vetores - parte 1: o tratamento geométrico
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Vetores - Parte 1: O tratamento geometrico
Ademir Alves Ribeiro
2021https://youtu.be/mr73WaW5_IM
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
Area
Volume
Temperatura
Grandezas vetoriais
Velocidade
Aceleracao
Forca
Momento
Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
Area
Volume
Temperatura
Grandezas vetoriais
Velocidade
Aceleracao
Forca
Momento
Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
Area
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Temperatura
Grandezas vetoriais
Velocidade
Aceleracao
Forca
Momento
Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
Area
Volume
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Grandezas vetoriais
Velocidade
Aceleracao
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Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares
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Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares
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Grandezas escalares
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Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares
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Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
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Grandezas vetoriaisVelocidade
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Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Grandezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Comprimento
Area
Volume
Temperatura
Grandezas vetoriaisVelocidade
Aceleracao
Forca
Momento
Grandezas escalares: basta um numero para determina-la.
Grandezas vetoriais: precisam tambem de uma direcao e sentido.
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Direcao e sentido
Retas paralelas determinam uma mesma direcao.
Fixada uma direcao, temos dois sentidos (orientacoes) possıveis.
Representados por um segmento orientado.
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Direcao e sentido
Retas paralelas determinam uma mesma direcao.
Fixada uma direcao, temos dois sentidos (orientacoes) possıveis.
Representados por um segmento orientado.
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Direcao e sentido
Retas paralelas determinam uma mesma direcao.
Fixada uma direcao, temos dois sentidos (orientacoes) possıveis.
Representados por um segmento orientado.
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Direcao e sentido
Retas paralelas determinam uma mesma direcao.
Fixada uma direcao, temos dois sentidos (orientacoes) possıveis.
Representados por um segmento orientado.
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Segmentos equipolentes
Definicao
Sao segmentos orientados com mesma direcao,sentido e comprimento.
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Segmentos equipolentes
Definicao
Sao segmentos orientados com mesma direcao,sentido e comprimento.
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O conceito de vetor
Definicao
Um vetor e uma classe de segmentos equipolentes.
Cada segmento e um representante do vetor.
E caracterizado por uma direcao, um sentido e um comprimento.
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O conceito de vetor
Definicao
Um vetor e uma classe de segmentos equipolentes.
Cada segmento e um representante do vetor.
E caracterizado por uma direcao, um sentido e um comprimento.
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O conceito de vetor
Definicao
Um vetor e uma classe de segmentos equipolentes.
Cada segmento e um representante do vetor.
E caracterizado por uma direcao, um sentido e um comprimento.
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O conceito de vetor
Definicao
Um vetor e uma classe de segmentos equipolentes.
Cada segmento e um representante do vetor.
E caracterizado por uma direcao, um sentido e um comprimento.
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Notacoes
~v =−→AB
=−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
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Notacoes
~v =−→AB
=−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
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Notacoes
~v =−→AB
=−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
![Page 26: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/26.jpg)
Notacoes
~v =−→AB =
−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
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Notacoes
~v =−→AB =
−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
![Page 28: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/28.jpg)
Notacoes
~v =−→AB =
−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.
Se A = B, temos o vetor nulo−→AB =~0.
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Notacoes
~v =−→AB =
−→CD.
Tambem denotamos~v = B−A = D−C.
O comprimento de um vetor~v e denotado por ‖~v‖.Se A = B, temos o vetor nulo
−→AB =~0.
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Notacoes
Dados um vetor~v e um ponto P, existe Q tal que~v =−→PQ.
Denotamos Q = P+~v.
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Notacoes
Dados um vetor~v e um ponto P, existe Q tal que~v =−→PQ.
Denotamos Q = P+~v.
![Page 32: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/32.jpg)
Notacoes
Dados um vetor~v e um ponto P, existe Q tal que~v =−→PQ.
Denotamos Q = P+~v.
