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Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Gleichstromtechnik
Vorlesung 4: Strom und Stromdichte
Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Ladung und elektrischer Strom
• Leiterausschnitt mit dem Kontroll-
querschnitt A, in dem Leiter
bewegen sich positive und negative
Ladungsträger
• In einem definierten Volumen V des
Leitermaterials befinden sich NP frei
bewegliche positive und NN frei
bewegliche negative Ladungsträger
• Größen nN und nP geben die
Ladungsträgerdichte der negativen
und positiven Ladungsträger in dem
Material an
• In der Zeit t bewegen sich alle
Ladungsträger entlang der
Wegstrecke L und überstreichen
damit den Volumenabschnitt V
Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern
-
-
-
++
+
Querschnitts-
fläche A
Geschwindigkeit Nv
Geschwindigkeit Pv
PP
Nn
V N
N
Nn
V
P PV = A L N NV = A L
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Ladung und elektrischer Strom
• In dem Zeitabschnitt t fließen die positiven Ladungsträger in Richtung des Stromes, die negativen
Ladungsträger entgegen der Stromrichtung durch den Querschnitt A
• Insgesamt fließt durch den Querschnitt damit die Ladungsmenge
• Darstellung des Stromes in einen Stromanteil aus positiven und einen Stromanteil aus negativen
Ladungsträgern
Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern
P N
P N P P N N
P P N N
Q Q Q
e N e N e n A L e n A L
e A n L n L
P P N N P NP N
e A n L n L L LQI e A n n
t t t t
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Ladung und elektrischer Strom
• Darstellung des Stromes in einen Stromanteil aus positiven und einen Stromanteil aus negativen
Ladungsträgern, Ausdruck L/ t kann als Geschwindigkeit v interpretiert werden
• Dabei ist vP die Driftgeschwindigkeit der positiven Ladungsträger und vN die der negativen Ladungsträger
– Bei Halbleitern und Elektrolyten treten beide Arten von Ladungsträgern auf, sodass im allgemeinen
nP > 0 und nN > 0 anzunehmen ist
– Für den Fall eines metallischen Leiters, bei dem keine beweglichen positiven Ladungsträger vorhanden
sind, gilt diese Gleichung ebenfalls, in diesem Fall ist allerdings nP = 0 und der zweite Ausdruck in der
Klammer wird null
– Besitzt jeder Ladungsträger ein Vielfaches der Elementarladung, wie das zum Beispiel bei Kupferionen
Cu++ der Fall ist, ist der entsprechende Term mit diesem Vielfachen zu multiplizieren
Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern
P P N N P NP N P P N N
e A n L n L L LQI e A n n e A n v n v
t t t t
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Ladung und elektrischer Strom
• Kupfer besitzt die Ladungsträgerdichte nN = 81022 / cm3 mit jeweils der Ladung – e
• Bei einem Strom von 16 A und einem Drahtquerschnitt von 1,5 mm2 ergibt sich für die Leitungselektronen
eine Geschwindigkeit von
• Geschwindigkeit der Ladungsträger ist eher gering
• Geschwindigkeit darf aber nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Stromes
verwechselt werden, direkt nach dem Einschalten ist der Strom praktisch sofort im gesamten Stromkreis
wirksam
• Zum Vergleich wird bei Wassermodell im Anhang eine inkompressible Flüssigkeit in einem Rohr
betrachtet, bei einem vollständig gefüllten Rohr fließt die Flüssigkeit auch direkt aus dem geöffneten Ventil,
die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit
Beispiel: Ladungstransport in Kupfer
3
-19 22 2
16 A cm mm0,83
1,6 10 A s 8 10 1,5 mm s
N
N
Iv
e n A
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Ladung und elektrischer Strom
• Die Stromdichte J ist definiert als das Verhältnis der Stromstärke I zur Querschnittsfläche A, durch die der
Strom hindurchtritt, sie kennzeichnet damit die Belastung eines Leiters durch den Strom I
• Typischerweise wird die Stromdichte J angegeben mit der Einheit
• Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit v der Ladungsträger in einem homogenen stabförmigen Leiter
• Geschwindigkeit hängt bei einem bestimmten Material mit der Ladungsträgerdichte nP beziehungsweise nN
lediglich vom Quotienten I/A beziehungsweise der Stromdichte J ab
Stromdichte in homogenen Leitern
P P N N
P P N N
e A n v n vIJ e n v n v
A A
2
A
mmJ
1 1
N
N N
Iv J
e n A e n
1 1
P
p p
Iv J
