· web viewword حصري على موقعنا : learn dz.com يتم كتابتها من طرف...
TRANSCRIPT
الحل مع اإلحتماالت تمارين سلسلةلباكالوريا 2018 التحضير
الكتاب بنشاطات نبدأ أوال بحله مرفق تمرين كلبصيغة الحل مع متنوعة تمارين بعدها المدرسي
Word
موقعنا : على Learn Dz .com حصري
الطاهر : األستاذ طرف من كتابتها يتمالحل : مع المدرسي الكتاب أنشطة
األول : من Ω التمرين الطبيعية األعداد مجموعة 49الى 0هي
من- -1 األجزاء عين التالية : ΩأA : عناصرA العدد مضاعفات .3هيB : عناصرB العدد مضاعفات . 4هيC : عناصرC العدد مضاعفات العدد 3هي مضاعفات .4وD : عناصرD العدد مضاعفات العدد 3هي مضاعفات .4او
في- منها جزء لكل لكل المئوية النسبة أحسب .Ωبلإلختزال- . قابل غير ناطق بكسر السابقة النسب عن عبر ج
من -2 عددا عشوائيا الحوادث Ωنختار احتماالت السابقة االعداد ونسميA ، B ، C وD. الترتيب على
التاليتين : - الحادثتين احتمالي أحسب E ، أولي عدد على رقمين Fالحصول ذي عدد على الحصول
متساويين .األول : التمرين حل
العدد Aعناصر مضاعفات : 3هي
A=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,49
العدد Bعناصر مضاعفات : 4هي
B=0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,39,44,48
العدد Cعناصر مضاعفات العدد 3هي مضاعفات : 4و
C=A⋂B=0,12,24,36,48
العدد Dعناصر مضاعفات العدد 3هي مضاعفات :4او
D=A⋃B=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39 ,
42,45,49,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,39,44,48
في- منها جزء لكل لكل المئوية النسبة حساب :Ωب
P ( A )= 17100
× 50=34 % ،P (B )= 13100
×50=26 %
P (C )= 5100
×50=10 % ،P (C )= 25100
×50=50 %
لإلختزال- : قابل غير ناطق بكسر السابقة النسب عن التعبير ج
P ( A )= 34100
=1750 ،P (B )= 26
100=13
50
P (C )= 10100
= 110 ،P (C )= 50
100=1
2
الحادثتين - : 2 احتمالي حساب F=11,22,33,44
E=2 , 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
P ( E )=1550
= 310 ،P (F )= 4
50= 2
25
الثاني : التمرين
على كيس منها 37يحتوي ، باللمس بينها النميز حمراء 18قريصة قريصةالتاليتين : اللعبتين نعتبر
الالعب : يدفع األولى اذا 10اللعبة ، عشوائيا واحدة قريصة ويحسب دنانيريربح حمراء المسحوبة القريصة دفعه .10كانت ما خسر اال و دنانير
الالعب : يدفع الثانية يحسب 10اللعبة ثم السحب قبل رقما ويحدد دنانيرويربح عشوائيا واحدة خسر 350قريصة واال سابقا المحدد الرقم كان اذا دينار
دفعه ماالمتوسط ) ( . الربح اللعبتين بين قارن
الثاني : التمرين حلاالولى : اللعبة
10-10x1937
1837
p( X=x)
x1=10 × 1837
−10 × 1937
=−1037
الثانية : اللعبة10-350x3637
137
p( X=x)
x2=350 × 137
−10 × 3637
=−1037
الثالث : األرقام التمرين باستعمال تشكيلها يمكن التي األعداد عدد هو مامن :6الى 1من تتكون األعداد هذه كانت اذا؟ 3أ- أرقام؟ 3ب- مختلفة أرقام؟ ت- مختلفة أرقام
الثالث : التمرين حل6أ : ×6 × .216=63أي : 216=6
5×6ب : × العدد 120=4 الى 6ونرمز ×5 × A6ب : 4A6أي : 3
3=6×5× 4
A6ج : العدد 720=6 الى A6نرمز
6ب : 6 6أي : ! !=6 ×5 × 4 ×3 × 2× 1.
الرابع : من التمرين قسم القسم 20يتكون هذا من تلميذ أحمد ، تلميذاوالتي ) -1 تلميذين ذات اللجان عدد أي القسم هذا من تلميذين اختيار نريد
كلهم ( . القسم تالميذ بين من تشكيلها يمكنالممكنة .aأحسب - الطرائق عدد
أحمد .-2 أحدهما يكون أال شريطة القسم من تلميذين اختيار نريدالحالة .bأحسب - هذه في الممكنة الطرائق عدد
أحمد . -3 أحدهما يكون أن شريطة القسم من تلميذين اختيار نريدالحالة .cأحسب - هذه في الممكنة الطرائق عدد
األعداد : -4 بين عالقة .cو a ،bجد
الرابع : التمرين حل
0
1
1 1 2
1 2 2
الممكنة : -1 الطرائق ×a=20عدد 192
=190 : ب العدد هذا الى نرمز
C202 =20 × 19
2أحمد :-2 أحدهما يكون أال شريطة القسم من تلميذين اختيار
C192 =19 ×18
2=171
هو :-3 أحمد أحدهما يكون أن شريطة القسم من تلميذين اختيارc=1 ×19=19
أن : -4 C20 أي : a=b+cنالحظ2 ¿C19
2 +C191.
الخامس : على التمرين كيس األرقام 4يحتوي تحمل بيضاء 1، 1، 0كراتاألرقام 2، تحمل حمراء كرات أربع .2، 2، 1، 1و
واحد ان في عشوائيا الكيس .3نسحب من كراتعلى : -1 الحصول احتمال أحسب
اللون .أ- نفس من كرات ثالثالرقم . ب- نفس تحمل كرات ثالثمثنى .ت- مثنى مختلفة أرقامها كرات ثالث
العشوائي -2 المتغير الكرات xليكن عدد سحبة بكل يرفق الذيالرقم تحمل التي 1المسحوبة
العشوائي أ- المتغير احتمال قانون xعينالرياضي ب- االمل أحسبالمعياري ت- واالنحراف التباين أحسب
الخامس : التمرين حل
توضيحي : رسملسحب الممكنة هي :3الحاالت كرات
C83= 8 !
3! (8−3 )!=56
نسمي- -1 على "Aأ الحصول اللون حادثة نفس من كرات "ثالث
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC4
3 +C 43
56=4+4
56= 8
56=1
7
نسمي- على Bب الحصول الرقم "حادثة نفس تحمل كرات " ثالث
P (B )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC4
3 +C33
56=4+1
56= 5
56
نسمي- على Cت الحصول مثنى "حادثة مثنى مختلفة أرقامها كرات ثالث "
P (C )= الملائمة =الحالاتالممكنةالحالاتC1
1 ×C41 ×C3
1
56=1∗4∗3
56=12
56= 3
14
هي – : -2 العشوائي المتغير قيم x=0,1,2,3أ
P ( x=0 )=C4
3
56= 4
56
P ( x=1 )=C4
1∗C42
56=6∗4
56=24
56 P ( x=2 )=
C42∗C4
1
56=4∗6
56=24
56
P ( x=3 )=C4
3
56= 4
56
3210xالمجموع
1456
2456
2456
456
p(x=xi)
الرياضي- : األمل حساب ب
E ( x )=( 0∗456 )+( 1∗2 4
56 )+( 2∗2456 )+( 3∗4
56 )=1.5
المعياري- : واالنحراف التباين حساب ت
v ( x )=∑i=1
4
( xi−E ( x ))2∗pi=1528
المعياري : √=δاالنحراف v ( x )=0.73
السادس : كرات التمرين وثالث ، أحمر لونهما كرتان توجد صندوق فيأصفر . لونهما وكرتان أبيض، لونها كرات وأربع ، أخضر لونها
الصندوق هذا من عشوائية وبطريقة واحد ان في كرتين بسحب نقوم
1-. - أحمر لونهما كرتين سحب احتمال هو ما أأبيض- . لونهما كرتين سحب احتمال هو ما بأصفر- . لونهما كرتين سحب احتمال هو ما ج
أخضر- . لونهما كرتين سحب احتمال هو ما داللون .-2 نفس من كرتين سحب احتمال ماهواللون .-3 مختلفتي كرتين سحب احتمال ماهوأصفر .-4 وال أبيض ليس لونهما كرتين سحب احتمال ماهوخضراء .-5 األقل على احداهما تكون ان احتمال ماهوخضراء .-6 األكثر على احداهما تكون ان احتمال ماهو
السادس التمرين : حل
توضيحي : رسم
هو الممكنة الحاالت عدد :
C112 = 11!
