vibraciones-torsionales

Mecnica: Ejercicios Vibraciones Torsionales-Ejes5 Ao Mecnico

Vibracin libre no amortiguadaDefiniciones import ntesx(t) ! x0 cos [n t 2 2 0

& x0 s n[n t [n

Periodo natural de vibracin: Es el tiempo en [s]) requerido por una estructura sin amorti uamiento para completar un ciclo en 2T Tn ! vibracin libref ! n 1 Tn

& x x [ x(t) ! x 0 s n [n t rct 0 n & x0 [n

n

!

k m vm ! xm

1 f ! n Tn am ! xm

Frecuencia natural de vibracin: Es el inverso del periodo natural. Se mide en Hertz [Hz] (ciclos por segundo):

f ! n

n

2T

m

2 n

La vibracin natural solo depende de la masa y la rigidez del sistemaMecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 20102 de 43

n

Vibracin libre amortiguada& & & mx cx kx ! 0 [n ! k m

con x ! eP t mP 2 cP k ! 0c k si ! 0 p c | ccr ! 2m[n m 2m c c y definiendo ^ ! "factor de amortiguamiento" ! ccr 2m[n2

c c k P! s 2m 2m m

2

Razn de amortiguamiento

^ !

c c ! ccr 2m[n

& & & 2 x 2^[n x [n x ! 0 x ! x0 eMecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 2010c t 2m

sen [d t J 3 de 43

Vibracin libre amortiguada& & & 2 x 2^[n x [n x ! 0x (t ) ! e^[n t

x (0) ^[n x (0) & x (0) cos [d t sen [d t [d

x ! x0 e

Mecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 2010

[d ! [n 1 ^ 2

c t 2m

sen [d t J

4 de 43

Vibraciones TorsionalesConsideremos un sistema compuesto por un disco circular en un extremo de un eje. El disco posee un momento de inercia I sobre el eje de rotacin. A su vez, el eje tiene una constante torsional k. Si la masa rota en un ngulo 0 y liberada se genera una vibracin torsional. Tpicamente la inercia del eje puede ser despreciable en muchos casos.

&! IU& kU

Esto es similar al movimiento armnico de masa-resorte.

[n !

k I

La rigidez torsional del eje, k, es igual al T aplicado dividido por el ngulo de giro.

k!

GJ L


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Vibraciones TorsionalesG es el mdulo de rigidez del material, J es el momento de inercia polar y L es el largo del eje.

&t &t ( ( 7M ! kTU (t) ! IcgE ! IcgU& ) U& ) !

kT U (t)I cg kT I cg

[ 2 U (t) ! kT U (t) I cg

[ ! kT [n ! s I cg2 n

U(t) = A cos [t + B sen [t

dU/dt = [(-A sen [t + B cos [t) d2U/dt2 = -[2(A cos [t + B sen [t)


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Vibraciones: Constantes de resortesLos elementos de resorte que hemos considerados son del tipo ideal y por simplificacin su masa no tiene influencia, esto es su contribucin se limita al aporte de rigidez del sistema y no a su masa. Entre otros, ejemplos de elementos ideales tenemos: 1. Resorte helicoidal k = (d4G)/(8D3N)donde d = dimetro del alambre D = dimetro medio de la espira G = mdulo de corte o rigidez N = nmero de espiras activas

2. Varilla: rigidez axial k = (AE)/LA = rea de la seccin E = mdulo de Young L = largo varilla donde J = momento inercia polar G = mdulo de corte o rigidez L = largo varilla

Varilla: rigidez torsional k = (GJ)/L


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Vibraciones: Constantes de resortes

4. 5.

Viga voladizo con carga en extremo k = (3EI)/L3 k = (48EI)/L3 donde I = momento inercia sobre eje neutro Viga simplemente apoyada con carga central Viga empotrada en ambos extremos con carga central k = (192EI)/L3 Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro con carga central k = (768EI)/7L3

6.

7.


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Vibraciones-Torsin: ejes de secciones diferentesEjemplo Genrico de un sistema de torsin con dimetro no constante.

Ejes cilndricos compuestos de largo l1 y dimetro d1 y largo l2 y dimetro d2 se puede reemplazar por l1 of dimetro d1 y un largo l de dimetro d1 donde, para la misma rigidez o material del eje igual:4 d2 d14 ! l2 l

p

d1 le ! l1 l2 d2

4

Por tanto el eje equivalente de largo le y dimetro constante d1 es:

d le ! l1 1 l2 d2

4

GJ k ! GJ k !L L


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Constantes de resortes: ejemploEn ocasiones es necesario alterar la frecuencia vibracional de un sistema o disear un sistema con una frecuencia fundamental especfica. Un ejemplo tpico de esto es el diseo de tacmetros que miden an base a vibraciones. Este es un instrumento manual que posee de 5 a 10 vigas en voladizo sintonizadas a frecuencias especficas. Cada lector es una viga en voladizo con un pequeo peso en su extremo libre que se utiliza para sintonizar y la viga y actuar como un indicador.

