Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh Hµ néi

N¨m häc 2014 - 2015

®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 M«n thi: To¸nM«n thi: To¸nM«n thi: To¸nM«n thi: To¸n ---- LÇn thø 2 LÇn thø 2 LÇn thø 2 LÇn thø 2

Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò -------------- Ngµy 29.3.2015 --------------

Câu 1 (2,0 ñiểm). Cho các hàm số 3 23 2y x mx= − + ( mC ), 2 ( )y x d= − + , với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( mC ) khi 1m = .

b) Tìm các giá trị của m ñể ( mC ) có hai ñiểm cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của ( mC ) ñến ñường

thẳng ( )d bằng 2 .

Câu 2 (1,0 ñiểm).

a) Giải phương trình ( ) ( )sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x+ = + .

b) Giải phương trình ( )3log 3 6 3x x− = − .

Câu 3 (1,0 ñiểm). Tính tích phân ( )

2

20

sin 2.

sin 2

xI dx

x

π

=+∫

Câu 4 (1,0 ñiểm). a) Gọi 1 2, z z là hai nghiệm phức của phương trình 2 4 9 0z z− + = ; , M N lần lượt là các ñiểm biểu diễn

1 2, z z trên mặt phẳng phức. Tính ñộ dài ñoạn thẳng .MN b) Một tổ có 7 học sinh (trong ñó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ñó

thành một hàng ngang. Tìm xác suất ñể 3 học sinh nữ ñứng cạnh nhau.

Câu 5 (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm (3;6;7)I và mặt phẳng

( ) : 2 2 11 0P x y z+ + − = . Lập phương trình mặt cầu ( )S tâm I và tiếp xúc với ( ).P Tìm tọa ñộ tiếp

ñiểm của ( )P và ( )S .

Câu 6 (1,0 ñiểm). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có ñáy ABC là tam giác vuông tại B ;

� 0, 30AB a ACB= = ; M là trung ñiểm cạnh AC . Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy của lăng trụ bằng 060 .

Hình chiếu vuông góc của ñỉnh 'A lên mặt phẳng ( )ABC là trung ñiểm H của BM . Tính theo a thể tích

khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ ñiểm 'C ñến mặt phẳng ( ').BMB

Câu 7 (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích

hình thang bằng 6; 2CD AB= , (0;4)B . Biết ñiểm (3; 1), (2;2)I K− lần lượt nằm trên ñường thẳng AD và

DC . Viết phương trình ñường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa ñộ.

Câu 8 (1,0 ñiểm). Giải hệ phương trình 2 3

2 3

( 3 3) 2 3 1 ( , ).

3 1 6 6 2 1

x x x x y yx y

x x x y

+ − + = + + + +∈

− − − + = + +ℝ

Câu 9 (1,0 ñiểm). Cho các số thực , x y dương và thỏa mãn 1 0x y− + ≤ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

22 4

3 2

5 5

x y x yT

x yx y

+ += −

++.

---------------- HẾT ---------------- Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………..; Số báo danh: ………………………

WWW.VNMATH.COM

1/4

Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh Hµ néi

Năm học 2014 – 2015

®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015

M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n M«n thi: To¸n – LÇn thø LÇn thø LÇn thø LÇn thø 2222 --------------- ðáp án có 04 trang --------------

Câu ðáp án ðiểm

a) (1,0 ñiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 3 23 2y x x= − +

Tập xác ñịnh: D = R . lim ; limx x

y y→−∞ →+∞

= −∞ = +∞

ðạo hàm: 2' 3 6y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 2x = . 0,25

Khoảng ñồng biến: ( ) ( );0 ; 2;−∞ +∞ . Khoảng nghịch biến: ( )0;2

Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại 2x = , 2CTy = − ;

ñạt cực ñại tại 0x = , yCð = 2.

