VOLUMEN DEL PANAL DE UNA ABEJA

OBJETIVOS:

• Estudiar las ramas del Calculo Integral y sus respectivas aplicaciones relacionadas con la materia

• Disponer de los conceptos que utilizaremos para el desarrollo de nuestro proyecto.

¿Que es la integral? La integración es un 

concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos

Aplicaciones de la Integral:

 La integral definida es una

herramienta útil en las

ciencias físicas y sociales, ya

que muchas cantidades de

interés en dichas ciencias

pueden definirse mediante el

tipo de suma que se presenta

en la integral definida.

El cálculo Integral se puede aplicar o

mejor se puede usar para calcular

áreas entre curvas, volúmenes de

sólidos, y el trabajo realizado por

una fuerza variable.

Podemos entender los volúmenes de

muchas situaciones de la naturaleza

que nos rodea, que están en

constantes cambios biológicos.

¿Cómo se halla el volumen?

El volumen se encuentra por la rotación de una figura plana (el área

de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación

bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una

recta cualquiera.  Hay tres métodos para encontrar este volumen

dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido. Los métodos

son Arandelas, discos y rebanadas.

DESARROLLO DEL PROYECTO

Planteamiento del proyecto

El planteamiento del proyecto surgió para conocer

las aplicaciones que tiene el cálculo integral en el

campo biologico, encontrando el volumen del panal

de la abeja.

PAN

AL D

E A

BEJA

Un caso interesante de optimización que aparece en la naturaleza es el que

ocurre en los panales. Las abejas saben más que nosotros sobre construcción

de panales por la sencilla razón de que lo vienen haciendo desde hace milenios

sin nuestra ayuda.

Para entender cual es el volumen de un panal, se procederá a estudiar una

celdilla, hallando su respectivo volumen, esto nos llevara a conocer el volumen

del panal. (que dependerá a su vez del numero de celdillas que posea.)

CELD

ILLA D

EL PA

NA

L DE A

BEJA

S

AP

LIC

AC

IÓN

Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación

se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la

miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas.

Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico

sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al

máximo.

¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difícil de construir?.

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus

había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro,

encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura

que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un

número infinito de lados. No obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de

otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición

"mayor número de lados y adyacencia sin huecos", es el hexágono.

AP

LIC

AC

IÓN

Las abejas construyen sus panales

como prismas hexagonales regulares

apuntados en el fondo por tres rombos

inclinados respecto a la horizontal un

ángulo determinado para que,

almacenando la misma cantidad de

miel, tengan la mínima cantidad de

materia (cera); es decir, el área sea

mínima.

Observando la figura vemos que la abeja construye el rombo GBHF de modo que el volumen que quita del prisma, el GABF, equivale al que añade, el HBJF. Pero aunque el volumen del panal equivale al del prisma hexagonal, sin embargo el área total del panal es la menor posible para tal propósito; si la abeja hubiese dado al panal la forma de prisma, éste no habría perdido capacidad, pero habría sido necesaria más cera para su construcción. En la naturaleza rige la ley del mínimo/máximo.Vamos a calcular el ángulo x de inclinación del rombo que hace mínima dicha área.

Identidades AB = a (arista básica del prisma, que por tratarse de un problema afín se

puede sustituir por la unidad de longitud; luego lo haremos)x = HKJ (ángulo de inclinación que deseamos determinar)KJ = a/2 (apotema del triángulo equilátero BFD)HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG (por simetría)HG = 2.HK = a.sec(x)

(lado del triángulo BDF) HK = KJ.sec(x) = (a/2).sec(x)

El área que estudiamos será mínima cuando sea máxima la diferenciay = (ABF) + (BFJ) + (ABG) + (AFG) - (GBHF)

Haciendo a = 1 se tiene:

Haciendo a = 1 se tiene:

Integrando:

CONCLUSIONES

Para dar fin a este trabajo concluimos que las aplicaciones del

cálculo integral, es un campo tan abierto en las matemáticas que

nos permite resolver problemas como estos, en los cuales nadie

pensaría utilizar para resolverlos, así como este hay varios

ejemplos en los cuales de una manera sencilla se puede dar

solución a un problema de aplicación de este tipo o de tipo

cotidiano.