L x Y Y0 M

10Mecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 201010 de 43

Constantes de resortes: ejemploPara disear un lector, se debe determinar la masa dinmica de la viga en voladizo. Para esto primero se debe determinar la deflexin dinmica de la viga. Una buena aproximacin es usar la funcin de la deflexin esttica bajo las mismas condiciones de carga. Para este caso se tiene: donde y0 = deflexin mxima x = punto de anlisis l = largo de la vigax l 3

Px 2 3l x y! 6EI2 1 y [3 x y! 0 2 l

]

L x Y Y0

1 & T ! m y 2 dx 2 04 5 6 l 1 m 2 x x x & T! y0 9 6 dx 2 4 l l 0 l

l


Por tanto las relaciones de velocidad y energa cintica seran:

1 y [3 x 2 & y! & 2 0 l

x l

3

]

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Constantes de resortes: ejemploO

El resultado muestra que menos de de la masa de la viga tiene movimiento suficiente para contribuir a la vibracin. Ahora se requiere determinar la cantidad de masa , M, que se debe agregar al extremo de la viga para producir una frecuencia fundamental de 20 Hz si: b = 0,635 cm; h = 0,1016 cm; l = 8,89 cm;K= 0,07655 N/cm3; E = 20 1010 N/m2

V= 0,57355 cm3 p P=0,04391 [N] m = 0,07655 [N/cm3]0,57355 [cm3]/9,81 [m/s2]=0,044756 kgL x Y Y0


& T ! 1 ml y02 9 2 4 5

1

1 7

& & & ! 1 33 ml y02 ! 1 33 mVIGA y02 ! 1 meff y02 2 140 2 140 2

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Constantes de resortes: ejemploDe los valores indicados: ml = 0,00475 kg; I = 0,0000555 x 10-8 m4; k = 473,96 N/m; Que permite determinar la masa efectiva y, por tanto, la masa a agregar:

k fn ! 1 m 2T eff meff ! M 33ml ! 3 3EI 2 ! 472,36 ! 0,029913 140 l 4T 2 f n (4T 2 ) 400 M ! 0,029913 0,0010130 ! 0,0289kg

L x Y Y0 M


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Constantes de resortes: ejemploPara el pndulo horizontal indicada, la barra AB es rgida y uniforma y posee masa. Determinar la frecuencia de vibracin si: l = 0,3 m; a = 0,15 m; mbarra = 10 kg; M = 7 kg; k = 2 kN/m

k aA

l

B

M

Para una perturbacin pequea se tiene para la EDM:

& U& I A ! ka U a

& U& ka U ! 0 IA 2

I | meff l 2 A


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Constantes de resortes: ejemploIA = [M + (1/3)(mbarra)] (l)2 IA = [7 + (1/3)(10)] (0,3)2 = 0,930 kg m2El movimiento armnico tendr una frecuencia:

1 k a 2 Hz f= 2T I A

1 2000 0,15 Hz fn = 0,93 2T f n ! 1,07 Hz

2


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Vibraciones en EjesTodos los ejes, aun sin cargas externas, se deforman durante la rotacin. La magnitud de la deformacin depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y de las piezas que se le aaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotacin y del amortiguamiento presente en el sistema.

Representacin de comportamiento whirling:

La deformacin, considerada como una funcin de la velocidad de giro del eje, presenta sus valores mximos en las llamadas velocidades crticas. Un sistema de 1 masa, ser un sistema de 1 GDL, y tendr 1 velocidad crtica. Para sistemas de n masas, esto es n GDL, habrn n velocidades crticas Normalmente, slo la velocidad crtica ms baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen relevancia. Las otras son generalmente tan altas que estn muy alejadas de las velocidades de operacin.Mecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 201016 de 43

El modelo ms simple de un rotor se muestra en la figura, consiste de una masa rgida m montada sobre un resorte lineal con constante k; considerando la segunda ley de Newton:

& & m x(t) k x(t) ! f (t) xLa primera velocidad crtica puede ser estimada a partir de:

