МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧ-РЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА»

С.О. Зубович, А.Л. Суркаев

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ

Методические указания

Волгоград 2015

УДК 53 (075.5)

Р е ц е н з е н т :

Канд. физ.-мат. наук, доцент Т.А. Сухова

Издается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

С.О. Зубович, Изучение законов соударения тел [Электронный ресурс]: методиче-

ские указания / С.О. Зубович, А.Л. Суркаев //Сборник «Методические указания» Вы-пуск 3.-Электрон. текстовые дан.(1файл:141Kb) – Волжский: ВПИ (филиал) ГОУВПО ВолгГТУ, 2015.-Систем.требования:Windows 95 и выше; ПК с процессором 486+; CD-ROM.

Методические указания содержат рекомендации к выполнению лабораторной

работы, представленной в первой части практикума кафедры «Прикладная физика и математика» Волжского политехнического института.

Предназначены для студентов всех форм обучения.

Волгоградский

государственный технический

университет, 2015 Волжский

политехнический институт, 2015

– 3 –

Лабораторная работа № 106

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ 106.1. Цель работы: Изучение законов сохранения импульса и меха-

нической энергии для упругих столкновений. Измерение параметров цен-

трального неупругого удара двух шаров.

106.2. Описание лабораторной установки

Общий вид лабораторной установки для исследования столкновения

шаров представлен на рис.106.1. В основании 1 закреплена колонна 2 с

прикрепленным сверху кронштейном. На кронштейне закреплена рама 3, к

которой на гибких нитях 4 подвешены упругие шары.

Шары сгруппиро-

ваны в двух вариантах:

группа из пяти шаров 5

служит для исследова-

ния закона сохранения

импульса, группа из

двух шаров 6 – для оп-

ределения коэффициен-

та восстановления от-

носительной скорости и

энергии после цен-

трального удара двух шаров.

Чтобы добиться центрального соударения, на установке предусмотре-

ны регулировочные винты 7 и 8.

В основании закреплены угольники со шкалами 9 и 10, показывающие

углы отклонения шариков в градусах, а на специальных направляющих –

Рис.106.6. Общий вид лабораторной установки.

5 1

9 9

2

10

6

7

11

8

4

3

– 4 –

электромагнит 11, удерживающий первый шарик в исходном отклоненном

положении. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и

фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный

угол отклонения первого шара от вертикали.

Внимание: Установка для опытов настроена и никаким регулировкам

винтами не подлежит.

106.2.1. Установка для определения коэффициента восстановления

Для измерения времени контакта шаров используется электронный

секундомер, показывающий время удара в микросекундах (рис.106.2). Се-

кундомер электрически соединен с шариками и электромагнитом. На ли-

цевой панели секундомера находятся следующие манипуляционные эле-

менты:

1. «Сеть» – выключатель сети.

2. «Пуск» – управление электромагнитом.

При нажатии кнопки «Пуск» на секундомере магнит отпускает пер-

вый шарик. В момент соприкосновения шариков они замыкают цепь се-

кундомера и включают на нем счетчик микросекунд, который работает до

момента размыкания шариков, а затем останавливается, фиксируя время

их электрического контакта, которое и принимается равным времени уда-

α1 мкс сеть пуск

h1

β2

h2

Рис.106.2. Схема соударения шаров и измере-ния времени удара.

– 5 –

ра . При обратном ударе шариков счетчик уже не меняет своего показа-

ния, так что на нем фиксируются только время первого удара.

Для восстановления исходного состояния системы надо отжать кноп-

ку «Пуск» (при этом включится электромагнит и обнулятся показания таб-

ло на секундомере) и прилепить первый шарик к электромагниту.

При спокойном положении шариков внизу они должны быть на одном

уровне и в плоскости касания, почти касаться друг друга, а их указатели

показывать на нули шкалы углов. При захвате магнитом первого шарика

его указатель показывает на α1 = 15°.

