vremenski nizovi - unizg.hraktuari.math.pmf.unizg.hr/docs/sm-s.pdf · proces pokretnih sredina uz...

Vremenski nizovi

Elementarni primjeri

à Bijeli šum

Bijeli šum je niz nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih varijabli.Simulacija bijelog šuma iz normalne N(0,s 2L distribucije.

50 100 150 200

-2

-1

1

2

à Proces pokretnih sredina

Proces pokretnih sredina uz Y j normalne N(0,s 2L slučajne varijable

50 100 150 200

-1

-0.5

0.5

1

1.5

à Slučajna šetnja

Slučajna šetnja s koracima iz normalne N(0,s 2L distribucije.

Stohastičko modeliranje.nb 1

50 100 150 200

-12.5-10

-7.5-5

-2.5

2.55

à Izglađivanje slučajne šetnje

Proces pokretnih sredina uz Y j slučajna šetnnja s normalnim koracima.

50 100 150 200

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

Primjeri vremenskih nizova

ü Primjer 1:

Godišnji broj uhvaćenih risova u sjeverozapadnoj Kanadi od 1821 do 1934.

1820 1840 1860 1880 1900 1920godina

01000200030004000500060007000

jorbavosir


ü Primjer 2:

Ukupni mjesečni broj internacionalnih avionskih putnika u tisućama od siječnja 1949 do prosinca 1960.

1950 1952 1954 1956 1958 1960godina

100

200

300

400

500

600

jorbakintup

ü Primjer 3:

Cijena dionice od 1871 do 1970

1880 1900 1920 1940 1960t

0

10

20

30

40

50

anejicecinoid

ü Primjer 4:

Mjesečna nezaposlenost (u tisućama) za muške u dobi 16-19 godina od 1948-1981.


1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980t

0

200

400

600

800

1000

1200česejm

antsonelsopazen

Procjena i eliminacija trenda

1880 1900 1920 1940 1960t

0

10

20

30

40

50

anejicecinoid

ü Eliminiranje varijabilnosti

Box-Coxova logaritamska transformacija podataka.

20 40 60 80 1001.5

2.5

3

3.5

4

4.5


ü Prilagođavanje polinoma

Podaci sugeriraju linearan trend, pa prilagođujemo linearnu funkciju.

1.03569 + 0.0281928 t

20 40 60 80 100

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

ü Izglađivanje filterom pokretnih sredina

20 40 60 80 1001.5

2.5

3

3.5

4

4.5

20 40 60 801.5

2.5

3

3.5

4

4.5


20 40 60 80

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

ü Eksponencijalno izglađivanje

20 40 60 80 1001.5

2.5

3

3.5

4

4.5

20 40 60 80 1001.5

2.5

3

3.5

4

4.5

20 40 60 80 100

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2


ü Diferenciranje

20 40 60 80 1001.5

2.5

3

3.5

4

4.5

20 40 60 80 100

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Procjena i eliminacija sezonske komponente

Ukupni mjesečni broj internacionalnih avionskih putnika u tisućama od siječnja 1949 do prosinca 1960.

1950 1952 1954 1956 1958 1960godina

100

200

300

400

500

600

jorbakintup

ü Eliminiranje varijabilnosti

Box-Coxova logaritamska transformacija podataka.


20 40 60 80 100 120 140t

4.75

5.255.5

5.756

6.25

LogHxtL

ü Eliminiranje sezonske komponente diferenciranjem

Diferenciramo s periodom 12.

20 40 60 80 100 120t

-0.05

0.050.1

0.150.2

0.250.3

H1−B12LLogHxtL

Podaci više ne pokazuju periodičnost, t.j., sezonska komponenta je eliminirana.Diferenciramo još jedanput. Dobivamo:

20 40 60 80 100 120t

-0.1

-0.05

0.05

0.1

H1−BLH1−B12LLogHxtL

Transformirani podaci izgledaju kao vjerojatna realizacija stacionarnog niza.


ARMA modeli

Opći oblik ARMA modela Xt - f1 Xt-1 - f2 Xt-2 - … - fp Xt- p = Zt + q1 Zt-1 + q2 Zt-2 + … + qq Zt-q.

