vi. osztály mate 2000 – standard editura · az oszthatósági kritériumok (10, 2, 5, 3, 9)...
TRANSCRIPT
Sorin PELIGRAD Ioan ŞERDEAN
Adrian ŢURCANU
a sorozatot irányította
Radu GOLOGAN, a SSMR elnöke
algebra mértan VI. osztály Második kiadás
mate 2000 – standard Magyar nyelvre fordította Kása Márta
EDITURA PARALE
LA 45
9
Matematika. VI. osz
tály
Algebra
I. fejezet. A TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
Specifikus kompetenciák: � Az osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, ln.k.o., lk.k.t. fogalmainak
azonosítása példákban, gyakorlatokban és feladatokban.
� Az oszthatósági kritériumok (10, 2, 5, 3, 9) alkalmazása a természetes
számok törzstényezők hatványainak szorzatára való bontására
� Az természetes számok halmazán értelmezett oszthatósági reláció
sajátosságainak kifejezése oszthatósággal megoldható gyakorlatokban és
feladatokban
� Hatványokkal végzett műveletek szabályainak, illetve a természetes számok
oszthatósága tulajdonságainak levezetése, gyakorlatokban és feladatokban
1. Műveletek természetes számokkal. Hatványokkal végzett műveletek szabályai
● Jelöljük ℕ = {0, 1, 2, …, n, …} a természetes számok halmazát és ℕ* a nullától különbözı
természetes számok halmazát. ● Amíg az összeadás és a szorzás minden esetben értelmezettek ℕ-ben, ugyanez nem
mondható el a kivonásról és az osztásról. Tehát: 1. ∀ a, b ∈ ℕ ⇒ a + b ∈ ℕ és a ⋅ b ∈ ℕ;
2. a – b ∈ ℕ ⇔ a ≥ b;
3. a : b ∈ ℕ ⇔ b ≠ 0 és a-nak b-vel való osztási maradéka 0.
A maradékos osztás tétele: Bármely a és b, b ≠ 0, természetes számok esetében, egyértelmően léteznek a q és r természetes számok (hányados és maradék) úgy, hogy a = bq + r, ahol r < b. ● A hatványozás egy származtatott mővelet ℕ-ben. Következésképpen:
an =
tényezı
0
, ha 2
, ha 1
1, ha 0, azzal a megjegyzéssel, hogy 0 nem értelmezett.
n
a a a n
a n
n
⋅ ⋅ ⋅ ≥
= =
���������…
● Az összeadás és a kivonás elsırendő mőveletek, a szorzás és az osztás másodrendő mőveletek, a hatványozás pedig harmadrendő mővelet. ● A gyakorlatok elvégzésekor a mőveleteket a következı sorrendben végezzük: elıször a harmadrendő mőveleteket (hatványozás), majd a másodrendő mőveleteket (szorzás, osztás), EDITURA P
ARALELA
45
55
Matematika. VI. osz
tály
III. fejezet. EGYENLETEK ℚℚℚℚ+-BAN
Specifikus kompetenciák: � A pozitív racionális számokkal végzett műveletek szabályainak
alkalmazása x ± a = b; x ⋅ a = b; x : a = b (a ≠ 0), ax ± b = c típusú
egyenletek megoldására, ahol a, b, c pozitív racionális számok
� A tanult egyenletekkel megoldható feladatok megoldásának levezetése
a pozitív racionális számok halmazában
1. A pozitív racionális számok súlyozott számtani közepe Értelmezés. Adott n darab pozitív racionális szám, a1, a2, …, an, számtani középnek
nevezzük a számok összegének és az összeadandók számának hányadosát. A számtani középet ma-val jelöljük és:
1 2= .na
a a am
n
+ + +…
● Gyakorlatokban hasznos az az észrevétel, hogy ha ismert n szám számtani közepe, akkor a számok összege egyenlı a számtani közép és n szorzatával, vagyis:
a1 + a2 + … + an = ma ⋅ n.
Példa: Az 1
2,
2
5 és
7
4 számok számtani közepe egyenlı
1 2 7 10 8 35532 5 4 20= = =
3 3 60am
+ ++ +
.