Массы шариков m1 = m2 = m = 320 г, их радиусы R = 25 мм, расстояния

от точек подвесов до центров шариков ℓ = 55 см. Если реально эти пара-

метры иные, то они указаны на установке.

106.2.2. Установка для исследования закона сохранения импульса

Сначала происходит соударение шаров (рис.106.3) 1 и 2. В результате

шар 1 останавливается полностью передав шару 2 свой импульс (а значит

и скорость). Далее происходит аналогичная передача скорости шару 3 и

т.д. Таким образом, последний шар 5, получив толчок, отклонится на такой

же угол, на какой первоначально был отклонен шар 1, а все остальные ша-

ры будут при этом покоится. Именно это движение последнего шара мы и

видим: движение «промежуточных» шаров незаметно для глаза.

1 ℓp

5 4 3 2 1

Рис.106.3. Схема установки для изучения закона сохранения импульса.

β5

– 6 –

Закон сохранения импульса 21 umm

, в проекции на горизонтальную

плоскость υ1 = υ2. Закон сохранения энергии 22

22

21 mum , 22

21 u и так да-

лее. Когда шар 5 вернется после отскока, мы увидим отскок шара 1 на тот

же угол и т.д.

Если отвести первоначально шары 1 и 2, то описанный процесс про-

изойдет дважды: сначала по цепочке пробежит «толчок» от удара шара 2, а

затем, спустя малое время, «толчок» от удара шара 1. В результате мы

увидим, что с другой стороны цепочки отклоняется только шары 4 и 5, а

затем – снова отклоняется только шары 1 и 2 и т.д.

Массы шариков одинаковы mp = 110 г, их радиусы Rp = 30 мм, рас-

стояния от точек подвесов до центров шариков ℓp = 72 см. Если реально

эти параметры иные, то они указаны на установке.

106.3. Методика эксперимента

Рассмотрим соударение шаров на данной ус-

тановке. Изобразим все внешние силы, дейст-

вующие на шары во время удара (рис.106.4): gm 1 ,

gm 2 − силы тяжести шаров; 1N

, 2N

− силы реак-

ции нитей. Силы взаимного отталкивания, возни-

кающие во время столкновения, являются внут-

ренними, поэтому мы их не изображаем. Внут-

ренние силы не изменяют импульса рассматри-

ваемой системы.

Используя второй закон Ньютона, запишем закон изменения импульса

системы за время столкновения Δt:

tNNgmgmpсистемы 2121 . (106.1)

α1

X

gm 2 gm

1

2N

1N

h1

Рис.106.4

ℓ

– 7 –

Пусть первый шар до столкновения имеет скорость 1 , а второй до

столкновения покоился (υ2 = 0). В этом случае 022 Ngm , 011 Ngm

.

Не скомпенсированной остается сила реакции нити 1N

, действующей на

первый шарик перед ударом, т.к. первый шарик в этот момент имеет цен-

тростремительное ускорение. В этом случае мы имеем не замкнутую сис-

тему. Предполагая, что за время столкновения вектор суммы внешних сил

меняется не значительно, спроектировав равенство (106.1) на ось ОХ, по-

лучим:

OX: (Δpсистемы)x = ( m1gx + m2gx + N1x + N2x )·Δt. (106.2) Очевидно, что m1gx = m2gx = N1x = N2x = 0, поэтому проекция измене-

ния импульса системы на ось ОХ равно нулю, т.е. проекция импульса сис-

темы до удара равна проекции импульса системы после удара. Это утвер-

ждение справедливо как для упругого, так и для неупругого удара. Это ут-

верждение подлежит проверке в данной работе.

Очевидно, что m1gx = m2gx = N1x = N2x = 0, поэтому проекция измене-

ния импульса системы на ось ОХ равно нулю, т.е. проекция импульса сис-

темы до удара равна проекции импульса системы после удара. Это утвер-

ждение справедливо как для упругого, так и для неупругого удара. Это ут-

верждение подлежит проверке в данной работе.

