vilniaus universitetas matematikos ir informatikos …adomas/konspektai/... · vilniaus...

VILNIAUS UNIVERSITETASMATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS

Diskrečiosios matematikos uždaviniai

dr. Adomas Birštunas

Vilnius, 2017

Turinys

1 Aibės 21.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Sąryšiai 42.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Funkcijos 63.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Būlio funkcijos 84.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Teiginių logika 115.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Predikatų logika 126.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Grafų pagrindai 147.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8 Turingo mašinos 178.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9 Baigtiniai automatai 199.1 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.2 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

1. Aibės

1.1 Uždaviniai

1. Duotą aibę užrašyti su savybe ir induktyviai.

A = {−18,−13,−8,−3, 2, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, . . . , 97}.

Pastaba: aibėje nėra skaičių 7 ir 12.

2. Aibė A apibrėžta induktyviai:

1) a1, b2 ∈ A,2) Jei x1 ∈ A ir y ∈ A, tai xy ∈ A,ir jei x2 ∈ A ir y ∈ A, tai xyy ∈ A,3) Aibei A priklauso tie ir tik tie elementai (aibės), kuriuos galima gauti pagal 2 punktepateiktas taisykles iš 1 punkte apibrėžtų elementų.

Kurie iš toliau pateiktų elementų priklauso aibei A, o kurie nepriklauso ir kodėl?

• aab2

• aaba1

• baa1aa1

• bb2ba1a1

• bba1a1b2

• ababa1

• aabbaa1aaba1a1

3. Duotos aibės A = { 2, 3, ∅ }, B = { 1, 3, 2, {2} },C = (1, 3], D = {2, {3} , {2} , ∅}.

• Rasti (A ∪B) ∩D.

• Rasti (A ∪D)\B.

• Rasti (B ∪D) ∩ C.

• Rasti (B ∪D) ∩ P(C).

• Rasti (D ×B) ∩ (A× C).

2

• Rasti (A×B) ∩ (D × C).

• Rasti (D ×B) ∩ (A× C).

• Rasti (B × C) ∩ (D × A).

• Rasti (A ∩D)× (B ∩ C).

• Ar (A ∩B) ∈ P(C) ir kodėl?

• Ar (A ∩D) ∈ P(C) ir kodėl?

3

2. Sąryšiai

2.1 Uždaviniai

1. Sąryšis σ apibrėžtas teigiamų natūraliųjų skaičių aibėje N+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }.

(x, y) ∈ σ ⇔ kai x dalosi iš y (be liekanos).

Ar sąryšis yra refleksyvus, simetrinis, antisimetrinis, tranzityvus, ekvivalentumo, tvarkosir kodėl?

2. Sąryšis σ apibrėžtas aibėje A = {2, 3, 4}.

(x, y) ∈ σ ⇔ |(3 · x− y)− 6| ≥ 4.


3. Sąryšis σ apibrėžtas natūraliųjų skaičių aibėje N.

(x, y) ∈ σ ⇔ |(3 · x− y)− 6| ≥ 4.



(x, y) ∈ σ ⇔ |(3 · x− y)− 6| ≥ 4.



(x, y) ∈ σ ⇔ | |3 · x− y| − 6 | ≥ 4.


6. Sąryšis σ apibrėžtas natūraliųjų skaičių aibėje N.

σ = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 5), (6, 3), (6, 4)} ∪{(6, 5), (6, 6), (7, 2), (7, 7)}.


4

7. Sąryšis σ apibrėžtas sveikųjų skaičių aibėje Z.

(x, y) ∈ σ ⇔ y−4x+1

= 2.


2.2 Atsakymai

1. Sąryšis σ yra refleksyvus, nėra simestrinis, yra antisimetrinis, yra tranzityvus, nėra ekvi-valentumo, yra tvarkos, bet nėra pilnos tvarkos.