[n =

k m

r s

fn =

1 2T

k Hz m

o expresado en rpm

N = 60 fn rpm

k=2kbPara un rotor flexible montado sobre descansos rgidos simples:A B

k=

48EI l317 de 43


Sin embargo, un modelo tan simple posee una serie de limitaciones: El modelo de ecuacin solo modela vibraciones en un plano (xz en este caso), y los rotores giran en orbitas. 2. La combinacin de las vibraciones en los planos xy y yz pueden producir varios tipos de orbita: crculos, elipses, lneas. Lo anterior se supera al considerar un modelo con 2 grados de libertad, uno en cada plano:

& & m x(t) k x(t) ! f (t) x & & m z(t) k z(t) ! f (t) z& & Mx K x ! f

1 0 M ! m 0 1

1 0 K ! k 0 1

f (t) f!x f z (t)

x(t) x! z(t)


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La vibracin tiene como causa ms comn el desbalanceo. Si el punto pesado para t=0 es: me 2 e x e

x0 (0) ! 0

y

cos [t p f ! me[ 2 [ (t ) ! [ j sen[t En el caso del rotor rgido en descansos flexibles se puede tener que las rigideces son distintas en los planos xz e yz, por tanto:

k x K! 0

0 kz


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As, tendramos:

[ [ x(t ) ! x0 cos [ t p x(t ) ! e x 2 cos [ t [ 1 [x [ [ z sen [ t z (t ) ! z0 sen [ t p z (t ) ! e 2 [ 1 [z 2

2

[ [ x0 ! e x 2 [ 1 [x [ [z z0 ! e 2 [ 1 [z 2

2

[x !

kx m

[z !

kz m


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Vibraciones en EjesEn la primera velocidad crtica, la flexin del eje sigue la forma ms sencilla posible. En la segunda, la flexin sigue la segunda forma ms sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparacin con la del eje), se deforma segn la configuracin mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad crtica respectivamente.

Primera velocidad crtica

Segunda velocidad crtica


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Vibraciones en EjesPara un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequea en comparacin con la masa que lleva unida:

La tabla siguiente indica la velocidad crtica fundamental . Normalmente la masa del eje o cilindro rotante se desprecia, de lo contrario debe considerarse agregar entre y 1/3 de la masa del eje a la masa de la carga. Las frmulas de la tabla consideran E=29106 [lb/in2]. Aunque un eje con varias masas puede tener un alto nmero de velocidades crticas, la ms importante en diseo es la primera crtica o fundamental.Mecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 201022 de 43

Vibraciones en Ejes1 velocidad crtica: eje con cargaConfiguracin carga Carga total W Ecuacin Descansos

N ! 2.232.500

d2 l W ld l2Descansos de soporte

l

N1 ! 4.760.000

Carga total W

d2 N ! 4.979.250 l W l N1 ! 10.616.740 N ! 795.200 d l2

Descansos fijos

l Carga total W

d2 l W l d l2Un descanso fijo y extremo libre

l

N1 ! 1.695.500

N =velocidad crtica, RPM N1 = velocidad crtica del eje solo d = dimetro eje, in W = carga en el eje, lb l = distancia entre centros descansos, inhttp://www.engineersedge.com/bearing/critical-speed-distributed-load.htm


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoBajo la situacin de deflexin esttica, se puede calcular la frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexin esttica. As pues, si es la deflexin esttica y g es la aceleracin de la gravedad, la constante de resorte bajo la situacin de deflexin esttica, se puede calcular la frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexin esttica.

f ! n

[n 1 ! 2T 2T

g H

la conservacin de la energa del sistema cumplir con la siguiente condicin:

T(t) (t) ! cteo bien

d _T(t) (t)a ! 0 dt


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoSiendo T y V la energa cintica y energa potencial del sistema, respectivamente. Recurdese que si el sistema mecnico posee un movimiento armnico y libre de amortiguamiento (o de otras solicitaciones no conservativas),

d _T(t) V(t)a ! 0 * dtconduce a que la energa potencial se transforma totalmente en energa cintica y viceversa, es decir que se tiene:

Tmax ! Vmax

* E.Lagrange, recordar : d xT xT xD xV ! Qj & & dt xxj xxj xxj xxj donde

T p E.Cintica;V p E.Potencial;D p funcin de disipacin1 & ej. : 2 cx2 ; Q p trabajo externo;xj p coord.generalizada)


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoEjemplo: Empleando el mtodo de energa deducir la frecuencia natural flexional de un eje de longitud L simplemente apoyado que soporta en el medio del tramo un rotor de masa M. El eje tiene una rigidez flexional EI.