![Page 33: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/33.jpg)
Notacoes
Dados um vetor~v e um ponto P, existe Q tal que~v =−→PQ.
Denotamos Q = P+~v.
![Page 34: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/34.jpg)
Notacoes
Vetores paralelos: ~u//~v (mesma direcao).
Vetor oposto: ~v =−→AB
⇒−~v =−→BA.
Vetores ortogonais: ~u⊥~v.
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Notacoes
Vetores paralelos: ~u//~v (mesma direcao).
Vetor oposto: ~v =−→AB
⇒−~v =−→BA.
Vetores ortogonais: ~u⊥~v.
![Page 36: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/36.jpg)
Notacoes
Vetores paralelos: ~u//~v (mesma direcao).
Vetor oposto: ~v =−→AB⇒−~v =−→BA.
Vetores ortogonais: ~u⊥~v.
![Page 37: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/37.jpg)
Notacoes
Vetores paralelos: ~u//~v (mesma direcao).
Vetor oposto: ~v =−→AB⇒−~v =−→BA.
Vetores ortogonais: ~u⊥~v.
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG
(V)2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH
(V)3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 43: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/43.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB
(F)4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 44: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/44.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 45: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/45.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖
(V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 46: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/46.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 47: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/47.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB
(V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC
(V)7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 50: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/50.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares
(V)8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
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Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 53: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/53.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares
(F)9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 54: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/54.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 55: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/55.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5
(V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 56: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/56.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 57: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/57.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61
(V)
![Page 58: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/58.jpg)
Exercıcio
No paralelepıpedo retangulo abaixo as arestas AB, BC e BF medem 6, 4 e 3unidades, respectivamente. Classifique as afirmacoes seguintes em V ou F.
1−→AE =
−→CG (V)
2−→AB =−−→GH (V)
3−→AF =
−→EB (F)
4 ‖−→AF‖= ‖−→EB‖ (V)
5−→DH//
−→FB (V)
6−→DH ⊥−→BC (V)
7−→AB,−→AD,−→EG sao coplanares (V)
8−→AB,−→BC,−→BF sao coplanares (F)
9 ‖−→FC‖= 5 (V)
10 ‖−→BH‖2 = 61 (V)
![Page 59: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/59.jpg)
Adicao de vetores
- regra do triangulo
Dados dois vetores~u e~v, como definir sua soma~u+~v?
Escolher representantes convenientes.
~u =−→AB, ~v =
−→BC⇒~u+~v =
−→AC.
![Page 60: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/60.jpg)
Adicao de vetores
- regra do triangulo
Dados dois vetores~u e~v, como definir sua soma~u+~v?
Escolher representantes convenientes.
~u =−→AB, ~v =
−→BC⇒~u+~v =
−→AC.
![Page 61: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/61.jpg)
Adicao de vetores - regra do triangulo
Dados dois vetores~u e~v, como definir sua soma~u+~v?
Escolher representantes convenientes.
~u =−→AB, ~v =
−→BC⇒~u+~v =
−→AC.
![Page 62: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/62.jpg)
Adicao de vetores - regra do paralelogramo
Escolher os representantes partindo do mesmo ponto.
Forma o paralelogramo.
A soma e uma diagonal. A outra diagonal e a diferenca.
![Page 63: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/63.jpg)
Adicao de vetores - regra do paralelogramo
Escolher os representantes partindo do mesmo ponto.
Forma o paralelogramo.
A soma e uma diagonal. A outra diagonal e a diferenca.
![Page 64: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/64.jpg)
Adicao de vetores - regra do paralelogramo
Escolher os representantes partindo do mesmo ponto.
Forma o paralelogramo.
A soma e uma diagonal. A outra diagonal e a diferenca.
![Page 65: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/65.jpg)
Adicao de vetores - regra do paralelogramo
Escolher os representantes partindo do mesmo ponto.
Forma o paralelogramo.
A soma e uma diagonal.
A outra diagonal e a diferenca.
