vigas no prismáticas - vigas armadas y vigas circulares

7/21/2019 Vigas No Prismáticas - Vigas Armadas y Vigas Circulares

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I. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS DE SECCIÓNTRANSVERSAL CIRCULAR

El esfuerzo cortante τ en una viga de sección transversal circular debe actuar

tangencialmente al borde. La superficie exterior de la viga está libre de esfuerzo, de

modo que el esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal no tiene uncomponente en la dirección radial.

Los esfuerzos cortantes se determinan con facilidad en el eje neutro mediante

algunas ipótesis razonables sobre la distribución de los esfuerzos. !uponemos que

los esfuerzos actúan en paralelo al eje y " que tienen intensidad constante a trav#s

del anco de la viga $del punto p al punto q en la %ig. &'. (omo estas ipótesis son

las mismas podemos utilizar la fórmula del cortante en el cálculo de los esfuerzos en

el eje neutro.

Existen dos casos)

1. Primer Caso:*ara usarlas en la fórmula del cortante, necesitamos las siguientes propiedades deuna sección transversal circular de radio r )

+

+r I

π

=,

-

,

+

-

,-r r r

y AQ =

==

π

π

r b -= $&'

La expresión para se basa en las fórmulas para un semic/rculo. !ustituimos

esas expresiones en la fórmula del cortante " obtenemos

( )

( )( ) A

V

r

V

r r

r V

Ib

VQ

máx ,

+

,

+

-+

,-

-+

,

====π π

τ

$-'

en donde A 0 π r 2 es el área de la sección transversal.

Fig 1

2. Seg!"o Caso:!i una viga tiene una sección transversal circular ueca como se muestra en la

figura -, podemos suponer que los esfuerzos cortantes en el eje neutro son

paralelos al eje y " que están uniformemente distribuidos a trav#s de la sección.

*or lo tanto, podemos volver a usar la fórmula del cortante para encontrar los



esfuerzos máximos. Las propiedades requeridas de la sección circular ueca

son

( )+

&

+

-

+r r I −=

π

,

-

,

+

-

,- r r r y AQ =

==

π

π

( )&-

- r r b −= $'

en donde r 1 " r 2 son los radios interno " externo de la sección transversal1 por

lo tanto, el esfuerzo máximo es

(( )-

&

-

-

-

&&-

-

-

,

+

r r A

r r r r V

Ib

VQmáx

+

++==τ $+'

en donde

( -

&

-

- r r A −= π

es el área de la sección transversal. 2ótese que si r 1 0 3, la Ec. $+' se reduce a

la Ec. $-' para una viga circular sólida.

Fig. 2

4unque la teor/a anterior para esfuerzos cortantes en vigas de sección

transversal circular es aproximada, da resultados que sólo difieren en, un

peque5o porcentaje de los obtenidos mediante la teor/a exacta de la elasticidad.

II. VIGAS AR#ADASLas vigas armadas se fabrican con dos o más piezas de material unidas entre s/ para

formar una sola viga. 6ales vigas se constru"en en una gran variedad de formas para

satisfacer requisitos arquitectónicos o estructurales especiales " proporcionar

secciones transversales ma"ores que las comúnmente disponibles. 4 continuación se

citan algunos ejemplos.



Fig. $

Las vigas armadas deben dise5arse de manera que la viga se comporte como un solo

miembro. En consecuencia los cálculos de dise5o comprenden dos fases. En la

primera, la viga se dise5a como si estuviera eca de una sola pieza, tomando en

cuenta los esfuerzos de flexión " cortantes. En la segunda, se dise5an las conexiones

entre las partes $clavos, pernos, soldadura, pegamento' para garantizar que la viga se

comporte realmente como una sola unidad. En particular, las conexiones deben tener

la suficiente fuerza para transmitir las fuerzas cortantes orizontales que actúanentre las partes de la viga. *ara obtener estas fuerzas utilizamos el concepto de flujo

de cortante.