2! 9!=55
أحمر Aنسمي- 1 لونهما كرتين سحب :حادثة
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC2
2
C112 = 1
55
أبيض :Bنسمي- 2 لونهما كرتين سحب حادثة
P (B )= الحالاتالممكنةالحالاتالملائمة =C 4
2
C 112 = 6
55
أصفر :Cنسمي -3 لونهما كرتين سحب حادثة
P (C )= الملائمة =الحالاتالممكنةالحالاتC2
2
C112 = 1
55
لونهما Dنسمي -4 كرتين سحب ر :أخضحادثة
P ( D )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC 3
2
C 112 = 3
55
اللون :-7 نفس من كرتين سحب احتمالالحادثة اللون " Tنسمي نفس من كرتين "سحب
: 1 الطريقة
P (T )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC 2
2+C42+C3
2+C22
C112 = 11
55= 1
5
الحوادث :2الطريقة Aبماأن ، B ، C ، D : حساب فيمكننا مستقلة P (T )=P ( A )+P ( B )+P (C )+P ( D )=11
55=1
5
اللون- : 3 - مختلفتي كرتين سحب احتمالالحادثة اللون " " Hنسمي مختلفتي كرتين سحب
P ( H )=1−P (T )=45
أصفر -- 4 وال أبيض ليس لونهما كرتين سحب : احتمال
الحادثة أصفر " Rنسمي وال أبيض ليس لونهما كرتين " سحب
P (R )=C 5
2
C112 =10
55= 2
11
خضراء— :5 االقل على احداهما تكون ان احتمالالحادثة خضراء " Zنسمي االقل على احداهما تكون " ان
P (Z )=C3
1C81+C3
2 C80
C112 = 3∗8+3
55= 27
55
السابع : على التمرين يحتوي منها 8كيس و 4كرات حمراء كراتوفي 3 عشوائيا نسحب ، بيضاء واحدة كرة و خضراء واحد كرات 3 آن
الكيس . من كرات1. - الممكنة- الحاالت عدد أحسب أ
التالية- : االحتماالت احسب ب A -3. اللون نفس من كرات
B. – حمراء األقل على كرة-C. حمراء األكثر على كرتين
المحصل xنسمي 2 - األلوان عدد يرفق الذي العشوائي المتغيرعليها .
قيم- ماهي ؟ xأالتالية- : اإلحتماالت أحسب P(x=2)واستنتج :P(x=1) ،P(x=3)ب
المعياري- . االنحراف ثم التباين ، الرياضي االمل أحسب جالسابع : التمرين حل
توضيحي : رسم1
- لسحب أ- اللمكنة هي :3الحاالت كرات
C83= 8 !
3! (8−3 )!=56
- على "A ب- الحصول اللون حادثة نفس من كرات "ثالث
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC3
3 +C43
56=1+4
56= 5
56
B على الحصول حمراء كرة "حادثة األقل " على
P (B )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC4
1 ×C42 +C4
2 × C41 +C4
3 ×C 40
56=24+24+4
56=52
56=13
14
C على الحصول حمراء كرتين "حادثة األكثر " على
P (C )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC4
1 × C42 +C4
2 ×C41 +C 4
3 ×C40
56=24+24+4
56=52
56=13
14
قيم— 2 x : x=1,2,3تعيين
P ( x=1 )=P ( A )= 556
P ( x=3 )=C4
1 ×C 31×C 1
1
56=12
56
Pاستنتاج : ( x=2 )=?
Pلدينا : ( x=1 )+P ( x=2 )+P ( x=3 )=1 P ( x=2 )=1−(P ( x=1 ) P ( x=3 ))
P ( x=2 )=3956
المعياري— : واالنحراف التباين و الرياضي االمل حساب ج
E ( x )=( 1∗556 )+(2∗39
56 )+(3∗1256 )=2.12
المعياري- : واالنحراف التباين حساب ت
12
8
246
5 31
5
BB R
B
B
تاالتمإلح
ةاجر
ش
v ( x )=∑i=1
3
( xi−E ( x ))2∗pi=0.28
المعياري : √=δاالنحراف v ( x )=0.53
الثامن : على التمرين علبة التفريق 10تحتوي اليمكن قريصاتبينها من ، باللمس األرقام 6بينها تحمل اللون ، 6، 4، 2، 2، 1حمراء
األرقام 8 تحمل اللون بيضاء .5، 5، 3، 1والبقية
دون 3نسحب - األخرى تلو واحدة العلبة هذه من قريصاتإرجاع
المطلوب : لذلك .أ- المناسبة اإلحتمال شجرة شكلعلى ب- الحصول اللون .3احتمال نفس من قريصاتعلى ت- الحصول مختلفين .3احتمال بلونين قريصات
الثامن : التمرين حل
ب : الحمراء القريصات الى Rنرمز
ب : البيضاء القريصات الى Bنرمز
للعلبة : توضيحي رسم
اإلحتمال : أ- شجرة
على ب- الحصول اللون : 3احتمال نفس من قريصات
P ( A )= 410
× 39
× 28+ 6
10× 5
9× 4
8=144
720
على ت- الحصول مختلفين 3احتمال بلونين : قريصات
Pث- (B )=1−P ( A )=576720
التاسع : التمرينبه منها 10كيس اللمس عند بينها النميز متماثلة و 4كريات 6بيضاء
حمراء .الكيس -1 من عشوائيا واحد .3نسحب آن في كريات
على أ- الحصول احتمال بيضاء 3احسب كرياتحمراء .ب- كرية على األقل على الحصول احتمال احسب
العشوائي -2 المتغير عدد xليكن سحب عملية بكل يرفق الذيالمسحوبة . البيضاء الكريات
العشوائي للمتغير االحتمال قانون الرياضي xعرف أمله احسب و .
التاسع : التمرين حللسحب اللمكنة هي :3الحاالت كرات
C103 = 10!
