võrrandid -...

Võrrandid

Võrrandi mõiste

Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu

muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).

Näited

0122 xxRuutvõrrand:

12cossin ttTrigonomeetriline võrrand:

Eksponentvõrrand x suhtes:

lineaarne võrrand a suhtes:

xyxyx 22 Juurvõrrand x ja y suhtes:

3)2(log 2 uuuLogaritmvõrrand:

1222 aee xx

Võrrandi lahend

Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand

osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk

juureks.

Näide

Võrrandi 032 x

lahendiks on ,2

3x

kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga –3/2, saame

samasuse :

3

2

32

3

2

32 33 .0

Võrrandi lahendite arv

Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka

lõpmata palju või mitte ühtegi.

Näited

Võrrandil on üks lahend x = 2.10010 x

Võrrandil on kaks lahendit x = 2 ja x = 0.0)2( xx

Võrrandil reaalarvude vallas lahendit ei ole.1002 x

Võrrandil on lõpmata palju lahendeid ,

kus k on suvaline täisarv.

0sin x kx

Samaväärsed võrrandid

Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid,

mille kõik lahendid on ühised või millel lahendid puuduvad.

Näited

Võrrandid

02 x

642 xx ja

on samaväärsed, kuna kummagi võrrandi ainsaks lahendiks

on x = 2.

Samaväärsed võrrandid

Võrrandid 062 xx0623 xxx ja

ei ole samaväärsed, kuna esimese võrrandi lahendid on x = 0,

x = -2 ja x = 3, teise võrrandi lahendid aga x = -2 ja x = 3.

Samaväärsete võrrandite vahele kirjutatakse märk .

Näide: 12012 22 xxxx

Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi

Kui võrrandi pooled vahetada, siis saame esialgse võrrandiga

samaväärse võrrandi

Näide 426642 33 xxxx


Kui võrrandi mõlemale poolele liita või mõlemast poolest

lahutada üks ja sama arv või muutujat sisaldav avaldis, mis

omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas, siis saame

antud võrrandiga samaväärse võrrandi.

cxgcxfxgxf )()()()(

)()()()()()( xhxgxhxfxgxf

Näited

683 x1)

2214 xx

86883 x ;143 x

0142 2 xx

222 22214 xxxx 2)


Järeldus näidetest:

Võrrandi liikmeid võib viia võrduse ühelt poolelt teisele,

muutes iga üleviidava liikme ees märgi vastupidiseks.

Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama

nullist erineva arvuga, siis saame esialgse võrrandiga samaväärse

võrrandi.

Näited

342133

4

3

231

3

4

3

2 333

xxx1)

xxxx tan42sintan168sin4 2)

Võrrandi järeldused ja võõrlahendid

Kui asendada esialgne võrrand uuega, mille lahenditeks on kõik

esialgse võrrandi lahendid ja millel võib olla veel lahendeid, siis

nimetatakse uut võrrandit esialgse võrrandi järelduseks.

Järelduseks oleva võrrandi lisalahendeid algsetega võrreldes

nimetatakse võõrlahenditeks.

Võõrlahendid eraldatakse antud võrrandi tõelistest lahenditest

kontrollimisel, asendades muutuja leitud väärtused esialgsesse

võrrandisse.

Esialgse võrrandi ja järelduse vahele pannakse märk .

Võõrlahendid

Võõrlahendid võivad tekkida siis, kui võrrandi teisendamisel

võrrandi määramispiirkond laieneb.

Näide

61 xxVõrrand (lahend x = 3) on määratud piirkonnas

x 1, sellest tuletatud võrrand (lahendid x = 3

ja x = -2) aga kogu arvteljel.

062 xx

Näide

066)1(61 2 xxxxxx

Lähtevõrrandi lahendiks on x = 3, tema järelduse lahenditeks aga

x = 3 ja x = -2 (esialgse võrrandi seisukohalt võõrlahend).

Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid

Võrrandi mõlema poole korrutamine sama algebralise

täisratsionaalse avaldisega.

Näide

Võrrandi 2x – 1 = 3 lahendiks on x = 2, võrrandi

(2x – 1)(x – 5) = 3(x – 5) lahendeiks aga x = 2 ja x = 5.

Võrrandi mõlema poole astendamine positiivse paarisarvuga.

Näide

Võrrandi 2x – 1 = x – 1 lahendiks on x = 0, võrrandi

(2x – 1) 2 = (x – 1)2 3x 2 – 2x = 0 lahendeiks aga x = 0

ja x = 2/3.


Võrrandi asendamine võrranditega0)(...)()( 21 xfxfxf n

.0)(,...,0)(,0)( 21 xfxfxf n

Muutuja väärtused on aga esialgse võrrandi jaoks

võõrlahendid, kuna tan x ei ole muutuja nende väärtuste korral

defineeritud. Seega on lahendihulk }.,|{ Zkkxx

Näide

,0tan või01sin0tan)1(sin 22 xxxx

2)12(01sin 2

kxx

kxx 0tan Zk, kus

Zk, kus

2)12(

kx


Võrrandi asendamine võrrandiga 0)(

)(

xg

xf.0)( xf

Näide

,0sin01cos

sin

x

x

x

kuna esialgse võrrandi lahendeiks on ,

tuletatud võrrandi korral lisandub veel võõrlahendite

komplekt.

Zkkx ,)12(

Zkkx ,2

Lahendite kadu

Kui tuletatud võrrandil on lahendeid vähem kui esialgsel, siis on

tegemist lahendite kaoga.

Võrrandite lahendamisel ei tohi kasutada teisendusi, millega

kaasneb lahendite kadu.

Näide

61 xxxxVõrrandit

ei tohi läbi jagada muutujaga x, sest nii kaotaksime lahendi x = 0.

võrrandid -...

Documents