2. Sąryšis σ nėra refleksyvus, yra simestrinis, nėra antisimetrinis, nėra tranzityvus, nėraekvivalentumo, nėra tvarkos.

3. Sąryšis σ nėra refleksyvus, nėra simestrinis, nėra antisimetrinis, nėra tranzityvus, nėraekvivalentumo, nėra tvarkos.

4. Sąryšis σ yra refleksyvus, nėra simestrinis, nėra antisimetrinis, nėra tranzityvus, nėraekvivalentumo, nėra tvarkos.

5. Sąryšis σ yra refleksyvus, nėra simestrinis, yra antisimetrinis, yra tranzityvus, nėra ekvi-valentumo, yra tvarkos ir pilnos tvarkos.

6. Sąryšis σ nėra refleksyvus, nėra simestrinis, yra antisimetrinis, yra tranzityvus, nėraekvivalentumo, nėra tvarkos.

7. Sąryšis σ nėra refleksyvus, nėra simestrinis, yra antisimetrinis, nėra tranzityvus, nėraekvivalentumo, nėra tvarkos.

5

3. Funkcijos

3.1 Uždaviniai

1. Duota atitiktis F tarp aibių A ir B. A = { 4, 5, 6, 7 }, B = { a, b, c, d, e }.

F = {(5, b), (6, e), (4, c), (4, a), (5, d)}.

(a) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės A į aibę B ir kodėl?

(b) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės B į aibę A ir kodėl?

(c) Ar F : A→ B yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

(d) Ar F : B → A yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

2. Duota atitiktis F tarp aibės Z ir N.

(x, y) ∈ F ⇔ x2 = (y − 2) · |y − 2|.

(a) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės Z į aibę N ir kodėl?

(b) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės N į aibę Z ir kodėl?

(c) Ar F : Z→ N yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

(d) Ar F : N→ Z yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

3. Duota atitiktis F tarp aibės N ir Z.

(x, y) ∈ F ⇔ x2 = (y − 2) · |y − 2|.

(a) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės N į aibę Z ir kodėl?

(b) Ar F yra funkcinė atitiktis iš aibės Z į aibę N ir kodėl?

(c) Ar F : N→ Z yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

(d) Ar F : Z→ N yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

4. Duota funkcija f : A→ N, kur A = { 0, 2, 4, 6, 8, . . . }. f(x) = (x−2)+|x−2|4

.

Ar funkcija yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

5. Duota funkcija f : A→ N, kur A = { 0, 4, 8, 12 . . . }. f(x) = (x−2)+|x−2|4

.

Ar funkcija yra injekcija, surjekcija, bijekcija ir kodėl?

6

3.2 Atsakymai

1. (a) Nėra funkcinė atitiktis.

(b) Yra funkcinė atitiktis.

(c) Nėra injekcija, nėra surjekcija, nėra bijekcija.

(d) Nėra injekcija, nėra surjekcija, nėra bijekcija.

2. (a) Yra funkcinė atitiktis.

(b) Nėra funkcinė atitiktis.

(c) Nėra injekcija, nėra surjekcija, nėra bijekcija.


3. (a) Yra funkcinė atitiktis.

(b) Nėra funkcinė atitiktis.

(c) Yra injekcija, nėra surjekcija, nėra bijekcija.


4. Nėra injekcija, yra surjekcija, nėra bijekcija.

5. Yra injekcija, nėra surjekcija, nėra bijekcija.

7

4. Būlio funkcijos

4.1 Uždaviniai

1. Duotas formules išreikšti virš Būlio funkcijų aibės B&,¬ = {x&y,¬x}.

(a) x | y.

(b) x ∨ y.

(c) x→ y.

(d) x↔ y.

(e) x⊕ y.

(f) (x | y) ∨ z.

2. Duotas formules išreikšti virš Būlio funkcijų aibės B→,0 = {x→ y, 0}.

(a) ¬x.

(b) x ∨ y.

(c) x&y.

(d) x↔ y.

(e) (x&z) ∨ ¬y.

3. Nustatyti ar duotos Būlio funkcijos yra ekvivalenčios:

(a) (x⊕ y) ∨ (z → x) ir ( (y → x)&(y ∨ ¬x) )→ (¬x | z).