● Tetszıleges pozitív racionális számok számtani közepe nagyobb vagy egyenlı, mint a legkisebb a számok közül és kisebb vagy egyenlı, mint a legnagyobb a számok közül.
Példa: A 2, 2, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 8 számok számtani közepe egyenlı 2 2 2 4 4 7 7 7 7 8 50
= = = 510 10am
+ + + + + + + + +.
Megfigyeljük, hogy egyes számok ismétlıdnek. Ebben az esetben, a számtani közép
könnyebben kiszámítható így: 3 2 2 4 4 7 1 8 50
= = = 53 2 4 1 10am
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +
. Ha egy vagy több
szám ismétlıdik, a számtani középet súlyozott számtani középnek nevezzük. Azt a számot, amely egyes számok gyakoriságát mutatja, súlynak nevezzük.
Értelmezés. Ha adottak az a1, a2, …, an pozitív racionális számok p1, p2, …, pn súlyokkal, akkor ezen számok súlyozott számtani közepe a következı képlettel számítható ki:
1 1 2 2.
1 2
= n na p
n
p a p a p am
p p p
⋅ + ⋅ + + ⋅
+ + +
…
… EDITURA P
ARALELA
45
120
Matematika. VI. osz
tály
Mértan
I. fejezet. AZ EGYENES Specifikus kompetenciák: ���� A síkidomok felismerése és leírása adott mértani alakzatokban
���� Az egyenes tulajdonságainak alkalmazása szakaszok hosszának
kiszámítására ���� Egyenesre vonatkozó fogalmak geometriai ábrázolása ���� A megfelelő geometriai ábrázolás megválasztása a szakaszok hosszának
a legkedvezőbb kiszámításához ���� A gyakorlati problémák mértani ábrázolásából leszűrt adatok értékelése
1. Pont, egyenes, sík; pont és egyenes kölcsönös helyzete; két egyenes kölcsönös helyzete
● A pont, az egyenes és a sík a síkmértani alapfogalmak. ● A pontokat nagy nyomtatott betőkkel jelöljük (A, B, C, …) és az 1. ábrán látható módon ábrázoljuk. ● Két pont lehet különbözı (A ≠ B) vagy egybeesı (C = D). ● A mértani alakzatok ponthalmazok. Ennek megfelelıen a halmazokra jellemzı mőveleteket végezhetünk velük (egyesítés, metszet, különbség). ● Az egyenesek jelölésére kis betőket használunk (a, b, c, …), ábrázolásuk a 2. ábrán látható. ● Egy pont hozzátartozhat egy egyeneshez vagy lehet az egyenesen kívül. A 3. ábrán, A ∈ d és B ∉ d.
● Az egyenes axiómája: Két különbözı ponton át egy és csakis egy egyenes húzható. ● Más szóval, két különbözı pont meghatároz egy egyenest. Az A és B különbözı pontok által meghatározott egyenes jelölése AB (4. ábra). ● Három vagy több pontot, amelyek egy egyenesen vannak, kollineáris pontoknak
nevezzük. Az A, B, C kollineáris pontok jelölése: , ,A B C (5. ábra).