3 ! (10−3 ) !=120
على Aنسمي الحصول بيضاء 3حادثة :كرات
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC4
3
120= 1
30
حمراء حادثة Bنسمي كرية على األقل على :الحصول
P (B )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC6
1C42+C6
2 C41+C6
3 C40
120=36+60+20
120=29
30
هي- 2 العشوائي المتغير x=0,1,2,3: قيم
P ( x=0 )=C6
3
120= 20
120=1
6
P ( x=1 )=C6
2 C41
120= 60
120=1
2 P ( x=2 )=
C61 C4
2
120= 36
120= 3
10
P ( x=3 )=C6
0C43
120= 4
120= 1
30
3210xالمجموع
1130
310
12
16
p(x=xi)
الرياضي- : األمل حساب
E ( x )=( 0∗16 )+( 1∗1
2 )+(2∗310 )+( 3∗1
30 )=65
العاشر : التمرين
على يحتوي منها 5كيس و 3كرات حمراء سوداء 2لونهاثم : 1التجربة ، الكيس الى نعيدها ثم لونها ونسجل كرة عشوائيا نسحب
لونها . ندون و أخرى مرة نسحبلونها : .2التجربة ندون و ارجاع بدون و األخرى تلوى الواحدة كرتين نسحب
االحتماالت .-1 شجرة تجربة لكل أنشئحيث : -2 تجربة كل في كرتين على التحصل احتمال ماهو
حمراويتين .أ-- ب- مختلفين لونين من ت سوداويتين
R
N
R
N
N
R
تاالتمإلح
ةاجر
ش
R
N
R
N
R
تاالتمإلح
ةاجر
ش
العاشر : التمرين حل
: 1التجربة
حمراويتين كرتين :احتمال
P ( A )=
35∗3
5= 9
25
سوداوين كرتين :احتمال
P (B )=
25∗2
5= 4
25
مختلفين لونين ذو كرتين :احتمال
P (C )=
35∗2
5+
35∗2
5=12
25
:2التجربة
حمراويتين كرتين :احتمال
P ( A )=
35∗2
4= 6
20
سوداوين كرتين :احتمال
P (B )=
25∗1
4= 2
20
مختلفين لونين ذو كرتين :احتمال
P (C )=
35∗2
4+
25∗3
4=12
20
بينهم : 11 التمرين من نساء وأربع رجال ثمانية من أشخاص مجموعة تتكونمكونة لجنة تكوين نريد ، فاطمة اسمها واحدة وامرأة ابراهيم اسمه واحد رجل
المهام . نفس لهم أعضاء ثالثة منالتالية : - األحداث من كل احتمال أحسب
تضم " A أ- لجنة رجال " .3تكوينوامرأتين –" .Bب- رجل تضم لجنة تكوينابراهيم " "C-ت- تضم لجنة .تكوينفاطمة -" " Dث- أو ابراهيم اما تضم لجنة تكوين
العشوائي - المتغير في xليكن الرجال بعدد اختيار بكل يرفق الذيالمكونة . اللجنة
العشوائي -1 للمتغير االحتمال قانون .xعرفالرياضي . -2 أمله احسبالمعياري . -3 والنحراف التباين أحسب
التمرين : 11 حل
هو : اللجان عدد أي ، الممكنة الحاالت عدد
-C123 = 12 !
3 ! (12−3 )!=220
-A: " تضم لجنة رجال " .3تكوين
- P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC8
3
220=14
55
-B وامرأتين رجل تضم لجنة " تكوين
P (B )= الحالاتالممكنةالحالاتالملائمة =C 8
1× C42
220=12
55
-C ابراهيم تضم لجنة " تكوين
- P (C )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC1
1 ×C112
220=1
4
-D فاطمة أو ابراهيم اما تضم لجنة " تكوين
- P (C )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC1
1 ×C102 +C1
1× C102
220= 9
22
قيم— 2- x : x=0,1,2,3تعيين
- P ( x=0 )=1−¿C4
3
220= 1
55
- P ( x=1 )=1−P ( B )=1255
-P ( x=2 )=C 4
1 × C82
220=28
55
-P ( x=3 )=1−P ( A )=1455
3210xالمجموع
11455
2855
1255
155
p(x=xi)
32
2 3
5 5 1
واالنحراف— التباين و الرياضي االمل حسابالمعياري :
-E ( x )=( 1∗1255 )+( 2∗28
55 )+( 3∗1455 )=2
المعياري- : واالنحراف التباين حساب
v ( x )=∑i=1
3
( xi−E ( x ))2∗pi= 611
المعياري : √=δاالنحراف 611
على : 12 التمرين وعاء و 3يحتوي بيضاء القريصات 4قريصات احدى ، حمراءالرقم تحمل الرقم 1البيضاء تحمالن الحمراء 5واألخريان القريصات أما
الرقم تحمالن منهما الرقم 2فاثنتان تحمالن األخريان عشوائيا . 3و نسحبالمسجلين الرقمين مجموع ونسحب ، واحد آن في قريصتين الوعاء هذا من
عليهما . من -1 تماما أكبر المجموع هذا يكون أن احتمال ؟ 6ماهومن -2 تماما أكبر المجموع يكون أن احتمال القريصتين 6ماهو أن علما
؟ بيضاوينمجموع -3 لقريصتين سحب بكل يرفق الذي العشوائي المتغير نعرف
عليهما . المسجلين الرقمينالعشوائي أ- المتغير قيم للمتغير xعين االحتمال قانون أعط ثم ،
xالعشوائي الرياضي ب- األمل Eأحسب ( x المعياري ( اإلنحراف أحسب ثم ،δ .
التمرين : 12 حل
هي : - الممكنة الحاالت C7 عدد2=21
من- 1 تماما أكبر المجموع هذا يكون أن هو : 6 احتمال
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC2
1 ×C 21+C2
1× C21+C2
2
21= 9
21
من تماما أكبر المجموع يكون أن احتمال بيضاوين : 6 ماهو القريصتين أن علما
- 2 P (B )= الحالاتالممكنةالحالاتالملائمة =C 2
2
21= 1
21
العشوائي أ– - المتغير قيم x: x=3,4,5,6,7,8,10 تعيين
العشوائي ب - للمتغير االحتمال : x قانون
P ( x=3 )=C1
1×C21
21= 2
21
P ( x=4 )=C2
2+C11× C2
1+C11×C2
1
21= 3
21 P ( x=5 )= 421
P ( x=6 )= 321
P ( x=7 )= 421
P ( x=8 )= 421
P ( x=10 )=C2
2
21= 1
21
10876543xالمجموع
1121
421
421
321
421
321
221
p(x=xi)
الرياضي- : األمل حساب
E ( x )=( 3∗221 )+(4∗3
21 )+( 5∗421 )+( 6∗3
21 )+( 7∗421 )+(8∗4
21 )+( 10∗121 )=¿
المعياري : واالنحراف التباين حساب
v ( x )=∑i=1
3
( xi−E ( x ))2∗pi
المعياري : √=δ االنحراف v
منقول - : 13 التمرين التمرين -مالحظة
. في يخسر أن احتمال جوالت بعدة يقوم بحيث لعبة العب يبدأهو األولى .0,2الجولة
: التالية بالطريقة بعد ما في اللعبة تجري هو الموالية يخسر أن احتمال فإن جولة، في ربح .0,05إذا هو الموالية يخسر أن احتمال فإن جولة، في خسر .0,1إذانسمي:(1
E1" " : األولى: الجولة يخسر الالعب الحادثةE2" " : الثانية: الجولة يخسر الالعب الحادثةE3" " : الثالثة: الجولة يخسر الالعب الحادثة
يخسر Xنسمي التي المرات عدد يساوي الذي العشوائي المتغير. . بشجرة االستعانة يمكن األولى الثالثة الجوالت خالل الالعب
قيم ا( هي ؟ Xماالحادثة )ب( احتمال أن احتمال )0,031يساوي( X=2بين هو( X=3و
0,002احتمال ج( قانون .Xعينللمتغير د( التباين و الرياضي األمل .Xأحسبمعدوم (2 غير طبيعي عدد كل أجل : nمن نضع ،En" : الحادثة:
الجولhة يخسhر " nالالعب ،En و لهhا المعاكسhة احتمhال pnالحادثhة. Enالحادثة
بداللة ا( الحوادث nعبر، احتماالت عن ،En En+1 وEn ∩ En+1 بداللة pn.
