vestibular ibmec 2004 1 ana´lise quantitativa e lo´gica -...

Vestibular Ibmec 2004 1 Analise Quantitativa e Logica - Prova A

1. A diferenca entre o quadrado da soma e o quadrado da diferenca de dois numerosreais e igual

(a) a diferenca dos quadrados dos dois numeros.

(b) a soma dos quadrados dos dois numeros.

(c) a diferenca dos dois numeros.

(d) ao dobro do produto dos numeros.

(e) ao quadruplo do produto dos numeros.

2. Suponha que A3, A4 e A6 representam, respectivamente, as areas de um trianguloequilatero, um quadrado e um hexagono regular, todos de mesmo lado. Se

A3 + A4 + A6 = A3.A6

entao

(a) A3 = 7√

3+44

.

(b) A3 = 7√

3+164

.

(c) A4 = 14√

3+29

.

(d) A4 = 14√

3+89

.

(e) A6 = 7√

3+49

.

3. Se os numeros reais 1 < a < b < c < d < e estao em progressao aritmetica e A(x, y)representa a media aritmetica simples entre dois numeros reais x e y quaisquer,entao

A(A(A(a, c),A(c, e)),A(A(a, e),A(b, d)))

e igual a

(a) a.

(b) b.

(c) c.

(d) d.

(e) e.

1


4. A figura que melhor representa a uniao dos conjuntos-solucao das equacoes

x2 − 6ax + 13a2 = 0 e x2 + 6ax + 13a2 = 0

no plano complexo Argand-Gauss, para 0 ≤ a ≤ 1, e

(a)

1 2 3−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

(b)

1 2 3−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

(c)

1 2 3−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

2


(d)

1 2 3−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

(e)

1 2 3−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

5. Se f e a funcao que para cada x ∈[

0; π2

]

associa o valor f(x) dado pelo mınimoentre os valores sen(x) e cos(x), entao a imagem de f e o conjunto

(a){

y ∈ R|0 ≤ y ≤ 12

}

.

(b){

y ∈ R|12≤ y ≤ 1

}

.

(c){

y ∈ R|√

22

≤ y ≤ 1}

.

(d){

y ∈ R|0 ≤ y ≤√

32

}

.

(e){

y ∈ R|0 ≤ y ≤√

22

}

.

3


Utilize as informacoes abaixo para responder as questoes 6 e 7.

Considere os pontos (x; y; z) do R3 dados por (logz 8;log2 z;0), (-logz 8;log2 z;0),

(logz 8;-log2 z;0), (-logz 8;-log2 z;0) e (0; 0; z), com z ≥ 1.

6. Para z = 2, estes pontos sao vertices de

(a) um tetraedro.

(b) um paralelepıpedo.

(c) uma piramide de base quadrangular.

(d) um octaedro.

(e) uma piramide de base pentagonal.

7. O volume do poliedro com vertices sobre os cinco pontos, em funcao de z, estamelhor representado pelo grafico

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

4


8. O lucro semanal gerado por uma aplicacao num fundo de investimento e dado porl(x) = 1

10log10 x do total investido no inıcio da semana, em que x e o ındice de

desempenho do fundo na respectiva semana, x ∈ [0, 01; 100]. Uma pessoa aplicaR$1.000,00 neste fundo e solicita que o montante gerado semanalmente por esteinvestimento seja automaticamente reaplicado durante cinco semanas consecutivas.Se na primeira das cinco semanas o fundo obteve x = 100 e, nas quatro subsequentes,este ındice foi recorrentemente igual a 1

10do ıındice de cada semana anterior, entao

(a) a pessoa obteve no final das cinco semanas um lucro de aproximadamente 10%em relacao aos R$1.000,00 investidos inicialmente.

(b) a pessoa obteve no final das cinco semanas um lucro de aproximadamente 5%em relacao aos R$1.000,00 investidos inicialmente.

(c) a pessoa nao obteve no final das cinco semanas nem lucro nem prejuızo.

(d) a pessoa obteve no final das cinco semanas um prejuızo de aproximadamente5% em relacao aos R$1.000,00 investidos inicialmente.

(e) a pessoa obteve no final das cinco semanas um prejuızo de aproximadamente10% em relacao aos R$1.000,00 investidos inicialmente.

9. Um bracelete de ouro de forma espiral foi feito sob encomenda para uma jovem cujobraco tem 15

πcm de diametro. Ao experimenta-lo a jovem ficou encantada com as

quatro voltas que o bracelete da em torno de seu braco, e surpresa com a precisao dojoalheiro, que colocou suas iniciais alinhadas nas extremidades do espiral, conformemostra a figura abaixo.

