vibration of structures - 上智大学理工学部機械工学科suemasu/files/vibration...

日本大学大学院振動工学特講1

講師：上智大学末益博志[email protected]

振動工学特講（日本大学大学院機械）


第１章序論

1.1 はじめに

1.2 力学を学ぶための準備

第2章一自由度系の振動

2.1 振動方程式

2.2 非減衰自由振動

2.3 減衰振動

2.4 強制振動

2.5 一般の加振力に対する振動

2.6 非周期的外力による過渡応答

2.7ラグランジェの運動方程式

第3章多自由度系の振動3.1 振動方程式3.2 二自由度系の固有振動問題3.3 二自由度系の非減衰振動3.4 二自由度系の減衰振動3.5 二自由度系の強制振動3.6 多自由度系のラグランジェの運動方程式

第4章連続体の振動4.1 弦の振動4.2 棒の縦振動4.3 棒のねじり振動4.4 棒の曲げ振動

第5章構造物の振動の近似解法5.1 Rayleighの方法5.2 Ritzの方法5.3 有限要素法

第6章動的応答のシミュレーション計算法

6.1 Euler法6.2 Newmarkの法6.3 線形多自由度過程のシミュレーション

― 目次 ―


第1章序論


1.1 はじめに

機械・構造設計のために必要な知識と関連する科目

材料力学、弾性学、構造力学、破壊力学、振動工学、材料工学、生産工学設計関係科目・・・・・・・・

知っていれば、知っているほど有利。技術力=知識の総合

力


振動現象

振動（と思われる）現象を列挙しよう例

• 振子• 乗り物でエンジンの振動• 乗り物の揺れ・・・・

• 電波？音？地震？

振動を発生させる物理的要因⇒ 質量と元に戻そうとする力


機械工学と振動• 振動すると性能を達成できない場合• 破壊に至る振動• 快適さに影響する振動

不快な状況の発生（騒音の発生源）心地よい振動（ゆりかご）

• 周期を利用する時計

振動を抑制する振動を制御する

振動を理解する

7

1.2 力学を学ぶための準備

1-2-1 運動を表す位置と変位

時刻 t [s] の位置 x(t)時刻 t + t [s] の位置 x(t + t) = x + x

位置 x

A'A

変位 x位置 x+xO

速度：位置の変化率

時間t [s] 間の平均速度

txv

瞬間の速度（位置の変化率）

dtdxx

txv

t

0

lim

加速度：速度の変化率

瞬間の加速度

xva

vtva

t

0

lim

xv なので

[m/s]

[m/s2]

x

A

A

t t+t

t

x

x

t

x+x点Aでの接線

vB

t t+t

t

v

t

v+v点Bでの接線

B

v

第一法則（慣性の法則）

外力の作用を受けない限り質点は永久に静止するかまたは等速直線運動をする．

第二法則（運動の法則）

質量 m の物体に力Fを作用させた時，物体には,加えた力Fの向きに力に比例し，質量に反比例する加速度aを生じる

F=ma

運動量 mv の変化する割合は、外力の大きさに比例し、変化する方向は外力の方向と同じである．

第三法則（作用と反作用の法則）

作用と反作用は常に同じ作用線上に生じ，その大きさは互いに等しく向きは反対である．

9

1-2-3 Newtonの運動の法則

Fv mdtd

10

1-2-4 運動方程式

fdt

xdm 2

2

m tff

運動方程式

初期条件

00 , vdtdxvxx

日本大学大学院振動工学特講 11

例題1-1 t=0でx=0，v=0の質量m kg の物体がT秒間一定の力f0 Nを受けたとする。変位履歴x(t)を求めよ。

解答

fdt

xdm 2

2

運動方程式

解は

t=0の条件より、C1=C0=0t=T での変位・速度連続なので

tTTtf

f

0

00

tTCtC

TtCtCtfmx

23

012

0 021

20

20

202

03

2023

211

21

121

Tfm

Tfm

Tfm

C

Tfm

C

Tfm

CTC

tTTtTfm

Tfm

Tttfmx

02

0

20

121

021

よって


例題1-2 質量1kgの物体が摩擦のない水平面上に置かれている(t=0でx=0, v=0)。図に示すような力を受けたとする。変位履歴x(t)を求めよ。

T(sec)

O 2 8

2N


速度は、連続

[解答]

力の履歴は

運動方程式

1082110

822

2021

32

2

12

tCtt

tCt

tCt

x

10834615

822

2061

632

52

43

tCttt

tCtt

tCt

x

よって変位は

1081082220

ttttt

f

fx 変位は、連続

534 C

3260

27251261320

341664

6

6

C

C

1083

26034561

82322

2061

23

2

2

tttt

ttt

tt

x


0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10

x

f


問題1-1 質量1kgの物体が摩擦のない水平面上を定速度で運動している(t=0でx=0, v=1 m/s)。図に示すような力を受けたとする。変位履歴 x(t) を求めよ。

T(sec)

O 24

5 N

- 5 N


第２章 1自由度系の振動

2.1 振動方程式下向きを正として

位置をx(t)と定義

慣性力

減衰力

(粘性減衰 )ばね力 – kx外力 F(t)

2

2

dtxdmxm

dtdxcxc

tFkxxcxm (1)

k：spring constantc : viscous damping coefficientm : mass

振動方程式（d'Alembert’s principle）

k

mx

c

F(t)

tfxxx 2002

m

tFtfmc

mk

,2, 02

0

(1')


2.2 非減衰自由振動

020 xx

振動方程式

一般解

tBtAx 00 sincos

初期条件 x=x0, v=v0 at t=0

ta

tvtxx

0

00

000

cos

sincos

ここで

00

01

2

0

020

tanx

v

vxa

0,0 tf

単振動 or 調和振動 (simple harmonic motion)

0：円振動数(circular frequency or angular frequency)

a : 振幅 (amplitude)T = 2/0 : 周期 (period)f = 1/T ：振動数 (frequency)：初期位相

(2)

(3’)

(3)


【問題】振子問題をばねと質量の系で表記する

θ

mg

l

k= ?m = ?