EI

M


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoEjemplo:EI

La solucin puede obtenerse de

f ! nM

[n 1 ! 2T 2T

g H

Y considerando que:

L3 H ! 48EI

con P ! M g

Sin embargo esta ltima expresin no contempla la distribucin de masa del eje. Por otro lado, la frecuencia natural se podra haber obtenido a partir de Tmax = Vmax teniendo presente que la energa cintica mxima y la energa potencial mxima vienen dadas por:


f ! n

1 [n ! 2T 2T

48E I ML

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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoTmax !Como:

1 2 M [n2vmax 2

1 2 Vmax ! kvmax 2

Tmax ! Vmax

[n !

k ! M

48EI M L3

dado ue : k !

P P 48 EI 48EI ! ! 3 H PL L3


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoSistema de masas concentradas en un eje: usando el mtodo de la energa Eje simplemente apoyado con un par masas rotantes adosadas (poleas o engranajes o volantes, etc).

para hallar la frecuencia crtica o natural a partir de la metodologa energtica se debe conocer una configuracin de los desplazamientos Los desplazamientos estticos, q e se pueden determinar conociendo los pesos de las masas, lo q e permite calcular la energa potencial mxima y la energa cintica mxima vienen, que estn dadas por:

Vmax ! Tmax

1 1 k1 x12 k2x22 ! 2 Px1 P2x2 1 2

2 1 1 [n 2 2 2 & & ! m1 x1 m2 x2 ! Px12 P x2 1 2 2 2 g

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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoDonde P1 y P2 son los pesos de las masas y n es la frecuencia circular crtica. De manera que se puede despejar la frecuencia crtica como:

1 [ f ! n ! n 2T 2T

g P x1 P x2 1 2

P x1

2

1

2 P x2 2

bien en el caso que el sistema tenga una cantidad arbitraria de masas condensadas, la expresin de clculo se desprende inmediatamente del procedimiento precedente. De manera que para N masas condensadas la frecuencia crtica del eje est dada por la siguiente expresin, tambin llamada ecuacin de Rayleigh:

[ 1 f ! n ! n 2T 2T

g P xi ii !1

N

P xi2 ii !1

N


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoLa ecuacin de Rayleigh sobrestima el valor de la frecuencia natural ya que los desplazamientos efectivos son mayores que los empleados en la ecuacin, es decir los estticos. La siguiente expresin, denominada ecuacin de Dunkerley (W.T. Thomson, Teora de Vibraciones: Aplicaciones), permite establecer una cota inferior para el clculo de la frecuencia crtica.

1 ! [ n2

1 [2 i !1 i

N

Donde n es la frecuencia circular crtica del sistema, en tanto que i es la frecuencia circular crtica de la i-sima masa actuando por si sola en el sistema y en ausencia de las restantes.


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Frecuencias crticas en ejes: clculo simplificadoObviamentei se

puede calcular empleando

f! i

[i 1 ! 2T 2T

g H

La razn por la cual la ecuacin de Dunkerley da una cota inferior de la frecuencia crtica verdadera reside en el hecho que se emplea la deflexin de una de las masas actuando por si sola. Observaciones:

Tanto la ecuacin de Dunkerley cuanto la de Rayleigh no contemplan la masa asociada al eje, que puede incluirse como en el Ejemplo siguiente. Este efecto puede ser de mucha importancia si el eje es relativamente grueso. Las ecuaciones de Dunkerley y Rayleigh estn limitadas para condiciones de borde sencillas (simplemente apoyadas, o empotradas) en cada extremo de manera que se sepa el desplazamiento flexional en todo el sistema. Adems el modelo de estudio es regido por la teora de vigas de Bernoulli-Euler. Es claro que un eje que porta masas adosadas tambin est rotando y este aspecto debe tenerse en cuenta para poder determinar con mayor detalle el patrn vibratorio el sistema


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Clculo simplificado: EjemploCalcule la frecuencia natural del sistema del ejemplo de una masa, pero considerando ahora el efecto de la masa m del eje. Este problema se puede resolver teniendo presente que la deflexin a lo largo de la viga viene dada por:

x ! xmax

3x L

3 x 4 L

con x e

L 2

Luego la energa cintica mxima de la masa del eje se tiene que integrar empleando:

Temax

1 L /2 m & 1 17 & ! 2 x2dl ! mx2 max 2 0 L 2 35 1 1 17 2 2 2 M[n xmax m[n2xmax 2 2 35

Luego la mxima energa cintica total del sistema para el movimiento armnico viene dada por:

Tmax !

Tmax !

