vje zbe 10darija/matematikai/mai_v10.pdf · aritmeti cki i geometrijski niz 5.u nekom je aritmeti...
TRANSCRIPT
![Page 1: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/1.jpg)
Vjezbe 10
Vjezbe 10
![Page 2: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/2.jpg)
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
![Page 3: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/3.jpg)
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
![Page 4: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/4.jpg)
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
![Page 5: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/5.jpg)
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
![Page 6: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/6.jpg)
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
![Page 7: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/7.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
![Page 8: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/8.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
![Page 9: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/9.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
![Page 10: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/10.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
![Page 11: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/11.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
![Page 12: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/12.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
![Page 13: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/13.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
![Page 14: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/14.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
![Page 15: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/15.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
![Page 16: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/16.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
![Page 17: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/17.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
![Page 18: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/18.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
![Page 19: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/19.jpg)
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
![Page 20: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/20.jpg)
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Gomiliste niza
Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).
Bolzano– Weierstrassov teorem
Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.
Vjezbe 10
![Page 21: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/21.jpg)
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Gomiliste niza
Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).
Bolzano– Weierstrassov teorem
Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.
Vjezbe 10
![Page 22: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/22.jpg)
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Limes niza
Realni broj a je limes ili granicna vrijednost niza realnih brojeva(an) ako za svaki realni broj ε > 0 postoji prirodan broj n0 takav da
(n > n0) =⇒ (|an − a| < ε)
– oznake: limn→∞
an = a, an → a kada n→∞
Kazemo da je niz realnih brojeva konvergentan ako ima granicnuvrijednost. Za niz koji nije konvergentan kazemo da je divergentan.
Vjezbe 10
![Page 23: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/23.jpg)
Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova
Svojstva konvergentnih nizova
Konvergentni niz ima samo jedno gomiliste.
Konvergentni niz je omeden.
Ogranicen i monoton niz je konvergentan.
Ako je limn→∞
an = a onda je i niz (|an − a|) konvergentan i
limn→∞
|an − a| = 0.
Ako je limn→∞
an = limn→∞
bn i an ≤ cn ≤ bn tada konvergina i niz
(cn) ilim
n→∞cn = lim
n→∞an = lim
n→∞bn
Vjezbe 10
![Page 24: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/24.jpg)
Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova
Svojstva konvergentnih nizova
Ako je limn→∞
an = a i limn→∞
bn = b onda je
limn→∞
(an ± bn) = a± b
limn→∞
(an · bn) = a · b
limn→∞
an
bn=
a
b, bn 6= 0 ∀n ∈ N, b 6= 0
limn→∞
|an| = |a|
limn→∞
aαn = aα, α > 0, ako je an > 0 ∀n ∈ N
Vjezbe 10
![Page 25: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/25.jpg)
Nizovi realnih brojevaNeki znacajni limesi
1 limn→∞
1
n= 0
2 limn→∞
n√
n = 1
3 limn→∞
n√
a = 1, a > 0
4 limn→∞
an = 0, |a| < 1
5 limn→∞
(1 +
1
n
)n
= e
6 limn→∞
qn =
0, 0 ≤ |q| < 11, q = 1
+∞, q > 1
Vjezbe 10
![Page 26: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/26.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
![Page 27: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/27.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
![Page 28: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/28.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
![Page 29: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/29.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
![Page 30: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/30.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
![Page 31: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/31.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
![Page 32: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/32.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
![Page 33: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/33.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
![Page 34: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/34.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
![Page 35: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/35.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
![Page 36: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/36.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
![Page 37: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/37.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
![Page 38: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/38.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
![Page 39: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/39.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
![Page 40: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/40.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
![Page 41: Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050315/5f7787b4e4af4c36d1715b9e/html5/thumbnails/41.jpg)
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10