【問題】放物線状(y=ax2)の床上にある物体の運動方程式を求めよ。

y=ax2

x

y

x

y=ax2


tBtAetx t 20

20 1sin1cos0 (4)

mkc

2.3 減衰振動

F=0 のとき、(1)式の解は、

mkc 2 のとき振動解

mkc 2 のとき非周期的な減衰解

tt eBeAtx 21

22

1 4112 c

mkmc

(4')

減衰係数比 (damping ratio)

係数A,Bは、初期条件により決まる定数である


一周期前後の振幅の比

2

00

0 1

2

eee

er TTt

t

一定

対数減衰率

212log

2

r

(5)

(6)

減衰率が小さい場合


減衰係数を変えて自由振動をプロットすると

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20

振幅

時間 t

γ=0.02 γ=0.05 γ=0.1

tetx t 20 1cos0

指数関数的に振幅が減少


tBtBe

eCeCe

eCeCx

t

titit

tt

02

202

1

12

11

21

1sin1cos0

02

02

0

21

２階の微分方程式{ f(t)=0 の時の解を求める }支配方程式に x=etを代入する

0

22

02

1

200

2

200

2

1

1

02

02

i

i

e t


例題初期値 x=x0, v=0 at t=0、および外力 f=0 のとき、 = 0 および= 0.01のときの振動履歴を横軸に0t をと

って図示せよ。

2201

202

10

002

202

102

02

202

10

1002

202

10

1,

1

1cos1sin1

1sin1cos00

1sin1cos0

0

0

0

BxB

BB

tBtBe

tBtBex

BtBtBexx

tt

t

tt

解答初期条件より、未定係数は

ttxx 02

202

0 1sin1

1cos

よって


tBtAe

txtxt 2

02

0

0

1sin1cos

)cos(0

(8)

2.4 強制振動

周期的な加振力

F(t)=F0cost

が作用したときの応答は

時間が十分たった後、第2項は0に近づく。

(7)

2220

21

1

stxx (9)

212tan

=/ 0， xst = F0/k

xst (= F0/k): 静的な力を受けたときの応答

x0/ xst : 振幅の拡大率


共振曲線が最大になる無次元振動数

(9)式をで微分することにより導かれる。

221 r 共振振動数

(11)

(10)

共振振幅

kFx 0

20121

問題 t =0で x=v = 0、 = 0, = 0.01としたときの振

動履歴を図示せよ。


演習問題

バネ定数k=10N/mm，質量m=1kgとする。

(1)周期と固有振動数を求めよ。

(2)加振力が

F=0.1sin(80t) （N)

のときの十分時間がたって後の振幅を求めよ。

m

k

x


共振曲線

振幅x0と静的な場合の変位xstとの比

1で振幅が非常に大きくなる

共振(resonance)


2.5 一般の加振力に対する振動

周期 T＝2/の加振力は

とFourier級数で展開できる。

各成分に対する応答を前節と同様にして求め、得られた解

を足し合わせることによって求める解が得られる。共振点に近い成分が大きくなる。

(12)

1

0 sinsinn

snsn tnftnfftF

t

F


2.6 非周期的外力による過渡応答

(1) ステップ力

(1)式の一般解は、初期条件が x=dx/dt=0の場合

000

0 tFt

tF

te

kFtx

t2

020 1cos

11

0

20

1tan

kF

(13)

(14)


ステップ応答と減衰関数

0

1

2

0 2 4無次元時間 0t

無次元ステップ応答

=2

=1

=0

=0.1=0.2=0.4=0.6

=0.8

入力


(t) : ディラックのデルタ関数

(t)=0 when t0

tem

th t 202

0

1sin1

1 0

(2) 衝撃力

tCtF

1

dtt

tt

1/t(t)

t>0

(15)

(16)

C = 1 の時の解は

単位インパルス応答関数(unit impulse response function)

衝撃力の作用は、C/mの初速度が与えられた問題と等価である。


から+の間に F(t)のインパルスが作用するとすると

考えると、全応答はこれらのインパルスに対する応答の和になる。時刻tでの応答は、単位インパルス関数を用いて

(3) 任意外力

t+

F(t)

F(t)

t

dtthtx0

(17)


ｰ <t<で定義された関数f(t)に対して

dtetfF ti

(4) Fourier変換

をf(t)のFourier変換という。逆変換の公式は、

deFtf ti

21

数学の教科書では、演算の対称性を考えて1/2の代わりにを用いる場合が多い。2/1

(18)

(19)


H() : 周波数応答関数(frequency response function)

インパルス応答関数と周波数応答関数はFourier変換の対を成す

deHth

dtethH

ti

ti

21

(5) 単位インパルス応答関数と周波数応答関数

F(t)=eitの場合の応答は

x(t)=H()eit

teim

H t 20

022

0

1sin2

1 0

(20)

