Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006Môn: Giải tích

Thời gian: 180 phút

Câu 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm

∞∑n=1

(−1)nn

(x− 1

x + 1

)n

Câu 2. Xét tính liên tục và khả vi của hàm

f(x, y) =

(x2 + y2) sin1

ynếu y 6= 0

0 nếu y = 0

Câu 3. Giả sử f : R → R là hàm đo được và tồn tại tích phân Lơbe If .Với mỗi n = 1, 2, . . . cho hàm

fn(x) =

{f(x) nếu |f(x)| < n

n + 1 nếu |f(x)| ≥ n

1) Chứng minh rằng limn→∞

fn(x) = f(x), với mọi x ∈ R.

2) Có kết luận được limn→∞

Ifn = If hay không?

Câu 4. Giả sử C[−1,1] là không gian các hàm số liên tục trên [−1, 1] vớichuẩn

‖f‖ = supx∈[−1,1]

|f(x)|, với mọi f ∈ C[−1,1].

và X = {f ∈ C[−1,1] : f(1) = 0}, còn Y là không gian các dãy số hội tụ vớichuẩn

‖x‖ = supn∈N

|xn|, với mọi x = {xn} ∈ Y.

Cho ánh xạ T : X → Y được xác định bởi công thức

T (f) =

{f

(n

n + 1

)}, với mọi f ∈ X.

1) Chứng minh rằng Y là không gian Banach2) Xét tính compact của tập K = {f ∈ X : ‖f‖ ≤ 1} trong X3) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của

T .4) Xét tính trù mật của Y \ T (X) trong Y .

1Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.

1

Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006Môn: Đại số

Thời gian: 180 phút

Câu 1. Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phầntử thực. Xét ánh xạ

f : V → V(a bc d

)7→

(−a −b−c −d

)1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của V .2) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của V .3) Tìm Kerf , Imf .

Câu 2. Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính và có ma trận đối với cơ sởđã cho là

A =

1 1 00 1 05 3 −2

1) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f .2) Vectơ riêng của f tìm được ở câu 1) có tọa độ đối với cơ sở nào?3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao?

Câu 3. 1) Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với nlà số nguyên dương. Chứng minh rằng đối với phép nhân các số phức thôngthường, G là nhóm Cyclic.

2) Cho A là một vành và I là một tập con của A. Chứng minh rằng I làIdeal của A khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu nào đó từ A.

Câu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trên vành A giao hoán có đơnvị.

1) Chứng minh rằng nếu A là trường thì A[x] là vành chính.2) Gọi R là trường các số thực và I là Ideal của vành R[x] sinh bởi x2 +1.

Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường.3) Nếu A là một trường thì A[x] có phải là một trường không? Tại sao?

Câu 5. Cho A là một ma trận vuông cấp 2 phần tử thực và n ∈ N, n ≥ 2.Chứng minh rằng An = 0 khi và chỉ khi A2 = 0.

1Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.

2