(b) ( x | (y ∨ z) )→ (x&¬z) ir x&( (z → y) ∨ (z&¬y) ).

(c) ( (z ⊕ y)→ x )&( (x&y)→ z ) ir ( (y ⊕ x)→ z )&( z → (x ∨ y) ).

4. Nustatyti, kurie duotos Būlio funkcijos kintamieji yra esminiai, kurie fiktyvūs.

(a) f(x, y, z) = ( (y → z)&( (¬x&y) ∨ (¬x&z) ) )→ x.

(b) f(x, y, z) = ( y ⊕ (z ∨ x) )→ ( (y → z) | ( ¬(x&¬z) ∨ y ) ).

(c) f(x, y, z, w) = ( z&( w → (¬y ∨ w) ) )→ ( ( x→ (w&¬y) )&(x→ y) ).

8

5. Nupaišyti Būlio funkcijos Būlio schemą ir nusatyti Būlio schemos sudėtingumą:

• f(x, y, z) = ( (x→ y)&z ) ∨ ( (¬z → x)&(y ↔ z) ).

• f(x, y, z) = ( x→ (¬y ∨ z) )↔ (z → ¬x).

• f(x, y, z, w) = ( w&(¬y ∨ x ∨ ¬z) ) ∨ ¬( (x ∨ w)&( w&(¬y ∨ x ∨ ¬z) ) ).

6. Reikšmių lentelės pagalba rasti duotų Būlio funkcijų NKF ir NDF:

• f(x, y, z) = ( (x&z)⊕ (y → ¬z) ) ∨ (x↔ ¬y).

• f(x, y, z) = (z ∨ ¬y)→ ( (x&¬z)⊕ ( y → (¬x ∨ z) ) ).

• f(x, y, z) = ( (y ↔ ¬z) ∨ (y&¬x) )→ ¬( (z ∨ ¬x)→ ( (y ↔ ¬z) ∨ (y&¬x) ) ).

• f(x, y, z) =

{1 , jei x ≤ y ≤ z,0 , kitu atveju

.

7. Ekvivalenčiais pertvarkymais rasti duotų Būlio funkcijų NDF:

• f(x, y, z) = x⊕ y ⊕ z.

• f(x, y, z, w) = ( ¬x ∨ z ∨ ¬w )&( w → (y&¬x) ).

• f(x, y, z, w) = ( ( ¬w ∨ (¬x&y) ) )&( (¬x ∨ w)→ ¬(z | x) ).

• f(x, y, z, w, s) = ¬(z | ¬x)→ ( (¬s→ w)&( y ∨ (x→ s) ) ).

• f(x, y, z, w, s) = ( ( x→ (¬w&z) )&(w&¬x) ) ∨ ( y → (¬z ∨ s) ).

8. Ekvivalenčiais pertvarkymais rasti duotų Būlio funkcijų NKF:

• f(x, y, z) = x↔ (y ⊕ z).

• f(x, y, z, w) = ( x ∨ ¬y ∨ ¬w )→ ¬( w | ¬z ).

• f(x, y, z, w) = ( ( (x→ ¬w)→ y )→ ¬z ).

• f(x, y, z, w, s) = ( ( ¬s ∨ y)→ (w ∨ ¬x) ) )&( (y ∨ ¬w) ∨ (x&¬z) ).

• f(x, y, z, w, s) = ¬( ( w → (¬x&z) )&(y&¬s) )&( ¬y | (¬z ∨ s) ).

4.2 Atsakymai

1. -

2. -

3. (a) Ekvivalenčios.

(b) Ekvivalenčios.

(c) Nėra ekvivalenčios.

9

4. (a) x, z yra esminiai y yra fiktyvus.

(b) y, z yra esminiai x yra fiktyvus.

(c) x, z yra esminiai y, w yra fiktyvūs.

5. -

6. -

7. -

8. -

10

5. Teiginių logika

5.1 Uždaviniai

1. Pasinaudojant teiginių logika, nustatyti ar samprotavimas yra teisingas:

Jei esi skolingas, bet neperki televizoriaus, tai važiuoji atostogauti.Jei neturi skolų, tai perki televizorių.Taigi, važiuoji atostogauti arba perki televizorių.

2. Pasinaudojant teiginių logika, nustatyti ar samprotavimas yra teisingas:

Jei žmogus nemėgsta alyvuogių, tai mėgsta sūrį.Žmogus mėgsta alyvuoges arba negeria vyno.Jei žmogus negeria alaus ir mėgsta sūrio, tai jis negeria ir vyno.Taigi, jei žmogus negeria alaus, tai jis mėgsta sūrį arba nemėgsta alyvuogių.

3. Nubraižti kontaktinė schemą, realizuojančią funkciją:

• ¬( (p&¬q)→ ( q&(w → p) ) ).

• p→ ( (¬q | p)⊕ (s ∨ ¬w) ).

5.2 Atsakymai

1. Samprotavimas yra teisingas.

2. Samprotavimas yra klaidingas.

3. -

11

6. Predikatų logika

6.1 Uždaviniai

1. Užrašyti samprotavimus predikatų logikos formulėmis:

• Visi paukščiai skraido.Kai kurie skraidantys gyvūnai yra ropliai.Taigi, ne visi ropliai yra paukščiai.

• Visi metalai lydosi.Kai kurie plastikai nesilydo.Kai kurie metalai lygosi geriau negu visi plastikai.Visos druskos lydosi jei jose yra metalų.Taigi, visos druskos lydosi geriau už kažkurį plastiką arba metalą.

• Visi studentai išlaiko bent vieną egzaminą.Jei studentas išlaiko visus egzaminus, tai gauna stipendiją.Kai kurie dėstytojai yra studentai.Taigi, nėra dėstytojo, kuris gautų stipendiją ir neišlaikytų visus egzaminus.

• Tarp bet kokių dviejų ežerų yra gyvenvietė.Ne visos gyvenvietės yra tarp kažkokių ežerų.Jei gyvenvietė yra tarp dviejų ežerų, tai bent vienas iš jų yra gilus.Taigi, kiekvienas gilus ežeras yra tarp dviejų gyvenviečių.

Pastaba: patikrinti ar samprotavimas yra teisingas NEREIKIA.

2. Nustatyti ar duotos predikatų logikos formulės yraa) įvykdomos, b) tapačiai teisingos, c) tapačiai klaidingos aibėjeA = {0, 2, 4, 6, 8 . . . } ir kodėl?

• F1 = ∀y( ∃xP (x, y)→ ∃x¬P (x, y) ).

• F2 = ∀y( ∃xP (x, y)→ ¬∃xP (x, y) ).

• F3 = ∀y( ∃xP (x, y)&∃x¬P (x, y) ).

• F4 = ∀y( ∃xP (x, y)&¬∃xP (x, y) ).

• F5 = ∀y( ∃xP (x, y) ∨ ∀x¬P (x, y) ).

12

• F6 = ∀y( ∃xP (x, y) ∨ ∀x¬P (y, x) ).

• F7 = ∃x∃y∃z( P (x, y)&P (y, z)&¬P (x, z) ).

• F8 = ∀x∀y∀z( P (x, y)&P (y, z)→ P (x, z) ).

3. Nustatyti ar duotos predikatų logikos formulės yraa) įvykdomos, b) tapačiai teisingos, c) tapačiai klaidingos?

• F11 = ∀y( ∃x(P (x, y)&Q(x))→ ∃x(P (x, y)&¬Q(y) ).

• F12 = ∀y( ∃x(¬P (x, y) ∨Q(x)) & ∃x(P (x, y)&¬Q(y) ).

• F13 = ∃y(Q(y) & ∀x(∃zP (x, z) ∨ ¬Q(x)) ).

• F14 = ∃y(Q(y) & ∃z¬P (y, z) & ∀x(∃zP (x, z) ∨ ¬Q(x)) ).