Konstante 8f1, f2, … , fp < i 8q1, q2, … , qq < zovu se autoregresivni (AR) koeficijenti i koeficijenti pokretnih sredina(MA). (8Zt < je bijeli šum s očekivanjem 0 i varijancom s2 .)Uvedimo operator pomaka unatrag B pomoću B j Xt = Xt- j.Definiramo autoregresivni polinom f(x) kao fHxL = 1 - f1 x - f2 x2 - … - fp xp

i polinom pomičnih sredina q(x) kao qH xL = 1 + q1 x + q2 x2 + … + qq xq ,te pretpostavimo da ti polinomi nemaju zajedničkih nul-točaka. Tada se definicijska jednadžba ARMA procesa možezapisati kao fHBL Xt = qHBL Zt.

ü Autoregresivni procesi AR(p)

Kod autoregresivnih procesa q=0. Autoregresivan proces je stacionaran ako su nul-točke autoregresivnog polinomaizvan jedinične kružnice.

Primjeri:

AR(1) procesi:Xt = 0.8 Xt-1 + Zt , Zt je WN(0,1)

50 100 150 200

-4

-2

2

4

6

Autokorelacijska funkcija uzorka i teorijska autokorelacijska funkcija.


5 10 15 20 25k

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL

Parcijalna korelacijska funkcija uzorka i teorijska parcijalna korelacijska funkcija.

5 10 15 20k

0.2

0.4

0.6

0.8rhoHkL


5 10 15 20k

0.2

0.4

0.6

0.8phi k,k

5 10 15 20k

0.2

0.4

0.6

0.8rhoHkL

AR(1) procesi:Xt = - 0.8 Xt-1 + Zt , Zt je WN(0,1)

50 100 150 200

-4

-2

2

4


5 10 15 20 25k

-0.75-0.5

-0.25

0.250.5

0.751

rhoHkL


5 10 15 20 25k

-0.8-0.6-0.4-0.2

0.20.40.6rhoHkL

5 10 15 20 25k

-0.75-0.5

-0.25

0.250.5

0.751

rhoHkL


5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

rhoHkL

5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

phi k,k


5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

rhoHkL

AR(2) procesi:Xt = - 0.9 Xt-1 - 0.8 Xt-2 + Zt , Zt je WN(0,1)Nul-točke autoregresivnog polinoma su {xØ-0.5625-0.966227 Â},{xØ-0.5625+0.966227 Â}

50 100 150 200

-4

-2

2

4


5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL


5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL


5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

rhoHkL

5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

phi k,k


5 10 15 20k

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

rhoHkL

AR(2) procesi:Xt = - 0.5 Xt-1 + 0.2 Xt-2 + Zt , Zt je WN(0,1)Nul-točke autoregresivnog polinoma su {xØ-1.31174},{xØ3.81174}

50 100 150 200

-3

-2

-1

1

2

3


5 10 15 20 25k

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1rhoHkL


5 10 15 20 25k

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1rhoHkL


5 10 15 20k

-0.6

-0.4

-0.2

0.2rhoHkL

5 10 15 20k

-0.6

-0.4

-0.2

0.2phi k,k


5 10 15 20k

-0.6

-0.4

-0.2

0.2rhoHkL

ü Procesi pokretnih sredina MA(q)

Kod procesa pokretnih sredina p=0.

MA(1) procesi:Xt = Zt + 0.8 Zt-1, Zt je WN(0,1)

50 100 150 200

-2

2

4


5 10 15 20 25k

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL


5 10 15 20 25k

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL


5 10 15 20k

-0.2

0.2

0.4

rhoHkL

5 10 15 20k

-0.15-0.1

-0.05

0.050.1

0.15

phi k,k


5 10 15 20k

-0.2

0.2

0.4

rhoHkL

MA(1) procesi:Xt = Zt - 0.8 Zt-1, Zt je WN(0,1)

50 100 150 200

-3

-2

-1

1

2

3


5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL


5 10 15 20 25k

-0.4-0.2

0.20.40.60.8

1rhoHkL


5 10 15 20k

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

rhoHkL

5 10 15 20k

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

phi k,k

5 10 15 20k

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

rhoHkL


ü ARMA procesi ARMA(p,q)

ARMA(1,1) procesi:Xt = 0.6 Xt-1 +Zt + 0.8 Zt-1, Zt je WN(0,1)

50 100 150 200

-2

-1

1

2

3


5 10 15 20 25k

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL

5 10 15 20 25k

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL


5 10 15 20 25k

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1rhoHkL


5 10 15 20k

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3rhoHkL

5 10 15 20k

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15phi k,k

5 10 15 20k

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3rhoHkL


Analiza u frekvencijskoj domeni

Primjeri spektralne gustoće ARMA procesa.

