volumen de sólidos de revolución
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Volumen de slidos de revolucin
Definicin
Sea una funcin definida en el intervalo
.
Recibe el nombre de slido de revolucin, el slido generado al girar alrededor del eje , la regin limitada por la grfica de , el eje y las grficas de y . El eje es un eje de simetra de dicho slido y una seccin recta perpendicular al eje es un crculo.
Para determinar el volumen de este tipo de slidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el rea de una regin, aproximando el ``volumen'' de un slido de revolucin por medio de una suma de volmenes de slidos ms elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los slidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definicin, el producto del rea de la base por el espesor (o altura).
Consideremos una particin
del intervalo
determinada por el conjunto de nmeros
donde Sea
, con un aumento de .
.
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son cuyas bases tienen radios .
,y
El volumen del
simo disco es:
La suma
de los volmenes de los discos nos da una aproximacin al volumen del slido de revolucin.
Podemos suponer que mientras ms delgados sean los discos, mayor ser la aproximacin de la suma anterior al volumen del slido. Se tiene entonces la siguiente definicin:
Si existe un nmero
tal que dada
exista
para la cual
para toda particin de y todo aumento de , y con , este nmero volumen del slido obtenido por revolucin del rea limitada por las grficas de alrededor del eje . Si es la funcin dada por para
es el
, entonces la suma de aproximacin:
utilizada en la definicin del volumen del slido de revolucin, puede escribirse como:
donde
. dada, se tiene que
Luego, de la definicin de integral y de la definicin de
Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado para . Sea
, tales que
la regin del plano limitada por las curvas con ecuaciones .
y las rectas con ecuaciones
Deseamos determinar el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin alrededor del eje (note que en este caso no giramos la regin alrededor de una de sus fronteras). El slido generado se muestra en la siguiente figura:
Sea
una particin del intervalo con
determinada por el conjunto de nmeros para . , y sea
un aumento de
En este caso, los slidos elementales usados para obtener una suma de aproximacin del volumen del slido de revolucin, sern anillos circulares. Se muestra a continuacin el simo rectngulo y el rotar aquel alrededor del eje . simo anillo circular generado al
Luego, el rea del anillo circular es:
por lo que el volumen del
simo elemento slido ser:
Entonces, la suma de aproximacin para el volumen del slido de revolucin es:
Puede suponerse que mientras ms delgados sean los anillos circulares, mayor ser la aproximacin de la suma anterior al volumen del slido.
Definicin
Si existe un nmero
tal que dada
exista
para la cual
para toda particin de y todo aumento de , y con , este nmero de es el volumen del slido obtenido por revolucin del rea limitada por las grficas de . , , , , alrededor del eje
Si es la funcin dada por aproximacin
para
, entonces la suma de
utilizada en la definicin 8, puede escribirse como:
donde
,
.
Luego se tiene que: