Una vibracin mecnica es la oscilacin repetida de un punto material o de un cuerpo rgido en torno a una posicin de equilibrio. En muchos dispositivos conviene que haya movimientos vibratorios y se generan deliberadamente: por ejemplo, el pndulo utilizado para regular un reloj, una cuerda pulsada de una guitarra o de un piano, el vibrador que se utilizada para dar una forma compacta al hormign, etc. En tales problemas, el ingeniero tiene por misin crear y regular las vibraciones. En cambio, en la maquinaria rotatoria y en las estructuras, la mayora de las vibraciones son nocivas. Si no se equilibran bien las piezas de una maquina rotatoria, vibrarn. Las vibraciones pueden resultar molestas para el operario de la mquina y daar a sta y a su apoyo. Las vibraciones que se producen en las estructuras a casusa de terremotos o de la circulacin de vehculos prximos puede daarla e incluso destruirla. En tales casos, la misin del ingeniero es eliminar las vibraciones (o, al menos, reducir todo lo posible su efecto) mediante un proyecto adecuado. Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rgido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibracin mecnica. Citemos algunos ejemplos:

1. Oscilacin horizontal de un cuerpo unido a un resorte (figura 21-1a) cuando se aparta de su posicin de equilibrio y luego se suelta.2. Oscilacin vertical de un trampoln o de una varilla (figura 21-1b) cuando se desplaza de su posicin de equilibrio y luego se suelta.3. Oscilacin circular de la lenteja de un pndulo suspendida por un hilo inextensible de peso despreciable (figura 21-1c) cuando se desplaza de su posicin de equilibrio y luego se suelta.La caracterstica comn de estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras que le hacen volver a su posicin de equilibrio (figura 21-2a). No obstante, cuando el cuerpo alcanza su posicin de equilibrio tiene velocidad no nula y sobrepasa dicha posicin (figura 21-2b). El proceso se repite cuando la fuerza recuperadora vuelve a actuar para volver el cuerpo a su posicin de equilibrio (figura 21-2c). El movimiento se repite una y otra vez y el cuerpo pasa en uno y otro sentido por su posicin de equilibrio.En muchos casos, la posicin, la posicin o el movimiento del cuerpo se pueden especificar por completo con una coordenada (posicin especfica x en la figura 21-1a; y en la figura 21-1b o en la figura 21-1c). Se dice entonces que estos cuerpos tienen un grado de libertad. En otros casos, el cuerpo puede vibrar independientemente en dos direcciones (figura 21-3a), o pueden conectarse dos cuerpos pero pueden vibrar independientemente en una sola direccin (figura 21-3b). Como se necesita dos coordenadas para especificar del todo la posicin o el movimiento de tales sistemas, se dice que stos tiene dos grados de libertad. Aqu slo trataremos sistemas de un solo grado de libertad.En la figura 21-4 podemos ver grficas del desplazamiento (x o y o ) respecto a la posicin de equilibrio en funcin del tiempo. Las oscilaciones que se repiten uniformemente, como son las representadas en las figuras 21- 4a y 21-4b, se denominan aperidicas o aleatorias. En esta oportunidad slo trataremos las vibraciones peridicas o aleatorias.Una caracterstica importante de una oscilacin peridica es su periodo , que es el menor tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento.

Al movimiento que se completa durante un periodo se le da el nombre de ciclo. El periodo se expresa en segundos por ciclo o, simplemente, ene segundos. La frecuencia f de una oscilacin es la inversa del periodo. (ecuacin 21-1)

O sea, es el nmero de ciclos por unidad de tiempo. La unidad de frecuencia, el ciclo por segundo (cps), recibe tambin el nombre de hertz (Hz). La amplitud A de una oscilacin es el desplazamiento mximo que sufre el cuerpo respecto a su posicin de equilibrio.Por ltimo veremos que el estudio de las vibraciones ser, simplemente, una aplicacin de los principios desarrollados anteriormente. En los captulos precedentes, la aceleracin se sola obtener slo para una posicin particular del cuerpo y en un instante particular. Ahora, se obtendr la aceleracin para una posicin arbitraria del cuerpo y luego se integrar para obtener la velocidad y la posicin en todos los instantes futuros.

21.2 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADASLas vibraciones mecnicas se clasifican en vibraciones libres (tambin llamadas vibraciones naturales o vibraciones propias) y vibraciones forzadas. Las vibraciones libres las originan y mantienen fuerzas tales como las fuerzas elsticas o las gravitatorias, las cuales slo dependen de la posicin y movimiento del cuerpo. Las vibraciones forzadas las originan y mantienen fuerzas peridicas aplicadas exteriormente, fuerzas que no dependen de la posicin ni del movimiento del cuerpo.Las vibraciones libres y las vibraciones forzadas se subdividen en amortiguadas y no amortiguadas. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora (rozamiento, resistencia del aire, amortiguamiento viscoso, etc.) sean despreciables, se dice que la vibracin es no amortiguada. Cuando no sean despreciables dichas fuerzas resistivas, se dice que la vibracin es amortiguada. Las vibraciones libres no amortiguadas se repiten a s mismas indefinidamente; las vibraciones libres amortiguadas llegaran a desaparecer.Est claro que todo sistema real contiene fuerzas de rozamiento que llegaran a detener las vibraciones libres. Sin embargo, en muchos sistemas la prdida de energa debida a la resistencia del aire, el rozamiento interno de los resortes u otras fuerzas resistivas es tan pequea que el anlisis basado en un amortiguamiento despreciable da, a menudo, resultados tcnicamente satisfactorios. En particular, la frecuencia y el periodo de oscilacin que se obtienen para un sistema animado de vibraciones libres tienen un valor muy prximo al que se obtiene para un sistema vibrante que tenga un amortiguamiento pequeo.