11 cm

M

H

Se o bracelete pudesse ser esticado, seria um fio de ouro de comprimento entreiniciais aproximadamente igual a

(a) 59 cm.

(b) 61 cm.

(c) 63 cm.

(d) 65 cm.

(e) 67 cm.

5


10. Se f(x) = ln(x2)−12

para x > 0, entao a funcao inversa de f e dada por

(a) f−1(x) =√

e2x+1

(b) f−1(x) = e√

2x+1

(c) f−1(x) = 2e√

x + 1

(d) f−1(x) = 2√

ex + 1

(e) f−1(x) =√

2ex + 1

11. O maior triangulo da figura abaixo e equilatero. O segundo maior triangulo equilaterodesta figura foi obtido a partir do maior dividindo seus lados na razao de 1 para 3, oterceiro maior triangulo equilatero foi obtido a partir do segundo tambem dividindoseus lados na razao de 1 para 3, e assim sucessivamente.

Se a area sombreada na figura acima mede 4√

33

, entao o lado do maior trianguloequilatero e igual a

(a) 2.

(b) 3.

(c) 4.

(d) 6.

(e) 8.

6


12. Se n e um numero natural nao nulo, entao

(

2n + 1

0

)

+

(

2n + 1

1

)

+

(

2n + 1

2

)

+ ... +

(

2n + 1

n − 1

)

+

(

2n + 1

n

)

e igual a

(a) 22n

(b) 22n+1

(c) 22n−1

(d) 2n

(e) 2n+1

13. As retas dadas pelas equacoes abaixo determinam, no plano cartesiano, dois triangulos.

y = 2xy = 16 − 2xy = 4y = 2

Uma razao entre as areas desses triangulos e

(a) 14

(b) 49

(c) 19

(d) 425

(e) 925

14. Uma disputa de dois palitinhos entre dois jogadores e feita da seguinte maneira:

• cada jogador mostra uma mao fechada dentro da qual podem estar nenhum,um ou dois palitinhos,

• em seguida cada um deles diz quanto deve dar a soma das quantidades depalitinhos das maos dos dois jogadores,

• feitos os palpites, ambos abrem a mao para verificar se alguem acertou e, senenhum dos dois tiver acertado, eles repetem o processo.

Suponha que voce entrara no jogo, sem palitinho, da seguinte maneira: voce poderafazer o primeiro palpite, isto e, depois que as maos ja estiverem apresentadas efechadas, mas antes de os dois fazerem seus palpites, voce diz qual sera a soma dasquantidades de palitinhos. Para que a probabilidade de voce acertar seja a maiorpossıvel, sua aposta deve ser que a soma sera igual a

(a) 0.

(b) 1.

(c) 2.

(d) 3.

(e) 4.

7


15. Se as dimensoes de um paralelepıpedo reto retangulo sao dadas pelas raızes dopolinomio x3−10x2 +31x−30, entao a area total e o volume deste solido sao dados,respectivamente por

(a) 31 e 30.

(b) 62 e 30.

(c) 62 e 31.

(d) 61 e 32.

(e) 32 e 30.

16. O numero de solucoes inteiras da inequacao

(x2 − 25)(x2 − 81)(1 − x2) > 0

e igual a

(a) 2.

(b) 3.

(c) 5.

(d) 7.

(e) 11.

Utilize as informacoes abaixo para responder as questoes 17 e 18.

Para aumentar as vendas de um determinado produto, seu fabricante introduziu naembalagem de todas as unidades a serem vendidas um cartao do tipo “raspadinha”.Em cada um destes cartoes, estao desenhados um retangulo e trinta cırculos. Noretangulo, esta omitido, por uma tinta escura, o nome do premio a que o consumidorira concorrer. Cada um dos 30 cırculos esconde um inteiro n, com 0 < n < 21,conforme ilustra a figura abaixo.

PREMIO

F1 F2 F3 F4 F5

E1 E2 E3 E4 E5

D1 D2 D3 D4 D5

C1 C2 C3 C4 C5

B1 B2 B3 B4 B5

A1 A2 A3 A4 A5

8


Para justificar a troca do cartao pelo premio indicado e necessario e suficiente queuma das seguintes condicoes seja satisfeita:

(I) a soma dos numeros de todos os cırculos raspados seja exatamente 21;

(II) do conjunto dos numeros representados nos 30 cırculos do cartao nao existasubconjunto cuja soma dos elementos resulte 21. Chamaremos os cartoes destetipo de obrigatoriamente premiados .

17. E correto afirmar que

(a) em qualquer cartao existem pelo menos dois cırculos com o mesmo numero.

(b) uma condicao necessaria para que um cartao seja obrigatoriamente premi-

ado e que todos os cırculos contenham numeros pares.

(c) uma condicao suficiente para que um cartao seja obrigatoriamente premi-

ado e que todos os cırculos contenham numeros ımpares.

(d) uma condicao necessaria para que um cartao seja obrigatoriamente premi-

ado e que todos os cırculos contenham numeros menores do que 10.

(e) em qualquer cartao existem no maximo nove cırculos com mesmo numero.

18. Para um cartao que nao e obrigatoriamente premiado, e correto afirmar que

(a) se nos trinta cırculos figurarem apenas quinze numeros distintos, cada umexatamente duas vezes, entao e possıvel ganhar o premio somente se foremraspados exatamente dois cırculos.

(b) se nos trinta cırculos figurarem apenas quinze numeros distintos, cada umexatamente duas vezes, entao e possıvel ganhar o premio somente se foremraspados mais do que dois cırculos.

(c) se todos os cırculos de uma mesma linha contiverem o mesmo numero, para asseis linhas, entao e possıvel ganhar o premio somente se forem raspados pelomenos dois cırculos em linhas distintas.

(d) se nos trinta cırculos figurarem todos os numeros inteiros positivos estritamentemenores do que 21, sem que os numeros de apenas um dıgito se repitam, entaoe possıvel ganhar o premio somente se forem raspados no maximo seis cırculos.

(e) se nos trinta cırculos figurarem todos os numeros inteiros positivos estritamentemenores do que 21, sem que os numeros de apenas um dıgito se repitam, entaoe possıvel ganhar o premio somente se forem raspados mais do que seis cırculos.

9


19. Um indivıduo e dito magnetico se e somente se para qualquer conjunto de dez pessoasque o conhecem, existe no conjunto pelo menos uma pessoa que simpatiza com ele.Se exatamente 100 pessoas conhecem um indivıduo, para que ele seja magnetico

(a) e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o indivıduo, pelo menos10 simpatizem com ele.

(b) e necessario e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o indivıduo,pelo menos 51 simpatizem com ele.

(c) e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o indivıduo, pelo menos90 simpatizem com ele.

(d) e necessario e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o indivıduo,pelo menos 91 simpatizem com ele.

(e) e necessario que as 100 pessoas que conhecem o indivıduo simpatizem com ele.

20. Suponha verdadeira a seguinte declaracao.

A interpretacao precisa do conectivo “somente se” e condicao suficiente para elimi-

nar duas das alternativas deste teste somente se a correta leitura do conectivo de

negacao e condicao necessaria para eliminar outras duas.

Uma reformulacao formalmente equivalente da declaracao acima e dada por

(a) Se duas alternativas deste teste sao eliminadas com a leitura incorreta do co-

nectivo de negacao entao a interpretacao precisa do conectivo “somente se”

nao elimina outras duas.

(b) A correta leitura da negacao e condicao necessaria para eliminar duas alterna-

tivas deste teste somente se a interpretacao precisa do conectivo “somente se”

e condicao suficiente para outras duas.

(c) A interpretacao imprecisa do conectivo “somente se” e condicao suficiente para

eliminar duas das alternativas deste teste somente se a incorreta leitura do co-

nectivo de negacao e condicao necessaria para eliminar outras duas.

(d) Se duas alternativas deste teste sao eliminadas com a leitura incorreta do co-

nectivo de negacao entao a interpretacao precisa do conectivo “somente se”

elimina outras duas.

(e) Nao e o caso de a interpretacao precisa do conectivo “somente se” e condicao

suficiente para eliminar duas das alternativas abaixo somente se a correta

leitura do conectivo de negacao e condicao necessaria para eliminar outras

duas.

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Nome: Inscricao:

21. Preocupados em proteger seus clientes de fraudes eletronicas, dois bancos adotaramos seguintes procedimentos de entrada de senhas em seus terminais eletronicos deatendimento.

Banco X: para digitar sua senha de seis algarismos, o cliente dispoe de um tecladoeletronico gerado aleatoriamente em cada utilizacao de algum cliente, conformefigura abaixo.

0 2 1 5 4 9

3 7 6 8Assim, para inserir cada dıgito de sua senha, o cliente deve tocar sobre oretangulo que contiver o respectivo dıgito.

