,9718 1,80 0,9969 2,12 0,9997 0,45 0,0126 0,79 0,4395 1,13 0,8445 1,47 0,9734 1,81 0,9971 2,13 0,9998 0,46 0,0160 0,80 0,4559 1,14 0,8514 1,48 0,9750 1,82 0,9973 2,14 0,9998 0,47 0,0200 0,81 0,4720 1,15 0,8580 1,49 0,9764 1,83 0,9975 2,15 0,9998 0,48 0,0247 0,82 0,4880 1,16 0,8644 1,50 0,9778 1,84 0,9977 2,16 0,9998 0,49 0,0300 0,83 0,5038 1,17 0,8706 1,51 0,9791 1,85 0,9979 2,17 0,9998 0,50 0,0361 0,84 0,5194 1,18 0,8765 1,52 0,9803 1,86 0,9980 2,18 0,9999 0,51 0,0428 0,85 0,5347 1,19 0,8823 1,53 0,9815 1,87 0,9981 2,19 0,9999 0,52 0,0503 0,86 0,5497 1,20 0,8877 1,54 0,9826 1,88 0,9983 2,20 0,9999 0,53 0,0585 0,87 0,5645 1,21 0,8930 1,55 0,9836 1,89 0,9984 2,21 0,9999 0,54 0,0675 0,88 0,5791 1,22 0,8981 1,56 0,9846 1,90 0,9985 2,22 0,9999 0,55 0,0772 0,89 0,5933 1,23 0,9030 1,57 0,9855 1,91 0,9986 2,23 0,9999 0,56 0,0876 0,90 0,6073 1,24 0,9076 1,58 0,9864 1,92 0,9987 2,24 0,9999 0,57 0,0987 0,91 0,6209 1,25 0,9121 1,59 0,9873 1,93 0,9988 2,25 0,9999 0,58 0,1104 0,92 0,6343 1,26 0,9164 1,60 0,9880 1,94 0,9989 2,26 0,9999 0,59 0,1228 0,93 0,6473 1,27 0,9206 1,61 0,9888 1,95 0,9990 2,27 0,9999 0,60 0,1357 0,94 0,6601 1,28 0,9245 1,62 0,9895 1,96 0,9991 2,28 0,9999 0,61 0,1492 0,95 0,6725 1,29 0,9283 1,63 0,9902 1,97 0,9991 2,29 0,9999 0,62 0,1632 0,96 0,6846 1,30 0,9319 1,64 0,9908 1,98 0,9992 2,30 0,9999 0,63 0,1778 0,97 0,6964 1,31 0,9354 1,65 0,9914 1,99 0,9993 2,31 1,0000 0,64 0,1927 0,98 0,7079 1,32 0,9387 1,66 0,9919 0,65 0,2080 0,99 0,7191 1,33 0,9418 1,67 0,9924
11
PRILOG 1
Šematski prikaz karakteristika nekih
slučajnih promenljivih
Raspodele diskretnog tipa
Naziv raspodele
)(kp Prostor parametara
)(XE )(XD )(tk
Bernulijeva raspodela
B(p)
kk qpkp 1)(
1 ,0 k
10 p
pq 1 p pq itpeq
Binomna raspodela
B(n,p)
knk qpk
nkp
)(
n 1 0 k ...,,,
10 p ,
Nn pq 1
np npq nitpeq )(
Puasonova raspodela
P()
ek
kpk
!
)(
... ,2 ,1 ,0 k
0 )1( itee
Geometrijska raspodela
G(p)
1)( kpqkp
..., ,1 ,0 nk
10 p
pq 1 p
1
2q
p
it
it
qe
pe
1
12
Raspodele neprekidnog tipa
Naziv raspodele 0)x( Prostor param.
)(XE )(XD )(tk
Uniformna U(a,b)
ab
1
),( bax
Rba ,
2
ba
12
ab 2)(
)( abit
ee i taitb
Normalna
N ),( 2m
2
2
2
)(
2
1
mx
e
Rx
Rm , 0
m 2 2
22t
itmee
Normalna N (0,1)
2
2x
e2
1
Rx
- 0 1 2
2t
e
Eksponencijalna
E(a)
axae
x>0
a>0 a
1
2a
1
ita
a
Studentova
nt 2
1n2
n
x1
2
nn
2
1n
))((
)(
Rx
Nn 0,
n>1 2n
n
,
n>2
Hi-kvadrat 2n
)(2
n2
ex
2
n
2
x1
2
n
x>0
Nn n 2n 2
n
it21
)(
Vejbulova V ),(
0,0
0,)(
1
x
x ex
x
0,0
11
))1(
)2((12
)12
Lognormalna
L ),( 2
0,0
0,2
12)(ln
22
1
x
x ex
x 0, R
2
2
e 22222 ee
Za Studentovu, Vejbulovu i Lognormalnu raspodelu karakteristična funkcija k(t) je komplikovana, te nije navedena u tablici.