Для определения скоростей шаров до и после ударов воспользуемся

законом сохранения механической энергии. При движении первого шара

до удара на него действуют две силы: сила тяжести gm 1 и сила натяжения

нити 1N

. Сила тяжести является консервативной, а сила натяжения в дан-

ном случае не совершает работы, т.к. на любом бесконечно малом участке

траектории она направлена перпендикулярно бесконечно малому переме-

щению. Поэтому во время полета механическая энергия первого шара со-

храняется. Это же утверждение справедливо и для движения шаров после

– 8 –

столкновения. Обозначим начальный угол отклонения первого шара через

α1 и высоту – через h1.

Запишем закон сохранения механической энергии для первого шара:

1211

2mghm , (106.3)

где m1gh1 – начальная механическая (потенциальная) энергия шара; 2

211m –

механическая (кинетическая) энергия шара перед столкновением. Отсюда

имеем следующее соотношение: 11 2gh . Из рис.106.4 видно что

2

21 12111

sincoscosh , тогда:

2

212 111

singcosg . (106.4)

Аналогично определяются скорости первого u1 и второго шариков u2

сразу после удара:

11 12 cosgu , 222 122 cosgghu , (106.5) где β1 – угол отскока первого шарика, β2 – угол отскока второго шарика,

h2 – высота подъема второго шарика.

Рассмотрим особенности абсолютно упругого и абсолютно неупруго-

го ударов.

Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором кинетическая

энергия стакиваются тел частично или полностью (т.е. без тепловых по-

терь) переходит в энергию их упругой деформации, а затем вновь превра-

щается в кинетическую энергию разлетающихся тел. При этом оба тела

полностью восстанавливают свою форму. При абсолютно упругом ударе

выполняются законы сохранения как импульса, так и механической энер-

гии.

– 9 –

ЗАМЕЧАНИЕ. После удара тела могут и вращаться, так что следовало

бы добавить и закон сохранения момента импульса, позволяющий опреде-

лить скорость вращения, но с целью упрощения опытов и расчетов, враща-

тельным движением пренебрегаем.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар шаров. Пусть мас-

сы шаров m1 и m2, скорости до удара υ1 и υ2, после удара u1 и u2. Закон со-

хранения импульса системы двух шаров в общем виде имеет вид:

2121 pppp или 22112211 umummm

, где 21 p,p

– соответствен-

но импульсы первого и второго шаров до соударения, 21 p,p – соответст-

венно импульсы первого и второго шаров после соударения

В применении к данной задаче закон сохранения импульса в проекци-

ях на ось OX имеет вид:

p1x + p2x = p'1x + p'2x или 22112211 umummm . (106.6)

Закон сохранения энергии дает:

2222

222

211

222

211 umummm . (106.7)

Решая полученную систему уравнений (106.6–106.7) совместно, полу-

чаем:

121

2211

21

221211 2

2

mmmm

mmmmmu , (106.8)

221

2211

21

112122 2

2

mmmm

mmmmmu . (106.9)

Исследуем полученный результат в частных случаях.

1) Соударение одинаковых шаров. Тогда m1 = m2 и из системы урав-

нений (106.8–106.9) получаем: u1 = υ2, u2 = υ1. В этом случае в результате

соударения тела только обменяются энергией и, соответственно, скоро-

стью. Времена ударов, близких к абсолютно упругим, весьма малы – по-

– 10 –

рядка 10–4 – 10–5 с, а давления на площадках контакта достигает

109 – 1010 Па (10 4 – 10 5 атм).

2) Удар шара о массивную стенку. В этом случае m2 >> m1 и из систе-

мы уравнений (106.8–106.9) приближенно будем иметь:

211 2u , (106.10)

212

122 2 m

mu . (106.11)

Как видно из выражений (106.10–106.11), скорость массивного тела

после удара меняется незначительно. В результате удара стенке передается

значительный импульс Δp = m2u2 + m2υ2 = 2m1υ1, но передача энергии при

ударе сравнительно мала.

Выражение (106.4) позволяет выразить импульс и кинетическую энер-

гию первого шара перед ударом:

2

212 1111111

singmcosgmmp xx , (106.12)

2

212

12111

211

1

singmcosgmmT . (106.13)

Рассуждая аналогично для движения шаров после столкновения, мож-

но записать следующие выражения для их импульсов и энергий:

2

2 11111

singmump xx , 22 22222

singmump xx , (106.14)

2

22

121

211

1

singmmT , 2

22

222

221

2

singmmT , (106.15)

где β1, β2 − соответственно углы отклонения первого и второго шаров по-

сле удара.

Проекция импульса первого удара после столкновения p'1x является

положительной величиной в том случае, когда направление скорости пер-

вого шара до и после удара совпадают, в противном случае проекция им-

пульса является отрицательной величиной.

– 11 –

Коэффициент восстановления скоростей и энергий k, равный отноше-

нию нормальных составляющих относительной скорости тел после u и до

удара υ:

uk , (106.16)

также можно определить как отношение кинетической энергии системы

после удара T' к кинетической энергии системы до удара T:

21

21

TTTTk

. (106.17)

Для установки (рис.106.2) T2 = 0, т.к. второй шар перед ударом поко-

ится.

Коэффициент восстановления k для прямого удара шаров согласно

формуле (106.16) определяется отношением:

21

12

12

12

uuuuk , (106.18)

где υ1 и υ2 – скорости шаров до удара; u1 и u2 – после удара.

Значение k можно определить экспериментально, например, по высоте

h, на которую подскакивает шарик, свободно подающий на горизонталь-

ную плиту с высоты Н. Так как плита неподвижна, для нее υ2 = u2 = 0, а для

шарика: gH21 , ghu 21 , следовательно из формулы (106.16):

Hhk . (106.19)

В настоящей работе коэффициент k определяется по формуле (106.18)

по скоростям двух одинаковых соударяющихся шаров, один из которых

вначале неподвижен: m1 = m2 = m и υ2 = 0.

Абсолютно неупругий удар – это такой удар, после которого оба тела

движутся как одно целое. При этом упругая деформация не возникает или

же она очень мала и не приводит к отскоку, а кинетическая энергия тел

– 12 –

частично или полностью переходит в тепловую. Поэтому при абсолютно

неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется,

а выполняется только закон сохранения импульса.

Рассмотрим центральный абсолютно неуп-

ругий удар шаров (рис.106.5). При таком ударе

энергия налетающего шара полностью расходу-

ется на изменение внутренней энергии другого

шара и на сообщение ему некоторой скорости.

Закон сохранения механической энергии не выполняется, и для определе-

ния скорости после удара достаточно закона сохранения импульса:

p1x + p2x = px или ummmm 212211 , откуда после несложных преобразований получаем:

21

2211

mmmmu

, (106.20)

где px, u – импульс и скорость единого тела после удара.

Потеря механической энергии ΔE, перешедшей во внутреннюю энер-

гию шаров, равна разности энергий до и после удара:

22121

212

21222

211

2222

mmmmummmmE . (106.21)

Когда неподвижное тело имеет большую массу (m2 > m1), то почти вся

кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю энергию. На-

против, при m1 >> m2 изменение внутренней энергии мало и большая часть

кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.

Импульс и кинетическая энергия первого шара перед ударом опреде-

ляются выражениями (106.14–106.15). Те же величины для движения ша-

ров после столкновения запишутся в виде:

2

2 21121

singmmmmp xx , (106.22)

2N

1N

1

m1 + m2 m1 m2 Рис.106.5. Схема цен-трального абсолютно

неупругого удара.

– 13 –

2

22

221

2121

singmmmmT , (106.23)

где β – угол отклонения первого и второго шаров, двигающихся как единое

тело, после удара.

Сила удара. Радиус контактной площадки. Давление.