1 1 17 1 2 2 2 2 M[n xmax m[n2 xmax ! Mef[n2xmax 2 2 35 233 de 43


Clculo simplificado: EjemploMef ! M 17 m 35

Lo cual de acuerdo al ejemplo del eje con una masa:

f ! n

[n 1 ! 2T 2T

48E I Mef L3


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Ejemplo simple: Mtodo de RayleighDeterminar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado en figura

(t) ! Tmax !Segn el mtodo:

0

sen[n t

& ! (t)20

0

[n cos [n t

1 1 2 m & ! m max 2 2

[n2

Vmax !

1 k 2

20

1 m 2

20

2 [n !

1 k 2

20

p [n !

k m


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Se desea construir un modelo de la viga simplemente apoyada de la figura : Una forma compatible de deformacin es un semi-seno:

A

B

y(x)

x y0 sen l

donde x es la posicin medida desde un extremo y l es la distancia entre apoyos. Tal deformada se muestra en figura

A

B

Una forma alternativa es suponer una parbola:

y(x)

y0

x x-l l l

Al suponer una forma de vibrar, la deformacin del sistema puede ser expresada como el producto entre una funcin que depende de la posicin (la forma de vibrar) y otra que 40 k depende del tiempo:

y(x,t)

y(x) q(t)

Donde y(x) es asumida y q(t) es incgnitaMecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 201036 de 43

Obtener

n

de la viga indicada, asumiendo una ecuacin de deformacin tipo semisenoidal

x y(x) = y0 sen l Tratndose de un sistema conservativo y 1 GDL para q(t) tendramos:

q(t)= sen [n tPor tanto:

Tx & y(x,t)= y0 sen sen[nt p y(x,t)= [n y(x) cos [nt l Para la E. Cintica:

1 Tmax = 2

M

1 2 & ymax xm = 2

M

m y 2 (x) xx l


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l x2 y 2 1 & Vmax = EI 2 ymaxxx 2 xx

Tmax ! Vmax

x2 y EI x x2 x x 4 EI EI EI 2 [n ! l !T p [ n ! 97 ,4 3 ! 9,87 ml 3 ml ml 3 m 2 y (x) l xxM

2


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Desequilibrio de parDos desequilibrios pueden tener el mismo valor, pero en su posicin angular estar exactamente 180 desfasados el uno del otro. La distribucin del desequilibrio no producir ninguna oscilacin pendular y se tiene equilibrio esttico, ya que el rotor libre no tomar una posicin determinada.

http://www.equilibrar.net/

El rotor girando tambalea alrededor de un perpendicular al eje de giro, los dos desequilibrios realizan un par, por lo tanto a este tipo de distribucin se le denomina "desequilibrio de par". Para la correccin de este tipo de desequilibrio se requiere un par contrario, lo que implica dos correcciones de desequilibrio igual de grandes, correspondientes al desequilibrio inicial, en los que ambos niveles de compensacin sern desplazados unos 180.Este tipo de desequilibrio adquiere especial importancia en rotores alargadosMecnica - Vibraciones ESING M. Tubino S. - 201039 de 43

Desequilibrio dinmicoEn un eje con masas o en un rotor real no se presenta solamente un desequilibrio, sino tericamente infinitos, distribuidos aleatoriamente a lo largo del eje de giro. Estos se pueden representar por dos desequilibrios resultantes en dos planos cualesquiera, los que por general tienen valores y posiciones angulares distintas.

Debido a que esta condicin de desequilibrio slo puede ser verificada slo bajo rotacin, estamos en `presencia de un desequilibrio dinmico. Se divide en un desequilibrio esttico y en uno de par, pudiendo predominar uno u otro. Para la correccin completa del desequilibrio dinmico se requieren dos planos de compensacin. El desequilibrio dinmico aparece prcticamente en todos los rotores o ejes con masas tipo volantes, hlices, etc.40 de 43


Mquinas Balanceo Dinmico Procedimiento para balanceo Cigeales, ejes con masas se balancean dinmicamente en dos planos para eliminar el bamboleo Las correcciones se aplican en los contrapesos de los extremos


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Mquinas Balanceo DinmicoProcedimiento para balanceo Dimensiones requeridas: Radio desde el centro de los contrapesos Distancia entre los contrapesos Distancia entre los contrapesos y los descansos


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Mquinas Balanceo DinmicoProcedimiento para balanceo

El equipo de balanceo ubica el punto de correccin Peso es agregado en un lado o removido del otro Distancia entre los contrapesos y los descansos Tamao del peso depende del radio


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