TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 M U I. L DO CHN TI Hin nay trong chng trnh Ton THPT phn ban ca BGD & T khng a vo ni dung nh l o v du ca tam thc bc hai, trong khi mt s bi tp so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thc trong chng trnh Ton THPT vn thng c s dng bng phng php ny gy ra kh khn cho giovin ging dy v hc sinh giicc bi tp ny.Trong khiphng php p dngnhVi-tgiibitonsosnhnghimcaphngtrnhbchaivi mt hoc hai s thc li t ra hu ch vi cc loi bi ny v cngnng a dng v n gin trong t duy ca hc sinh. II. MC CH NGHIN CU aramtsccdngtoncbncthsdngphngphppdng nhVi-tgiibitonsosnhnghimcaphngtrnhbchaivimt hochaisthcgiiquyt,gpphnnngcaonnglcgiitoncahc sinh THPT. III. I TNG NGHIN CU Hc sinh khi 10,11 &12- THPT PHM NG LO t nm 2007 n 2011. IV. PHNG PHP NGHIN CU thchinnghincucnthchinphihplinhhotccphngphp nghin cu. 1. Nghin cu l lun PhntchchngtrnhmntonSGK10.Nghincuvknngsdng phngphppdngnhVi-tgiibitonsosnhnghimcaphng trnhbchaivimthochaisthctrongcctiliullun,schtham kho. 2. Thc nghim v rt kinh nghimThngqua d gi thm lp,trao i kinhnghimgingdy,viccbn ng nghip,traoivsthchhcsinhbngccbikimtra.Trtrakinh nghim ging dy. V.CU TRC SNG KIN KINH NGHIM M u Tim nng v thc tin ca vic rn luyn k nng s dng phng php p dng nh Vi - t gii bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thc cho hc sinh THPT. nh hng v bin php rn luynk nng s dng phng php p dngnhVi-tgiibitonsosnhnghimcaphngtrnhbchaivi mt hoc hai s thc cho hc sinh THPT. Ti liu tham kho.

NI DUNG NGHIN CU I.TimnngcaphngphppdngnhVi-tgiibiton so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thcp dng nh Vi - t gii bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thc l phng php s dng mi lin h gia cc nghim www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 ca phng trnh bc hai thng qua nh l Vi-t gii cc bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thc. Trong khun kh sng kin kinh nghim ca mnh ti xin a ra mt s dng bi c th gii c bng phng php p dng nh Vi - t gii bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt hoc hai s thc So snh hai nghimca phng trnh bc hai vi mt s thc . So snh hai nghimca phng trnh bc hai vi hai s thc v . So snh cc nghimca phng trnh bc ba vi s thc . Tm iu kin ca tham s hm s c cc trtha mn iu kin cho trc. Tm iu kin ca tham s hai th hm s ct nhau ti n im(n = 2 hoc n = 3) tho mn iu kin cho trc. 1. Bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai f(x) ax2 + bx +c = 0 (*)vi mt s thc Kin thc c bn:

a>0 b>0 a+b>0 ab>0 a>0 b . iu kin s nm gia hai nghim ca (*) l: ( ) ( )1221 2 1 2 1 212000 ( ) 000xxx x x x x xxx > < < + + < < > iu kin s nh hn hai nghim ca (*) l: ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 122 1 2 1 2 1 20 2 00 ( ) 0 . 0x x x x xx x x x x x x + > + > > > + + > >

iu kin s ln hn hai nghim ca (*) l: ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1221 2 1 2 1 20 2 00( ) 0 . 0x x x x xxx x x x x x + < + < < < + + > > iu kin c ng 1 nghim ca (*) nh hn l: TH1: a = 0. www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 TH2: a 0

x 1

< < + + < <

iu kin (*)cnghim ln hn l: TH1: a = 0. TH2: a 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 21 21 21 2 1 21 221 2 1 2 1 21 221 2 1 2 1 2( ) 0( ) 0220 2( ) 0 . 0( ) 0 . 0ffx xx xx xx x x xx xx x x x x xx xx x x x x x = = + >+ > = < + > + > < + + > > < < + + < <

iu kin (*)cng 1 nghim ln hn l: www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 TH1: a = 0. TH2: a 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 21 21 21 2 1 2 1 221 21 2 1 2 1 221 2 1 21 2( ) 0( ) 022000 2( ) 0 . 0( ) 0. 0ffx xx xx xx x x x x xx xx x x x x xx x x xx x = = + >+ > = = < = < = + > + > < < + + > > + + < < ` `` `` `` ` - -- - V d minh ha:V d 1.1: Cho phng trnh f(x) = (m+1)x2 - 2(m-1)x + m2 + 4m - 5 = 0(*) . Hy tm m phng trnh (*): a)C hai nghim tri du ? b)C hai nghimln hn 2? c)C hai nghim nh hn 1? G: a) Phn tch: Hai nghim ca phng trnh tri du (c ngha l c mtnghim m v mt nghim dng ) x1.x2 < 0; m x1.x2 = cann yu cu bi ton tr thnh : tm m :ca< 0. Trnh by:Phng trnh c hai nghim tri du ca< 0 m2+4m-5m+1< 0 m > + + > > Trnh by:Phng trnh (*) c hai nghim 1 0 1 2 1(1)' 0 ( 1)( 2)( 3) 0 3m m mm m m m+ + +