(21)

(22)


2.7 一自由度系のラグランジェの運動方程式

一由度の振動系

運動エネルギー

ポテンシャルエネルギー

Lagrange関数 (Lagrangian) L=T－V

m

k

2

21 xmT

2

21 kxV

運動方程式は、

FxL

xL

dtd

FkxxmxL

xL

dtd

kxxLxm

xL

dtdkxxmL

,,21

21 22

(23)

(24)

(25)

(26)


第3章多自由度系の振動

3.1 2自由度の振動系

質量が2個ある系(２自由度系)を考える。

振動方程式

tFxkxkxcxcxm

tFxkxkxcxcxm

222212122212122

121211121211111

ここで

k11=k1+k2, k12= k21=－k2, k22=k2c11=c1+c2, c12= c21=－c2, c22=c2

k1

m1

x1

c1

F1(t)k 2

x2

c 2

F2(t)

m2

行列を用いて表すと

2

1

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1

2

1

00

FF

xx

kkkk

xx

cccc

xx

mm

または

Fxxx KCM


3.2 二自由度系の自由振動

振動方程式

初期条件

02211

2211

tatVxVxXxXx

角振動数で振動すると仮定

tt sincos BAx

初期条件から

0at tVxX,x

0 xx KM

tt

sin1cos VXx

本式を振動方程式に代入し整理すると

0sin1cos2

ttKM

VX


21

21122

2

22

1

11

2

22

1

112

2

212 4

21

mmkk

mk

mk

mk

mk

常に成り立つためには

したがって

tttt 222

22111

11 sin1cossin1cos

VXVXx

ここで、

12

211

122

12

22

1221

2121

,

,

mkk

c

kmkb

X

X

VVVXXX

b, cは、上式を満たすように決められる定数である。Vの成分比も同様


titi eAxeAx 2211 , を(7)式に代入する。

02

12

12221

122

111

tie

AA

mkkkmk

A1, A2がともに0でない解を持つためには

0222221

122

111

mkk

kmk

021122

2222

111 kkmkmk

3.2 2自由度系の固有振動問題外力と減衰力を０とおき(cij=Fi=0）、

固有値問題


11

21

12

kmk

ii

X

2つの固有振動モード

固有振動モードで固有振動数にしたがって振動する場合、振動させる力がなくても解が存在してもよいということを意味している。任意の多自由度系に関しても連立方程式の式数が増えるだけでほとんど同じ手順により固有振動問題を取り扱うことができる

(i =1, 2)

２つの固有振動数

21

21122

2

22

1

11

2

22

1

112

2

21 4

21

mmkk

mk

mk

mk

mk

12

112

1

kkm i

iXor


例題 k1=k2=k, m1=m2=mの場合を考えよう。このとき

この解より、一次の低い固有振動では、質量1と2は同位相で振動し、二次の固有振動では、質量1と2は逆位相で振動することが分かる。

mk532

2

21

15

1,

151

21 XX


例題連成振子の振動図のように長さlの棒でつるされた質量mのおもりを吊るし

た振子がある。おもりがばね定数 k のばねで結合している場合を考えよう。それぞれの回転角を1，2とする。

1 2

m m

k

l l


１,2のおもりに関して水平方向の変位は、それぞれl1, l2なので、振動方程式を書くと、

0

0

21222

2

21121

2

kmgdt

dml

kmgdt

dml

1 2

m m

kl l

1=1eit, 2=2eitを代入すると

0

0

12

1

212

mlkmgk

kmlkmg

固有振動数方程式は、

0222 kmlkmg


固有振動数

mlkmg

lg 2, 21

振動履歴

tBtAtBtA

tBtAtBtA

22

222

211

211

22

22

122

111

111

11

sincossincos

sincossincos

これらの係数は、初期の条件より決まる。


0, 21021 のとき、

0, 21

21

110

11 BABA

したがって t1021 cos

0, 21021 のとき、

0,2 21

110

21

11 BBAA

したがって

tttt

tttt

00210

2

00210

1

insinscoscos2

coscoscoscos2

2,

221

021


3.3 二自由度系の固有モード展開

2つの固有振動モードは

00

0

2

1

2212

1211

2

1

2

1

xx

kkkk

xx

mm

12

211

122

12

22

1221 ,

mkk

kmk

XX

振動応答xは

2

1

21

XXx


固有振動モードのベクトルを用いると

fxx KM TT

21

22112

2121

22

21221

2122

0

0

mkmkm

mkmkm

MT

22

21

22112

2121

21

22

21221

2122

12

2112

122

12

21122

22

1222

122

22

12211

0

0

20

02

mkmkm

mkmkm

mkkmkk

mkkmkk

KT

22

2222

112

111~

~

fM

fM

よって


3.4 多自由度系の振動

Lagrange関数(Lagrangian) L=T－V

運動方程式

kkk

QqL

qL

dtd

nn

nn

qqqqqqqqVVqqqqqqqqTT

,,,,,,,,,,,,,,,,,,

321321

321321

(26)

(27)