![Page 66: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/66.jpg)
Adicao de vetores - regra do paralelogramo
Escolher os representantes partindo do mesmo ponto.
Forma o paralelogramo.
A soma e uma diagonal. A outra diagonal e a diferenca.
![Page 67: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/67.jpg)
Soma de mais vetores
~u+~v+~w = (~u+~v)+~w
=~u+(~v+~w)
![Page 68: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/68.jpg)
Soma de mais vetores
~u+~v+~w = (~u+~v)+~w
=~u+(~v+~w)
![Page 69: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/69.jpg)
Soma de mais vetores
~u+~v+~w = (~u+~v)+~w
=~u+(~v+~w)
![Page 70: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/70.jpg)
Soma de mais vetores
~u+~v+~w = (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w)
![Page 71: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/71.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 72: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/72.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;
−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 73: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/73.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 74: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/74.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM
=−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 75: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/75.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD
=−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 76: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/76.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 77: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/77.jpg)
Exercıcio
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto medio.
Seja M o ponto medio de AC;−→AM =
−→MC;
−→BM =
−→BC+
−→CM =
−→MA+
−→AD =
−−→MD;
Assim, M e o ponto medio de BD.
![Page 78: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/78.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 79: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/79.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 80: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/80.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 81: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/81.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 82: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/82.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 83: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/83.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.
2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 84: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/84.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.
3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 85: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/85.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
![Page 86: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/86.jpg)
Multiplicacao de escalar por vetor
Considere um escalar α ∈ R e um vetor~v.
Como definir o produto α~v?
Para a escolha particular α =1‖~v‖
temos o versor de~v.
1 α~v//~v.2 Mesmo sentido se α > 0 e sentido oposto se α < 0.3 ‖α~v‖= |α|‖~v‖.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;
2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);
3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;
4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;
5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;
6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;
7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);
8 1~v =~v.
![Page 95: Vetores - Parte 1: O tratamento geométrico](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070313/62befa45aadd1e010f4d0d03/html5/thumbnails/95.jpg)
Propriedades das operacoes
Considere vetores~u,~v, ~w e escalares α,β ∈ R.
1 ~u+~v =~v+~u;2 (~u+~v)+~w =~u+(~v+~w);3 ~u+~0 =~u;4 ~u+(−~u) =~0;5 α(~u+~v) = α~u+α~v;6 (α+β)~v = α~v+β~v;7 (αβ)~v = α(β~v);8 1~v =~v.
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Exercıcio
Considere um triangulo4ABC, M o ponto medio de AC e N,P dividindoo lado BC em 3 partes iguais. Mostre que o segmento MN e paralelo etem metade do tamanho do segmento AP.
−−→MN =
−→MC+
−→CN
=12−→AC+
13−→CB;
−→AP =
−→AC+
23−→CB = 2
−−→MN.
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Exercıcio
Considere um triangulo4ABC, M o ponto medio de AC e N,P dividindoo lado BC em 3 partes iguais. Mostre que o segmento MN e paralelo etem metade do tamanho do segmento AP.
−−→MN =
−→MC+
−→CN
=12−→AC+
13−→CB;
−→AP =
−→AC+
23−→CB = 2
−−→MN.
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Exercıcio
Considere um triangulo4ABC, M o ponto medio de AC e N,P dividindoo lado BC em 3 partes iguais. Mostre que o segmento MN e paralelo etem metade do tamanho do segmento AP.
−−→MN =
−→MC+
−→CN =
12−→AC+
13−→CB;
−→AP =
−→AC+
23−→CB = 2
−−→MN.
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Exercıcio
Considere um triangulo4ABC, M o ponto medio de AC e N,P dividindoo lado BC em 3 partes iguais. Mostre que o segmento MN e paralelo etem metade do tamanho do segmento AP.
−−→MN =
−→MC+
−→CN =
12−→AC+
13−→CB;
−→AP =
−→AC+
23−→CB = 2
−−→MN.