4. Naudojantis išvedimo taisyklėmis parodyti, kad iš prielaidų seka išvada:

∃x( ∀yP (x, y)&Q(x) )

∀y(Q(y)→ R(y))

∀x(R(x)→ ∃y¬P (x, y))

∃x( P (x, x)&∃y¬P (x, y) )

6.2 Atsakymai

1. -

2. • F1 yra įvykdoma, nėra tapačiai teisinga ir nėra tapačiai klaidinga.

• F2 yra įvykdoma, nėra tapačiai teisinga ir nėra tapačiai klaidinga.


• F4 nėra įvykdoma, nėra tapačiai teisinga ir yra tapačiai klaidinga.

• F5 yra įvykdoma, yra tapačiai teisinga ir nėra tapačiai klaidinga.




3. • F11 yra įvykdoma, nėra tapačiai teisinga ir nėra tapačiai klaidinga.




4. -

13

7. Grafų pagrindai

7.1 Uždaviniai

1. Užrašyti grafų gretimumo matricas:

(a) Neorientuoto be svorių grafo:

v1v2

v3

v4v5

v6

(b) Neorientuoto svorinio grafo:

v112 v2 10

25

v3

8 9

30

v46

28

15

v5

v6

10

(c) Orientuoto be svorių grafo:

v1v2

v3

v4v5

v6

Duotame grafe rasti kelią iš viršūnės v6 į viršūnę v5.Duotame grafe rasti bet kokį 5 ilgio ciklą.

14

(d) Orientuoto svorinio grafo:

v112

4v2 10

25

v3

8 9

30

v46

11

28

15

v5

v6

10

2. Užrašyti grafų incidencijų (incidentumo) matricas:

(a) Neorientuoto grafo:

v1e1 v2 e2

e3

v3

e4 e5

e6

v4e7

e8

e9

v5

v6

e10

(b) Orientuoto grafo:

v1e1 v2 e2

e3

v3

e4 e5

e6

v4e7

e11

e8

e9

v5

v6

e10

3. Nubraižyti neorientuotą grafą be svorių, kai jo gretimumo matrica yra:

M =

0 1 0 1 1

1 0 1 0 0

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

4. Nubraižyti neorientuotą svorinį grafą, kai jo gretimumo matrica yra:

M =

0 5 10 ∞ 7

5 0 ∞ 11 ∞10 ∞ 0 9 ∞∞ 11 9 0 8

7 ∞ ∞ 8 0

15

5. Nubraižyti orientuotą grafą be svorių, kai jo gretimumo matrica yra:

M =

0 0 1 0 1

0 1 0 0 0

0 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 0 1 1 0

6. Nubraižyti orientuotą svorinį grafą, kai jo gretimumo matrica yra:

M =

0 8 ∞ ∞ 2

∞ 0 7 11 ∞∞ ∞ 0 9 ∞∞ 10 ∞ 0 4

3 ∞ 12 ∞ 1

7. Nubraižyti neorientuotą grafą be svorių, kai jo incidencijų matrica yra:

M =

0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1 0

0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 0 1

8. Nubraižyti orientuotą grafą be svorių, kai jo incidencijų matrica yra:

M =

1 0 −1 1 0 1 0 0

0 −1 0 0 0 −1 1 0

0 0 0 −1 1 0 0 0

0 0 0 0 −1 0 −1 1

−1 1 1 0 0 0 0 −1

7.2 Atsakymai

1. -

2. -

3. -

4. -

5. -

6. -

7. -

8. -

16

8. Turingo mašinos

8.1 Uždaviniai

1. Parašyti Turingo mašiną su abėcėle Σ = {0, 1, [}, kuri skaičiuoja funkciją:

(a) f(x) =

{1 , jei žodyje x yra lyginis vienetų skaičius0 , kitu atveju

(b) f(x) =

{1 , jei žodyje x yra 3 ar daugiau nulių0 , kitu atveju

(c) f(x) = x+ 1

(d) f(x) ≡ 0

(e) f(x) = y, kur žodis y gautas iš žodžio x jame visus 0 pakeičiant į 1, o 1 į 0,

