voolu pidevus edasijõudnutele
DESCRIPTION
22b Voolu diferentsiaalvõrrandid, potentsiaal, voolufunktsioon, keerisedTRANSCRIPT
![Page 1: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/1.jpg)
22b Voolu pidevus
![Page 2: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/2.jpg)
2. Hüdrodünaamika
21. Voolamine avadest22. Voolu pidevus23. Survekadu
![Page 3: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/3.jpg)
22b Ülevaade
Bernoulli seadusReynoldsi arvVoolufunktsioonVoolu potentsiaal
![Page 4: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/4.jpg)
22b ÕpiväljundidTeadmised
○ mis on Bernoulli seadus
○ millest sõltub rõhk liikuvas vedelikus
○ mis on Bernoulli võrrand ideaalvedeliku jaoks
○ millal tohib kasutada Bernoulli võrrandit
Oskused○ kasutada Bernoulli
seadust○ arvutada rõhku
liikuvas vedelikus○ leida voolu kiirust
![Page 5: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/5.jpg)
22b Kirjanduse loetelu[1] Hüdraulika ja pumbad. Aleksander Maastik jt. [2] Hüdromehaanika. K. Laigna[3] Hüdraulika. L.Tepaks[4] Hüdraulika. J. Rabinovitš
[5] Гидравлика. Р.Р. Чугаев[6] Гидравлика. А.И. Богомолов, К.А. Михайлов[7] Гидравлика. Е. З. Рабинович[8] Гидравлика. И.З. Френкель
[9] Engineering fluid mechanics. W.P. Graebel[10] Understanding Hydraulics. L.Hamill
[1] lk 51-58
[2] lk 79-85[3] lk 74-84[4] lk 79-87
[5] стр. 95-101[6] стр. 67-72
[7] стр. 68-74[8] стр. 120-124, 143-147, 152-156[9] p.123-129
[10]
![Page 6: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/6.jpg)
Terminid (1)Bernoulli printsiip - kui vedeliku kiirus suureneb, selle rõhk langeb.Statsionaarne vool - igas punktis kiirus konstantne, ei sõltu ajast. Erinevates punktides ta on erinev. Ebastatsionaarne (muutuv) vool - ühes ja samas punktis kiirus võib olla erinevate väärtustega erinevatel ajahetkedel. Voolujoon - kiirusväljas asuv kõverjoon, mille igas punktis puutuja siht ühtib kiirusvektori sihiga selles punktis. Trajektoor - vedelikuosakese liikumistee ruumis; kirjeldab osakese asendit eri hetkedel.
![Page 7: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/7.jpg)
Terminid (2)Vool on liikuv vedelik, mida ümbritseb liikumatu keskkond (kas gaasiline, tahke või vedel). Vabavool - liigub raskusjõu toimel. Vabapind - kokkupuutepind gaasilise keskkonnaga. Survevool - liigub välisjõu toimel mistahes suunas. Joad võivad olla vabajoad (gaasis) või sukeljoad (vedelikus). Voolu ristlõige (elavlõige) - voolu risti voolujooni lõikav pind. Märgpiire (märgperimeeter) - voolava vedeliku kokkupuutejoon elavlõike liikumatu piirdega (v.a. vabapind)Hüdrauliline raadius - elavlõike ja märgpiirde suhe. Vooluhulk - ristlõiget ajaühikus läbiv vedeliku maht.
![Page 8: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/8.jpg)
Voolu parameetrid
χ - märgpiire (m)
Hüdrauliline raadius (m)R = A / χ
A - elavlõige (m2)
Toru hüdrauliline raadius R = 0,25d
![Page 9: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/9.jpg)
Bernoulli seadusKui vooluhulk ei muutu, voolu ristlõikes madalama kiirusega valitseb suurem rõhk.
