viancy columnas r ii

7/23/2019 Viancy Columnas R II

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CARGA CRITICA DE PANDEO:

La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se

conoce como carga crítica de pandeo del elemento o carga de Euler.

Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin

imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud L, de sección

constante A e inercia I, constituido por un material lineal elástico cuyo módulo de

elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo

deslizante longitudinal.

Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresión en el extremo del

apoyo deslizante, y se le proporciona una elástica de deformación flexionante continua

similar a la que se obsera en piezas de libre rotación en sus extremos !elementos apoyados

" apoyados#, debido a la inestabilidad por pandeo.

El momento flector inducido por la deformación inicial, a una distancia x, determinado

sobre la pieza deformada !Teoría de Segundo Orden# es$

%!x, y# & ' . y



Las deformaciones transersales del elemento por el efecto de flexión se pueden describir

mediante la Ecuación General de la lexión, tomada de la (esistencia de %ateriales$

(eemplazando la ecuación de momentos flectores en la ecuación general de flexión, y

considerando la sección constante del elemento y un )nico matrial elástico, se obtiene la

siguiente ecuación diferencial$

!"" # C$ % ! & '

*onde C es siempre positia y se puede calcular con la expresión$

La solución a la ecuación diferencial planteada es$

! & A % Sen (C % x) # * % Co+ (C% x)

La condición de borde del extremo izquierdo impone que para x & ' + ! & ', de donde$

* & '

La solución simplificada es$

! & A % Sen (C % x)



La condición de borde del extremo dereco determina que cuando x & L + ! & ', por lo

que$

- & A . Sen !c . L#

. L & n . p

*espejando C$

Eleando al cuadrado$

*onde n puede tomar cualquier alor entero mayor o igual a / !n & /, 0, 1, ....#.

2gualando los alor definidos anteriormente para C$ se obtiene$

*espejando P de la igualdad, se obtienen las cargas axiales espec3ficas o carga+ crítica+ de

pandeo correspondientes a todos los modos de deformación por pandeo$

La menor carga cr3tica está asociada a n & ,, y corresponde al pri-er -odo de

de.or-ación por pandeo$



Las cargas cr3ticas para los restantes modos de deformación se obtienen con los otros

alores que puede tomar n !n & 0, 1, 4, ...#.

A continuación se presenta un gráfico que describe la geometr3a de las deformaciones

causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformación.

*ebe anotarse que, en el presente caso, la carga cr3tica de pandeo para el segundo modo de

deformación es 4 eces mayor que la carga cr3tica de pandeo para el primer modo de

deformación, y la carga cr3tica de pandeo para el tercer modo de deformación es 5 eces

mayor que la carga cr3tica de pandeo para el primer modo de deformación.

Es eidente que el primer modo de deformación controlará el pandeo de las columnas.

El segundo modo de deformación tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones

producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que

podr3a proocar un amortiguamiento temporal del primer modo de deformación en

elementos estructurales reales !no ideales#. Los restantes modos de deformación tienen una



utilidad estrictamente acad6mica, por lo que no son trascendentales para la práctica

ingenieril.

'ara otros tipos de condiciones de borde !bordes empotrados, bordes libres, bordes

elásticamente sustentados, etc.#, la ecuación básica de Euler para el primer modo de

deformación se e modificada por un factor de forma de la elástica de deformación que

afecta a la longitud de pandeo$

*onde / toma los siguientes alores para condiciones de borde bien definidas$

7arras apoyadas " apoyadas 8 & /.--

7arras empotradas en un extremo y libres en el otro 8 & 0.--

7arras empotradas en los dos extremos 8 & -.9-

7arras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro 8 &

-.:-



;eóricamente, una columna perfecta sometida a una compresión axial creciente, no deber3a

presentar ninguna se<al de deformación transersal asta que la carga axial iguale a la

carga cr3tica de pandeo correspondiente al primer modo, momento en el cual la estructura

pierde estabilidad y se pueden producir deformaciones transersales de cualquier magnitud

y en cualquier dirección, sin que el elemento sea capaz de recuperar su geometr3a original.

Este comportamiento teórico puede ser descrito mediante el siguiente gráfico.

En una columna real es imposible eitar la presencia simultánea de cargas axiales y

momentos flectores, por muy peque<os que sean estos )ltimos.

Existen excentricidades y momentos flectores inducidos por las imperfecciones de los

materiales constitutios de los elementos estructurales= producidos además por las

imperfecciones geom6tricas de las columnas durante el proceso constructio= generados

tambi6n por la incertidumbre acerca de la posición real de acción de las solicitaciones

exteriores= y, desde luego, proocados por el tipo de solicitaciones que act)an sobre la

estructura, por lo que, de+de el inicio del proce+o de carga0 la+ colu-na+ reale+

ad1uieren de.or-acione+ tran+2er+ale+ pe1ue3a+ 1ue +e 2uel2en cada 2e4 -5+

i-portante+ con.or-e la carga axial +e aproxi-a a la carga crítica de pandeo.

>na cura tipo que puede describir esquemáticamente la deformación transersal de una

columna real, en la que existen deformaciones transersales inclusie sin la presencia de

cargas axiales, es la siguiente$



E6E7PLO

alcular la capacidad de una columna de ormigón armado cuadrada, con ormigón de

resistencia a la rotura f?c & 0/- @gcm0, de 09cm x 09 cm de sección transersal, que tiene

cuatro arillas de acero de /B mm de diámetro, que está en oladizo y tiene una longitud de

/0 m.. *eterminar la carga cr3tica de pandeo de la columna si las cargas permanentes

representan la mitad de las cargas totales. >tilizar dos ipótesis de comportamiento del

ormigón para la definición de la carga cr3tica de pandeo$ ormigón no fisurado y

ormigón fisurado.



a% Capacidad re+i+tente de la colu-na

f?c & 0/- @gcm0

Cy & 40-- @gcm

0

Ag & 09 x 09 & B09 cm0

As & 4 x 0.-/ & D.-4 cm0

Ac & Ag " As & B09 " D.-4 & B/B.5B cm0

f & -.:-

La carga )ltima se calcula con la siguiente expresión$

'u & -.D- f !-.D9 f?c . Ac As . Cy#

'u & !-.D-# !-.:-#-.:- F !-.D9# !0/- @gcm0# !B/B.5B cm0#

!D.-4 cm0# !40-- @gcm0# G

Pu & 8'98$ g & 8'%; T

<% Pandeo con =or-igón no .i+urado:

A pesar de que los códigos de dise<o especifican que la carga

cr3tica de pandeo debe calcularse con el ormigón fisurado,

para efectos comparatios se calcula a continuación la carga

cr3tica de pandeo considerando que el ormigón a)n no se a

fisurado.

El módulo de elasticidad del ormigón no fisurado puede

calcularse mediante la siguiente fórmula que se especifica en



el ódigo Ecuatoriano de la onstrucción y en el ódigo

A2$

La inercia cr3tica, la longitud de la barra y el factor de forma

de pandeo son$

2c & !09# !09#1 /0 & 10990 cm4

L & /0-- cm

8 & 0

La carga cr3tica se determina mediante la ecuación de Euler$

Pcr & ,$,'> g & ,$%, T

c% Pandeo con =or-igón .i+urado:

El ódigo Ecuatoriano de la onstrucción y el A2

establecen que, para el cálculo de cargas de pandeo, debe

considerarse el módulo de elasticidad y la inercia del

ormigón armado fisurado, en lugar del módulo de

elasticidad y la inercia sin fisuración. El producto E%I de

columnas con ormigón fisurado puede calcularse

aproximadamente con la siguiente expresión establecida en el

A2$



*onde$

Ec & 0/:--- @gcm0 $ módulo de elasticidad del ormigón no

fisurado

Es & 0/----- @gcm0 $ módulo de elasticidad del acero de

refuerzo

2g & 10990 cm4 $ inercia de la sección de ormigón armado

2s & 490 cm4 $ inercia de la sección de acero de refuerzo

b d & '>,*'>,; & -.9- $ razón entre carga muerta y carga total

*e donde$

La carga cr3tica de pandeo se calcula con la ecuación de

Euler$

Pcr & $;?8 g & $%@ T%

Es importante obserar la gran diferencia que existe entre la capacidad resistente de los

materiales !D-.B ;#, la carga cr3tica de pandeo teórica de la columna con material no

fisurado !/0./ ;# y la carga cr3tica de pandeo HrealH de la columna !0.: ;#, que incluye el

fisuramiento, que siempre está presente en el ormigón.



uando se dispongan de las solicitaciones reales que act)an sobre los elementos

estructurales, se puede realizar un análisis más exacto de la inercia que debe ser utilizada en

las ecuaciones de pandeo, para lo que se deber3a calcular la posición del eje neutro, y

asumir que la región traccionada no colabora en la inercia de la sección transersal.

?%8 REERENCIAS:

5./ I. Jinter y A. Kilson, Proyecto de Estructuras de Hormigón, Editorial (eert6, S.A.

5.0 '. im6nez, A. Iarc3a y C. %orán, Hormigón Armado, %ateu romo, Artes Iráficas, S.

A.

5.1 (. 'ar8 y ;. 'auley, Estructuras de Concreto Reforzado, Editorial L2%>SA S. A.

5.4 H7uilding ode (equirements for (einforced oncreteH, American oncrete 2nstitute.

5.9 Hódigo Ecuatoriano de la onstrucciónH, 2nstituto Ecuatoriano de Kormalización.

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