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VETORESVETORES
Marcos Germano DegenhardtMarcos Germano Degenhardt
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DefiniçãoDefinição
Ente matemático representado por um segmento de reta orientado:
A
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ElementosElementos
•Direção:
Reta r suporte onde o vetor é traçado•Sentido:
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta•Módulo:
Valor numérico associado ao vetor•Ponto de aplicação:
Local inicial o vetor
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Exemplo
Observe o vetor:
Direção: horizontal
Sentido: para direita
Módulo: 12,92 cm
Aplicação: Objeto O
12,92 cm
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Componentes dos VetoresComponentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a projeção dos mesmos sobre eixos horizontais e verticais:
A
A
xA
yAA
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Valores das ComponentesValores das Componentes
• Componente Horizontal
• Componente Vertical
senVVy
cosVVx
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Depois de calcular as componentes de um vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por meio da expressão:
Expressão de um VetorExpressão de um Vetor
jViVV yxˆˆ
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ExemploDado o vetor abaixo, determinar:(a) suas componentes ortogonais(b) sua expressão vetorial.
(a) suas componentesN 100V
º 30
N50º30sen100
sen
N6,86º30cos100
cos
y
y
x
x
V
VV
V
VV
(b) sua expressão
N ˆ50ˆ6,86
ˆˆ
jiV
jViVV yx
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Adição de VetoresAdição de Vetores
Pode ser feita de três modos:
• regra do polígono
• regra do paralelogramo
• regra das componentes
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Regra do polígonoRegra do polígono
• Os vetores são unidos de modo que o vetor seguinte esteja conectado à extremidade do vetor anterior;
• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e termina junto ao último vetor.
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A
B
C
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
C
S
CBAS
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Regra do ParalelogramoRegra do Paralelogramo
• Os vetores são iniciados a partir de um ponto comum;
• Da extremidade de cada vetor se traça uma linha paralela ao outro vetor;
• O vetor soma inicia no ponto comum e termina onde as paralelas se encontram
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A
B
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
S
BAS
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Regra das ComponentesRegra das Componentes
• Decompor o vetor nas componentes horizontal e vertical;
• Efetuar a soma das componentes, separadamente.
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ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A B
CCBAS
Solução:
•Somar as componentes:
•Escrever cada vetor na forma das componentes:
jiC
jiB
jiA
2
22
32
jiS
jiC
jiB
jiA
35
2
22
32
•Representar o vetor soma:
S
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Módulo de um VetorMódulo de um Vetor
Dado o vetor:
S
Seu módulo será dado aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
222 ˆˆ jSiSS yx
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Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?
Exemplo
S
Solução:
uS
S
jSiSS yx
83,534
92535
ˆˆ
222
222
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Produto VetorialProduto Vetorial
Pode ocorrer de três modos distintos:
• produto de vetor por escalar
• produto escalar entre vetores
• produto vetorial entre vetores
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Produto por escalarProduto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma grandeza escalar qualquer:
vkm
.
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B
ExemploDetermine o produto:
B
BP
3
B
B
P
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Produto escalarProduto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal como o trabalho:
BAP
.Que tem como módulo:
cos..BAP
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ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:
A
B
º45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
º45cos.3.67,5cos..
.
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Produto VetorialProduto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:
BAP
Que tem como módulo:
sen..BAP
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ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:
A
B
º45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
º45sen.3.67,5sen..
.