Bernoulli kolmikliige
![Page 10: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/10.jpg)
Bernoulli võrrandi geomeetriline tõlgendus
surve, m
pikkus, m
1) z - kõrgussurve + 2) piesomeetersurve + 3) kiirussurve
Täissurve =
![Page 11: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/11.jpg)
Bernoulli võrrandi füüsikaline (energeetiline) tõlgendus
energiajoon
survejoonkineetiline energia
potentsiaalne rõhu-
erienergia
erienergia
potentsiaalne asendi-
erienergia
![Page 12: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/12.jpg)
Reynoldsi arv
Määrab voolamise režiimi. Torus Re alla 2000 laminaarne, üle 4000 turbulentne. Kanalis alla 500 laminaarne, üle 1000 turbulentne.
Vee kinemaatiline viskoossus on 10-6 m2/s
![Page 13: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/13.jpg)
Näide
Leida voolukiirus torus läbimõõduga 10 cm, kus voolab vooluhulk 4 liitrit sekundis.
Lahendus:Voolukiirus sõltub vooluhulgast ja ristlõike pindalast. u=Q/A = Q / (π d2 /4)u = 0,004 x 4 / 3,14 x 0,01 = 0,5 m/s
![Page 14: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/14.jpg)
Küsimused
Mida on vaja teada voolukiiruse leidmiseks torus?Millistel juhtudel kehtib Bernoulli kolmikliige?Mida väidab Bernoulli printsiip?Kuidas iseloomustatakse laminaarne voolamine?Kuidas iseloomustatakse turbulentne voolamine?Mis jääb muutmatuks statsionaarses voolus?Mis tingimusel voolamine on statsionaarne?Mida näitab Reynoldsi arv?Mille poolest erineb ideaalvedelik reaalvedelikust?Mida iseloomustab Bernoulli võrrandi kolmas liige geomeetriliselt?Mis on vooluhulk? Mõõtühikud?
![Page 15: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/15.jpg)
Kontrolli oma teadmisi
![Page 16: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/16.jpg)
Kontrolli oma teadmisi
![Page 17: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/17.jpg)
Peale mooduli läbimist...
● teate, mis on voolamise Euleri võrrandid
● teate, mis on div(u), potentsiaalne voolamine
● teate, mis on reaal- ja ideaalvedelik
● teate, mis asi on Bernoulli võrrandi energeetiline tõlgendus
● teate, mis on voolufunktsioon
● oskate määrata, kas vool on potentsiaalne, divergentsivaba
● oskate leida voolufunktsiooni● oskate leida kiirusvektori
väärtust
![Page 18: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Voolu pidevus
● Mis on divergentsivaba kiirus
● Mis on kokkusurumatus
● määrata, kas vool on pidev või mitte
● leida kiirusvektori komponendid
![Page 19: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/19.jpg)
Voolu pidevusMatemaatiliselt kokkusurumatus avaldatakse läbi kiiruse divergentsi.
Divergents on skalaarkorrutis kiirusvektori komponentide vahel ja osatuletise komponentide vahel.
Kiirus on esitatud vektorina ruumis.
![Page 20: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/20.jpg)
Kiirusvektori kuju
z
x
y
kiiru
s
u (rõh
tkompo
nent
x-telj
e
suun
as)
v, (rõhtkomponent y-telje suunas)
w, (vertikaalne komponent)
![Page 21: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/21.jpg)
Kiirusvektor 2D-diagrammil
![Page 22: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/22.jpg)
Kiirusvektor 2D-diagrammil
![Page 23: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/23.jpg)
Kiirusvektor 2D-diagrammil
![Page 24: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/24.jpg)
NäideAntud kiiruse jaotus, määrata, kas vool on kokkusurumatu (ehk divergentsivaba).
Lahendus:Vool on kokkusurumatu ainult juhul, kui kiiruse divergents on null. Esimese liikme (u) osatuletis x järgi: (-4x + y + z)'x = -4 Teise liikme (v) osatuletis y järgi:(x -3y + 2z)'y = -3Kolmanda liikme (w) osatuletis z järgi:(4x - 6y + 4z)'z = 4Liidame kõik kokku: -4 - 3 + 4=-3 ei ole null.
Vastus: kokkusurumatuse tingimus ei ole täidetud
![Page 25: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/25.jpg)
Kontrolli oma teadmisi
Antud kiiruse jaotus u(x,y,z). Kas vool on kokkusurumatu? Kuidas tuleb muuta vektorit, et vool oleks kokkusurumatu?
