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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS

ARMADAS

ESPE

DEPARTAMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICA

INGENIERÍA MECATRÓNICA

VIBRACIONES

VIBRACIÓN LIBRE DE UN SISTEMA TORSIONAL

SIN AMORTIGUAMIENTO

OVIEDO R., MICHELLE E.

NRC: 2295

20 DE MAYO 2015

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Contenido Marco Teórico ................................................................................................................................... 3

Aplicaciones prácticas: ................................................................................................................ 5

Solucion ecuación de movimiento del sistema: ....................................................................... 5

Ejercicios de Aplicación ................................................................................................................... 5

Bibliografía ......................................................................................................................................... 8

Índice de figuras

Figura 1. Sistema Torsional..................................................................................... 3

Figura 2. Resorte de Torsión ................................................................................... 4

Figura 3. Gráfico primer ejercicio ............................................................................ 5

Figura 4. Gráfico segundo ejercicio ......................................................................... 6

Figura 5. Gráfico tercer ejercicio ............................................................................. 7

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Marco Teórico

Se pueden utilizar ejes, para transmitir torque, en varios sistemas mecánicos como

son turbinas, motores, turbinas y sistemas de rotor de helicóptero. Estos sistemas

pueden ser afectados a una variación cíclica del torque que se transmite, esto

produce oscilaciones de torsión. Los ejes, debido a su flexibilidad generan pares

torsionales de restauración, los cuales dependen tanto de las dimensiones de los

ejes como de su valor de rigidez. (Shabana, 1996).

Figura 1. Sistema Torsional

El sistema que se muestra en la Figura 1 es un disco de masa que posee un

momento de inercia I. Un eje circular de longitud l y diámetro D soportan al disco;

al momento que el disco se somete a una rotación , el eje va a producir un torque

que tiende a regresar al disco a su posición original. Entre el torque T aplicado y el

desplazamiento angular existe una relación, la cual produce este movimiento,

ésta puede ser obtenida a través de tablas definidas en libros de resistencias

materiales de la siguiente manera:

Si se realiza un análisis mecánico para así poder determinar la ecuación del

movimiento angular obtendremos lo siguiente:

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Al aplicar la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación diferencial del

movimiento angular:

Y la frecuencia natural del sistema:

√

El momento de inercia del disco es:

Dónde:

: densidad de la masa

h: espesor

D: diámetro

W: peso del disco

Si se tratara de un resorte de torsión tenemos que la rigidez viene dada por

.

(Rosenthal, 2013).

Figura 2. Resorte de Torsión

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Aplicaciones prácticas:

Los relojes mecánicos, los cuales son péndulos torsionales (rueda de trinquete

convierte la oscilación del péndulo en movimientos de las manecillas) son una de

las aplicaciones prácticas reales que se pueden encontrar. (Rao, 2012).

Solucion ecuación de movimiento del sistema:

Para la solución de las ecuaciones de movimiento de este tipo de sistemas se

parte de condiciones iniciales donde se deben hallar los valore A y B para hallar la

ecuación general:

Al obtener A y B y reemplazando:

Ejercicios de Aplicación

1. Una viga de acero de 1 m de largo soporta una masa de 50 kg en su

extremo libre como se muestra en la figura. Encuentre la frecuencia natural

de vibración transversal del sistema.

Figura 3. Gráfico primer ejercicio

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Resolución:

(

)

(

)

√

√

2. Un cuerpo rígido pivotes en un punto, mientras que el centro de masa oscila

bajo la fuerza de la gravedad. Este sistema es conocido como péndulo

compuesto. Encontrar la frecuencia natural del sistema.

Figura 4. Gráfico segundo ejercicio

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Resolución:

√

3. Calcule la ecuación diferencial de movimiento del sistema de la siguiente

figura:

Figura 5. Gráfico tercer ejercicio

Resolución:

es la deflexión de la polea con el peso mg:

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Bibliografía

Shabana, A. (1996). Theory of Vibration: An introduction. Chicago, Estados

Unidos: Springer.

Rao, S. (2012). Vibraciones Mecánicas. México: Pearson.

Rosenthal, G. (24 de Septiembre de 2013). Acústica y vibraciones mecánicas.

Recuperado el 19 de Mayo de 2015, de http://granulares.frlp.utn.edu.ar/wp-

content/uploads/Sistemas-de-un-grado-de-libertar.pdf