Khi , theo nh l Vi-t (*) c hai nghim x1, x2 tha mn:1 221 22( 1)1(2)4 51mx xmm mx xm + = ++ =+

Mt khc, theo bi ra th hai nghim ca phng trnh ln hn 2www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 ( ) ( )( ) ( )1 21 1 22 1 2 1 21 22 2 02 0 42 0 2( ) 4 02 . 2 0x xx x xx x x x xx x + > > + > > + + > > (3) Thay (2) vo (3) ta c: ( )23 2( 1)0 41 13 1(4)( 1) 3 4 5 2( 1)2. 4 0 01 1 1m mm mmm m m m mm m m > > + + < > + + + Kt hp, (1) v (4) ta c: -2 m < -1. Vyvi -2 m < -1 th phng trnh (*) c hai nghim ln hn 2. c) Phn tch: Hai nghim ca phng trnh nh hn 1 ( ) ( )( ) ( )1 21 1 22 1 2 1 21 21 1 01 0 21 0 ( ) 1 01 . 1 0x xx x xx x x x xx x + < < + < < + + > >

Trnh by:Phng trnh (*) c hai nghim 1 0 1 2 1(1)' 0 ( 1)( 2)( 3) 0 3m m mm m m m+ + +

Khi , theo nh l Vi-t (*) c hai nghim x1, x2 tha mn:1 221 22( 1)1(2)4 51mx xmm mx xm + = ++ =+

Mt khc, theo bi ra th hai nghim ca phng trnh ln hn 2 ( ) ( )( ) ( )1 21 1 22 1 2 1 21 21 1 01 0 21 0 ( ) 1 01 . 1 0x xx x xx x x x xx x + < < + < < + + > > (3) Thay (2) vo (3) ta c:2 22( 1) 22 03 17 1 11 (4)2 4 5 2( 1) 3 21 0 01 1 1mm mmm m m m mm m m < > + + + < < + + + > > + + + Kt hp, (1) v (4) ta c: 3 1712m + < + < < + >+ + >

+ > = = < = < = + > + > < < + + > > + +< < Thay (2) vo (3) ta c: 1 02 1212 1 0 122 1 12 0212 2 1 01 012 2 11 0mmmm mmmm mmmm mm mmmm m =+ > = == + > = < + < + > > + +< www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 Vyvi m (-;0) [1;+ ) { 12 }th phng trnh (1)c ng 1 nghim ln hn 1. 2. Bi ton so snh nghim ca phng trnh bc hai f(x) ax2 + bx +c = 0 (*)vi hai s thc & Kin thc c bn: iu kin (*) c hai nghim thuc khong ( ;) l:( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 21 221 21 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 221 2 1 21 202. 0( ) 02 0( ) 0. 0x xx xx xx x x x x xx xx x x x x xx x x xx x + > + > >< + + > < < < + < + < + + > > iu kin (*) c hai nghim tha mn: ( ) ( )( ) ( )1 21 21 21 21 221 2 1 221 2 1 2. 0. 0( ) 0( ) 0x xx xx xx xx xx x x xx x x x < < < < < < < > < < + + > + + < iu kin (*) c hai nghim tha mn: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 21 21 2 1 21 21 21 221 2 1 221 2 1 20. 0. 02( ) 0( ) 0x xx xx x x xx xx xx xx x x xx x x x + < < < < < < > < < + + < www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 iu kin (*)c ng 1 nghim thuc ( ;) :