ここで、Qkは、qkに対応した一般化力である。

自動的に支配運動方程式が導かれることが分かる｡本式で運動方程式が与えられることはHamiltonの原理と呼ばれる変分原理から証明されるが、ここでは省略する。


例題図に示された系のラグランジェ関数を求め、ラグランジェ関数を使って振動方程式を導出せよ

m

k

m

k

m

k


一定の張力Tで引っ張って両端を固定した弦（単位長さあたりの質量）

x

z w

x=0T Tx=lx

z w

x=0T Tx=l

第4章連続体の振動4.1 弦の振動

微小要素での力の釣り合い

02

2

2

2

tw

xwT


応答wをw(x,t)=W(x)q(t)のように変数分離して

22

2

2

2

2

2

2

20

qtq

Wdx

WdT

tqWq

dxWdT

2は、定数

0

0

22

2

2

2

2

qtq

WTdx

Wd

求める一般解は、

q=A1cost A2sint

x

TCx

TCW sincos 21

定数が、調和振動の円振動数を表す。


両端で固定

0sincos

0

21

1

lT

ClxT

CW

CW

自明でない解を持つための条件

nlT

固有振動数nと固有振動モード n

lxnxT

ln

nn

sin,

この結果より、弦の張力を大きくするほど高い振動数で振動する


4.2 棒の縦振動

一端固定他端自由の棒を考える。ヤング率E、密度、長さl、断面積Aとする。

微小要素に関する釣り合いより

u dxxuu

P

x

dxxPP

xP

tuA

2

2

内力と変形の関係

xuEAEAAP

棒の振動方程式

02

2

tuA

xuEA

x


求める一般解は、u=W(x)q(t)

q=A1cost A2sint

x

ECx

ECU sincos 21

変数分離して

x=0で固定、x=lで自由

0cossin

0

21

1

lEE

ClxEE

CdxdU

CU

自明でない解を持つための条件

nlE

2

固有振動数nと固有振動モード nは

lxnxE

ln

nn

21sin,


4.3 棒の曲げ振動

xx=0

x=lz, w

両端単純支持のはりを考える。断面のモーメントをM、せん断力をQ、z方向の変位をw、ヤング率をE、密度を、長さをl、断面積をA、断面二次モーメントをIとする。

微小要素に関するz方向の運動方程式を書くと、

M dxx

MM

Q

x

dxxQQ

xQ

twA

2

2

内力と変形の関係は

2

2

xwEI

xxMQ


はりの自由振動の方程式は、

02

2

2

2

2

2

twA

xwEI

x

w=W(x)q(t)と変数分離し整理すると

22

2

2

2

2

2

qdt

qd

AWdx

WdEIdxd

0

0

22

2

22

2

2

2

qdt

qd

AWdx

WdEIdxd

q=A1cost A2sint

曲げ剛性EIが定数の場合

lxC

lxC

lxC

lxCW sincossinhcosh 4321

ここで

EIl 42

4


(1) 両端単純支持の場合（境界条件）

lxatdx

WdW ,002

2

0sincossinhcosh0sincossinhcosh

00

4321

4321

31

31

CCCCCCCC

CCCC

本式が自明でない解を持つための条件

0sin =n (n=0,1,2,････)