0,25

Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + y 2 +∞

−∞ -2

0,25

ðồ thị: (Hs có thể lấy thêm ñiểm ( 1; 2); (1;0); (3;2)− − ). 0,25

b) (1,0 ñiểm) Tìm các giá trị của m ñể ( mC ) có k/c ñiểm cực tiểu của ( mC ) ñến ( )d bằng 2 .

2' 3 6 3 ( 2 )y x mx x x m= − = − . ' 0 0; 2y x x m= ⇔ = = ðiều kiện ñể hàm số có hai cực trị là 0m ≠ . 0,25

Tọa ñộ hai ñiểm cực trị: (0;2)A và 3(2 ;2 4 )B m m− . 0,25

• 0 :m < A là ñiểm cực tiểu. Khi ñó ( , ) 0 2d A d = ≠ (loại). 0,25

1 (2,0ñ)

• 0 :m > B là ñiểm cực tiểu. Khi ñó: 3

3

3

2 1 1( )( , ) 2 | 2 | 1

1( )2 1

m m m tmd B d m m

m ktmm m

− = == ⇔ − = ⇔ ⇔ = −− = −

ðáp số: 1m = .

0,25

a) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( ) ( )sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x+ = + .

Phương trình ñã cho tương ñương với

( )2 2 1 3sin 3 cos 2 cos sin sin 3 cos 2cos 2 sin cos cos 2

2 2

sin sin 2 .3 2

x x x x x x x x x x

x xπ π

− = − ⇔ − = ⇔ − =

⇔ − = −

0,25

2 (1,0ñ)

• ( )5 22 2 ,

3 2 18 3x x k x k k

π π π ππ− = − + ⇔ = + ∈ℤ .

• ( )52 2 2 ,

3 2 6x x k x k k

π π ππ π− = + + ⇔ = − + ∈ℤ .

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm: 5 2 5

, 2 ,18 3 6

x k x k kπ π π

π= + = − + ∈ℤ .

0,25

WWW.VNMATH.COM

WW

W.V

NMATH.C

OM

2/4

b) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( )3log 3 6 3x x− = −

ðiều kiện: 3log 6x > . Phương trình ñã cho tương ñương với

3 273 6 3 3 6

3x x x

x−− = ⇔ − = . ðặt 227

3 0 6 6 27 0xt t t tt

= > ⇒ − = ⇔ − − = 0,25

9

3( )

t

t l

=⇔ = −

Với 9 3 9 2xt x= ⇒ = ⇔ = (tmñk).

ðáp số: 2x = .

0,25

Tính tích phân ( )

2

20

sin 2.

sin 2

xI dx

x

π

=+∫

( ) ( )

2 2

2 20 0

sin 2 2sin cos.

sin 2 sin 2

x x xI dx dx

x x

π π

= =+ +∫ ∫

ðặt sin cost x dt xdx= ⇒ = . 0 0;x t= ⇒ = 1.2

x tπ

= ⇒ =

0,25

( )

1

20

22

tdtI

t=

+∫ ( ) ( )

1 1 1

2 20 0 0

2 22 2 4

22 2

t dt dtdt

tt t

+ −= = −

++ +∫ ∫ ∫ . 0,25

1 112ln( 2) 4

0 02I t

t= + +

+ 0,25

3 (1,0ñ)

1 12(ln 3 ln 2) 4

3 2I

= − + − =

3 22ln

2 3− . ( 0.144)I ≈ . 0,25

a) (0,5 ñiểm) Cho 2 4 9 0z z− + = . M, N biểu diễn 1 2,z z . Tính ñộ dài ñoạn MN.

Phương trình ñã cho có 2' 4 9 5 5i∆ = − = − = nên có hai nghiệm 1,2 2 5z i= ± . 0,25

Từ ñó (2; 5), (2; 5) 2 5M N MN− ⇒ = .

ðáp số: 2 5MN = . 0,25

b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau. Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau” + Số biến cố ñồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7! + Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau: Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp ñó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp.

0,25

4 (1,0ñ)

+ Xác suất của biến cố A là: ( ) 5!.3!

7!p A = =

1

7. ( ( ) 0.14)p A ≈ .