![Page 26: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/26.jpg)
Küsimused
Kuidas matemaatiliselt avaldatakse vedeliku kokkusurumatus?
![Page 27: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/27.jpg)
2. Voolufunktsioon (ψ)
● Mida tähendab voolufunktsioon
● Milleks seda on vaja
● määrata, kuhu vool on suunatud
![Page 28: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/28.jpg)
Voolufunktsioon (ψ)
Voolufunktsioon on üksiku voolujoone võrrand.
![Page 29: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/29.jpg)
Ühesuunaline voolamine
Kiirusvektor
![Page 30: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/30.jpg)
Kahesuunaline voolamine
Kiirusvektor
![Page 31: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/31.jpg)
Voolujoone graafik
Kiirusvektor
Voolufunktsioon
3
4
x
y
Punase joone võrrand:
![Page 32: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/32.jpg)
Näide
Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon.
Lahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.
![Page 33: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/33.jpg)
Küsimused
Kas voolujooned võivad lõikuda? Kuidas, miks?Mida näitab voolufunktsioon?Milleks on vaja voolufunktsiooni?Mis jooned on risti voolujoontega?
![Page 34: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/34.jpg)
Kontrolli oma teadmisi
Antud kiirusvektor, leida voolufunktsioon, kanda 2 joont graafikule.
Antud voolufunktsioon, leida kiirusvektor.
Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y).
Kanda graafikule voolujooned.
![Page 35: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/35.jpg)
3. Kiiruse potentsiaal (φ)
● Mis on potentsiaalne voolamine
● Mille jaoks seda on vaja● Mis on keerilisus ja
pöörelisus● Millal voolus võivad olla
keerised
● määrata, kas vool on pöörisevaba
![Page 36: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/36.jpg)
Kiiruse potentsiaal (φ)
Potentsiaalne voolamine tähendab, et keeriseid ei esine. See ei tähenda, et voolujooned on sirged.
![Page 37: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/37.jpg)
Kiiruse potentsiaal
Potentsiaalne voolamine on matemaatiline lihtsustus, mis eeldab, et voolus ei ole keeriseid (pööriseid). Iga keerisevaba liikumine on potentsiaalne ja iga potentsiaalne voolamine on keerisevaba.
Potentsiaaljooned on risti voolujoontega.
Ühel potentsiaaljoonel on samad kiirusvektori väärtused.
![Page 38: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/38.jpg)
Potentsiaaljoone graafikKiirusvektor
Kiiruse potentsiaal
3
4
x
y
-4
-3Helesinise joone võrrand:
![Page 39: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/39.jpg)
NäideAntud kiiruse funktsioon, määrata, kas voolamine on keerisevaba.
Lahendus:Keerisevaba voolamine toimub ainult juhul, kui kiirusvektori rootor on null. Rootor koosneb kolmest komponendist:1: 4 - 4 = 0
2: 0 - 0 = 0
3: 2x - 4x - 5 = -2x-5
Summa: 0 + 0 + (-2x-5) < 0Vastus: voolamine ei ole keerisevaba
![Page 40: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/40.jpg)
Harjutus1. Antud kiirusvektor, on vaja leida potentsiaalLahendus: Leida integraalid nii, et osatuletised annaksid kiirusvektori komponendid.
2. Antud potentsiaalne funktsioon, leida kiirusvektorLahendus: Leida osatuletised vastava muutuja järgi.
3. Leida kiirusvektori suund ja suurus punktis A (x,y,z)Lahendus: Panna x, y ja z väärtused kiirusvektori võrrandisse.
4. Kanda joonisele potentsiaaljooned.Lahendus: Leida potentsiaalfunktsioon, leida kaks kuni neli punkti, ühendada punktid (sirgjoon, kõverjoon, ringjoon).
![Page 41: Voolu pidevus edasijõudnutele](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081719/553c813e550346a43f8b4a28/html5/thumbnails/41.jpg)
Kontrolli oma teadmisiMäärata, kas voolamine on potentsiaalne: