VIBRACIONESCURSO:DINMICAANDRS CASTILLO SILVAESCUELA DE INGENIERA CIVILLICENCIADO EN FSICAMAGISTER EN INGENIERA AMBIENTAL

INTRODUCCINUna vibracin es el movimiento de una partcula que oscila alrededor de su posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y las prdidas de energa que las acompaa. Por lo tanto es necesario eliminarlas o reducirlas mediante un diseo apropiado.

El anlisis de vibraciones se ha vuelto cada vez ms importante en los ltimos aos debido a la tendencia actual para producir mquinas de alta velocidad y estructuras muy ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continuar y que una incluso mayor necesidad de anlisis de vibraciones se generar en el futuro.

Cuando sobre el sistema actan fuerzas restauradoras, se considera una vibracin libre. Cuando se aplica una fuerza peridica al sistema, el movimiento se describe como vibracin forzada. Cuando se ignoran los efectos de la friccin las vibraciones son no amortiguadas. Sin embargo, todas la vibraciones son en realidad amortiguadas. Trataremos al detalle cada vibracin, considerando su D.C.L., su ecuacin diferencial caracterstica con su solucin e indicaremos la frecuencia y periodo respectivamente.Otorgndole la importancia que se merece al tema, pues el viento, los movimientos telricos originan vibraciones que perjudican nuestras estructuras.

*Nuevos mtodos constructivos: SISTEMA DRYWALL

Entender cientficamente un fenmeno supone poder describirlo, explicarlo y predecirlo. Un modelo es el instrumento ideal del cientfico para describir, explicar y predecir. Por consiguiente entendemos algo si somos capaces de crear un modelo que reproduzca el fenmeno.

CLASES DE VIBRACIONES MECNICAS

TIPOS DE VIBRACINVibracin Libre.Cuando el movimiento se mantiene debido a fuerzas de restauracin gravitacionales o elsticas: Pndulo simple o sistema masa-resorte.F= KxW= mg

Vibracin forzada.Cuando una fuerza externa peridica o intermitente se aplica al sistema.

1. V. LIBRES NO AMORTIGUADAS2. V. LIBRES AMORTIGUADAS3. V. FORZADAS NO AMORTIGUADAS4. V. FORZADAS AMORTIGUADAS

V. LIBRE NO AMORTIGUADA (M.A.S.)Es la ms simple de las vibraciones, tambin se le denomina Movimiento Armnico Simple (M.A.S.), es un movimiento ideal, por que no consideramos las fuerzas de friccin, la nica fuerza que acta sobre la partcula que oscila es la fuerza elstica del resorte.A pesar de ser un movimiento ideal es muy estudiado, debido a que existen otros fenmenos que utilizan las mismas ecuaciones. Ejem: M.C.U.V., corriente alterna.

KSISTEMA MASA - RESORTESuperficie lisa

D.C.L.Es posible determinar la trayectoria del movimiento dependiente del tiempo usando la ecuacin de movimiento:(1)(2)WNReacomodando trminos:(3)

p es conocida como frecuencia circular (rad/s):La solucin general de la ecuacin diferencial homognea lineal es:donde A y B representan dos constantes de integracin. La velocidad y aceleracin sern:(4)(5)(6)(7)

Si la ecuacin (5) y (7) la reemplazamos en la ecuacin (3) se satisface la ecuacin diferencial y por lo tanto la ecuacin (5) representa la verdadera solucin de la ecuacin .La ecuacin (5) tambin puede expresarse en trminos de un movimiento sinusoidal simple:Donde C y son nuevas constantes por determinar en lugar de A y B. Al sustituir en (5) obtenemos:(8)(9)(10)

Como:(11)Sen(pt+)=Sen pt Cos+Cospt Sen,entonces:

Frecuencia (f): Es el nmero de oscilaciones por unidad de tiempo. Su unidad es s-1=hertzPeriodo (): Es el tiempo que el sistema demora en realizar una oscilacin completa. Su unidad es el segundo.(12)(13)

Estructura RgidaPeriodo CortoFrecuencia AltaEstructura FlexiblePeriodo LargoFrecuencia Baja

En conclusin cuando un sistema experimenta un desplazamiento inicial desde su posicin de equilibrio y es soltado vibrar con una frecuencia conocida como frecuencia natural (vibracin libre) y si no existe ninguna fuerza externa y la amplitud permanece constante, se dice que el movimiento es no amortiguado. Esta vibracin tiene un solo grado de libertad.