(f) f(x) =

{y , kur žodis y gautas iš žodžio x jame pirmąjį 0 keičiant į 1

∞ , jei žodyje x nėra nei vieno 0

(g) f(x) = x−̇1 =

{x− 1 , jei x > 0

0 , jeix = 0

(h) f(x) =

{1 , jei žodyje x yra 2 iš eilės vienodi skaitmenys (0 arba 1)∞ , kitu atveju

(i) f(x) = a1&a2& . . .&an, čia žodis x = a1a2 . . . an, ai ∈ {0, 1}

(j) f(x) =

{1 , jei žodyje x yra fragmentas 010

0 , kitu atveju

(k) f(x) =

{1 , jei žodyje x pirmasis simbolis sutampa su paskutiniuoju0 , kitu atveju

(l) f(x) =

{x+ 2 , jei x lyginisx+ 1 , jei x nelyginis

2. Parašyti Turingo mašiną su abėcėle Σ = {0, 1, ?, [}, kuri skaičiuoja funkciją f(x) = y ,kur žodis y yra gautas iš žodžio x jame simbolį ? pakeičiant į pirmąjį sutiktą simbolį (0,1, ar [) esantį dešinėje pusėje.

17

3. Kokią funkciją apskaičiuoja Turing mašina:

δ(q0, 0) = (q1, 0, D), δ(q1, 0) = (q2, 1, N),δ(q0, 1) = (q2, 1, N), δ(q1, 1) = (q1, 1, D),δ(q0, [) = (q0, [,D), δ(q1, [) = (q1, [,D).

Turingo mašinos galutinių būsenų aibė yra F = {q2}.

8.2 Atsakymai

1. -

2. -

3. -

18

9. Baigtiniai automatai

9.1 Uždaviniai

1. Rasti duotų kalbų baigtinius automatus:

(a) A = {001, 0101}

(b) A = {1n0m, n = 0, 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . }

(c) A = {(10)n, n = 1, 2, . . . }

(d) A = {102n1, n = 1, 2, . . . }

(e) A = {12n+102m, n = 0, 1, . . . ,m = 0, 1, 2, . . . }

(f) A - aibė žodžių, kuriuose vienetų skaičius dalosi iš 2

(g) A - aibė žodžių, kuriuose nulių skaičius dalosi iš 3.

2. Kokias kalbas apibrėžia baigtiniai automatai:

(a) F = {q3}. Visos kitos briaunos eina į q5.

q0 1 q1 1

q2

0

q30,1

0 10

q4

0,1

q5

(b) F = {q0, q5}. Visos kitos briaunos eina į q7.

q0 1 q1 0 q2 1

0 1 0 1

q4 1 q5 0,1q6

0,10

q30

q7

9.2 Atsakymai

1. Baigtiniai automatai:

19

(a) A = {001, 0101},Sprendimas. F = {q5} (visos kitos rodyklės rodo į q6).

q0 0 q1 0 q2 1

1

q3 0 q4

1

q5

q6

(b) A = {1n0m, n = 0, 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . },Sprendimas. F = {q1}.

q0 0 q1 1

1 0

q2

0,1

(c) A = {(10)n, n = 1, 2, . . . },Sprendimas. F = {q0} (visos kitos rodyklės rodo į q2).

q0 1

0

q1

q2

(d) -

(e) -

(f) A - aibė žodžių, kuriuose vienetų skaičius dalosi iš 2,Sprendimas. F = {q0}.

q0 1q1

1

0 0

(g) A - aibė žodžių, kuriuose nulių skaičius dalosi iš 3.Sprendimas. F = {q0}.

q0 0 q1

0

q2

0

1 1

1

2. Baigtiniai automatai apibrėžia tokias kalbas:

(a) A = {0n101, n = 0, 1, . . . }.

(b) A = {(1010)n(01)m, n = 0, 1, 2, . . . ,m = 0, 1}.

20

vilniaus universitetas matematikos ir informatikos …adomas/konspektai/... · vilniaus...

Documents