e n A e n
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Ladung und elektrischer Strom
• Bei stabförmigen, homogenen Leitern strömen die
Ladungsträger mit einer konstanten
Geschwindigkeit durch den Leiter
• Stromdichte ist direkt proportional zur
Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
• Geschwindigkeit darf nicht beliebig hoch werden,
durch die Bewegung der freien Ladungsträger
werden nämlich die Atomrümpfe im Leiter zu
thermischen Schwingungen angeregt
• Bei zu hoher Stromdichte wird der Leiter zu heiß,
und er selbst oder die umgebende Isolation kann
zerstört werden
• Zulässige Stromstärke für ein bestimmtes
Leitermaterial ist keine Absolutgröße, sondern
hängt von zahlreichen Faktoren ab
Stromdichte in homogenen Leitern
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Ladung und elektrischer Strom
• Maximal zulässige Ströme für Kupfer bei unterschiedlichen Verlegearten und einer Umgebungstemperatur
von 30 °C
Stromdichte in homogenen Leitern
Querschnitt
A / mm²
Maximal zulässiger Strom IMAX / A
Verlegung in wärmegedämmter Wand Verlegung im Elektroinstallationsrohr
2 Adern 3 Adern 2 Adern 3 Adern
1,5 15,5 13,0 16,5 15,0
2,5 18,5 17,5 23 20
4 25 23 30 27
6 32 29 38 34
10 43 39 52 46
16 57 52 69 62
25 75 68 90 80
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Ladung und elektrischer Strom
• Zahlenbeispiel geht von einem Strom von 16 A aus, das ist der maximale Dauerstrom, der in modernen
Haushaltsinstallationen für Kupferleitungen mit einem Leitungsquerschnitt von 2,5 mm2 fließen darf
• Es ergibt sich eine Stromdichte von
• Der Wert von 16 A liegt selbst unter den ungünstigsten Bedingungen unter dem zulässigen Grenzwert von
17,5 A für einen Leiterquerschnitt von 2,5 mm2
Beispiel: Stromdichte bei Hausinstallationen
2 2
16 A A6,4
2,5 mm mm J
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Ladung und elektrischer Strom
• Bei Strommessungen muss der zu messende
Strom durch das Messgerät fließen, deshalb wird
ein Strommessgerät, das auch Amperemeter
genannt wird, in den Stromkreis geschaltet
• Leitung wird aufgetrennt und die beiden
Anschlüsse des Messgeräts werden an die durch
die Auftrennung entstandenen Leitungsenden
angeschlossen werden
• Bei Gleichstrommessungen muss auf die Polarität
geachtet werden, zeigt das Messgerät einen
positiven Wert an, fließt der Strom in die Richtung
des Zählpfeils und von dem (+) zu dem (-) Pol des
Amperemeters
• Messgerät soll den Stromfluss nicht beeinflussen,
der sogenannte Innenwiderstand muss möglichst
klein sein
Strommessung
Erzeuger Verbraucher
A
I
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Ladung und elektrischer Strom
• Rauchmelder haben die Aufgabe, vor einer
Rauchentwicklung zu warnen
• Viele Rauchmelder werden mit einer 9 V
Blockbatterie versorgt, die in diesem Beispiel
eine Ladung von 1200 mAh besitzt
• Stromverbrauch ist mit maximal IS = 25 mA
angegeben, mit der ausgewählten Batterie
ergibt sich damit nach Datenblatt eine
Betriebsdauer von
• Betrieb eines Rauchmelders sollte mit einer
Batterie über einen wesentlich längeren
Zeitraum gewährleistet sein
• Strommessung erforderlich
Beispiel: Strommessung bei einem Rauchmelder
1200mAh48h
25mA S
S
CT
I
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Ladung und elektrischer Strom
• Gemessene Stromwert schwankt stark
• Messung mit einem Oszilloskop zeigt, dass der
Ruhestrom typischerweise 3,5 µA beträgt,
während der Strom in den aktiven Zeitintervallen
kurzzeitig auf bis zu 12 mA ansteigt
• Im Mittel ergibt sich ein gemessener Strom von
ungefähr IM =15 µA
• Nach dieser Messung liegt die Laufzeit der
Batterie damit bei
• Versprechen des Herstellers wird weitgehend
eingehalten
Beispiel: Strommessung bei einem Rauchmelder
1200mAh 1 d 1Jahr9,132Jahre
15 A 24 h 365d
M
M
CT
I
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Ladung und elektrischer Strom
Zusammenfassung
Coulombsche Kraft
Ladung als Vielfaches der Elementarladung
Elementarladung
Ladungsträgerdichte als Quotient der Anzahl
von Ladungsträgern pro Volumen
Strom
Transportierte Ladungsmenge
Stromdichte durch Querschnitt
eines homogenen Leiters
F = Q E
Q n e
191,6 1 C0e
N
nV
P P N N
dQ QI e A n v n v
dt t
2
1
2 1 t
t
Q I t dt I t t I t
I
JA