El mtodo de energa se refiere a otro mtodo para obtener la ecuacin diferencial del movimiento vibratorio libre no amortiguado. Como las fuerzas son conservativas podemos utilizar la ecuacin de conservacin de la energa para determinar la frecuencia natural o el periodo de vibracin del cuerpo.MTODO DE ENERGA(14)(15)

La ecuacin diferencial que describe el movimiento acelerado del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuacin con respecto del tiempo, es decir:Cmo la velocidad no siempre es igual a cero en un sistema vibratorioQue es similar a la ecuacin (4).(16)(17)

VIBRACIN FORZADA NO AMORTIGUADA

La vibracin forzada sin amortiguamiento es considerada uno de los tipos ms importantes de movimiento vibratorio en los trabajos de ingeniera. Los principios que describen la naturaleza de este movimiento puede ser usado para analizar las fuerzas que causan vibraciones en muchos tipos de maquinas y estructuras.VIBRACIN FORZADA NO AMORTIGUADA

El bloque y el resorte mostrado en la figura representa las caractersticas vibratorias de un sistema sometido a una fuerza peridica F = F0sen 0t. Esta fuerza tiene una amplitud de F0 y frecuencia forzada 0.FUERZA PERIDICA

El diagrama de cuerpo Libre para el Bloque cuando est desplazado una distancia x se muestra en la figura. Aplicando la ecuacin de movimiento resulta: (1-1)O bien:Figura 1-b(18)(19)(20)D.C.L.WN

Esta ecuacin es una ecuacin diferencial de segundo orden no homogneo. Su solucin general consta de una solucin complementaria xC , ms una solucin particular, xp (21)

La solucin complementaria se determina igualando a cero el trmino en el lado derecho de la ecuacin anterior y al despejar la ec. Homognea que es equivalente a la ecuacin (3), la solucin es la ecuacin (5)

(22)Donde p es la frecuencia natural, Como el movimiento es peridico, la solucin particular de la ecuacin (16) puede ser determinada suponiendo una solucin de la forma Donde C es una constante. Tomando la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituyndola en la ecuacin (16) obtenemos

(23)(24)(25)(26)Factorizando Sen wt y despejando C resultaSustituyendo en la ecuacin 18, obtenemos la solucin particular La solucin general es por tanto,

La vibracin resultante x se muestra en la figura c. Como todos los sistemas vibratorios estn sometidos a friccin, la vibracin libre, xc desaparecer con el tiempo. Por esta razn, a la vibracin libre se le llama Transitoria, y a la vibracin forzada se le denomina de estado estacionario ya que es la nica vibracin que permanece, figura (d).Vibracin resultanteVibracin estable

Esta ecuacin esta graficada en la figura 3, donde se observa que para w=0, MF=1A partir de la ecuacin (20) se observa que la amplitud de una vibracin forzada depende de la razn de frecuencias w/p. Si el factor de amplificacin FA se define como la razn de la amplitud de la vibracin de estado estable, (xp)max, a la deflexin esttica F0/k que seria producida por la amplitud de la fuerza F0 peridica, entonces, a partir de la ecuacin (21)(27)

Si la F o el desplazamiento son aplicados con una frecuencia cercana a la frecuencia natural del sistema, esto es, w/p=1, la amplitud de vibracin del bloque resulta extremadamente grande. Esto ocurre porque la F es aplicada al bloque de manera que siempre sigue el movimiento del bloque. Esta condicin se llama Resonancia, y en la prctica, la resonancia pueden causar efectos enormes y una falla rpida de las partes. Cuando la F cclica F=F0Senwt es aplicada a altas frecuencias (w>p), el valor del FM resulta (-) indicando que el movimiento del bloque esta fuera de fase con la F. Bajo estas condiciones cuando el bloque se desplaza hacia la derecha, la F acta hacia la izquierda y viceversa. Para frecuencias extremadamente altas (w>p), el bloque permanece casi estacionario y por consiguiente el FM es aprox igual a cero.