F%&o Cor'a!'e

El flujo de cortante f , es la fuerza cortante orizontal por unidad de distancia a lo

largo del eje longitudinal de la viga.

4 partir del equilibrio orizontal del subelemento determinamos la fuerza F 3 que

actúa sobre su superficie interior)

Secciones transversales de vigas armadas

típicas:

a' 7iga en caja de madera1 elaborad con dos

tablones que sirven de patines " con dos

almas de madera contracapada.

b' 7iga laminada pegada, eca de tablas

pegadas o encoladas entres s/ para formar una

viga ma"or que la que podr/a cortarse de un

árbol como una pieza, "

c' 6rabe armada con placas de acero del tipo

que suele utilizarse en puentes " grandes

edificios.



∫ = ydA F I dM

,

(omo la fuerza F 3 actúa a lo largo de la distancia dx, la fuerza cortante por distancia

unitaria es igual a F 3 dividida entre dx, entonces)

( )∫ == ydA f I dxdM

dx

F &,

8eemplazando dM 9dx con la fuerza cortante V " denotando la integral con Q, se

obtiene)

I

VQ f =

Esta ecuación da el flujo de cortante que actúa sobre el plano orizontal pp1.

!i los esfuerzos cortantes sobre el plano pp1 están uniformemente distribuidos, el

flujo cortante f es igual a ϒ b.El subelemento puede ser cualquier bloque prismático de material entre secciones

transversales mn " m&n&, no tiene que obtenerse de un sólo corte orizontal a trav#s

de la viga.

4demás la fuerza F 3 puede estar distribuida en cualquier parte sobre los lados del

subelemento, no sólo de su superficie inferior.

( reas sa"as a% )a%)%ar e% #ome!'o Es' * 'i)o +

Vista lateral del elemento ,a-



Vista lateral del subelemento ,b-

Vista lateral del subelemento ,c-

Figura aEs un trabe a base de placas soldadas de acero. Los cordones de soldadura deben

trasmitir las fuerzas cortantes orizontales que actúa entre los patines " el alma. En

el pat/n superior la fuerza cortante orizontal es el flujo de cortante a lo largo de la

superficie $este flujo de cortante puede calcularse tomando Q como el momento

estático del área transversal'.

:espu#s de calcular el flujo de cortante resulta fácil determinar la cantidad de

soldadura necesaria para resistir la fuerza cortante.

Figura b

Es una viga de pat/n anco que se refuerza remacando una sección en canal a cada

pat/n. Los remaces tienen que trasmitir la fuerza cortante orizontal. Esta fuerza se

calcula a partir de la fórmula de flujo de cortante usando Q como el momentoestático

Figura c

Es una viga en caja de madera con dos patines " dos almas conectadas por clavos o

tornillos. El momento estático Q se calcula para el pat/n superior. En este caso la

acción combinada de los clavos en ambos lados de la viga resiste el flujo de cortante

f .

III.IV.



VIGAS NO PRIS#(TICAS

!on vigas que no tienen la misma sección transversal en toda su longitud, suelen usarse

para reducir el peso " mejorar la apariencia. 6ales vigas se encuentran en automóviles,

aviones, maquinaria, puentes, edificios, erramientas " mucas otras aplicaciones. La

fórmula de la flexión da valores razonablemente precisos para los esfuerzos de flexión

en vigas no prismáticas cuando los cambios en las dimensiones transversales son

graduales, como en los ejemplos de la fig. ;<-

Fig /2$

(onsideremos aora cómo var/an los esfuerzos de flexión al movernos a lo largo del eje

de la viga. En una viga prismática, el módulo de sección S es constante, de modo que

los esfuerzos var/an en proporción directa al momento flexionante M $porque 0 M!S '1

pero, en una viga no prismática, el módulo de sección tambi#n var/a a lo largo del eje.

En consecuencia, no podemos suponer que los esfuerzos máximos ocurran en la sección

transversal con el momento flexionante máximo1 a veces se presentan en otra parte,como se ilustra en el siguiente ejemplo.

"#empl$% de &iga% n$ pri%mática%'

a' Lámpara de alumbrado público1

b' *uente con trabes " estribos

ausados1

c' *untal de la rueda de un peque5o

avión, "

d ' =anija de una llave.



Ejemplo

>na viga ausada en voladizo A( de sección transversal circular sólida soporta una

carga ) en el extremo libre. El diámetro d ( en el extremo ma"or es el doble del diámetro

d A en el extremo menor)

-= A

(

d

d

:eterminar el esfuerzo de flexión ( en el soporte fijo " el esfuerzo máximo de flexión máx.

Solución

!i el ángulo de ausamiento de la viga es peque5o, los esfuerzos de flexión obtenidos

con la fórmula de la flexión apenas diferirán de los valores exactos. (omo gu/a respecto

a la exactitud, notamos que si el ángulo entre la l/nea A( " el eje longitudinal de la viga

es de aproximadamente -3?, el error en el cálculo de los esfuerzos normales con lafórmula de la flexión es de cerca de &3@. :esde luego, al disminuir el ángulo de

ausamiento, el error se reduce.

M*dul$ de %ecci*n. El módulo de sección en cualquier sección transversal de la viga

puede expresarse como una función de la distancia x medida a lo largo del eje de la

viga. *uesto que el módulo de sección depende del diámetro, primero debemos expresar

el diámetro en t#rminos de x como sigue)

( ) +

xd d d d A ( A x

−+= $;<3'



En donde d x es el diámetro a la distancia x desde el extremo libre1 por lo tanto, el

módulo de sección a la distancia x desde el extremo es

( ),,

,-,-

−+==

+

xd d d

d S A ( A

x x

π π

$;<&'

"%fuer,$% de flexi*n. :ado que el momento flexionante es igual a )x, el esfuerzo normal

máximo en cualquier sección transversal está dado por la ecuación

( ) ( )[ ],&

,-

+ xd d d

)x

S

M

A ( A x

x

−+==π

σ $;<-'

*or inspección de la viga advertimos que el esfuerzo A & es de tensión en la parte

superior de la viga " de compresión en la parte inferior.

2ótese que las Ecs $;<3', $;<&' " $;<-' son válidas para cualquier valor de d A " d (,

siempre que el ángulo de ausamiento sea peque5o. En el siguiente análisis,

consideraremos el caso en que d ( 0 -d A.

"%fuer,$ máxim$ en el %$p$rte fi#$ cuand$ d ( - -d A. El esfuerzo máximo en la sección

de momento flexionante máximo $extremo ( de la viga' puede encontrarse con la Ec.

$;<-' sustitu"endo x - + " d ( - -d A1 el resultado es

,

+

A

(d

)+

π

σ = $a'

"%fuer,$ máxim$ en la &iga cuand$ d ( - -d A. El esfuerzo máximo en una seccióntransversal a una distancia x desde el extremo $Ec ;<-' para el caso en que d ( - -d A, es

( ) ,,&

&

,-

+ xd

)x

A +=π

σ $b'

*ara determinar la posición de la sección transversal con el esfuerzo de flexión máximo

en la viga, necesitamos encontrar el valor de x que ace a 1 un máximo. !i derivamos

d 1 !dx e igualamos a cero, podemos despejar el valor de x que ace a 1 un máximo1 el

resultado es

- + x =

El esfuerzo máximo correspondiente que se obtiene al sustituir x - +!2 en la Ec. b', es

,, B+&.+

-B

&-C

A A

máxd

)+

d

)+

π π

σ == $c'

En este ejemplo el esfuerzo máximo ocurre en el punto medio de la viga " es &D@

ma"or que el esfuerzo en el extremo empotrado.



.$ta) si se reduce el ausamiento de la viga, la sección transversal de esfuerzo normal

máximo se mueve del punto medio acia el soporte fijo. *ara ángulos mu" peque5os de

ausamiento, el esfuerzo máximo se presenta en el extremo (.

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