Banco Y: para digitar sua senha de tres letras, o cliente dispoe de um tecladoeletronico gerado aleatoriamente em cada utilizacao de algum cliente, conformefigura abaixo.

A S D F

H J K L

W E R T

U I O P

Z X C V

B N M G

Assim, para inserir cada letra de sua senha, o cliente deve tocar sobre oretangulo que contiver a respectiva letra.

Um vilao tenta descobrir a senha de um cliente de cada um dos bancos X e Yobservando e anotando os dıgitos ou as letras dos retangulos sobre os quais o clientetoca.

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Nome: Inscricao:

(a) Buscando fraudar a conta de cada um dos clientes via internet, o vilaoprecisa digitar a senha de cada um deles nas respectivas telas de acessovirtual as contas de cada um dos bancos. Determine a probabilidade dovilao acertar em uma unica tentativa a senha do cliente do banco X e aprobabilidade do vilao acertar em uma unica tentativa a senha do clientedo banco Y.

(b) Suponha que nestes acessos via internet ambos os bancos bloqueiem qual-quer acesso as contas de seus clientes depois de 3 tentativas falhas deinsercao de senhas, introduzindo como regra de desbloqueio que o clientedirija-se pessoalmente a sua agencia para escolher uma outra senha. Cal-cule a probabilidade de o vilao fraudar a conta do cliente do banco X e aprobabilidade de o vilao fraudar a conta do cliente do banco Y. Qual destesdois “experimentos” e mais provavel?

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Nome: Inscricao:

22. Dado o alto custo da embalagem de leite do tipo longa vida, em forma de caixa(paralelepıpedo reto retangulo), com capacidade de 960 cm3 e lados na razao 3 : 5 : 8,um produtor estuda fornecer a mesma quantidade de leite por embalagem utilizandolatas cilındricas de metal ou esferas de plastico. Apesar dos materiais dos tres tiposde embalagem serem diferentes, os custos por cm2 sao aproximadamente iguais a3 centavos para cada 100 cm2 de embalagem. (Para seus calculos, utilize nestaquestao π ∼= 10

3.)

(a) Supondo que a lata cilındrica de metal deva ter altura de 18 cm, determineo raio da base da lata.

(b) Determine o raio da esfera para a embalagem de plastico.

13


Nome: Inscricao:

(c) Para uma producao semanal de 96.000 litros de leite, calcule o custo totalsemanal de cada um dos tres tipos de embalagem e complete a tabela abaixo.

Embalagem Atual Metal Plastico(forma) (caixa) (cilindro) (esfera)Custo semanal totaldas embalagens

14


Nome: Inscricao:

23. Suponha que para cada preco p > 0 atribuıdo a um determinado produto,

• existam S(p) = −2+(1+a)p unidades do produto a venda numa comunidade,

• a comunidade seja capaz de comprar D(p) = 5 − ap unidades do produto,

em que a e uma constante positiva.

(a) Se o equilıbrio de mercado nesta comunidade ocorre quando q = S(p) =D(p), determine em funcao de a o par (p, q) para que haja equilıbrio demercado.

(b) Determine a equacao do equilıbrio de mercado, isto e, a equacao que rela-ciona q e p no equilıbrio de mercado.

15


Nome: Inscricao:

(c) Esboce no plano abaixo a reta que representa a equacao do equilıbrio de

mercado (obtida no item 23b).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16


Nome: Inscricao:

24. Considere uma circunferencia de raio r inscrita num trapezio isosceles, conformefigura abaixo.

A

B C

D

Suponha que as medidas dos segmentos AD e BC sao respectivamente iguais a 18e 32. (Para seus calculos, utilize nesta questao π ∼= 25

8.)

(a) Determine o perımetro do trapezio ABCD.

17


Nome: Inscricao:

(b) Determine o raio r da circunferencia.

(c) Determine a area da regiao sombreada na figura.

18


Nome: Inscricao:

25. Se um movel se desloca sobre uma trajetoria retilınea e percorre d unidades deespaco em um intervalo de tempo t, entao sua velocidade media neste percurso edada por v = d

t. Um movel sobre uma trajetoria retilınea percorre um 1 metro

com velocidade media de 1 metro por segundo, em seguida percorre 12

metro comvelocidade de 2 metros por segundo, em seguida percorre 1

4de metro com velocidade

de 4 metros por segundo, em seguida percorre 18

de metro com velocidade de 8 metrospor segundo, e assim prossegue indefinidamente, sempre percorrendo a metade dopercurso anterior com o dobro da respectiva velocidade media.