1 21 21 2x xx xx x < < < > < < < + >

Trnh by:Phng trnh c hai nghim phn bit > 0 m>3 m+ >>< < > < < < + >

Th (2) vo (3) ta c:2 04 3 032(4)2 4 44 3 2.2 4 0mmmmm m> > < Kt hp (1) v (4) ta c: < m < 1.Vy vi < m < 1 th phng trnh c 2 nghimthuc (0; 2). www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 V d 2.2: Cho phng trnh f(x) = mx2 - 4(m+1)x + 3m + 13 = 0(*) . Hy tm m phng trnh (*) c ng mt nghim thuc (0;3) ? G:Phn tch: ng mt nghim ca phng trnh thuc (0;2 ) 1 21 21 20 30 30 3x xx xx x < < < > < = < + + = < + < (3) www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 Th (2) vo (3) ta c:3 1304 463 13 4 43. 9 04 40133 130 (4)343 13 4 43. 9 004 40 6mmmmm mm mmmm mmmm mm mmm ++ +> =+ + + =+ < < Kt hp (1) v (4) ta c: 1334mm< =. Vy vi 1334mm< =th phng trnh c ng 1 nghimthuc (0; 3). 3. Bi ton so snh nghim ca phng trnh bc ba f(x) (x-x0)(ax2 + b 1x +c 1) = 0 (*) vi s thc ( t g(x)= ax2 + b 1x +c 1, a 0) Kin thc c bn: Lc Hoc-ne cho a thc bc 3:abcd x0 aa0x+b = b1 (a0x+b)x0 + c = c1((a0x+b)x0 + c)x0+ d = d1 Nu d1 = 0 th x0 l mt nghim ca f(x).Phng trnh ax3 + bx2 +cx + d = 0 c nghimhu t x0 = pqth p (d) v q (a). Nu a + b + c + d = 0 c nghimx0 = 1. Nu a - b + c - d = 0 c nghimx0 = -1. ` `` `` `` ` - -- - V d minh ha:V d 3.1: Cho phng trnh f(x) = x3 - 3x2 + 2(m-1)x - 2m + 4 = 0(*) . Hy tm m phng trnh (*) c 3 nghim tha mn: x 1 < -1 < x 2 < x 3 ? www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 G: Phn tch: Vic u tin m ta cn lm l a (*) v dng phng trnh tch bng cch p dng mttrong s cc kin thc c bn trn. D thy, (*) c mt nghim l x =1 > -1 v (*) (x-1)[x2 -2x + 2m - 4] = 0. Nh vy, yu cu bi ton tr thnh tm m phng trnh : x2 -2x + 2m - 4 = 0 c 2 nghim nm 2 pha ca -1. Trnh by:Ta c: (*) (x-1)[x2 -2x + 2m - 4] = 0 x=1 x2-2x+2m-4=0(1) Do , yu cu bi ton tr thnh tm m phng trnh (1) c 2 nghim phn bit:x1 < -1 0 5 - 2m > 0 m < 52(3). Khi, theo nh l Vi - t ta c: 1 21 2' ' 2(4)' ' 2 4x xx x m+ == . Th (4) vo (2) ta c: m < 12 (tha mn (3)).Vy m < 12 . V d 3.2: Cho phng trnh f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m +1)x - 4m(m+1) = 0(*) . Hy tm m phng trnh (*) c 3 nghim phn bit ln hn 1 ? G: Phn tch: Vic u tin m ta cn lm l a (*) v dng phng trnh tch.Nu nhm nghim bng cch p dng mttrong s cc kin thc c bn trn th s rt mt thi gian v phi xt du nhiu trng hp dn n tnh ton sai lch ng tic. Tc gi xin a ra mt mo nh gim bt sc lao ng trong vic ny: Nu x0 l nghim ca phng trnh (*) th khi thay n vo (*) th m s b trit tiu. Do m2 ( n thc c s m cao nht ca m) cng s b trit tiu, m ta thy c 2 s hng cha m2 l 2m2x v -4m2 trong (*) v th m2 b trit tiu th c th 2m2x -4m2 = 0, th l ta s c x0 = 2 l i tng kh nghi; thay x = 2 vo (*) tha mn. T , ta c: (*) (x-2)[x2 - (1+3m)x+ 2m(m + 1)] = 0.D thy, lc ny yu cu bi ton tr thnh m = ? phng trnh x2 - (1+3m)x+ 2m(m + 1)]= 0c 2 nghim phn bit khc 2 v ln hn 1. Trnh by:Ta c: (*) (x-2)[x2 - (1+3m)x+ 2m(m + 1)] = 0 22 1x- (1+3m)x+ 2m(m + 1)=0(1)x = > Do , yu cu bi ton lc ny tr thnh tm m phng trnh (1) c 2 nghim phn bit khc 2 v ln hn 1 ( ) ( )( ) ( )221 21 21 2 1 21 20( 1) 02- (1+3m).2+ 2m(m + 1) 01(2)1 1 02( ) 1 01 . 1 0mmx xx xx x x xx x> > + >+ > + + > >

