vom marktrisiko zum kreditrisiko jörg lemm 9. dezember 2002
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Vom Marktrisiko zum Kreditrisiko
Jörg Lemm
9. Dezember 2002
Basel, die Banken und die Physiker
Basler Ausschuss der G10 Länder zur Bankenaufsichterarbeitet Richtlinien zur Eigenkapitalunterlegung von Bankrisiken
1988 Basel I, Vorschriften zur (pauschalen) Eigenkapitalunterlegung von Kreditrisiken
1996 Erweiterung auf Marktrisiko (quantitative Modelle)
1999 Basel II, erstes Konsultationspapier Kreditrisiko (quantitative Modelle)
2006/7 geplante Umsetzung Basel II
Risikomanagement
1. Bestimmen/Messen/Modellieren von Gewinn/Verlust-Verteilungen
2. Reduzieren von Risiko / Gestalten von Risikoprofilen
?
?
Marktrisiko
• Einzelkurse: Probabilistische Modelle
• Portfolio: Risikominimierung
• Hedging: Geht es ohne Risiko?
DAX
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
8.000,00
9.000,00
27.11.1993 23.08.1996 20.05.1999 13.02.2002
DAX
5%
Royal Dutch Petroleum Company
0
10
20
30
40
50
60
70
20.03.1980 15.12.1982 10.09.1985 06.06.1988 03.03.1991 27.11.1993 23.08.1996 20.05.1999 13.02.2002
Royal Dutch
10%
Brown´sche Bewegung
tUnabhängige, normalverteilte Zuwächse mit Varianz mit (bei kleinen Zeiten) Mittelwert 0
2t
ttt yy 1 ttt yy 1also
(Bachelier 1900, Einstein 1905)
Beispiel Brown‘sche Bewegung
Markteffizienz (Fama 1970, U. of Chicago)
Autokorrelation S&P 500
Aus Bouchaud, Potters, Theory of Financial Risks
Minuten
NormierteAuto-korrelation
Geometrische Brown´sche Bewegung
ist eine Brown´sche Bewegung bezogen auf logarithmische Preise,mit normalverteilten Renditen (relative Preisänderungen)
1
1
11 lnlnln
t
tt
t
tttt y
yy
y
yyyr
ttr mit
trtt eyy 1also
Beispiel geometrische Brown‘sche Bewegung
ARCH-ProzesseA(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity)
Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung,aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängigvon (einem `moving average´ der) vergangenenquadrierten Änderungen.
Beispiel ARCH-Prozess
22110
2ptptt aaa ARCH(p) :
GARCH-ProzesseG(eneralized) A(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity)
Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung,aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängigvon (einem `moving average´ der) vergangenenquadrierten Änderungen sowie der vergangenenVarianz selbst (`autoregressive Komponente´)
Beispiel GARCH-Prozess
211
2110
2 ttt baa GARCH(1,1) :
• Schwankungen sind besser vorhersagbar als Renditen• Langfristige systematische Vorhersagemöglichkeiten erlauben
Arbitrage (risikolose Gewinne) und sind daher in größerem Umfang nicht zu erwarten
• Es gibt keine notwendige kurzfristige Kopplung an den Fundamentalwert. Positive Rückkopplungen führen zu Spekulationsblasen (Bsp.: Stop loss orders, Behavioral Finance, Kahnemann & Tversky)
• Nutzen von Expertenwissen ( Bayes‘sche Methoden) empirisch schwer überprüfbar
Kursvorhersage: Probleme
30
40
50
60
70
80
90
09.07.1997 21.11.1998 04.04.2000 17.08.2001 30.12.2002
Shell
Royal Dutch
30
35
40
45
50
55
60
65
70
09.07.1997 21.11.1998 04.04.2000 17.08.2001 30.12.2002
Shell
Royal Dutch
Bsp.: LTCM (Long-Term Capital Management; Merton, Scholes) 1998
Marktrisiko
• Einzelkurse: Probabilistische Modelle
• Portfolio: Risikominimierung
• Hedging: Geht es ohne Risiko?
GrundlagenPortfolio-Optimierung
0
0,5
1
1
0
-1
Eine Münze 2 Münzen 2 Münzen 2 Münzen
10 1
ProblemstellungPortfolio-Optimierung
Portfoliozusammensetzung:
3w (relativer) Anteil von Aktie 3
1w (relativer) Anteil von Aktie 1
2w (relativer) Anteil von Aktie 2
...