AR(1) procesi:Xt = a1 Xt-1 + Zt , Zt je WN(0,1)

a1 = 0.8

s2 π H1 + a12 − 2 a1 Cos@wDL

-3 -2 -1 1 2 3w

1

2

3

4fHwL

a1 = −0.8

s2 π H1 + a12 − 2 a1 Cos@wDL

-3 -2 -1 1 2 3w

1

2

3

4fHwL

AR(2) procesi:Xt = a1 Xt-1 + a2 Xt-2 + Zt , Zt je WN(0,1)

a1 = −0.9, a2 = −0.8


sêH2 π H1 + a12 + a22 + 2 a1 H−1 + a2L Cos@wD − 2 a2 Cos@2 wDLL

-3 -2 -1 1 2 3w

1

2

3

4

5

fHwL

a1 = 0.9, a2 = −0.2

sêH2 π H1 + a12 + a22 + 2 a1 H−1 + a2L Cos@wD − 2 a2 Cos@2 wDLL

-3 -2 -1 1 2 3w

0.250.5

0.751

1.251.5

1.75fHwL

MA(1) procesi:Xt = Zt + b1 Zt-1, Zt je WN(0,1)

b1 = 0.8

s H1 + b12 + 2 b1 Cos@wDL2 π

-3 -2 -1 1 2 3w

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5fHwL

b1 = −0.8


s H1 + b12 + 2 b1 Cos@wDL2 π

-3 -2 -1 1 2 3w

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5fHwL

ARMA(1,1) procesi:Xt = a1 Xt-1 +Zt +b1 Zt-1, Zt je WN(0,1)

a1 = −0.6, b1 = 0.8

s H1 + b12 + 2 b1 Cos@wDL2 π H1 + a12 − 2 a1 Cos@wDL

-3 -2 -1 1 2 3w

0.05

0.075

0.125

0.15

0.175

0.2fHwL

Primjer procesa s diskretnim spektrom:Xn =⁄ j=0

1 @A j cos(w j n)+B j sin(w j n)]A0 , B0 su N(0,1) slučajne varijable, A1 , B1 su N(0,2) slučajne varijable, w0 = pÅÅÅÅ3 , w1 = pÅÅÅÅ2 .


50 100 150 200

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Autokorelacijska funkcija:

10 20 30 40 50

-4

-2

2

4

Brownovo gibanje i difuzije

Standardno Brownovo gibanje

Standardno Brownovo gibanje je stohastički proces HBt , t > 0L s nezavisnim stacionarnim prirastima, takav da B1 imaN(0,1) distribuciju.

ü Simulacija standardnog Brownovog gibanja


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

Brownovo gibanje

Brownovo gibanje s koeficijentom drifta m i difuzijskim koeficijentom s je stohastički proces HWt, t > 0L s nezavisnimi stacionanim prirastima takav da W1 ima N(m, s2 ) distribuciju. Brownovo gibanje W može se dobiti iz standardnog Brownovog gibanja B linearnom transformacijom Wt =mt+sBt .

ü Simulacija Brownovog gibanja

dW1t = 1 dt + 1 dBt ; W10 = 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Usporedba Brownovog gibanja bez drifta i s driftom.


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0.5

1

Utjecaj koeficijenta difuzije s na trajektoriju.

dW2t = 0 dt + 4 dBt ; W20 = 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-3

-2

-1

1

Usporedba Brownovih gibanja za s=1 i s=4.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-3

-2

-1

1


Dvodimenzionalno Brownovo gibanje

Standardno dvodimenzionalno Brownovo gibanje je dvodimenzionalni stohastički proces HBt,1, Bt,2L gdje su Bt,1 i Bt,2

nezavisna, standardna (jednodimenzionalna) Brownova gibanja.

ü Simulacija dvodimenzionalnog Brownovog gibanja

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

-0.6

-0.4

-0.2

Trajektorije (nezavisnih) komponenti.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

Korelirano dvodimenzionalno Brownovo gibanje

Korelirano dvodimenzionalno Brownovo gibanje je dvodimenzionalni stohastički proces W=A B + m t, gdje je Bstandardno dvodimenzionalno Brownovo gibanje, A matrica reda dva, a m je dvodimenzionalni vektor.

A = J 1 −30 1

N;µ = 80, 0<;

Kovarijacijska matrica jednaka je G=A*AT .

Γ = [email protected]@ADDJ 10 −3−3 1 N

Sljedeća dva grafa prikazuju simulirane komponente vektora W, dok su na trećem dane obje komponente.

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0.5

1

1.5

2


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0.5

1

1.5

2

Sljedeće slike prikazuju korelirano Brownovo gibanje W u ravnini, te zajedno korelirano i nekorelirano Brownovogibanje u ravnini.