www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 p dng nh l Vi-t ta c: 1 21 21 3(3)2 ( 1)x x mx x m m+ =+= +.Th (3) vo (2) ta c: 2( 1) 01 112 1 3 22 ( 1) (1 3 ) 1 0mmmmm m m > > + >+ + + >. Vy 112m > . 4. Bi ton tm iu kin ca tham s hm s c cc tr tha mn iu kin cho trc Kin thc c bn: - nh ngha1: Cho hm s y = f(x) xc nh trn Kv x1 , x2 K. + Ta gi x1 l im cc i ca hm s y = f(x) nu tho mn:+) x1 l nghim ca pt: y = 0 hoc y khng xc nh ti x1 . +) y i du t (+) sang (-) khi x i qua x1. K hiu : x1 = xC , f(x1) = yC + Ta gi x2 l im cc tiu ca hm s y = f(x) nu tho mn:+) x2 l nghim ca pt: y = 0 hoc y khng xc nh ti x2 . +) y i du t (-) sang (+) khi x i qua x2. K hiu : x2 = xCT , f(x2) = yCT Ta gi chung cc im C, CT ca hm s l cc im cc tr ca hm s. - nh ngha2: Cho hm s y = f(x) xc nh trn Kv x1 K. + Ta gi x1 l im cc i ca hm s y = f(x) nu tho mn:+) x1 l nghim ca pt: y = 0 hoc y khng xc nh ti x1 . +) y(x1) < 0.K hiu : xC , f(x1) = yC + Ta gi x2 l im cc tiu ca hm s y = f(x) nu tho mn:+) x2 l nghim ca pt: y = 0 hoc y khng xc nh ti x2 . +) y(x2) > 0. K hiu : xCT , f(x2) = yCT Ta gi chung cc im C, CT ca hm s l cc im cc tr ca hm s. + Hm s bc 3 c C, CT c cc trPhng trnh y = 0 c 2 nghim phn bit.+ Hm s bc 4 trng phng c C, CT Phng trnh y = 0 c 3 nghim phn bit.+ Hm s bc 4 c 1C v khng c CT(Phng trnh y = 0 c 1 nghim v h s a < 0) hoc (Phng trnh y = 0 c 1nghim kp v h s a < 0). + Hm s bc 4 c 1CT v khng c C(Phng trnh y = 0 c 1 nghim v h s a > 0) hoc (Phng trnh y = 0 c 1nghim kp v h s a >0). ` `` `` `` ` - -- - V d minh ha:V d 4.1: Tm m hm s y = 3 2 21( 2) (5 4) 13x m x m x m + + + + +t C, CT ti cc im x1, x2 tho mn : x1 < -1 < x2 ? G: Phn tch: Nhm tnh o hm ta thy y l tam thc bc 2. Do , yu cu bi ton chuyn v dng 1 ca bi ton1. Trnh by: Ta c: + TX: R. www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 + y = x2 + 2(m-2)x + 5m + 4 xc nh trn R. Hm s c C, CT Phng trnhy = 0 c 2 nghim phn bit x2 + 2(m-2)x + 5m + 4 = 0 c 2 nghim phn bit > 0 m>9 m1 m0(-2)2-4m(-2)+5+m 0 m>54 m > Th (3) vo (4) ta c : 4 21(5)5 4 1 0 2mmm m< Kt hp (5) & (2) ta cm < -1. Vy vi m < -1 th (Cm):y = x3 + 2(1-2m )x2 + (5 - 7m)x+ 2(m + 5) ctOx tai 3 im phn bit c honh tha mn: x1 < x2 < x3 < 1 . V d 5.2: Tm m (Cm):y = mx3 - x2 + 2x- 8m ctOx tai 3 im phn bit: 1 < x1 < x2 < x3 ? G: Phn tch: Trc Ox chnh l ng thng y = 0. Phng trnh honh giao im l phng trnh bc 3 v x l th cch thng dng nht l nhm nghim v a v bi ton ca phng trnh bc hai. Bi ny nn dng mo trit tiu m nhm nghim. Trnh by: Ta c phng trnh honh giao im ca (Cm) v Ox l: mx3 - x2 + 2x- 8m = 0 (x-2)[mx2 + (2m-1)x + 4m] = 0 x=2>1 mx2+(2m-1)x+4m=0(1) (Cm) ct Ox ti 3 imphn bit (1) c 2 nghim phn bit khc 2 201 1' 02 60.2 (2 1).2 4 0mmmm m m < < > + + (2). Khi , theo nh l Vi-t c:

1 21 21 2(3)4mx xmx x+ == (vi x1 , x2 l nghim ca (1)).Lc ny, yu cu bi ton tr thnh tm m hai nghim ca (1) ln hn 1www.VNMATH.com TRNG THPT PHM NG LO. GV: Phm Trnh Cng Chnh SNG KIN KINH NGHIM 5/2011 ( ) ( )( ) ( )1 21 1 22 1 2 1 21 21 1 01 0 2(4)1 0 ( ) 1 01 . 1 0x xx x xx x x x xx x + > > + > > + + > > Th (3) vo (4) ta c : 1 221 1(5)1 2 7 44 1 0mmmmm> < < + > Kt hp (5) & (2) ta c1 17 6m