Если второй шар до соударения остаётся в

покое, то закон изменения его импульса в проек-

ции на ось ОХ запишется в виде:

OX: Δp2x = (m2g + N2x + < Fx >) τ, (106.24)

где Δp2x = m2u2x – m2υ2x – проекция вектора

изменения импульса второго шара, υ2x – проекция

его скорости до удара, < Fx > – среднее значение

проекции силы, действующий на второй шар со стороны первого в течение

времени столкновения τ.

Т.к. второй шар до удара покоился (υ2 = 0), то Δp2x = m2u2x, кроме того

m2gx = N2x = 0 (рис.106.2). Рассуждая аналогично – изменение импульса

первого шара Δp1x = Δp2x = m1υ1x – m1u1x. Окончательно имеем выражение

для средней силы взаимодействия шаров (средней силы удара) за время τ

(время удара):

22

22

22 221111

221111singmsingmsingmumummF

. (106.25)

Время контакта в работе измеряется электронным секундомером.

Величина < F > называется импульсом силы.

Очевидно, что при ударе сила взаимодействия растет от нуля (при на-

чале контакта) до максимальной (при максимальном сжатии шаров), а за-

тем снова падает до нуля (рис.106.6). Вид кривой F(t) определить непро-

сто, однако с достаточной точностью можно считать, что она имеет при-

мерно треугольный вид, как показано на рис.106.6, и тогда:

τ

F

Рис.106.6. Графическая зависимость F(t).

– 14 –

Fmax ≈ 2< F >. (106.26) Оценим характерную величину давления при ударе:

S

FP max , (106.27)

где S = π r2 – максимальная площадь

контакта при взаимном сжатии шаров,

r – радиус контактной площадки

(рис.106.7,a). Из рис.106.7,б видно

(считая, что

– 15 –

106.4. Порядок выполнения работы

106.4.1. Определение коэффициента восстановления

1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанно-

го в разделе 106.2.1. Контактная поверхность шариков должна быть чис-

той, иначе их электрический контакт будет плох и его время показывае-

мое секундомером, не будет соответствовать времени механического кон-

такта, т.е. истинному времени удара.

2. Включите секундомер кнопкой «Сеть». Кнопка «Пуск» отжата. На

табло должны высветиться нули.

3. Отведите первый шарик до его захвата магнитом (α1 = 15º). Шарик

при этом не должен перекручиваться на подвесе. Второй шарик – непод-

вижен.

4. Нажмите кнопку «Пуск» и зафиксируйте по угловым шкалам мак-

симальный отброс второго шарика β2 и угол β1, на который отклонится

первый шарик, двигаясь по инерции после первого удара (угол β1 очень

мал и его сложно замерить, поэтому рекомендуется принять его значение в

пределах 1–2°). Затем спишите с табло время удара .

5. Восстановите исходное состояние установки, отжав кнопку «Пуск»,

прилепите к магниту первый шарик и успокойте второй.

6. Повторите опыт с определением времени и углов β1 и β2 еще че-

тыре раза. Результаты запишите в таблицу 106.1.

7. Выключите секундомер кнопкой «Сеть».

– 16 –

Таблица 106.1. Определение коэффициента восстановления

скорости и энергии. №

опыта

α1,

град

β1,

град

,

град

β2,

град

,

град

τ,

мкс

,

мкс

υ1,

м/с

u1,

м/с

u2,

м/с

T1,

Дж

T'1,

Дж

T'2,

Дж kυ kT

1

2

3

4

5

Для установки, состоящей из 2–х шаров: m = ________ кг, R = _________ м, ℓ = ______ м.

106.4.2. Исследование закона сохранения импульса

1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанно-

го в разделе 106.2.2. Шарики должны висеть, выстроившись в одну линию

и на одном уровне, и не должны перекручиваться на подвесе.

2. Отклоните шар 1 на угол α1 = 15º и по угловым шкалам определите

угол отклонения β5 шара 5 и угол β1, на который отклонится шар 1, двига-

ясь по инерции после первого удара (угол β1 очень мал и его сложно заме-

рить, поэтому рекомендуется принять его значение в пределах 1–3°).

3. Повторите опыт с определением углов β1 и β2 еще два раза, откло-

няя шар 1 на углы 20º и 25º (значение угла β1 рекомендуется принять в

пределах 2–5°). Результаты опытов запишите в таблицу 106.2.

Таблица 106.2. Определение импульсов и энергий шаров до и после удара.

№ опыта

α1, град

β1, град

β5, град

υ1, м/с

u1, м/с

u5, м/с

p1, кг·м/с

p'1 + p'5, кг·м/с

T1, Дж

T'1 + T'5, Дж kT

1 15

2 20

3 25

Для установки, состоящей из 5–ти шаров: mp = ________ кг, ℓp = _________ м.

– 17 –

106.5. Обработка результатов измерений

1. Вычислите средние значения величин: < β1 >, < β2 >, < τ >.

2. По формулам (106.5) и (106.6) вычислите скорости шаров υ1, u1, u2 и

u5.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из–за трения шаров и проводов подвеса о воздух, ис-

тинная скорость υ1 будет несколько меньше вычисленной по формуле

(106.5), а истинные u1, u2 и u5 – несколько больше вычисленных по форму-

лам (106.6). В данной работе это трение не учитывается.

3. По формуле (106.14) вычислите кинетическую энергию первого

шара до удара T1. По формулам (106.16) вычислите кинетические энергии

шаров после удара T'1, T'2 и T'5.

4. По формуле (106.13) вычислите импульс первого шара до удара p1.

По формулам (106.15) вычислите импульсы шаров после удара p'1, p'2 и p'5.

5. Вычислите коэффициент восстановления kυ по формуле (106.18),

полагая в ней υ2 = 0. Вычислите коэффициент восстановления kT по фор-

муле (106.17), полагая в ней T2 = 0 и T5 = 0. Результаты расчетов запишите

в таблицы 106.1 и 106.2. Сделайте выводы.

6. По формуле (106.25) вычислите среднюю силу удара < F >.

7. По формуле (106.29) вычислите радиус контактной площадки r.

8. По формуле (106.30) вычислите давление Р при ударе.

106.6. Контрольные вопросы

1. На примере двух частиц вывести закон изменения импульса этой

системы. Сформулировать условия, при которых сохраняется импульс сис-

темы или его проекция.

2. Что такое внешние и внутренние силы?

– 18 –

3. Что такое механическая работа? Привести формулу для нахождения

работы переменной силы по криволинейному участку траектории.

4. Какие силы называются консервативными и неконсервативными?

Что такое понятие потенциальная энергия?

5. Дать понятие кинетической энергии материальной точки и твердого

тела. Вывести теорему об изменении кинетической энергии.

6. На примере одной материальной точки вывести закон изменения ее

полной механической энергии.

7. В чем различие между упругим и неупругим ударами?

8. Что такое изолированная система?

9. Какие превращения механической энергии совершаются в данной

работе?

10. От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экс-

периментальной работе?

Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [1],

§§22, 23, 30; [2], §§25,…, 29; [3], §15; [4], §4.6; [5], §I.4.6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики в 4-х томах. Механика. Молеку-лярная физика и термодинамика. – М.: КноРус, 2012. – Т.1. – 528 с.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, МФТИ, 2010. – Т.1. – 560 с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – 20-е изд., стер. – М.: Изд-во «Ака-демия», 2014. – 560 с.

4. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для фи-зич. спец. вузов. – 12-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 309 с.

5. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – 8-е изд., испр. и перераб. – М.: Изд-во «Оникс», 2008. – 1056 с.

У ч е б н о е и з д а н и е

Сергей Олегович Зубович Анатолий Леонидович Суркаев

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ

Методические указания

в авторской редакции Темплан 2007 г., поз.№ __28. В_

Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001 г.

Подписано в печать _________. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. _1,16___.

Уч.-изд. л. _1,2 на магнитоносителе Волгоградский государственный технический университет.

400131, г. Волгоград, просп. им. В.И. Ленина 28.

РПК “Политехник” Волгоградского государственного технического университета.

400131, Волгоград, ул. Советская, 35.