固有振動数nと固有振動モードW n

lxnxWEI

ln

nn

sin,2

2


(2) 一様断面片持ちはりの場合

境界条件

lxatMQ

xatdx

dWW

0

00

Q：せん断力、 M：曲げモーメント

2

2

3

3

dxWdM

dxWdQ

一般解を代入すると

0cossincoshsinh0sincossinhcosh

00

4321

4321

42

31

CCCCCCCC

CCCC


01coscosh

1=1.875, 2=4.694, 1=7.855,････････

固有振動数nと固有振動モードW nは、

EIln

n 2

2

lx

lxK

lx

lxW nnnnn sinsinhcoscosh

nn

nn

nn

nnK

coscoshsinsinh

sinsinhcoscosh


境界条件自明でない解を持つ条件振動数係数

固定～固定cosh cos 1=0 4.730, 7.853, 10.996

自由～自由

固定～単純支持 cosh sin sinh cos=0 3.927, 7.069, 10.210

単純支持～単純支持 sin =0 , 2 , 3

固定～自由 cosh cos +1=0 1.875, 4.694, 7.855

一様断面はりの振動数係数と境界条件


例題1 一様断面か保ち張りの固有振動数を振動モードW(x)=W0[1-cos(x/2l)] を仮定してRayleighの方法を用いて求める。

（解答）モード関数と境界条件の関係は？

x=0で明らかに W=dW/dx=0x=l で

02

sin2

02

cos2

3

03

3

2

02

2

lEIW

dxWdEIQ

lEIW

dxWdEIM

正解042.1664.3

2cos1

21

2cos

221

2

21

0

20

24

EIl

dxlx

dxlx

lEI

l

l

幾何学的境界条件は満たしているが、力学的な境界条件は満たしていない

よって


（例題 2）先端に集中質量を持つ一様断面片持ちはりの固有振動数の近似値を先端に集中荷重が作用したときのたわみ形状

W(x)= W0{２-3/3} =x/l

を用いてRayleighの方法で求める。

（解答）集中質量の運動エネルギーを考えて

l

l

lWMdxW

dxdx

WdEI

0

22

0

2

2

2

2

)(21

21

21

140334201

2

EIl

l

M

0

=1のとき

EI

l 21558.1

正解1.557との差は0.1%程度である。


Rayleighの方法は固有振動数の近似計算法の元祖

で簡単な割には精度がよいが求まるものは再提示の固有振動数だけであり、固有振動モードに関する情報はまったく得られない。


問題長さl、曲げ剛性EI，単位長さあたりの質量μの片持ちはりの固有振動数を

(1)変形をW(x)=Cx2と仮定してRayleighの方法で求めよ。

(2)変形をW(x)=a1x2+ a2x3と仮定してRitzの方法で求めよ。


問題一様断面はりの固有振動係数を求める方程式を導け。

x

AB

2ll


問題一様断面はりの固有振動係数を求める方程式を導け。

x

AB

2ll

q=A1cost A2sint

0sincossinhcosh

0sincossinhcosh

4321

4321

xlxB

lxB

lxB

lxB

xlxC

lxC

lxC

lxC

W

EIl 42

4

一般解は、


連続および境界条件は、

x=0でW=0、W’およびモーメントW’’の連続

3131

4242

31

31

00

BBCCBBCC

BBCC

0sincossinhcosh0sincossinhcosh

4321

4321

CCCCCCCC

x=lでW=W'' =0

x=lでW’’=W’’’=0

0cossincoshsinh0sincossinhcosh

4321

4321

BBBB

BBBB


この式を整理すると、

4242

1133

BBCCCBBC

0coscoshsinsinh

0sinsinhcoscosh0sinsinhcoscosh0sinsinhcoscosh

421

421

421

421

BBCBBCCCCCCC

①

②

③

④

⑤

②+③②ｰ③

④cos+⑤sin

④cosh+⑤sinh 14

12

14

12

cossinhsincosh1sinsinhcoscosh

cossinhsincosh1sinsinhcoscosh

cotcoth

CB

CB

CCCC


0cossinhsincosh

1coscosh2cotcoth1

C

0sinsinh2sin2sinh

0cossinhsincosh1coscoshsinsinh22

2

上記の結果を①に代入して

C10の解を持つ条件は


第５章構造物の固有振動計算法

はりの問題を例にとる。曲げ剛性EI，単位長さあたりの質量分布などががxの関数の場合、理論的に固有振動数を得る

ことは困難である。このような場合に近似解を求めるいろい

ろな方法が提案されている。


5.1 Rayleighの方法

曲げ剛性 EI(x)、質量分布 (x)のはりを考える。

ポテンシャルエネルギーおよび運動エネルギーは、

l

l

dxtwT

dxxwEIU

0

2

0

2

2

2

21

21

(1)

自由振動の場合

w(x,t)=W(x) sin t (2)

(2)式を(1)式に代入

tTtdxWT

tUtdxdx

WdEIU

l

l

2max

2

0

22

2max

2

0

2

2

2

coscos21

sinsin21


保存系では、 Umax=Tmax なので

l

l

dxW

dxdx

WdEI

0

2

0

2

2

2

2

21

21

(3)

固有振動モードに近いW(x)を(4)式に代入すると固有振動数の近似値が得られる。W(x)は、与えられたすべての境界条件を満たすことが望ましいが、幾何学的境界条件を満たすことが必要条件である。


(定理) 仮定する振動モードとして幾何学的境界条件を満たす関数を用いるならば、式(4)は、最小固有振動数の上界を与える。

証明）固有振動数および固有振動モードの正解をI, Wi(x)とする。ただし

(normalized)

変位(幾何学的)境界条件を満たす任意の関数W (x) を、固有振動モードの無限級数で表すと、

1I

ii xWCxW

10

2 l

i dxW

この積分も直交するのでijのとき

ゼロとなる


1

2

1 10

01 1

0

2

10

2

21

21

21

21

21

ii

i j

ljiji

l

i jjiji

l

iii

l

C

dxWWCC

dxWWCC

dxWCdxW

=ij (クロネッカのデルタ)

運動エネルギー式に代入するひずみエネルギー式に代入する

1

22

10

222

10

2

2

22

1 10 2

2

2

2

0

2

12

2

0

2

2

2

21

21

21

21

21

21

iii

i

liii

i

l ii

i j

l jiji

l

i

ii

l

CdxWC

dxdx

WdEIC

dxdx

Wd

dxWdEICC

dxdx

WdCEIdxdx

WdEI

21

1

2

1

221

1

2

1

22

2

ii

ii

ii

iii

C

C

C

C

よって


5.2 Ritzの方法

振動モードW(x)を幾何学的境界条件を満たす任意の互いに独立な有限個の関数の和として

W(x)= a1 f1 (x)+ a2 f2 (x)+･･･+ an fn(x) (4)

と与える。(4)式を(3)式に代入する。(3)式が示す固有振動数が最小になるように係数aiを決める。

0

21

21

02

0

2

2

2

l

l

i dxW

dxdx

WdEI

a (i=1,2,･･･,n) (5)

得られたaiを(3)式に代入することにより固有振動数の近似値が得られる。また固有振動モードの近似式も得られる。


(5)式を整理すると

0

022

0

0

1

2

10

2

10 2

2

2

2

1 10

2

1 10 2

2

2

2

0

22

0

2

2

2

i

n

iikik

n

i

lkii

n

i

lki

i

n

i

n

j

ljiji

k

n

i

n

j

l jiji

k

l

k

l

k

amk

dxffadxdx

fddx

fdEIa

dxffaaa

dxdx

fd

dxfdEIaa

a

dxWa

dxdx

WdEIa

自明でない解を持つ条件は、

02 ijij mk

l

jiijl ji

ij dxffmdxdx

fd

dxfdEIk

00 2

2

2

2,

ここで


解の小さいほうから、12, 2

2,････, n2と書き、固有振動数の正

解を1*, 2

*,････, n*とすると、

1*1, 2

*2,････, n*n

Hamiltonの原理の被積分項に(2)式を代入し、t2-t1=2/で積分すると

V = Tmax - Umax

となる。よって固有振動数を求めるHamiltonの原理はV=0となる。このVに(5)式を代入し、

により、近似解を求めようというのがRitzの法則である。

02

1

t

tdtVT

0 Vai


例題一様断面はりの固有振動数を、振動モードを

W(x)=a1x2+ a2 x3

と仮定して求めよ。

73521

21

1212422

1

722

621

5212

0

22

322

221

210

2

2

2

lalaaladxWT

lalaalaEIdxdx

WdEIU

l

l

（解答）ひずみエネルギーおよび運動エネルギーは

よって

0

0

2

1

Va

Va

07224

3112

03112

528

21

21

laa

laa

ここで

EIl 42


前式が自明でない解を持つ条件は、

0

7224

3112

3112

528

これより、=12.48, 1211.52 がえられる。したがって固有振動数の近似解として、

EI

lEI

l 2221807.34,533.3

正解は、

EI

lEI

l 2*

22*

103.22,516.3

であり、１次の解は非常に精度がよいが、２次の解の精度はあまりよくない。一般に(n/2)次以上の解はあまり精度がよくない。


例題1 一様断面片持ち梁の固有振動数を振動モード W(x)=W0[1-cos(x/2l)] を仮定してRayleighの方法を用いて求める。

（解答）モード関数と境界条件の関係は？

x=0で明らかに W=dW/dx=0x=l で

02

sin2

02

cos2

3

03

3

2

02

2

lEIW

dxWdEIQ

lEIW

dxWdEIM

正解042.1664.3

2cos1

21

2cos

221

2

21

0

20

24

EIl

dxlx

dxlx

lEI

l

l

幾何学的境界条件は満たしているが、力学的な境界条件は満たしていない


（例題 2）先端に集中質量を持つ一様断面片持ちはりの固有振動数の近似値を先端に集中荷重が作用したときのたわみ形状

W(x)= W0{２-3/3} =x/l

を用いてRayleighの方法で求める。

（解答）集中質量の運動エネルギーを考えて

l

l

lWMdxW

dxdx

WdEI

0

22

0

2

2

2

2

)(21

21

21

140334201

2

EIl

l

M

0

=1のとき

EI

l 21558.1

正解1.557との差は0.1%程度である。


5.3 有限要素法

最近固有振動問題は、コンピュータを使うことを前提として有限要素法によって計算される。これは構造物を有限個の要素に分割して構造応答を近似的に求める手法である。理論的にはRayleigh-Ritz 法と等価な手法であり、変分原理に従って構築されたものである。Rayleigh-Ritz法では、系全体にわたるモード関数を用いるのに対し有限要素法では要素ごとに定義したモード関数を用いることが大きな違いである。ここでは説明は省略する。


Rayleighの方法は固有振動数の近似計算法の

元祖で簡単な割には精度がよいが求まるものは再提示の固有振動数だけであり、固有振動モードに関する情報はまったく得られない。


第6章構造物の振動減衰性と減衰率増加法

6.1構造減衰

はりや弦を空気中で自由振動させると、時間の経過とともに振幅はだんだん小さくなって止まる。このような現象を振動減衰という。

減衰の要因• 構造材料内部で失われるエネルギー

(内部減衰 internal damping)• 各部材の鋲・ボルトによる結合部および構造物の支持部などで

失われるエネルギー• 空気抵抗によるもの

最初の2つをあわせて構造減衰と呼ぶ。


背沢の構造減衰の理論

実験的な研究の結果、「構造減衰は、振幅に比例し、振動数に無関係で位相は速度と同じ。したがって

txFtw

xwEI

xxwEI

x,2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

第2項が減衰項。無次元量を構造減衰係数

減衰項が剛性項と同じ形の式なので、非減衰の固有振動モードWn(x)を用いて展開し、Galerkin法またはRayleigh-Ritz法を用いると、

tQqkdt

dqkdt

qdm nnnn

nn

n

2

2

粘性減衰項と異なるのは減衰力の項の分母に振動数が入っていることである。


6.2 複素弾性定数

前節のような構造減衰特性は、

dtdEE xr

xrx

とあらわせるような粘弾性(viscoelastic)特性を持つと考えると説明できる。

周期的加振力と応答ひずみを

tt

xx

xx

coscos

0

0

200 1 xrx E

とおくと、

tan=


(4)式のかわりに、

ti

xx

tixx

e

e

0

0

iEEE

r

xx

1

とおくと、

このときを損失係数(loss factor)という。

txFtw

xwIE

x,2

2

2

2

2

2

ここでw, Fともに複素数であり、またこの式の実数部のみが物理的に意味を持つ量である。


6.3 減衰特性の表現

粘性減衰cの場合と構造減衰を比較

c=kn/，n= nn mk

222

nn

nn

nn kmk

kmc

が小さいとき、対数減衰率 =2=

共振振幅拡大率

1

21

静的応答

共振時の振幅A


応力ひずみ関係式は、

この曲線が囲む面積は（一周期あたりのエネルギー消費）

xx0ｰx0

ｰx0

x0

xx0ｰx0

ｰx0

x0

200

00

2

0002

0

1sin

sincos

xx

xx

xxx

xxx dtttdtdt

dd


6.4 実際例

構造材料および構造の構造減衰係数の実測値の例

(小林繁夫著「振動論」丸善より)材料または構造構造減衰係数 Al合金板(2024-T4)の曲げ振動 0.0021航空機の金属製または木製翼の曲げおよびねじれ振動

0.02～0.05

FRP板の曲げ振動 0.021FRP製グライダー胴体の左右曲げ振動 0.023NAL－STOL 0.006～0.04Jestar 0.014～0.042Cessna 0.018～0.036FA-200X 0.008～0.036F 16 0.012～0.040Mirage F-1 0.010～0.056Shuttle Orbiter 0.018～0.040


第7章動的応答のシミュレーション計算法

コンピュータの出現により振動方程式を数値積分により解いて動的応答を計算することが可能になった。コンピュータにより実際の応答を数値的に求めることをシミュレーションという。


7.1 Euler法

一自由度の振動系

tfkudtduc

dtudm 2

2

時刻tでのu(t)，が既知のとき、

ttututtu

ttututtu

ここで

tuctkutfm

tu 1

この形でシミュレーションするにはtを十分小さくする必要がある。


7.2 Newmarkの法

時刻tでのu(t)，が既知のとき、

時刻t+tでの応答

tutu ,

ttuttututtu

tt

tuttuttuttututtu

2

23

2

ここで=1/6と1/4がよく用いられる。

=1/6とすると、tからt+tまでの間, 加速度が線形的に変化すると仮定

=1/4とすると、tからt+tまでの間加速度がで一定と仮定


振動方程式に代入して整理すると、時刻t+tでの加速度が、

2

2

2

21

2

tktcm

ttuttutukttutucttf

ttu

この加速度を用いてt+tでの速度と変位を導くことになる。これを繰り返していくことにより時系列u(t)の実際の履歴を推定することになる。


例題 Newmarkの法を用いて以下に示す系の与えられた外力に対する応答X(t)をシミュレートするプログラムを書け。

tFXdtdX

dtXd

22

2

tttF 1.0sin


7.3 線形多自由度過程のシミュレーション

多自由度過程の振動方程式

tKCM fuuu

ここで

Tn

Tn

fff

uuu

,,,

,,,

21

21

f

u

時刻tでのu(t)，が既知のとき、時刻 t+t での加速度ベクトルは、

tt uu ,

tttttKtttCtt

ttKtCtM

uuuuuf

u

2

2

21

2

2

連立方程式の解を求めるプログラムを用いて解く。


時刻t+tでの応答u(t+t)，を

ttttttt

tt

tttttttttt

2

23

2

uuuu

uuuuuu

tt u

このプロセスを繰り返すことにより、時間応答を求める。


7.4 数値計算法の安定に関して(1)式でc=0、f(t)=0の場合を考える。

022

2 u

dtud

この場合の解は単振動解となる。

時間刻みtで応答を求め、第nステップの解を添え字nをつけて表すと

nn

nn

uu

uu2

12

1

整理すると

ここで

012 11 nnn uuu

2

2

12


ここでun =etとおいて代入すると、

この二次方程式の解は、

xが単振動解であるためには=iの形の場合に限るので

<2

ここで e=rei を考えると、

rcos=1-， rsin=

これより、常にr=1となり、 <2であれば、Newmarkの法で正解が得られる。

01122

ee

21 e

2


よって安定条件は、 <2、すなわち、

0141 2

41

2

これより、により解の安定となる時間増分があることがわかる。ただし=1/4の時には系は時間増分にかかわらず安定になることがわかる。


問題一次元の振動問題を計算するプログラムを作る

tFkxdtdxc

dtxdm 2

2

F(t)=f0sint


7.4 数値計算法の安定に関して(1)式でc=0、f(t)=0の場合を考える。

022

2

udt

ud

この場合の解は単振動解となる。

時間刻みtで応答を求め、第nステップの解を添え字nをつけて表す。

n+1ステップの加速度応答は、

2

22

1 121

t

tutuuu

nnn

n


nn

nn

uu

uu2

12

1

を代入し、整理すると

tuttuut nnn

221

2

2111

nを１減らすと、

tuttuut nnn

1

221

2

2111

①

②

①-②より

tuu

ttuttu

utut

nn

nn

nn

1

221

22

21

2

211

211

11


12

1

12

111

2

22

nnnn

nnnnnnn

uutuu

uutuuutuu

nステップの速度は、

21

22

21

221

221

2

12112

21

211

21221

tuttu

tuuttu

ttuut

nn

nnn

nn

この関係を先の式に代入して


012 11 nnn uuu

2

2

12

とおくと、

ここでun =enとおいて代入すると、

01122

ee

この二次方程式の解は、

unが単振動解 ⇒ eは複素数 ⇒ <2

eが複素数の場合

|e |2 =(1-)2+ (2) =1

21 e


これより、<2であれば、振幅一定となり安定となる。<2 ならばNewmarkの法で振幅一定の解が得られる。

よって安定条件は、 <2、すなわち、

0141 2

411

412

T

これより、により解の安定となる時間増分があることがわかる。ただし=1/4の時には系は時間増分にかかわらず安定になることがわかる。


7.5 非線形問題の一解法

tfdtduug

dtudm

,2

2

の形で表せる非線型方程式にNewmarkのβ法の適用を考える。

時刻t+tでの加速度が与えられたとき、変位と速度は

ttfttuttugttum ,

また振動方程式より

tttuttututtu

ttuttutttututtu

21

21

21 22

①


tttuUUugttutUU

ugUUg

tttuUttutUg

21,,,

21,

2

2

tuttuU

tutttutuU

21

21 2

t+tでの非線形項は、分からないので以下のようにテーラー展開して近似する。

ここで

②式を①式に代入して整理すると

②

UU

UgtUU

Ugtm

ttfUUgttu

,21,

,2


*第8章実験的モード解析法

高速フーリエ変換法のアルゴリズムが考案されてこれを用いた振動測定機器が開発され広く用いられるようになった。これにコンピュータの発展も大いに寄与している。

