1

Viktigaste formlerna i dynamikdelen av SG1108 Tillämpad fysik, mekanik

Kinematik i olika komponentsystem Storhet Kartesiska Naturliga Cylindriska r x y zx y z= + +r e e e [ ( )]s t=r r OP r zr z= +r e e

=v r& x y zx y z= + +v e e e& & & ts=v e& r zr r zθθ= + +v e e e&& & = =a v r&&& x y zx y z= + +a e e e&& && && 2

t nssρ

= +a e e&

&& 2( ) ( 2 )r zr r r r zθθ θ θ= − + + +a e e e& && &&& & &&

Definition: Rörelsemängd p = mv

Postulat: Newtons andra lag, Newton II, kraftlagen, rörelsemängdslagen: m m= =F p F a&

Newton II i olika komponentsystem Kartesiska Naturliga Cylindriska

: x xF mx=e && : t tF ms=e && 2: ( )r rF m r rθ= −e &&& : y yF my=e && 2

: n nsFρ

=e&

: ( 2 )F m r rθ θ θ θ= +e && &&

: z zF mz=e && : 0b bF =e : z zF mz=e &&

Definition: Arbete 2

1

1 2( )

( ) C

dU d d U d−= ⋅ = ⋅ = ⋅∫r

r

F r r F r F r där C är den valda

integrationsvägen mellan punkterna r1 och r2.

Definition: Effekt P = ⋅F v

Sats: dUPdt

= Sats: 2

1

1 2

t

t

U Pdt− = ∫

Definition: Kinetisk energi 212

T mv=

Sats: Lagen om kinetiska energin 1 2 2 1U T T− = − gäller alltid

2

Definition: Kraften F sägs vara konservativ om arbetsintegralen 2

1

1 2U d− = ⋅∫r

r

F r är

oberoende av integrationsvägen mellan de två godtyckligt valda punkterna r1 och r2.

Definition: För konservativa kraften F existerar potentiella energin 1

( ) V d= − ⋅∫r

r

r F r

Sats: 1 2 1 2U V V− = − Sats: Mekaniska energilagen E = T + V = konst

Några potentiella energier

Allmänt: 1

( ) V d= − ⋅∫r

r

r F r

Tyngdkraften: V(r) = V(z) = mgz + konst (väljs 0 vid nollnivån)

Gravitationskraften: ( ) mMV r Gr

= − [Gravitationskraften är 2 rmMGr

= −F e ]

Fjäderkraften: 21 ( )2

V k l= Δ [Fjäderkraften är ( ) xk l= − ΔF e ]

Definition: Kraftmoment m a p O: O = ×M r F

Definition: Rörelsemängdsmoment m a p O: O m= × = ×H r p r v

Sats: Momentekvationen O O=M H& z zM H= &

Rotation kring fix z-axel Definition: Tröghetsmomentet m a p z-axeln 2

z i ii

I m ρ= ∑

21 2 z z zT I H Iω ω= =

Definition: Impuls 2

1

t

t

dt= ∫I F

Definition: Impulsmoment eller momentimpuls 2

1

t

O Ot

dt= ∫N M

Sats: Impulslagen I = p(t2) - p(t1) = mv(t2) – mv(t1)

Sats: Impulsmomentlagen NO= HO(t2) – HO(t1)

3

Rörelsemängdens bevarande

Vid stöt mellan två partiklar (1) och (2)bevaras den totala rörelsemängden:

m1v1f + m2v2f = m1v1e + m2v2e , där e = efter och f = före

Studstalet:

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 1 2

e e xe xe xe xe

f f xf xf xf xf

x x v v v vex x v v v v

− − −= − = − =

− − −& &

& &

Centralrörelse

Definition: Kraften F sägs vara en centralkraft om dess verkningslinje hela tiden

går genom en och samma fixa punkt O som kallas kraftcentrum.

Definition: En partikel som påverkas av endast en centralkraft sägs utföra en

centralrörelse.

Sats: Vid centralrörelse är rörelsemängdsmomentet m a p kraftcentrum O

konstant:

HO = konstant vektor; Hz = konstant.

Sats: Vid centralrörelse bevaras mekaniska energin E = T + V = konst

4

Svängningar

Fri odämpad svängning

20 0nkkx mx x x x xm

ω− = ⇔ + = ⇔ + =&& && &&

har allmän lösning: 2sin cos / Svängnigstid n n n nn

x A t B t k m πω ω ω τω

= + = =

Fri svagt dämpad svängning (ζ < 1) 20 2 0n n

c kkx cx mx x x x x x xm m

ζω ω− − = ⇔ + + = ⇔ + + =& && && & && &

har allmän lösning:

22( sin cos ) / 2 = / Svängnigstid 1ntd d n n n d n

d

x e A t B t k m c mζω πω ω ω ζω τ ω ω ζω

−= + = = = −

Fri kritiskt dämpad svänging (ζ =1) 20 2 0n n

c kkx cx mx x x x x x xm m

ζω ω− − = ⇔ + + = ⇔ + + =& && && & && &

har allmän lösning: ( )ntx e A Btω−= + Påtvingad odämpad svängning

20 00 sin sin sinn

F Fkkx F t mx x x t x xm m m

ω ω ω ω− + = ⇔ + = ⇔ + =&& && &&

har bestående partikulärlösning: 02

/ sin1 ( )n

F kx tωω ω

=− /

Påtvingad dämpad svängning 20 0

0 sin sin 2 sinn nF Fc kkx cx F t mx x x x t x x x t

m m m mω ω ζω ω ω− − + = ⇔ + + = ⇔ + + =& && && & && &

har bestående partikulärlösning:

022 2 2 2

/ 2sin( där arctan1 ( )[1 ( ) ] 4 ( )

n

nn n

F kx t ζω ωω α αω ωω ω ζ ω ω

/= − ) =

− /− / + /

5