VIBRACIN LIBRE AMORTIGUADA VISCOSA

Debido a que todas las vibraciones desaparecen con el paso del tiempo consideramos en el anlisis la presencia de fuerzas de amortiguamiento.VIBRACIN LIBRE AMORTIGUADA VISCOSAAmortiguamiento debido a la resistencia que ofrece una sustancia, como el agua, aceite o el aire. Suponiendo que el bloque se mueve lentamente en una sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo, esta es una F amortiguada viscosa. La magnitud de esta fuerza se expresa as:(28)

En donde C es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento viscoso (N.s/m o lbf.s/pie)El sistema con amortiguamiento viscoso es:

D.C.L.WN(29)Aplicando la 2da ley de newton Esta ec. Diferencial lineal de 2do orden tiene soluciones de la forma:(30)(31)(32)

Es posible determinar el valor de al sustituir esta solucin en la ecuacin (31)(33)Como et nunca es cero, es posible obtener una solucin suponiendo que (34)(35)

por lo tanto usando la ecuacin cuadrtica, los valore de son(36)(37)La solucin general de la ecuacin (27) es una combinacin lineal de las exponenciales que involucran a ambas races. Existen tres combinaciones posibles de 1 y 2 , que deben tomarse en cuenta para la solucin general, pero antes definiremos el coeficiente de amortiguamiento crtico, cc, como el valor de c que hace que el radical en las ecuaciones (32) y (33) igual a cero es decir:(38)

(39)En este caso, el valor de p es la frecuencia circular.SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS: Cuando C > Cc, las dos races son realesEl movimiento que corresponde a esta solucin es no vibratorio. El efecto del amortiguamiento es tan fuerte que cuando el bloque se desplaza y libera, simplemente regresa a su posicin original sin oscilar. Se dice que el sistema esta sobreamortiguado.(40)

SISTEMAS CRTICAMENTE AMORTIGUADO: Cuando C = Cc, las dos races son igualesEsta situacin se conoce como amortiguamiento crtico, ya que representa una condicin en la que c tiene el valor mnimo necesarios para hacer que el sistema sea no vibratorio. Al utilizar los mtodos de las ecuaciones diferenciales, es posible demostrar que la solucin a la ecuacin (27) para el amortiguamiento crtico es:(41)

SISTEMAS SUBAMORTIGUADO: Si C

Grfica de una V. Libre Amortiguada

VIBRACIN FORZADA AMORTIGUADA VISCOSA

El caso mas frecuente de un solo grado de libertad ocurre cuando el sistema incluye los efectos de un mov forzado y amortiguamiento inducido. El anlisis de este tipo de vibracin tiene valor prctico cuando se aplica a sist con caractersticas importantes de amortiguamiento.VIBRACIN FORZADA AMORTIGUADA VISCOSAD.C.L.WN

(44)Si consideramos que sobre el cuerpo que oscila acta un resorte, un amortiguador y una fuerza peridica, la ecuacin que describe el movimiento ser:Es posible escribir una ecuacin similar para un bloque y un resorte que tenga un desplazamiento de apoyo peridico, ver figura, que incluye los efectos del amortiguamiento. En tal caso, sin embargo, F0 es reemplazado por k0.

VIBRACIN FORZADA AMORTIGUADA VISCOSAComo la ecuacin (44) es no homognea, la solucin general resulta de la suma de una solucin complementaria, Xc y una solucin particular Xp. La solucin complementaria se determina al igualar a cero el lado derecho de la ecuacin (44) y al despejar la ecuacin homognea que equivale a la ecuacin (31)

Slo seguir vigente la solucin particular, que describe la vibracin del estado estacionario del sistema.VIBRACIN FORZADA AMORTIGUADA VISCOSA(45)Como la funcin de la fuerza aplicada es armnica, el movimiento del estado estacionario tambin lo ser. Entonces la solucin particular ser de la forma:

Tambin es posible expresar la ecuacin (48), en forma similar a la ecuacin En cuyo caso las constantes Cy son:(46)(47)

El ngulo representa la diferencia de fase entre la fuerza aplicada y la vibracin resultante de estado estacionario del sistema amortiguado.(48)

El factor de magnificacin MF fue definido anteriormente como la relacin de la amplitud de la deflexin a causa de la vibracin forzada a la de flexin provocada por una fuerza esttica F0. Con base en la ecuacin particular la vibracin forzada tiene una amplitud de C, es decir: (49)

El MF trazado en la figura contra la relacin de frecuencias w/p para varios valores del factor de amortiguamiento C/Cc. De acuerdo con esta grfica, se observa que la magnificacin de la amplitud se incrementa a medida que se reduce el factor de amortiguamiento. Es obvio que ocurre cierta resonancia slo cuando el factor de amortiguamiento es cero y la relacin de frecuencia equivale a 1.

A continuacin mostramos ecuaciones diferenciales de los cuatro tipos de vibraciones, con slo mirarlas nos damos cuenta el tipo de vibracin:CONCLUSIONESV.L. No A.V.F. No A.V.L.A. viscosaV.F.A. viscosa

2.Las solucin de las ecuaciones diferenciales son:V.L. No A.V.F. No A.