معدوم ب( غير طبيعي عدد كل أجل من أنه ،nاستنتجpn+1=0,05pn+0,05.
المتتالية )(3 معدوم( unنعتبر غير طبيعي عدد كل أجل من المعرفةn ،
un=pn−1
19 أن )ا( .unبين األول( حدها و أساسها تعيين يطلب هندسية متتاليةمعدوم ب( غير طبيعي عدد كل أجل من nاستنتج، ، un ثمpn بداللة
n. لh ج( النهاية إلى +∞.nلما pnأحسب يؤول
التمرين منقول - : 13 حل التمرين -مالحظة
1)X : يخسر التي المرات عدد يساوي الذي العشوائي المتغير. األولى الثالثة الجوالت خالل الالعب
: المثقلة الشجرة
X : X قيم ا( (Ω )=0 ;1;2 ;3
الحادثة )ب( احتمال أن احتمال ) 0,031 يساوي( X=2 نبين وX=3 )0,002 هو :
p(X=2)=0,018+0,009+0,004=0,031 p(X=3)=0,002
احتمال ج( : X قانونالمجم3210xiوع
10,002
0,031
0,245
0,722pi
0,3130 ,006
0,062
0,2450xi .pi
0,3870,018
0,124
0,2450xi
2 pi
3
2
2
2
1
1
1
0 0,722
0,038
0,036
0,004
0,171
0,009
0,018
0,002
pX
E3
E3
E3
E3
E2
E2
E1
E3
E3
E3
E3
E2
E2
E1
0,9
0,1
0,95
0,950,05
0,05
0,95
0,05
0,9
0,9
0,1
0,1
0,8
0,2
للمتغير د( التباين و الرياضي األمل : X حساب E(X)=0,313 ، E(X2)=0,387
V(X)=E(X 2)-[ E( X) ]2=0,387−( 0,313 )2=¿ 0,289031
معدوم (2 غير طبيعي عدد كل أجل نضع : nمن ،En" : الحادثة: الجولة يخسر و n " ،Enالالعب لها المعاكسة احتمال pnالحادثة
. Enالحادثة الحوادث ا( احتماالت En و En En+1 عبارة ∩ En+1 بداللة p n:
pEnلدينا: ( En+1 )=
p ( En+1∩ En )p ( En pيكافئ ( ( En+1∩ En)=pEn
( En+1 ) × p ( En)=0,1 pn
pEnو ( En+1 )=
p ( En+1∩ En )p ( En pيكافئ ( ( En+1∩ En)=pEn
( En+1 ) × p ( En)=0,05 (1−pn )
معدوم ب( غير طبيعي عدد كل أجل من أنه ، n استنتاجpn+1=0,05pn+0,05:
pn+1=p ( En+1 )=p( En+1∩ ( En∪En ) )=p ( En+1∩ En )+ p ( En+1 ∩ En ) pn+1=0,1أي pn+0,05 ( 1−pn )=0,05 pn+0,05
المتتالية )(3 معدوم( unنعتبر غير طبيعي عدد كل أجل من المعرفةn ،un=pn−
1+pn=unأي 19
119
أن )ا( هندسية( u n نبين :متتاليةun+1=pn+1−
119
=0,05 pn+0,05− 119
=0,05(un+1
19 )−0,0519
=0,05un
أساسها( unومنه ) هندسية األول q=0,05متتالية حدها −u1=p1و1
19=0,2−−1
19=14
95.
معدوم ب( غير طبيعي عدد كل أجل من ثم n ، un استنتاج،pn داللة ب n :
un=u1qn−1=1495
(0,05 )n−1 وpn=un+1
19=14
95(0,05 )n−1+ 1
19لـ حسابج( إلى +∞: n لما p n النهاية يؤول
pn=119+∞
lim ¿ ¿
على : 14 التمرين كيس و 4يحتوي بيضاء ال 2كرات سوداء كرات. اللمس عند بينها نفرق
الطريقة (1 حسب لكرة عشوائيا متتابعة سحبات بثالث نقومبيضاء،: المسحوبة الكرة كانت إذا سحب كل بعد التالية
. hب نرمز الكيس إلى نعيدها ال سوداء كانت إذا و للكيس نعيدهاX السوداء الكرات لعدد المساوي العشوائي للمتغير
. . بشجرة االستعانة يمكن السحبات كل بعد المسحوبةقيم ا( هي ؟Xما.p(X=0)أحسب ب(حساب ج( p(X=1)نقترح
الوحيدة السوداء الكرة على الحصول احتمال أن بينهو الثاني السحب في 8المسحوبة
45. المسحوبة الوحيدة السوداء الكرة أن بمالحظة
أو الثاني أو األول السحب في تكون أن يمكنأحسب. ، .p(X=1)الثالث
األصلية : (2 حالته في الكيس إلى و 4نرجع بيضاء كرات 2كرات . ليكن اللمس عند بينها نفرق ال أو nسوداء أكبر طبيعي عدد
بh. 3يساوي .nنقوم السابقة الطريقة بنفس متتابعة سحببين kليكن محصور طبيعي .nو 1عددالرتبة : " Eلتكن ذات المسحوبة الكرة كل kالحادثة و سوداء
" بيضاء المسحوبة األخرى الكراتالسحبات : " Aلتكن ا كل في بيضاء كرة على نحصل الحادثة
k-1 الرتبة ذات السحبة في سوداء كرة و "kاألولىالحادثة من: " )Cلتكن كل في بيضاء كرة على (n-kنحصل
" األخيرة السحبات، p(A)أحسب pA (C) وp(E).