-0.5 0.5 1 1.5 2

-0.6

-0.4

-0.2

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-0.6

-0.4

-0.2


Difuzije

Difuzija (Xt , t>0) je Markovljev proces s neprekidnim putovima koji zadovoljava sljedeću stohastičku diferencijalnujednadžbu: Xt = X0 + Ÿ0

tmHXs, sL „ s + Ÿ0

tsHXs, sL „ Bs

gdje je HBt , t > 0L standardno Brownovo gibanje, a m i s >0 realne funkcije.

ü Simulacija difuzije

Generirajuće Brownovo gibanje.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.3-0.2-0.1

0.10.20.30.4

Difuzija s m(x)=x, s(x)=x2 i usporedba s generirajućim Brownovim gibanjem.

dXt = Xt dt + HXtL2 dBt ; X0 = 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.5

2

2.5


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

Difuzija s m(x)=x, s(x)=1/x i usporedba s generirajućim Brownovim gibanjem.

dXt = Xt dt +1Xt dBt ; X0 = 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ornstein-Uhlenbeckov proces

Ornstein-Uhlenbeckov proces je difuzija kod koje je m(x)= -g x, g>0, A s je konstanta.

ü Simulacija Ornstein-Uhlenbeckovog procesa



1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

Ornstein-Uhlenbeckov proces s g=4 i s=1, i usporedba s generirajućim Brownovim gibanjem.

dXt = −4 HXtL dt + 1 dBt ; X0 = 1

1 2 3 4 5

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1


Geometrijsko Brownovo gibanje

Geometrijsko Brownovo gibanje je difuzija Xt kod koje je koeficijent drifta jednakm(x)=m x, a koeficijent difuzije s(x)=s x. Proces Xt zadovoljava sljedeću stohatičku diferencijalnu jednadžbu: Xt = X0 + Ÿ0

tm Xs „ s + Ÿ0

ts Xs „ Bs

Rješenje jednadžbe je: Xt = X0 exp 8 Hm - s2 ê 2L t + s Bt <Geometrijsko Brownovo gibanje je model kretanja cijena dionica. Uveo ga je Samuelson, a koristili Black, Scholes iMorton.

ü Ponašanje geometrijskog Brownovog gibanja za t->•

Ako je m - s2 ê 2 < 0, tada Xt Ø 0 za t -> ¶ .Ako je m - s2 ê 2 = 0, tada Xt oscilira između 0 i +¶.Ako je m - s2 ê 2 > 0, tada Xt Ø +¶ za t -> ¶ .

Za m = 0, Xt je martingal.

ü Simulacija geometrijskog Brownovog gibanja


1 2 3 4 5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Geometrijsko Brownovo gibanje sa m=0.15, te redom s=0, s=0.05, s=0.1, s=0.2, s=0.5.

dXt = 0.15 HXtL dt + 0. HXtL dBt ; X0 = 1


1 2 3 4 5

1.2

1.4

1.6

1.8

2

dXt = 0.15 HXtL dt + 0.05 HXtL dBt ; X0 = 1

1 2 3 4 5

1.2

1.4

1.6

1.8

2


1 2 3 4 5

1.2

1.4

1.6

1.8

2


1 2 3 4 5

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5



1 2 3 4 5

-1

1

2

3

Brownovo gibanje i slučajne šetnje

Brownovo gibanje aproksimiramo nizom slučajnih šetnji. Koraci slučajne šetnje su centrirani, s konačnom varijancom.U svim primjerima zahtijevat ćemo da je varijanca jednaka 1.

ü Simulacija slučajne šetnje

ü Bernoullijevi koraci: X=ikjjjj -è!!!!

2è!!!!

21 ê 2 1 ê 2

y{zzzzProstorno neskalirane aproksimacije.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4


0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

5

6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

5

6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.5

5

7.510

12.5

1517.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.5

5

7.510

12.5

1517.5


0.2 0.4 0.6 0.8 1

5

10

15

20

25

Prostorno skalirane aproksimacije.

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ü Bernoullijevi koraci: X=J -1 ê 3 39 ê 10 1 ê 10

N

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5-0.25

0.250.5

0.751

1.25

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25


0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ü Normalni koraci: X=N(0,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8


0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

ü Eksponencijalni koraci: X=E(1)-1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1


0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.25

0.250.5

0.751

1.25

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8


0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

0.2

0.4

0.6


vremenski nizovi - unizg.hraktuari.math.pmf.unizg.hr/docs/sm-s.pdf · proces pokretnih sredina uz...

Documents