5. ábra
B A
d
C
a
2. ábra
A •
B ×
1. ábra 3. ábra
× B
A
d
4. ábra
B
A
d
EDITURA PARALE
LA 45
270
Matematika. VI. osz
tály
Tartalomjegyzék ÉV ELEJI FELMÉRİ DOLGOZATOK ............................................................................... 5
ALGEBRA
I. fejezet. A TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
1. Mőveletek természetes számokkal. Hatványokkal végzett mőveletek szabályai ................ 9
2. Osztó, többszörös .............................................................................................................. 12
3. Oszthatósági szabályok 10, 2, 5, 3, 9 számokkal .............................................................. 14
4. Az oszthatósági reláció tulajdonságai ℕ-ben..................................................................... 16
5. Prímszámok, összetett számok .......................................................................................... 18
6. Az összetett számok felírása prímszámok szorzataként .................................................... 19
7. Két vagy több természetes szám közös osztója; ln.k.o. ..................................................... 21
8. Relatív prímszámok (Viszonylagos törzsszámok) ............................................................ 23
9. Két vagy több természetes szám közös többszöröse; lk.k.t.; a ln.k.o. és lk.k.t. közötti összefüggés ......................................................................................................... 24
10. Oszthatósággal megoldható egyszerő feladatok .............................................................. 26
11. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 28
12. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 28
II. fejezet. POZITÍV RACIONÁLIS SZÁMOKKAL VÉGZETT MŐVELETEK
1. Egyenértékő törtek; irreducíbilis törtek ............................................................................. 30
2. A racionális szám fogalma; egy racionális szám felírási módjai; ℕ ⊂ ℚ .......................... 33
3. A pozitív racionális számok összeadása ............................................................................ 36
4. A pozitív racionális számok kivonása ............................................................................... 39
5. A pozitív racionális számok szorzása ................................................................................ 41
6. Egy pozitív racionális szám természetes kitevıjő hatványa .............................................. 43
7. Hatványokkal végzett mőveletek szabályai ....................................................................... 45
8. A pozitív racionális számok osztása .................................................................................. 47
9. A mőveletek elvégzésének sorrendje ................................................................................ 49
10. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 52
11. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 53
III. fejezet. EGYENLETEK ℚℚℚℚ+-BAN
1. A pozitív racionális számok súlyozott számtani közepe ................................................... 55
2. Egyenletek a pozitív racionális számok halmazában ......................................................... 58
3. Egyenletekkel megoldható feladatok ................................................................................ 60
4. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ........................................................................... 63
5. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................... 64
IV. fejezet. ARÁNYOK ÉS ARÁNYPÁROK
1. Arányok ............................................................................................................................. 65
2. Százalékok. Százalékokra vonatkozó feladatok ................................................................ 69
3. Aránypárok; az aránypárok alaptulajdonsága .................................................................... 72
4. Egy aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása .................................................................. 73
5. Származtatott aránypárok .................................................................................................. 75
6. Egyenesen arányos mennyiségek ...................................................................................... 79
7. Fordítottan arányos mennyiségek ...................................................................................... 81
8. Az egyszerő hármasszabály .............................................................................................. 83
9. Az adatszervezés elemei; adatok ábrázolása grafikonok segítségével; valószínőség ........ 85 EDITURA PARALE
LA 45
271
Matematika. VI. osz
tály
10. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 90
11. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 91
V. fejezet. EGÉSZ SZÁMOK
1. Az egész számok ℤ halmaza; egy egész szám ellentettje; a számegyenesen való ábrázolás,
egy egész szám abszolút értéke; az egész számok összehasonlítása és rendezése ........... 93
2. Az egész számok összeadása; tulajdonságok .................................................................... 97
3. Az egész számok kivonása ................................................................................................ 99
4. Az egész számok szorzása; tulajdonságok ...................................................................... 100
5. Az egész számok osztása ................................................................................................. 102
6. Egy egész szám természetes kitevıjő hatványa .............................................................. 104
7. A hatványokkal végzett mőveletek szabályai .................................................................. 105
8. A mőveletek elvégzésének sorrendje .............................................................................. 107
9. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 108
10. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ............................................................... 109
VI. fejezet. EGYENLETEK ÉS EGYENLİTLENSÉGEK ℤℤℤℤ-BEN
1. Egyenletek ℤ-ben ............................................................................................................ 110
2. Egyenlıtlenségek ℤ-ben .................................................................................................. 113
3. Egy egész szám osztóinak halmaza; egy egész szám többszöröseinek halmaza ............. 115
4. Egyenletek segítségével megoldható feladatok ............................................................... 117
5. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 118
6. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 119 MÉRTAN
I. fejezet. AZ EGYENES
1. Pont, egyenes, sík; pont és egyenes kölcsönös helyzete; két egyenes kölcsönös helyzete ......................................................................................................................... 120
2. Félegyenes, félsík ............................................................................................................ 124
3. Szakasz. Egy szakasz hossza; két pont közti távolság ..................................................... 127
4. Kongruens szakaszok; egy adott szakasszal kongruens szakasz szerkesztése ................. 130
5. Egy szakasz felezıpontja; egy pont szimmetrikusa egy másik pont szerint .................... 132
6. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 135
7. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 136
II. fejezet. SZÖGEK
1. A szög. Osztályozás ........................................................................................................ 138
2. Szögek mérése szögmérıvel ........................................................................................... 141
3. Derékszög, hegyesszög, tompaszög; kongruens szögek .................................................. 143
4. Mőveletek a szögek fokban és percben kifejezett mértékeivel ........................................ 145
5. Egymás melletti szögek; egy szög szögfelezıje .............................................................. 147
6. Kiegészítı szögek; pótszögek ......................................................................................... 150
7. Csúcsszögek .................................................................................................................... 151
8. Egy pont körüli szögek .................................................................................................... 153
9. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 155
10. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ............................................................... 157
EDITURA P
ARALELA
45
272
Matematika. VI. osz
tály
III. fejezet. A HÁROMSZÖG. MERİLEGESSÉG
A. A HÁROMSZÖGEK KONGRUENCIÁJA ..................................................................... 159
1. Háromszög, alkotóelemek; kerület; a háromszögek osztályozása ................................... 159
2. A kör; értelmezés. Pont és kör kölcsönös helyzete. Két kör kölcsönös helyzete ............. 163
3. A háromszögek szerkesztése: O.SZ.O., SZ.O.SZ., O.O.O. esetek .................................. 165
4. Az általános háromszögek kongruenciája (egybevágósága) ........................................... 167
5. A háromszögek kongruencia (egybevágósági) esetei: O.SZ.O., SZ.O.SZ., O.O.O. ........ 170
6. A mértani gondolkodás elemei ........................................................................................ 172
7. A kongruens háromszögek módszere .............................................................................. 173
B. MERİLEGESSÉG ............................................................................................................ 176
1. Merıleges egyenesek; ferde egyenesek; egy pont távolsága egy egyenestıl .................. 176
2. A derékszögő háromszögek kongruencia esetei: Á.B., Á.SZ., B.B., B.SZ. .................... 179
3. A szakasz felezımerılegese; a felezımerıleges tulajdonsága; a háromszög oldalfelezı merılegesei ................................................................................................. 182
4. A tengelyes szimmetria ................................................................................................... 185
5. A háromszög magassága ................................................................................................. 187
6. A háromszög területe (szemléletesen egy négyzethálón) ................................................ 189
7. Egy szög szögfelezıje; a szögfelezı tulajdonsága .......................................................... 192
8. A háromszög oldalfelezıje .............................................................................................. 193
9. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 195
10. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ............................................................... 196
IV. fejezet. PÁRHUZAMOS EGYENESEK. A HÁROMSZÖGEK TULAJDONSÁGAI
A. PÁRHUZAMOSSÁG ......................................................................................................... 197
1. Két egyenesnek egy szelıvel alkotott szögei .................................................................. 197
2. Párhuzamos egyenesek; párhuzamos egyenesek szerkesztése; párhuzamossági axióma ........................................................................................................................... 200
3. Párhuzamossági kritériumok ........................................................................................... 203
4. Ismétlı feladatok ............................................................................................................. 206
B. A HÁROMSZÖGEK TULAJDONSÁGAI ...................................................................... 208
1. A háromszög szögeinek összege ..................................................................................... 208
2. Egy háromszög külsı szöge; a külsı szögre vonatkozó tétel .......................................... 210
3. Az egyenlı szárú háromszög tulajdonságai .................................................................... 211
4. Az egyenlı oldalú háromszög tulajdonságai ................................................................... 214
5. A derékszögő háromszög tulajdonságai .......................................................................... 216
6. Ismétlı feladatok ............................................................................................................. 219
7. Ismétlı feladatok és felmérı dolgozatok ......................................................................... 220
8. Matematika versenyekre felkészítı feladatok ................................................................. 221
VÁLTOZATOK FÉLÉVI DOLGOZATOKRA ........................................................ 223
ÉV VÉGI FELMÉRİ DOLGOZATOK ...................................................................... 229
ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK ...................................................................... 234
EDITURA PARALE
LA 45