Problemstellung: Finde für vorgegebene Gewinnerwartung die Portfolio-zusammensetzung mit minimalem Risiko (Varianz)
Bei fixiertem Gesamterwartungswert (und fixierten auf 1 normierten Einstandspreis)soll die Unsicherheit (hier: Varianz) minimiert werden
Portfolio-Optimierung
ij
jijiP wCw2
Ein Portfolio aus Aktien mit erwartetem Gewinn Varianz-Kovarianzmatrix , und (relativen) Anteil hat die Portfoliovarianz
ijC iwim
ii
iii
ijjijiw wmwwCwArg min
unter den Nebenbedingungen und Pi
ii mmw 1i
iw
Korrelierte Wertpapiere Portfolio-Optimierung
Markowitz, Nobelpreis 1990
Portfolio-Optimierung: Probleme• Die Zahl der Einträge in einer Korrelationsmatrix wächst
quadratisch mit der Zahl der Komponenten
• historische Daten zeigen starkes Rauschen (Filtern mit Random Matrix Methoden)
• historische Werte sind nur von bedingtem Nutzen A-Priori Informationen müssen mit einfließen (Bayes‘sche Methoden)
• Andere Risikomaße (z.B. VaR) und Nicht-Gauß‘sche Verteilungen (Monte Carlo)
• Viele verschiedene Nebenbedingungen möglich (teilweise Zusammenhang mit Spingläsern, dann viele Minima)
• Optimale Portfolios sind nicht sehr stabil
• Transaktionskosten und fehlende Liquidität
Marktrisiko
• Einzelkurse: Probabilistische Modelle
• Portfolio: Risikominimierung
• Hedging: Geht es ohne Risiko?
„No-Arbitrage“-Prinzip
Perfekt negativ korrelierte Finanzprodukte erlauben die Konstruktion risikoloser Portfolios
Beispiel: Komplexe Finanzinstrumente (wie z.B. Optionen)können manchmal durch eine Mischung von (der der Option zugrundeliegenden) Aktien und einer risikolosen Geldanlage nachgebildet werden: Option = a*Aktie + b*Geldkonto
Binomialmodell Aktie
Binomialmodell Derivate Binomialmodell 2stufig
Binomialmodell 1stufig
Optionspreisformeln, Black-Scholes, Merton u. Scholes Nobelpreis 1997
No-Arbitrage Prinzip: Probleme
• Kontinuierliches Handeln ohne Transaktionskosten
• Restriktive Verteilungsannahmen (log-normale Kurse mit bekannter Zinsrate und Volatilität)
• Leerverkäufe erlaubt, Aktien beliebig teilbar• Erweiterungen (z.B. Monte Carlo) sind oft
aufwendig und führen nicht immer zu kompletter Risikofreiheit
Kreditrisiko
• Einzelkredit: Erwarteter Verlust
• Portfolio: Unerwarteter Verlust
• Pricing: Was kostet Risiko?
Deterministischer Zahlungsstrom
Zahlungsstromim
Vertragsfall
Auszahlung
Zins/Tilgung im 1ten Jahr Zins/Tilgung im 2ten Jahr Zins/Tilgung im 3ten JahrZahlungen
Zeit
Refinanzierung und Barwert
Probabilistischer Zahlungsbaum
Ausfall im 3ten Jahr
Ausfall im 2ten Jahr
Ausfall im 1ten Jahr
Vertragsfall
Zahlungsbaumunter
Berücksichtigung von Ausfallszenarien
Zu bestimmende Parameter
RATING:Ausfallwahr-scheinlichkeit im 1ten Jahr
PRICING:Benötigte Eingabegrößen
EAD-Modul:Inanspruchnahme
bei Ausfall
LGD-Modul:Erlösquoten
von Sicherheiten
Inanspruchnahme bei Ausfall
Zeit
Inanspruchnahme
Erwartete Inanspruch-nahme
Mittlere Inanspruchnahme bei Ausfall (EAD)Internes
Limit
Vertrags-abschluss
Typisches Verhalten
Verzugs-verhalten
Beginnende Probleme
TatsächlicheInanspruchnahme bei Ausfall (EAD)
EWB
Für die „Energiedifferenz“ lassen sich nun verschiedene Ansätze wählen. Ein einfacher linearer Ansatz führt zur logistischen Regression
Ausfallwahrscheinlichkeiten durch logistische Regression
Die Ausfallwahrscheinlichkeit für gegebenen Scorewert x
)()()(
)(
1 1
1)(
10
1
xExExE
xE
eee
exp
)()|( 1 xpxAusfallp
bxaxE )(
lässt sich analog schreiben als
Logistische Regression RBF
Für nichtparametrische Verfahren (mit vielen Freiheitsgraden)muss die Maximum Likelihood Methode durch Cross-Validierungstechniken oder Hinzunahme von A-Priori-Informationen (Bayes‘sche Statistik)ergänzt werden.
Maximum Likelihood Methode
i
ii baxypbaxyp ),;|(),;|(
Es werden diejenigen Modellparameter a und b ausgewählt unter denen die Wahrscheinlichkeit der gegebenen Daten p(Daten|Modell) ( = „Likelihood“)maximal wird. Für gegebenen Scorewert x ist die Likelihood für die Ausfallvariable y
Logistische Regression RBF
Kreditrisiko
• Einzelkredit: Erwarteter Verlust
• Portfolio: Unerwarteter Verlust
• Pricing: Was kostet Risiko?