V.L.A. viscosa(a) Si C>Cc: Sobreamortiguado(b) Si C=Cc: Crticamente amortiguadoCoef. amortiguamiento crtico(c) Si Cc>C: subamortiguado

V.F.A. viscosa

3.Si observamos las grficas, la amplitud en las vibraciones no amortiguadas no cambia, es constante, mientras que en las vibraciones amortiguadas la amplitud se reduce hasta anularse. 4.En las vibraciones libres no amortiguadas, la nica fuerza que acta sobre el sistema puede ser elstica o gravitacional. 5.Los parmetros importantes que debemos establecer para cada vibracin son la frecuencia y el periodo. Las edificaciones tienen su frecuencia natural de oscilacin, cuando ocurre un movimiento telrico y su frecuencia se igual a la frecuencia natural , se produce el fenmeno de resonancia que ocasiona daos severos en las edificaciones.

GRACIAS

Puentes con sistemas de amortiguacin para casos de movimientos y vibraciones (sismos, vientos huracanados y por sobre carga este sistema absorbe la fuerzas y las minimiza.

El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los extremos de la unidad. Esto ayuda a controlar el rebote y las sacudidas de las ruedas.

Hay muchas fuentes de vibracin, incluidos los movimientos de oscilacin de maquinarias y aparatos, masas mviles o partes articuladas desequilibradas o mal alineadas, golpeo o friccin entre varillas de acoplamiento y componentes, remolinos u ondas de presin en lquidos o gases que fluyen por los canales o conductos irregulares. Estas vibracin no es armnica.

1.Un peso de 2 lbf se halla suspendido de un resorte que tiene una rigidez K=2 lbf/pulg. Si el peso es empujado 1 hacia arriba a partir de su posicin de equilibrio y despus es soltado desde el reposo, determine la ecuacin que describe el movimiento, cul es su amplitud y frecuencia natural de vibracin?EJERCICIOSDatos:

2.Un pndulo tiene una cuerda de 0,4 m de longitud y recibe una velocidad tangencial de 0,2 m/s hacia la vertical desde su posicin =0,3 rad. Determine la ecuacin que describe el movimiento angular.Datos:

3.El bloque de 20 lbf est unido a un resorte que tiene una rigidez K=20 lbf/pie. Una fuerza F=(6 Cos 2t) lbf, donde t se expresa en segundos, se aplica al bloque. Determine la rapidez mxima del bloque despus que las fuerzas de friccin que provocan la vibraciones libres se amortiguan. Datos:

4.Determine la ecuacin diferencial de movimiento para un sistema de amortiguacin vibratorio mostrado. Qu tipo de movimiento ocurre?. Considere K=100 N/m, C=200Ns/m, m=25 kg.Datos:

5.El motor montado sobre un bloque de cimentacin que est apoyado en resortes. Describa la vibracin del estado estacionario del sistema si el bloque y el motor tienen un peso total de 1500 lbf . El motor, cuando se encuentran en funcionamiento, genera una fuerza F=(50 Sen 2t) lbf, donde t se expresa en segundos. Suponga que el sistema vibra slo en direccin vertical, con un desplazamiento positivo medido hacia abajo. Considerar la rigidez total de los resortes K=2000 lbf/pie.Datos:

6.El disco circular de 4 kg est unido a tres resortes, cada uno tiene una rigidez k=180 N/m. Si el disco est inmerso en un fluido y recibe una velocidad descendente de 0,3 m/s en la posicin de equilibrio, hallar la Ec. que describe el movimiento. Suponga que el desplazamiento positivo se mide hacia abajo y que la resistencia del fluido que acta sobre el disco proporciona una fuerza de amortiguamiento F=(60|v|)N, donde v se exprese en m/s.Datos:

7. Un elemento de mquina de 91 kg sostenido por cuatro resortes, cada uno de constante 175 N/m, est sujeto a una fuerza peridica de 0,8 Hz de frecuencia y 89 N de amplitud. Determine la amplitud de la fuerza fluctuante transmitida a la base si (a) un amortiguador con un coeficiente de amortiguacin c=365 N.s/m se conecta a la mquina y al suelo, (b) se quita el amortiguador.Datos:

8.Un bloque de 20 kg est sujeto a la accin de una fuerza armnica F=(90 Cos 6 t) N, donde t se expresa en segundos. Escriba la ecuacin que describe el movimiento del estado estacionario.Datos:

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