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Vetores
Grandeza escalar: grandeza física descrita por um número e obedecem as leis da aritmética e da álgebra elementar. Ex: temperatura, 25º.
Grandeza vetorial: grandeza física descrita por um módulo (quantidade ou tamanho), juntamente com uma direção e sentido no espaço. Ex: deslocamento de um avião.
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Esses quatro vetores são iguais?
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Representação vetorial
D
= Dm30D
ou a representação gráfica
D
Magnitude de =
30 m
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Somando Vetores Geometricamente
Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os em uma mesma escala e dispondo-os em seqüência com a ponta de um tocando a cauda o do outro. O vetor que une a cauda do primeiro vetor até a ponta do segundo é a soma vetorial s. Para subtrair b de a, inverta o sentido de b para obter –b; depois some –b com a. A soma vetorial é comutativa e obedece à lei associativa.
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Soma Vetorial
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Propriedades comutativa e associativa
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Subtração Vetorial
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Componentes de um vetor
As componentes (escalares) Ax e Ay de qualquer vetor bidimensional A ao longo dos eixos coordenados são determinadas baixando-se retas perpendiculares das extremidades de A sobre os eixos coordenados. As componentes são dadas por:
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Onde é o ângulo entre o sentido positivo do eixo e a direção de A. O sinal algébrico de uma componente indica o seu sentido ao longo do eixo correspondente. Dadas as suas componente, podemos achar o módulo e a orientação do vetor A com
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Vetores unitários
Os vetores unitários possuem módulos unitários e estão dirigidos nos sentidos positivos dos eixos, x, y e z. Podemos escrever um vetor A em termos dos vetores unitários como:
onde, Ax e Ay são suas componentes escalares
kej,i
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Um ponto qualquer de coordenada cartesiana (x,y) pode ser representado pelo vetor posição r:
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Somando Vetores componente a componentePara somarmos vetores componente a componente, usamos as regras:
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Dadas suas componentes o módulo e a direção do vetor R é:
Generalizando:
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Produto de um Escalar por um Vetor
O produto de um escalar s por um vetor v é um novo vetor cuja direção é a mesma de v, cujo módulo é sv e cujo sentido é o mesmo de v se s for positivo e contrário se s for negativo. Para dividir v por s, multiplique v por 1/s.
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O Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores A e B é a grandeza escalar dada pela equação:
onde
onde é o ângulo entre A e B.
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O Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetores A e B é a um vetor, cujo módulo é dado pela equação:
é perpendicular a A e B
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Exercício 1. Um carro viaja 20 km no sentido norte, mais 35 km no sentido 60º de norte para leste, como mostra a figura. Calcule o módulo e o sentido do deslocamento resultante do carro?
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Exercício 2. Um urso caminha rumo NE percorrendo 12 m e depois a leste percorrendo 12 m. Mostrar num gráfico cada deslocamento e depois calcular o deslocamento resultante.
Exercício 3. Uma partícula realiza três deslocamentos consecutivos: cm, cm, cm. Encontre o vetor deslocamento total e sua magnitude.Exercício 4. Considere dois vetores e . Calcule: (a) , (b) , (c) , (d) , e as direções de e .
j2i3A
j4iB
BA
BA
BA
BA
BA
BA
k12j30i15d1 k5j14i23d2
j15i13d3
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Exercício 5. Um aviáo estabelece uma rota ilustrada na figura abaixo. Primeiro, ele voa da origem do sistema de coordenadas até a cidade A, localizada a 175 km em uma direção fazendo 30º de leste para o norte. Seguindo, ele voa 153 km fazendo 20 º de norte para oeste em direção a cidade B. Finalmente ele voa 195 km para o oeste em direção a cidade C. Encontre a localização da cidade C relativo a origem.
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Produto Escalar
Exercício 6. Qual é o ângulo entre os vetores e ?
Produto Vetorial
Exercício 7. Se e , qual é ?
j4i3a
k3i2b
j4i3a
k3i2b
bac