Zweistufiges Konjunkturmodell
0
1
0 1
0
1
0 1
0
1
0 1
"schlechte
Konjunktur"
"gute
Konjunktur"
95%
85%
5%
15%
kein Ausfall Ausfall
P
V
P
V
p(schlechte Konj.) = 50%
p(gute Konj.) = 50%
Heute In einem Jahr:
Zweistufiges Konjunkturmodell:Ein Kredit
0
1
0 1
0
1
0 1
Ohne Konjunktur-variable
MitKonjunktur-variable
P
P
V
V
10%
10%
90%
90%Bei einem Kredit nach Konstruktion kein Unterschied
Zweistufiges Konjunkturmodell:2 Kredite
0
1
0 1
0
1
0 1
UnabhängigeKredite
AbhängigeKredite
P
P
Doppel-ausfall
einAusfall
keinAusfall
Doppel-ausfall
einAusfall
keinAusfall
81%
81,25%
18%
17,5%
1%
1,25%
Größere Häufigkeit einesDoppelausfallsbei abhängigen Krediten
0
0,5
0 1
0
0,5
0 1
Zweistufiges Konjunkturmodell:10 Kredite
UnabhängigeKredite
AbhängigeKredite
P
P
5,7%
7,0%
Größere Breite der Verteilungbei abhängigen Krediten
Zweistufiges Konjunkturmodell: 100 Kredite
0
0,15
0 1
0
0,15
0 1
UnabhängigeKredite
AbhängigeKredite
P
P
V
V
Die beiden Konjunkturstufenwerden sichtbar
Verteilung nähert sich (in ihrem Zentrum) einer Normalverteilung
0
0,045
0,001
0
0,03
0 1
Zweistufiges Konjunkturmodell: 1000 Kredite
UnabhängigeKredite
AbhängigeKredite
P
P
V
V
Spezifisches Risikoverschwindet asymptotisch(Wurzel-n-Gesetz)
Systematisches Risiko(z.B. Konjunkturrisiko)bleibt, auch asymptotisch nicht diversifizierbar
Restrisiko
1 Zahl der Kredite noch nicht groß genug2 Kreditvolumina sehr unterschiedlich groß
(dominierende Einzelkredite, „Klumpenrisiken“ )3 Einzelkredite korreliert
(systematisches Risiko)
In der Praxis verschwindet das Risiko auch für sehr große Banken nicht, da
Aufsichtliche Unterlegungspflicht mit Eigenkapital
Mehrstufiges Konjunkturmodell
0
0,015
0 1
n/1 Unsystematisches Risiko verschwindet mit Komp.) unabh.der Zahl (n
Systematisches Risiko proportional zu r.)Ausfallkor mittl. (
11
nP
w.)Standardab mittl. (
Portfoliorisiko (vgl. Markowitz)
Approximationdurch Gamma-verteilungP
Prinzip CreditMetrics
Kreditrisiko
• Einzelkredit: Erwarteter Verlust
• Portfolio: Unerwarteter Verlust
• Pricing: Was kostet Risiko?
Value at Risk
0
1
EL= erwart. Verlust
VaR= Value at Risk("Wert am Risiko")hier auf 99%-Niveau= Solvenzniveau( Basel 99,9%)
Wahrscheinlichkeit
Verlust
Wahrscheinlichkeit
hoher Verluste < 1%
WB Eigenkapital
EK: Unterlegung des unerwarteten Verlustes (nach VaR) mit Eigenkapital ( Eigenkapitalkosten)
WB: Berücksichtigung des erwarteten Verlustes durch Wertberichtigungen (Standardrisikokosten)
(sowie, bei Rechnung in Buchwerten, durch die erwartete Marge)
Value at Risk(`Wert am Risiko´)hier auf 99%-Niveau(=Solvenzniveau)
erwarteterVerlust
Eigenkapitalkosten: Änderung des VaR durch neuen Kredit
EL VaR = EK+ EL
0
1
Verlustverteilung ohne neuen KreditVerlustverteilung mit neuem Kredit
Verzinsung des benötigten Eigenkapitals = Eigenkapitalkosten
Pricing
Barwert(Vertragsfall)
- erwarteter Verlust
- Eigenkapitalkosten (Risikoprämie)
= Nettoerfolg
PricingToy
Vielen Dank !
Wahrscheinlichkeit und Energie
Z
exp
xE )(
)(
)(xEedxZ
)(xE
Jede Wahrscheinlichkeit(sdichte) läßt sich schreiben als
mit „Energie“
und „Zustandssumme“
Vorteile: 1. Normierung und Nichtnegativität automatisch gewährleistet2. Normierung braucht nicht in jedem Fall berechnet zu werden3. Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten entspricht Addition von Energien(Integrale)
Andere mögliche Nebenbedingungen
0i
iwKeine Leerverkäufe :
Dwi
i 2Mit Diversifikationsvorgabe :
Mit Marginkonto : 11 i
w ( Spingläser)