Vibraciones amortiguadas.

Problemas resueltos:

1.-El disco escalonado de 40Lb de la figura 10.12 se libera del reposo con el resorte no estirado. Determine la posición del centro del disco en función del tiempo si R=1 pie, K=10Lb/pie, C=4 Lb-s/pie, y el momento de inercia en función de la masa m del disco es, I=3mR²

Solución:

Sea X el desplazamiento hacia abajo del centro del disco respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado. De la posición del centro instantáneo del disco (fig. a), podemos ver que la razón a la que el resorte se estira es 2(dx/dt) y la razón a la que el elemento amortiguante se alarga es 3(dx/dt). Cuando el centro del disco se desplaza una distancia x, el alargamiento del resorte es 2x. dibujamos el diagrama de cuerpo libre del disco de la fig. (b) que muestra las fuerzas ejercidas por el resorte, el amortiguador y la tensión en el cable. Por la segunda ley de newton,

Mg- T- 2Kx- 3c dx/dt= m d²x/dt²

Y la ecuacion del movimiento angular es:

RT– R(2Kx) – 2R(3c dx/dt)= (3mR²) α.

La aceleracion angular esta relacionada con la aceleracion del centro del disco por α= (d² x/dt²)/R.

Sumando la ecuación del movimiento angular a la segunda ley de newton, obtenemos la ecuación

de movimiento.

4m d²x/dt² + 9c dx/dt + 4kx= mg.

Hacienda en esta ecuacion d²x/dt² y dx/dt igual a cero, determinamos que la posición de equilibrio del disco es X= mg/4K. plantiando la ecuación del movimiento para la variable X> = x – mg/4K, obtenemos

d² X> /dt² + (9c/4m) dX> /dt + (k/m) X> =0

Esta ecuación es idéntica en forma a la Ec. (10.16), donde las constantes d y ω son:

d= 9c/8m = (9)(4)/(8)(40/32.2)= 3.62 rad/s.

ω= √k /m = √10

( 4032.2 ) = 2.84 rad/s.

El amortiguamiento es supercrítico, por lo que el movimiento es descrito por la Ec. (10.24) con h=

√d2−ω2 =2.25 rad/s:

X> = C e−(d−h )t + De−(d+h) t = Ce−1.37 t + De−5.87 t

La velocidad es:

d X> /dt = –1.37Ce−1.37 t –5.87 De−5.87 t

En t=0, X> = –mg/4k = -1 pie y d X> /dt =0. De estas condiciones obtenemos C=-1.304 pies, por lo que la posición del centro del disco respecto a su posición de equilibrio es:

X> = –1.304e−1.37 t + 0.304e−5.87 t pie.

En la figura 10.13 mostramos la grafica de la posición para los primeros cuatro segundos del movimiento.

2.-Un ingeniero que diseña un sistema aislante de vibraciones para la consola de un instrumento modela esta y el sistema de aislamiento por medio del oscilador resorte-masa amortiguado de la fig. 10.14(a) con masa m= 2 kg, k= 8 N/m y c= 1N-s/m. Para determinar la respuesta del sistema a vibraciones externas, el supone que la masa esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar, y que en t=0 se aplica la masas de la fuerza.

F(t)= 20 sen 4t N.

(a) ¿Cuál es la amplitud de la solución particular (estado permeante)?(b) ¿Cuál es la posición de la masa en función del tiempo?

Solucion:

(a) La frecuencia circular natural del sistema no amortiguado es ω = √k /m = 2 rad/s. y la constante

d = c/(2m)= o.25 rad/s. por tanto la amplitud de la solución particular es:

Ep= α 0

√(ω2 –ω20 )2+4 d ²ω ² 0 =

10

√[ (2 )2−(4 )2 ]+4 (0.25 )2(4) ² =0.822 m

(b) Como d<ω, el sistema esta subcriticamente amortiguado y la solución homogénea esta dada por

la Ec. (10.19). la frecuencia circular del sistema amortiguado es ωd=√ω ²−d ² =1.98 rad/s, por lo

que la solución homogénea es:

Xh= e−0.25 t(A sen 1.98t +B cos 1.98t)

De la Ec. (10.30), la solucion particular es:

Xp= –0.811 sen 4t– 0.135 cos 4t

Y la solución completa es:

X= Xh + Xp

=e−0.25 t(A sen 1.98t + B cos 1.98t) – 0.811 sen 4t – 0.135 cos 4t

En t=0, X= 0 y dx/dt= 0. Usando estas condiciones para determinar las constantes A y B, obtenemos A= 1.651 m y B= 0.135m. La posición de la masa en función del tiempo es:

X= e−0.25 t(1.651 sen 1.98t + 0.135 cos 1.98t)

–0.811 sen 4t – 0.135 cos 4t m.

3.- Para medir el desplazamiento de un cuerpo se puede usar un oscilador resorte-masa amortiguado, o un dispositivo que se pueda modelar como ese tipo de oscilador. Supongamos que la base del oscilador de la fig.10.19 esta unida a un cuerpo, la coordenada Xi es un desplazamiento por medir respecto a un marco de referencia inercial, y X mide el desplazamiento de la masa respecto a la base. Si X=0, el resorte no esta estirado. Suponga que el sistema esta inicialmente en reposo y que en t=0 la base se somete al movimiento oscilatorio.

Xi= ai sen ω i t +bi cos ω i t.

Si m= 2 kg, K= 8 N/m, C= 4 N-s/m, ai= 0.1m, bi= 0.1m, y ωi=10 rad/s. ¿Cuál es la amplitud de estado permanente resultante del desplazamiento de la masa con respecto a la base?

Solucion:

La aceleración de la masa respecto a la base es d²x/dt², por lo que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es (d²x/dt²) + (d²Xi/ dt²). La segunda ley de newton para la masa es:

-c dxdt ²

–Kx= m (d ² xdt ²

+ d ² Xidt ²

¿

Podemos escribir esta ecuación como:

d ² xdt ²

+ 2d dxdt ²

+ ω²x =a(t)

Donde d= c/2m = 1 rad/s, ω= √k /m= 2 rad/s, y la función a(t) es.

a(t) = -d ² Xidt ²

= aiω²i sen ωi t + biωi² cos ωi t.

asi obtenemos una ecuación de movimiento idéntica en forma a ala del oscilador resorte-masa sometido a una fuerza oscilatoria. Comparando la Ec.(10.38) con la Ec.(10.27) obtenemos la amplitud de la solución particular (estado permanente) a partir de la Ec. (10.31) haciendo a0= ai ωi², b0= bi ωi² y ω0= ωi:

Ep= ωi ²√ai2+bi2

√(ω2 –ωi2 )+4d ²ωi ²

Por tanto, la amplitud del estado permanente del desplazamiento de la masa respecto a su base es:

Ep= (10 )2 √(0.1 )2+(0.1) ²√¿¿¿

= 0.144m.