التمرين : 14 حل
1): شجرة إنشاء
: X قيم ا(X(Ω)=0 ; 1 ; 2
: p(X=0) حساب ب( p( X=0)= 8
27
حساب ج( p(X=1)نقترح السوداء الكرة على الحصول احتمال أن نبين
ـهو الـثاني الـسحب في المـسحوبة 8 الوحـيدة45
. p (BNB )=2
3× 1
3× 4
5= 8
45
حسابp(X=1): p ( X=1 )= 4
27+ 8
45+ 16
75=364
675
األصلية : (2 حالته في الكيس إلى و 4نرجع بيضاء كرات 2كرات . ليكن اللمس عند بينها نفرق ال أو nسوداء أكبر طبيعي عدد
بh. 3يساوي .nنقوم السابقة الطريقة بنفس متتابعة سحببين kليكن محصور طبيعي .nو 1عددالرتبة : " Eلتكن ذات المسحوبة الكرة كل kالحادثة و سوداء
" بيضاء المسحوبة األخرى الكراتالسحبات : " Aلتكن ا كل في بيضاء كرة على نحصل الحادثة
k-1 الرتبة ذات السحبة في سوداء كرة و "kاألولىالحادثة من: " )Cلتكن كل في بيضاء كرة على (n-kنحصل
" األخيرة السحبات حساب p(A) :
A=(BBB… B⏟ Nمرة (k−1 ))
X pi
2
2
1
2
1
1
1/15
4/75
N2/458/45
4/27
0
16/75
1/5
1/5
1
4/54/5
1/5
4/5
2/32/3
2/31/3
1/3
1/3
N
N
N
8/27
N
N
B
B
B
B
BB
B
p ( A )=( 23 )
k−1
( 13 )=2k−1
3k .ساب ح pA (C) :
السحب في أنه كرة kنعلم تبقى بالتالي و سوداء كرة سحبنا ، و :4سوداء وبالتالي بيضاء كرات
pA (C )=( 45 )
n−k
: p(N)حساب E=A ∩C=(BBB …B⏟
مرة ( k−1 )
N BB …. B⏟مرة ( n−k ) )لدينا:
pA (C )= p (A ∩C)p ( A)
= p (N)p(A) يكافئ
p ( E )=p ( A ) × pA (C )=2k−1
3k ×(45 )
n−k
= 22 n−k−1
3k ×5n−k
: 15 التمرين
بعد لونها يظهر طيور بتربية يقومان النادرة للطيور مربيان. بيضها تفقيس من شهر
،الشهر و األول اليوم بين األول، للمربي %20بالنسبةو الحياة قيد على تبقى ال الطيور و% 70من ملونة تصبح
10. بيضاء% تبقى ، الشهر و األول اليوم الثاني، للمربي من% 7بالنسبة
و الحياة قيد على تبقى ال و% 80الطيور ملونة تصبح13. بيضاء% تبقى
واحد : يوم عمرها طيور أفراخ اشترى طيور %70بائعو األول المربي .30من الثاني% المربي من
محل (1 إلى وصولها بعد يوم البائع عند من طائر طفل يشتري . يومان عمره أي البائع،
هو ا( شهر بعد حي الطائر يكون أن احتمال أن .0,839بين.ب( شهر بعد ملون الطائر يكون أن احتمال عين
PA(C)P(A)
C
A
C
يكون ج( أن احتمال ما شهر، بعد أبيض بقي الطائر أن علما؟ األول المربي عند من
عند (2 من طيور خمسة مستقلة بطريقة و عشوائيا شخص يختار . بعد تبقى أن احتمال ما البائع محل إلى وصولها بعد يوم البائع
؟ الحياة قيد على فقط ثالثة شهر،شهر، (3 بعد أي لونها يظهر حتى بالطيور االحتفاظ الطيور بائع قرر
. يربح النهائي بلونها يبيعها و DA 300حتى ملون طائر كل عن50 DA يخسر و أبيض طائر كل ال DA 10عن طائر كل عن
. نسمي الحياة قيد على المساوي Xيبقى العشوائي المتغير . قانون عين اشتراه طائر كل عن الطيور لبائع الجبري للربح
hل .Xاالحتمال الرياضي أمله و
التمرين : 15 حل
من شهر بعد لونها يظهر طيور بتربية يقومان النادرة للطيور مربيانتفقسها.
يبقى القيد على
Mالحياة
يبقىBأبيض
يصبحCملون
النوعالم ربي
0,20,10 ,7E1
0,070,130,8E2 : الطيور لبائع و% 70بالنسبة األول المربي .30من الثاني% المربي من
محل (1 إلى وصولها بعد يوم البائع عند من طائر طفل يشتري . يومان عمره أي البائع،
هو ا( شهر بعد حي الطائر يكون أن احتمال أن نبين0,839 :
p(V)=0,8×0,7+0,93×0,3 =0,839شهر ب( بعد ملون الطائر يكون أن احتمال : تعيين
p(C)=0,7×0,7+0,8×0,3=0,73 احتمال ج( ما شهر، بعد أبيض بقي الطائر أن علما
؟ األول المربي عند من يكون أنpB ( E 1 )= p(B ∩ E 1)
p(B)
p (B ∩ E 1 )=0,1× 0,7=0,07 p(B)=0,1×0,7 +0,13×0,3=0,109
pB ( E 1 )= p(B ∩ E 1)p(B)
= 0,070,109
≅ 0,642
عند (2 من طيور خمسة مستقلة بطريقة و عشوائيا شخص يختار. البائع محل إلى وصولها بعد يوم البائع
قيد على فقط ثالثة شهر، بعد تبقى أن احتمال :الحياة
رتبة ذات برنولي اختبار احتمال n=5لدينا .p= p(V)=0,839و"Aنسمي الحياة : " قيد على فقط ثالثة تبقى شهر، بعد الحادثة
p ( A )=C53 p3 (1−p )3=10 (0,839 )3 (0,161 )2≅ 0,153
شهر، (3 بعد أي لونها يظهر حتى بالطيور االحتفاظ الطيور بائع قرر . يربح النهائي بلونها يبيعها و DA 300حتى ملون طائر كل عن
50 DA يخسر و أبيض طائر كل ال DA 10عن طائر كل عن . نسمي الحياة قيد على المساوي Xيبقى العشوائي المتغير
. اشتراه طائر كل عن الطيور لبائع الجبري للربحلـ االحتمال قانون . X تعيين الرياضي أمله و
قيم X : X=−10 ;50 ;300 p(X=300)=p(C)=0,730
p(X=50)=p(B)=0,109
p ( X=−10 )=p (V )=1−p (V )=1−0,839=0,161
: االحتمال قانونالمجم
10xi-30050وع
10,7300,1090,161Pi
222.842195,45-1,61xi pi
E(X)=222,84 DA
: 16 التمرين .U2و U1صندوقان اللمس عند معروفة غير كرات على يحتويان
U1 على بيضاء )kيحتوي يساوي kكرة أو أكبر طبيعي .4و( 1عدد سوداء كراتU2 على .3يحتوي سوداء كرة و بيضاء كرات
من كرة عشوائيا في U1نسحب نضعها من. . U2و كرة ، ذلك بعد عشوائيا مجموع . U2نسحب. اختبار تمثل العمليات هذه
من " B1نسمي المسحوبة الكرة من " N1و بيضاء " U1الحادثة المسحوبة الكرة U1الحادثة. سوداء"
من " B2نسمي المسحوبة الكرة من " N2و بيضاء " U2الحادثة المسحوبة الكرة U2الحادثة. سوداء" .ا( الشجرة- أتمم و أنقل أ
- الحادثة احتمال أن بين 4يساوي B2ب K+125 K+20.
نأخذ تبقى .3و 2السؤاالن. k=10فيما ترتيب أي في عنهما اإلجابة يمكن و مستقالنأحمد .1 كرة ) DA 20راهن سحب باختبار قام في U1من و وضعها بعد . U2و سحب ثم
من كرة ، من(. U2ذلك المسحوبة الكرة كانت فيربح U2إذا فال DA 30بيضاء ، إال و . ليكن رهانه يخسر و شيء على الجبري Xيحصل للربح المساوي العشوائي المتغير
. راهنه الذي المبلغ و علية المحصل المبلغ بين الفرق أي ألحمدقيم ا( . Xعين
احتمال ب( قانون .Xعين الرياضي أمله احسب واللعبة ج( ؟ هل ألحمد مالئمة
أحمد .2 . nيشارك لعبة كل بداية في اللعبة لهذه متتابعة على U1مرة بيضاء 10يحتوي كراتو 4و سوداء على U2كرات االختبارات 3يحتوي بالتالي و سوداء كرة و بيضاء كرات
. مستقلة المتتابعةطبيعي عدد أصغر مرة nعين األقل على تحقيق احتمال يكون حتى
يساوي B2الحادثة أو أكبر .0,99يكون
التمرين : 16 حل
:أ- (1 الشجرة إتمام
2/5
1/5
3/5
4/5
4/(k+4)
k/(k+4)
N1
N2
N2
B2
B2
B1
pi
8
5k+20
12
5k+20
k
5 k+20
4 k
5 k+20
......
......
......
......
......
......
N1
N2
N2
B2
B2
B1
- الحادثة نب احتمال أن 4 يساوي B 2 بين K+125 K+20:
: نجد الكلية االحتماالت قانون باستعمال p (B2 )= k
k+4× 4
5+ 4
k+4× 3
5=4 k+12
5 k+20.) )المطلوب هو ونأخذ تبقى و 3و 2السؤاالن. k=10فيما مستقالن
. ترتيب أي في عنهما اإلجابة يمكنأحمد (2 كرة ) DA 20راهن سحب باختبار قام وضعها U1من و و
من . U2في كرة ، ذلك بعد سحب (. U2ثممن المسحوبة الكرة كانت فيربح U2إذا ، DA 30بيضاء إال و
. ليكن رهانه يخسر و شيء على يحصل المتغير Xفالالمبلغ بين الفرق أي ألحمد الجبري للربح المساوي العشوائي
. راهنه الذي المبلغ و علية المحصلقيم ا( : X تعيين
X(Ω)= - 20 ; + 10
احتمال ب( الرياضي X قانون أمله حساب : والمجم
20xi-10+وع
12635
935Pi
+8035
+26035
−18035xi pi
E ( X )=8035
=167≅ 2,29 DA
اللعبة ج( ؟ هل ألحمد مالئمةأن اللعبة E(X >) > 0بما ألحمد فإن .مالئمة
أحمد (3 . nيشارك لعبة كل بداية في اللعبة لهذه متتابعة U1مرة
على و 10يحتوي بيضاء كرات 4كرات
-20
-20
+10
X
+10
2/5
1/5
3/5
4/5
2/7
5/7
N1
N2
N2
B2
B2
B1
pi
4
35
635
5
35
2035
و على U2سوداء و 3يحتوي سوداء كرة و بيضاء كرات. مستقلة المتتابعة االختبارات بالتالي
طبيعي عدد أصغر تحقيق n تعيين احتمال يكون حتىالحادثة مرة األقل يساوي B 2 على أو أكبر يكون
0,99 . نخطط لدينا ، مستقلة و متطابقة هي المتتابعة االختبارات
العشوائي المتغير و الحد Yبرنولي ثنائي قانون B( n , 26يتبع35 )
الحادثة: " الحادثة لدينا مرة األقل على هي " B2تحقيقالحادثة " للحادثة المعاكسة تتحقق "B2الحادثة ال
Y)أي : ≥1 )=(Y=0 ) p (Y ≥ 1 ) ≥ 0ومنه ≥ p(Y=0)أي p(Y=0) ≥ 0,99- 1يكافئ 99,
)أي 0,01 935 )
n
≤ 0,01
nيكافئ ≥ ln (0,01 )
ln( 935 .n ≥ 9,01أي (
طبيعي عدد مرة nأصغر األقل على تحقيق احتمال يكون حتىيساوي B2الحادثة أو أكبر .10هو 0,99يكون
: 17 التمرين
كيس و كرات5على U1يحتوي كيس 7بيضاء يحتوي و سوداء و U2كرات بيضاء كرة 11على. . اللمس عند معروفة غير الكرات كل سوداء كرة
من (1 مرقمة أوجه ستة ذات تماما متجانسة نرد زهرة أحمد : 6إلى 1للسيد إذا . مرة يرميهالرقم على الكيس 6حصل من كرة عشوائيا يسحب ،U1 الكيس من كرة عشوائيا يسحب إال و ،
U2 .
: " ". Bلتكن ا( أن بين بيضاء كرة على يحصل أحمد السيد =p(B)الحادثة 536.
من ب( تكون أن احتمال هل بيضاء، كرة على أحمد السيد حصل أن U1إذا احتمال من أكبرمن ؟U2تكون
االختبار – (2 أحمد السيد شروط - épreuveيكرر في ، مرتين األول السؤال في المعرفةاألولى ) (. التركيبة نفس لهما يكون الكيسين ، األولى االختبار بعد أي مستقلة و متطابقة
. xليكن يربح أحمد السيد الختبارين من اختبار كل أثناء معدوم غير طبيعي حصل x DAعدد إذاويخسر بيضاء كرة . DA 20على hب نرمز سوداء كرة على حصل العشوائي Yإذا للمتغير
. االختبارين من االنتهاء بعد الجبري بالربح المرفققيم ا( .Yعيناحتمال ب( قانون .Yعينالرياضي ج( األمل .xبداللة E(Y)عينللعدد د( قيم أي أجل يكون xمن ،E(Y)≥ 0 ؟
التمرين : 17 حل
كيس و 5على U1يحتوي بيضاء يحتوي 7كرات و سوداء كراتو U2كيس بيضاء كرة . 11على معروفة غير الكرات كل سوداء كرة
. اللمس عندمن (3 مرقمة أوجه ستة ذات تماما متجانسة نرد زهرة أحمد للسيد
: 6إلى 1 الرقم . على حصل إذا مرة كرة 6يرميه عشوائيا يسحب ، الكيس الكيس U1من من كرة عشوائيا يسحب إال و ،U2.
: " ". Bلتكن ج( بيضاء كرة على يحصل أحمد السيد الحادثة أن =p(B)نبين 5
36: : نجد الكلية االحتماالت قوانين pباستعمال (B )= 5
72+ 5
72= 5
36
من د( تكون أن احتمال هل بيضاء، كرة على أحمد السيد حصل إذاU1 من تكون أن احتمال من ؟U2أكبر
pB (U 1)=p ( B ∩U1 )
p (B )=
( 572 )
( 1072 )
=1pB و 2 (U 2)=
p ( B ∩U 2 )p (B )
=( 572 )
(1072 )
=12=pB (U1 )
االختبار – (4 أحمد السيد األول - épreuveيكرر السؤال في المعرفة ( ، األولى االختبار بعد أي مستقلة و متطابقة شروط في ، مرتين
األولى (. التركيبة نفس لهما يكون الكيسين
pi
55/7
7/72
5/72
5/72
7/12
11/12
1/12
5/12
5/6
1/6
6
6
N
N
B
B
U2
من
U1
من
. xليكن الختبارين من اختبار كل أثناء معدوم غير طبيعي عدديربح أحمد ويخسر x DAالسيد بيضاء كرة على حصل DA 20إذا
. hب نرمز سوداء كرة على حصل المرفق Yإذا العشوائي للمتغير. االختبارين من االنتهاء بعد الجبري بالربح
قيم ه( :YتعيينY(Ω)= - 40 ; x – 20 ; 2x
احتمال و( :Yقانون2xx-20-40yiالمجموع
25/1296310/1296961/1296pi
(360 x – 58040/)1296
50 x / 1296
(310 x-6200/)1296
- 51840/12
96
yi
pi
الرياضي ز( األمل :xبداللة E(Y)عينE (Y )=360 x−58040
1296للعدد ح( قيم : xتعيين :E(Y) ≥ 0حيث
E(Y) ≥ 0 360يكافئ x – 58040 ≥ 0 يكافئx ≥ 161,24 تساوي :E(Y) ≥ 0حيث: xقيم أو األكبر الطبيعية األعداد هي162.