(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách xếp lại có 3! cách hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7)

0,25

Cho ( ) : 2 2 11 0P x y z+ + − = , (3;6;7)I

Mặt cầu ( )S tâm I có bán kính | 3 12 14 11|

( , ( )) 63

R d I P+ + −

= = = . 0,25

Phương trình mặt cầu 2 2 2( ) : ( 3) ( 6) ( 7) 36S x y z− + − + − = . 0,25

5 (1,0ñ)

ðường thẳng ( )d qua I và vuông góc với ( )P có phương trình

3

6 2 ( )

7 2

x t

y t t

z t

= +

= + ∈ = +

R . 0,25

WWW.VNMATH.COM

WW

W.V

NMATH.C

OM

3/4

Giả sử ( ) ( ) (3 ) (12 4 ) (14 4 ) 11 0 9 18 0 2M d P t t t t t= ∩ ⇒ + + + + + − = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ (1;2;3)M . 0,25

Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có ñáy ABC là tam giác vuông tại B ; � 0, 30AB a ACB= = ;

' ( ) 'A H ABC A H⊥ ⇒ là ñường cao của hình lăng trụ.

AH là hình chiếu vuông góc của 'AA lên ( )ABC � 0' 60A AH⇒ =

. ' ' ' .ABC A BC ABCV A H S=

0,25

3 32 , '

2 2

a aAC a MA MB AB a AH A H= = = = ⇒ = ⇒ = .

21 1 3. . . . 3

2 2 2ABC

aS BA BC a a= = = .

2

. ' '

3 3.

2 2ABC A BC

a aV⇒ = =

33 3

4

a.

0,25

( ) ( ) ( ) . '

'

3',( ') , ( ') , ( ') A BMB

BMB

Vd C BMB d C BMB d A BMB

S= = = .

3

. ' '. . ' '

1 3

6 8A BMB B ABM ABC A BC

aV V V= = = .

0,25

6 (1,0ñ)

Do ( ')BM AHA⊥ nên ' 'BM AA BM BB⊥ ⇒ ⊥ ⇒ 'BMB∆ vuông tại B 2

'

1 1 3'. . 3.

2 2 2BMB

aS BB BM a a⇒ = = = .

Suy ra ( )3 23 3 3

',( ') :8 2

a ad C BMB = =

3

4

a.

(Cách 2: � 03 3( , ( ')) .sin .sin 60

2 4

a ad A BMB AE AH AHE= = = = ).

0,25

Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích hình thang bằng 6; 2CD AB= , (0;4)B . (3; 1), (2;2)I K− . Viết phương trình ñường thẳng AD.

Vì AD không song song các trục tọa ñộ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là

(1; ), 0;n b b= ≠�

suy ra: Phương trình :1( 3) ( 1) 0AD x b y− + + = . Phương trình : ( 4) 0AB bx y− − = .

0,25

3 3. . . ( , ). ( , )

2 2 2ABCD

AB CD ABS AD AD d B AD d K AB

+= = =

2 2

3 | 3 5 | |2 2|. .

2 1 1

b b

b b

− + +=

+ +.

0,25

2

2 2

1

| 3 5 | | 1| 56 3 . 6 | 5 3 | . | 1| 2( 1)

31 11 2 2

7

ABCD

b

b bS b b b b

b b

b

=

− + + = ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = −+ + − ± =

. 0,25

7 (1,0ñ)

ðáp số: 2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0x y x y x y x y+ − = − − = − + − − = − − + − = . 0,25

8 (1,0ñ) Giải hệ phương trình

2 3

2 3

( 3 3) 2 3 1 (1) ( , ).

3 1 6 6 2 1 (2)

x x x x y yx y

x x x y

+ − + = + + + +∈

− − − + = + +ℝ

A C

A' C'

B

B'

M

H

AC

A'C'

B

B'

M

H

Q

P

E

I

K

A B

D C

WWW.VNMATH.COM

WW

W.V

NMATH.C

OM