(a) Determine o limite da soma dos percursos percorridos pelo movel.

(b) Determine a velocidade media no percurso dado pela soma do item anterior.

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26. Na tabela abaixo apresentamos os coeficientes angulares (m) e lineares (b) de 6retas.

Reta m b

r1 2 0r2 −2 8r3 0 2r4 2 −8r5 −2 16r6 0 6

Suponha que Pij representa (quando existe) o ponto de interseccao das retas ri e rj,para i, j = 1, ..., 6 com i 6= j.

(a) Esboce no plano abaixo as seis retas e obtenha graficamente os pontos in-dicados na tabela.

Ponto CoordenadasP12

P23

P34

P45

P56

P61

Ponto CoordenadasP13

P24

P35

P46

P51

P62

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

20


Nome: Inscricao:

(b) Quantas retas ficam determinadas pelos pontos P12, P23, P34, P45, P56, P61?

(c) Quantos triangulos ficam determinados pelos doze pontos obtidos no item26a?

21


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27. A empresa Pinoquio S/A produzira dois brinquedos especiais para o proximo Natal:flauta de ouro e caixa de sinos de prata. Cada unidade de ambos os brinquedosque for vendida contribui para o lucro total com R$1.000,00. Tanto as flautas de

ouro como as caixas de sinos de prata devem passar por duas etapas para seremproduzidas: modelagem e montagem. Cada flauta consome 2 dias de modelagem e 1de montagem, e cada caixa de sinos consome 1 dia de modelagem e 2 de montagem.A direcao da Pinoquio S/A disponibilizara no maximo 11 dias para modelagem eno maximo 10 dias para montagem de ambos brinquedos e exige uma contribuicaototal para o lucro de no mınimo R$6.000,00. Suponha que todos os brinquedos queforem produzidos serao vendidos.

(a) Se x e y representam respectivamente as quantidades de flautas de ouro ecaixas de sinos de prata que devem ser produzidas , determine duas inequa-coes que descrevam as restricoes de dias de modelagem e montagem e umaque descreva a exigencia em relacao ao lucro.

22


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(b) Esboce no plano abaixo a regiao dos pontos que satisfazem simultaneamenteas tres inequacoes obtidas no item 27a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

(c) Determine todas as possibilidades para x e y, satisfazendo as inequacoesobtidas no item 27a, com x e y inteiros. Indique a possibilidade em que olucro e maximo.

23


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28. Considere as matrizes

A =

[

x m

1 1

]

e B =

[

x 2−1 x + 2

]

e o polinomio p(x) = det(AB). Suponha que x = 3 seja raiz deste polinomio.

(a) Determine o valor da constante m.

(b) Determine as outras raızes do polinomio.

24


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(c) Mostre que a equacao p(x) = −7 possui uma raiz irracional no intervalo[−1; 2].

25


Nome: Inscricao:

29. Considere a matriz M(p) =

(

p 2p2p 4p

)

, em que p ∈ R.

(a) Calcule (M(p))2, (M(p))3 e (M(p))4.

26


Nome: Inscricao:

(b) Baseado somente nos resultados do item 29a, induza uma formula para(M(p))n.

(c) Calcule (M(0, 2))20.

27


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30. O unico continente do mundo em que as pessoas tem estatura maxima de 15 cm (pesoe demais dimensoes proporcionais aos de um ser humano) divide-se em dois paıses-ilha rivais: Blefuscu e Lilipute. Guliver, o ingles-montanha, chega ao continentedo lado de Lilipute com seus 170 cm de altura, e, apos um perıodo de adaptacoese visitas aos imperadores dos dois paıses, cruzando por diversas vezes o mar deaproximadamente meio metro de extensao que separa os dois territorios, encontra-se em Lilipute diante do seguinte dilema:

“O imperador de Blefuscu compromete-se a nao atacar Lilipute somente se Guliver

deixar aquela terra definitivamente em no maximo um dia, enquanto o imperador de

Lilipute empenha sua palavra de honra que nao atacara Blefuscu somente se Guliver

nao colocar um pe que seja em tal paıs.”

E possıvel Guliver sair desse dilema com a certeza de que nao havera guerra entreBlefuscu e Lilipute? Justifique sua resposta.

28


Nome: Inscricao:

Rascunho

Rascunho

Rascunho

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Rascunho

Rascunho

Rascunho

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Rascunho

Rascunho

Rascunho

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