x - 20
- 40
x - 20
2 xY pi
B
االخت بار2
961/1296
155/1296
155/1296
25/1296
31/36
31/36
5/36
5/36
31/36
5/36
N
N
N
B
B
االخت بار1
-2
22 2
-1 33
-2
3
3
به : 18 التمرين االعداد 5كيس تحمل حمراء 2، 2كرات 2 2، ،-،3 ، األعداد تحمل خضراء كرات تحمل- 2، 3، 3، 3أربع زرقاء وكرة
- . 1العدد
واحد . آن في كرتين عشوائية بطريقة الكيس من نسحبعلى : -1 الحصول احتمال أحسب
اللون – . نفس من كرتين أمختلفين – . لونين من كرتين ب
سالبا - . جداءهما عددين تحمالن كرتين جالمتغير -2 السابقة السحبات من سحبة كل اجل من نعرف
كمايلي : xالعشوائي نفسه . - العدد لها نرفق العدد نفس تحمالن كرتين سحبنا اذاالعدد - لها نرفق مختلفين عددين تحمالن كرتين سحبنا اذا
األكبر . العشوائي المتغير قيم . xعين
للمتغير اإلحتمال قانون عينأمله xالعشوائي أحسب ثم ،
الرياضياتي .التمرين : 18 حل
توضيحي : رسم1 - لسحب- اللمكنة الحاالت هي :3أ كرات
C102 =45
- على "A ب- الحصول اللون حادثة نفس من "كرتين
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC5
2 +C42
45=10+6
45=16
45
B على الحصول مختلفين "حادثة لونين من " كرتين
P (B )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC1
1×C51+C5
1 ×C41 +C1
1 ×C41
45=29
45
C على الحصول سالبا "حادثة جداءهها عددين تحمالن " كرتين
P (C )= الملائمة =الحالاتالممكنةالحالاتC7
1 ×C31
45=21
45
قيم— 2 x : x=−2تعيين ,−1,2,3
P ( x=−2 )=C2
2
45= 1
45
P ( x=−1 )=C1
1 ×C21
45= 2
45
P ( x=2 )=C3
2 +C31×C1
1+C31 ×C2
1
45=12
45
P ( x=3 )=C4
2+C31 ×C 4
1 +C41 × C2
1 +C41 × C1
1
45=30
45
2x--321المجموع
13045
1245
245
145
p(x=xi)
المعياري— : واالنحراف التباين و الرياضي االمل حساب ج
E ( x )=229
550
0
0y
بالحل) ( : 19 التمرين مرفقعلى كيس الرقم 3يحتوي تحمل خضراء تحمالن 0كرات حمراوين كرتين
5الرقم
الرقم تحمل سوداء عن yحيث )yوكرة يختلف و معدوم غير طبيعي 5عدد (10و
اللمس . عند بينها النميز الكريات كلالكيس . من كرات ثالث واحد آن في نسحب
على - :1 الحصول احتمال ما
A -3 ؟ اللون نفس من كراتB - – 3 ؟ مختلفة ألوانها كراتC ؟ اللون نفس من فقط كرتان
مجموع xليكن -3 سحب بكل يرفق الذي العشوائي المتغيرالثالث . الكرات تحملها التي األرقام
بداللة- - الرياضي االمل ثم االحتمال قانون عين yأقيمة- - ماهي يكون : yب E حتى ( x )=20
تمرين : 19 حل
توضيحي : رسملسحب- اللمكنة الحاالت هي :3أ كرات
C63=20
- على "A ب- الحصول اللون 3حادثة نفس من "كرات
خضراء 3أي كرات
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC3
3
20= 1
20
B على الحصول مختلفة 3 "حادثة ألوانها " كرات
سوداء واحدة و حمراء واحدة و خضراء واحدة اي
P (B )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC3
1× C21 ×C1
1
20= 6
20
C على الحصول اللون "حادثة نفس من فقط " كرتان
و : خضراوين كرتين البقية 1اي منأو
و حمراوين البقية . 1كرتين من
P (C )= الملائمة =الحالاتالممكنةالحالاتC3
2 ×C31+C2
2 ×C41
20=13
20
قيم— 2 x : x=0,5,10تعيين , y , y+5 , y+10
خضراء 3 كرات
P ( x=0 )=P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC3
3
20= 1
20
P ( x=5 )=C 3
2×C21
20= 6
حمراء ) (20 وواحدة خضراوين كرتين اي
P ( x=10 )=C2
2×C31
20= 3
20خضراء ) ( وواحدة حمراوين كرتين
( x= y )=C3
2× C11
45= 3
20سوداء 2اي ) واحدة و (خضراوين
P ( x= y+5 )=C3
1×C21× C1
1
45= 6
20و ) حمراء واحدة و خضراء واحدة اي
سوداء (واحدة
( x= y+10 )=C2
2× C11
45= 1
20سوداء 2اي ) واحدة و (حمراوين
المجموع
y+10y+5y1050x
1120
620
320
320
620
120
p(x=xi)
بداللة كتابة ج- الرياضي يكون : yوقيمة y االمل حتىE ( x )=20 :
E ( x )=( 0∗120 )+( 5∗6
20 )+( 10∗320 )+( y∗3
20 )+(( y+5)∗620 )+( ( y+10)∗1
20 )=20
نجد : التبسيط بعد E ( x )=1
2y+5
يكون : yقيمة E حتى ( x )=20 :
E ( x )=12
y+5=0 : أيy=30.
رقم : 20 التمرين
ثالث من ثانوي األولى السنة الى المتوجهين الجدد التالميذ ثانوية تستقبلMمتوسطات 1 ،M 2 ،M بينهم 3 Mمن% 30من Mمن% 15، 1 والباقي 2 ،
Mمن 3 .
السنة يعيدون الذين التالميذ عدد نحصي سنة أخر فيالمتوسطة 10% تالميذ Mمن السنة 1 .يعيدون
المتوسطة 25% تالميذ Mمن السنة .2 يعيدونالمتوسطة 5% تالميذ Mمن السنة 3 . يعيدون
السنة " Rنسمي يعيد الذي " التلميذ
أولى السنة من تلميذا عشوائيا نختار
M1
تاالتمإلح
ةاجر
ش
M2
M3
السنة يعيد الذي : التلميذينجح الذي : التلميذ
اإلحتماالت .-1 شجرة شكل؟ -2 للسنة معيدا المختار التلميذ يكون أن مااحتمالالمتوسطة -3 من المختار التلميذ يكون أن احتمال Mما معيد 3 أنه علما
؟ للسنة
التمرين : 20 حل
اإلحتماالت : -1 لشجرة توضيحي رسم2-
للسنة معيدا المختار التلميذ يكون أن : احتمال
R=(M 1∩ R)∪(M 2∩ R)∪(M 3∩ R)
الكلية : اإلحتماالت نظرية باستعمال P(R)=P(M 1∩ R)∪P(M 2∩ R)∪P (M 3 ∩ R)
P (R )=( 30100
× 10100 )+( 15
100× 25
100 )+( 55100
× 5100 )
P (R )=0.095
المتوسطة -3 من المختار التلميذ يكون أن Mاحتمال أنه 3 علماللسنة الشرطي معيد االحتمال حساب أي
PR ( M 3 )= P(M 3∩ R)P ( R )
PR ( M 3 )=( 55100
× 5100 )
0.095=0.29
أربع : 21 التمرين من مكون عدد عن عبارة بنكية لبطاقة السري الرقمالمجموعة من مأخوذة 1ارقام , 2,3,4,5,6,7,8,9 .