21.3 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASEl anlisis de las vibraciones libres no amortiguadas slo es una idealizacin de sistemas reales, ya que no tiene en cuenta las prdidas de energa en los rozamientos. Una vez en movimiento, esos sistemas idealizados vibraran indefinidamente con amplitud constante. Sin embargo, los sistemas reales pierden energa en los rozamientos y llegan a pararse a menos que exista una fuente de energa que los mantenga en marcha. Cuando la energa que pierda el sistema sea pequea, los resultados obtenidos en las vibraciones no amortiguadas estn a menudo de acuerdo con los sistemas reales, al menos durante intervalos de tiempo cortos. Para intervalos de tiempo ms prolongados y cuando las prdidas de energa no sean pequeas, habr que incluir los efectos de las fuerzas de rozamiento. Existen varios tipos de fuerzas de rozamiento que pueden robar energa mecnica de un sistema de vibracin. De entre las fuerzas de rozamiento ms comunes, podemos citar: el rozamiento fluido (tambin llamado fuerza de amortiguamiento viscoso), que aparece cuando los cuerpos se mueven a travs de fluidos viscosos; el rozamiento seco (tambin llamado rozamiento de Coulomb), Que aparece cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie seca, y el rozamiento interno, que aparece cuando se deforma un cuerpo slido. El amortiguamiento debido al rozamiento fluido es muy corriente en la prctica, y ser el que estudiaremos en esta oportunidad.21.3.1 Amortiguador viscoso linealEl amortiguamiento viscoso tiene lugar de manera natural cuando sistemas mecnicos tales como el pndulo oscilan en el aire o en el agua. Tambin presentan amortiguamiento visco los amortiguadores del tipo representado simblicamente en la figura 21-12 que se aaden a propsito a los sistemas mecnicos para limitar o regular vibracin. Consiste este tipo de amortiguador en un mbolo que se mueve en el interior de un cilindro lleno de un fluido viscoso. Al movimiento del mbolo se opone el fluido, el cual debe atravesar pequeos orificios practicados en aqul p circular por un estrecho huelgo del mbolo. Estos amortiguadores se utilizan en los cierres de puertas y para atenuar golpes. Tambin se utilizan a veces para representar las prdidas por rozamiento de sistemas en los que no hay dispositivos especficos de amortiguamiento. Por lo general, la masa del amortiguador, como la del resorte, suele despreciarse.Los amortiguadores viscosos que vamos a considerar son lineales. Es decir, el mdulo de la fuerza de amortiguamiento viscoso es directamente proporcional a la celeridad con que se extiende o comprime el amortiguador. (ecuacin 21.19)La constante de proporcionalidad c recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento viscoso. Su unidad en el sistema SI es el N. s/m y en el U.S. Customary system es la lb. s/ft. El sentido de la fuerza de amortiguamiento viscoso siempre es opuesto a la velocidad.21.3.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscosoPara ilustrar la vibracin libre con amortiguamiento viscoso, aadiremos al sistema bloque-resorte de la figura 21.5a un amortiguador, en la forma que se indica en la figura 21-13a. En la figura 21-13b podemos ver el diagrama de slido libre del bloque, en el cual ste se ha desplazado una distancia arbitraria en el sentido positivo de las abscisas. La fuerza recuperadora elstica del resorte est dirigida hacia la posicin de equilibrio (sentido negativo de las abscisas). Como los sentidos positivos de la velocidad y de la aceleracin coinciden con el de las abscisas, la fuerza amortiguadora tambin estara dirigida en el sentido negativo de las abscisas. Aplicando la segunda ley de Newton al bloque, tenemos la ecuacin diferencial de su movimiento. (ecuacin 21-20a)O sea (ecuacin 21-20b)Que es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.La teora de las ecuaciones diferenciales ordinarias nos dice que la solucin de toda ecuacin diferencial ordinaria con coeficientes constantes tiene siempre la forma (ecuacin 21-21)Donde las constantes D y deben satisfacer la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales. Aplicando la ecuacin 21-21 en la 21-20 tenemos la ecuacin caracterstica (ecuacin 21-22)

Que tiene por races (ecuacin 21-23)

El desplazamiento del bloque vendr entonces dado por (ecuacin 21-24)Donde las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales (en t = 0; x = = y y vienen dadas por la ecuacin 21-23.Sin embargo, antes de discutir la solucin vamos a escribir las races (ecuacin 21-23) en funcin de variables ms convenientes. La combinacin adimensional de constantes (ecuacin 21-25)se denomina razn de amortiguamiento. Escribindola en funcin de la razn de amortiguamiento y de la pulsacin propia la ecuacin 21-23 queda en la forma (ecuacin 21-26)El comportamiento del sistema depende de que la cantidad subradical de la ecuacin 21-26 sea positiva, nula o negativa. El valor de c que haga nulo el radical recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento crtico . Por lo tanto, (ecuacin 21-27)La solucin (ecuacin 21-24) tendr tres tipos de comportamientos totalmente distintos segn que el amortiguamiento real del sistema c sea mayor, igual o menor que .