本章ではフーリエ変換法を用いた振動特性測定装置の考え方に関して説明する。


6.1 はりの曲げ振動の周波数応答関数

l

AB

Fj(t)j

図のように=jの点に集中外力が作用するはりを考える。速度比例型の減衰力を考えると振動方程式は、

jj tftwA

twEIwEI

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2


応答は固有振動モードで展開でき、

nn

n tqtw

1

,

各モードの一般座標qn(t)に関して方程式を展開でき

tfqkdt

dqcdt

qdm jjnnnn

nn

n 2

2

両辺のFourier変換を取ると

jjnnn FHQ

ここでQn，Fjはそれぞれqn，fjのFourier変換、 Hnは、n次のモードの周波数応答関数である。

w(i)のFourier変換は、

inn

ni QW

1

,


1

1

,

,

ninjnn

j

iij

ninjnjni

HF

WH

FHW

jjnnn FHQ を代入すると、

本式Hij()をw(i,t)とf(j,t)に関する周波数応答関数という。

入力と出力のFourier 変換を求めてその商をとることにより、Hn()や振動モードn()の形が推定できることが分かる。


周波数応答関数の図示の方法

前節で求めた周波数応答関数は複素数である。

Bode線図 ⇒絶対値と位相で表現

コクアド線図⇒実数部と虚数部で表現


Bode線図(=0.05)

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Normalized frequency

φ

|Hij()|

0

2

4

6

8

10

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3


-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Normalized Frequency

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Re[Hij]

Im[Hij]


第7章非線系振動論

7.1 復元力に非線形性のある系振り子の運動方程式は、

0sin2

2 mg

dtdml に関して非線形な問題

しかし、が1に比べて小さい場合、

線形の微分方程式として表される。

一般の問題の場合何らかの非線形因子を含んでいる。しかし、振幅が小さい場合など非線形因子の影響が小さく線形問題として近似できる場合も少なくないことも事実である。

sin


変位 x

復元力

f

線形

hardening

softening

振り子の振動でがあまり大きくない場合、方程式は

061 32

02

02

2

dtd

両端で軸方向変位を拘束されたはりの振動方程式は、

復元力がW+W3の形で表される非線型方程式をDuffingの方程式という。

復元力と変位の関係で、

hardening型: 変形大⇒傾き大

softening型；変形大⇒傾き小。

03 WWW


x

f

O

復元力と変形の関係が図2のようにガタがある系や、ば

ね係数が不連続に変わるような系も非線形問題の系である。

x

f

O

(a) ガタのある系 (b) 組み合わせ非線形ばね


例題両端単純支持で軸方向変位を拘束されたはりの振動方程式を求める。

w

xdx

ds

EI,

はりがたわんだことにより軸への射影がdxの要素の長さdsは、

22

2111

xwdx

xwdxdsdxds cos

はり全体にわたって軸方向の力は働かない⇒応力は一定

ldxxw

ll

x 0

2

2111


02

2

2

2

4

4

tw

xwA

xwEI x

有限変形の場合のはりの振動方程式

変形を

lxthWw sin

ここで

AIh 2

このとき、

22

22

4W

lEh

x


これを振動方程式に代入すると

04 2

2

2

22

2

22

4

4

tWhW

lhW

lEhAW

lhEI

無次元化して整理すると、

03 WWW

ここで、()は無次元時間=0tによる微分

EIl 2

2

0


7.2 自由振動の厳密解

非線形振動方程式

03 xxx

初期条件

0,0 dtdxxx at t=0

両式にdx/dtをかけて積分する。

40

20

422

22xxxxx

本式を変形する

424

02

0 22xxxx

dxdt


両辺を積分すると

x

xxxxx

dxt0 22

022

0 21

このような式は楕円積分で表される。2

0

2 1

xxz

z

zkzdxxt

0 2222

011

1

とおくと

ここで

20

202

12 xxk


この式の解は、

201sn xtz

ここで関数snは、Jacobiの楕円関数のひとつである。

2

0 22 sin144

kdK

なる周期を持つ。

zに関する式をxに関して表すと、

cn()は周期関数でcosと似た性質を有している。

200 1cn xtxx


もし非線形性の小さい場合(x02<<1)、周期は、

20

20

2

2

0

222

0 22

1812

412

sin2114

sin144

xxk

dkkdK

実時間の周期で表すと

2

00

200

8312

1

4 xx

KT

03 WWW


Newmarkの法を用いて

をシミュレートするプログラムのアルゴリズムを作成せよ。


レポート

図のような曲げ剛性分布EI(x)の片持ちはりがある。

(1)第1次と２次の固有振動数と固有振動モードを近似的に求めよ。

(2) 平均ゼロの、パワースペクトル密度のホワイトノイズの集

中加振力がはりの先端にかかるときの先端の応答の二乗平均を第一次の基本モードのみを考慮して求めよ。


振動の知識も機械工学エンジニアにとって貴重な知識である。

この知識を含めて、大学で習った経験を生かしてほしい

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