؟ -1 تشكيله يمكن سريا رقما كمالكمبيوتر .-2 طريق عن عشوائية بطريقة مختار للبطاقة السري الرقم
التالية : - الحوادث كل احتمال أحسب-A. " " زوجي عدد عن عبارة السري الرقم-B. " "– فقط الزوجية االرقام من مكون السري الرقم--C " الرقم واحدة مرة يشمل السري . "1الرقم-D " "- مختلفة ارقام من مكون السري الرقم
التمرين : 21 حل
هي :-1 السرية األرقام np=94=6561 عددزوجي : -2 عدد عن عبارة السري الرقم
P ( A )= ×11=الحالاتالممكنةالحالاتالملائمة 93+11× 93+11× 93+11× 93
94 =49
فقط -3 الزوجية االرقام من مكون السري : الرقم
P (B )= الحالاتالممكنةالحالاتالملائمة =44
94 = 2566561
الرقم -4 واحدة مرة يشمل السري : 1 الرقم
P (C )= الملائمة ×11=الحالاتالممكنةالحالات 83+11× 83+11× 83+11× 83
94 =20486561
مختلفة - 5 ارقام من مكون السري : الرقم
P ( D )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةA9
4
94 =30246561
: 22 التمرين
كيس -1 Uيحتوي الرقم 5على 1 تحمل منها ثالث ، كراتالرقم 2 تحمالن . 3وكرتان
ثاني كيس بيضاء : 5على U2ويحتوي منها ثالث كراتبينها التمييز اليمكن حمراء واثنان
الكيس - من واحدة كرة عشوائيا ونسجل U1نسحبواحد آن في و عشوائيا نسحب ثم ، كرة nرقمه
الكيس الكرة nبحيث U2من تحمله الذي الرقم هوالكيس من Uالمسحوبة 1 .
بيضاء . أ- كرات ثالثة على الحصول إحتمال ماهوان ب- علما حمراء كرتين على الحصول إحتمال ماهو
من المسحوبة الكرة Uرقم . 3هو 1الكرات xليكن -2 عدد يساوي الذي العشوائي المتغير
المسحوبة الحمراءالعشوائي أ- للمتغير الممكنة القيم . xماهيأن : ب- Pبين ( x=0 )=11
50العشوائي ت- المتغير إحتمال قانون . xحددالعشوائي ث- للمتغير الرياضياتي األمل . xأحسب
R 2
R
B B B
3
22
3
التمرين إلضافته : 22 حل عليه العمل يتم
توضيحي : رسم
بيضاء : -1 كرات ثالثة على الحصول إحتمال×
P ( A )= =الحالاتالممكنةالحالاتالملائمةC2
1
C51 ×
C33
C53 =
25
× 110
= 250
رقم -2 ان علما حمراء كرتين على الحصول إحتمالمن المسحوبة Uالكرة : 3هو 1
PB ( R )= p ( R ∩B )p ( B )
=
C21
C51 ×
C22 ×C3
1
C53
C21
C51
= 310
ل - الممكنة هو: x القيم الحمراء الكرات عدد أن 2بماقيمة كانت مهما الكرات (3او 2 )nفانه عدد فإن
هي : واحد آن في سحبها يمكن التي 2او 1او 0الحمراء
أن - P: تبيان ( x=0 )=1150
)الحادثة : x=0 اذا : ( حمراء كرة اي سحب عدم معناهالرقم تحمل كرة من U 1 من 2 سحب بيضاويتين كرتين وسحب
U 2
أوالرقم تحمل كرة من 3 وسحب U 1 من 3 سحب بيضاء U كرات 2
Pومنه : ( x=0 )=( C31
C51 ×
C 32
C 52 )+(C 2
1
C 51 ×
C33
C53 )=11
50
االحتمال : -3 قانون
P ( x=1 )=1−( 1150
+ 950 )=30
50
P ( x=2 )=(C31
C51 ×
C22
C52 )+(C 2
1
C 51 ×
C22 ×C3
1
C53 )= 9
50
المجمو
ع210x
1950
3050
1150
p( X=xi)
الرياضياتي : ج- االمل E حساب ( x ) :
E ( x )=( 0∗1150 )+( 1∗30
50 )+( 2∗950 )=24
25
: 23 التمرين
على منهما كل يحتوي كيسان على 5لدينا تحمل األول الكيس كرات ، كراتاألرقام : التوالي 2، 2، 2، 1، 1التوالي على تحمل الثاني الكيس وكرات
3، 3، 2، 2، 1األرقام :
3 2
3
2 2 1
1
22
1
العشوائي -1 المتغير نعتبر و كيس كل من كرة عشوائيا الذي xنسحبالمسحوبتين . الكرتين رقمي مجموع يساوي
يأخذها أ- التي القيم العشوائي حدد ؟ xالمتغيراحتمال ب- قانون العشوائي اعط ؟ xالمتغير؟ ت- زوجي مجموع على الحصول احتمال أحسب
المسحوبة -2 الكرية ارجاع مع مرات أربع السابقة السحب عملية نكررمرة . كل في منه المسحوبة الكيس الى
؟ - بالضبط زوجية مجاميع ثالثة على الحصول احتمال هو ماالتمرين : 23 حل
1-
يأخذها أ- التي x القيمالكرتين رقمي مجموع حالة كل في يعطي التالي الجدول
المسحوبتين :
S 1 سحبة22211 سحبة
S 2
333221444332444332555443555443
هي : الممكنة 5، 4، 3، 2القيم
االحتمال : ب- قانونأن : نستنتج الجدول من
P ( x=2 )= 225
P ( x=3 )= 725
P ( x=4 )=1025
P ( x=5 )= 625
5432x
625
1025
725
225
p( X=k )
زوجي – : مجموع على الحصول احتمال ج
هو : االحتمال هذا
P (s )=P ( x=2 )+P ( x=4 )= 225
+ 1025
=1225
بالضبط -2 زوجية مجاميع ثالثة على الحصول :احتمال
C43( 12
25 )3
(1−1225 )
1
89856أي : 390625
A
تاالتمإلح
ةاجر
ش
B
C
ب : 24 التمرين خاص مقترح واقتصاد 3 تمرين تسيير
صناديق Aثالث , B , C منها كل بحيث : 10يحوي متماثلة كرياتو : Aالصندوق حمراء كرتين خضراء 8يحويو 3يحوي : Bالصندوق حمراء خضراء 7كرياتو 4يحوي : Cالصندوق حمراء خضراء 6كريات
واحدة . كرية عشوائيا منه ونسحب الصناديق أحد عشوائيا نأخذالوضعية .-1 لهذه االحتماالت شجرة شكل؟ -2 حمراء المسحوبة الكرية تكون ان مااحتمالالصندوق -3 من آتية و حمراء المسحوبة الكرية تكون ان مااحتمال
؟ األولسحبت -4 قد تكون أن احتمال هو فما حمراء المسحوبة الكرية كانت اذا
؟ األول الصندوق منالتمرين : 24 حل
االحتماالت – : 1 شجرةب : الحمراء الكرية الى Rنرمز
ب : الخضراء الكرية الى Vنرمز
حمراء - 2 المسحوبة الكرية تكون ان هي : احتمال
P (R )=1030
× 210
+ 1 03 0
× 310
+ 1030
× 41 0
= 930
األول -3 الصندوق من آتية و حمراء المسحوبة الكرية تكون ان احتمالهي :
P (R⋂ A )=1030
× 210
= 230
= 115
احتمال -4 سحبت حساب قد انها علما حمراء المسحوبة الكرية كانت اذااألول الصندوق من
PR ( A )=P (A ∩ R)P ( R )
PR ( A )=
11 59
30
=29
الحل : مع جديد تمرين مرة كل اضافة سيتم مالحظةجديد كل على للحصول التعليمي موقعنا زوروا لذا
موقعنا : Learn Dz .com على