vrste opterećenja

4. OPĆI SLUČAJ OPTEREĆENJA ŠTAPA 1

4. OPĆI SLUČAJ OPTEREĆENJA ŠTAPA 4.1. Dopušteno i proračunsko naprezanje, faktor sigurnosti U tablicama u normama i tehničkim priručnicima daju se prosječne vrijednosti konstanti elastičnosti i mehaničkih svojstava materijala. Stvarne vrijednosti za konkretni materijal mogu se razlikovati od navedenih u tablicama ⇒ prije upotrebe je na materijalu potrebno provesti ispitivanja (testiranje) svojstava propisanim postupcima. Takvi podaci služe pri dimenzioniranju tehničkih konstrukcija. ELASTIČNA I MEHANIČKA SVOJSTVA METALNIH TEHNIČKIH MATERIJALA:

MATERIJAL E, GPa ν G, GPa Re (Rp 0,2), MPa αT, 10−6 K−1

Aluminij 72 0,34 27 50 - 125 23,8

Aluminijske legure 69 - 72 0,33 26 60 - 450 22 - 26

Bakar 125 0,35 46 200 - 360 17

Mjed 80 - 125 0,35 - 0,38 30 - 46 200 - 390 16 - 18

Bronca 115 - 120 0,35 42 - 44 120 - 270 17 - 19

Magnezij i legure 44 - 45 0,3 - 0,33 17,7 80 - 190 25 - 26

Nikal i legure 200 0,31 75 220 - 1035 13 - 14

Cink i legure 94 - 130 0,25 38 - 52 150 - 250 27 - 29

Olovo i legure 16 0,44 5,7 Rm = 50 - 115 29

Titan 105 0,33 38,7 180-390 8,35

Ti-legure 105 0,33 39 820-1140 8,4

Konstrukcijski čelici 200 - 210 0,3 - 0,33 76 - 80 215 - 365 11 - 12

Čelici za poboljšavanje 192 - 215 0,28 - 0,34 75 - 80 300 - 1030 11 - 13

Sivi lijev 100 - 120 0,26 40 Rm = 100 - 400 12

Nodularni lijev 170 0,28 66 250 - 500 12,5

Temper lijev 170 0,27 67 200 - 550 12

Čelični lijev - nelegirani 190 0,29 74 185 - 410 12

Čelični lijev - legirani 180 - 195 0,29 - 0,32 70 - 75 175 - 665 11 - 12,5

Bitno pitanje pri dimenzioniranju je: koliko je najveće naprezanje koje se smije pojaviti u dijelu što ga treba dimenzionirati?

Uvode se pojmovi stvarnog i proračunskog naprezanja, koja se u pravilu razlikuju: • stvarno naprezanje je ono koje se pojavljuje u elementu u radu konstrukcije,


• proračunsko naprezanje je ono koje se očekuje da će se pojaviti u elementu na temelju proračuna kod predviđenog opterećenja konstrukcije.

Razlike između proračunskog i stvarnog naprezanja su posljedica: - nedovoljnog poznavanja cjelokupnog opterećenja konstrukcije, - izbora proračunske sheme konstrukcije, pri čemu se mnogi detalji

zanemaruju radi jednostavnijeg proračuna elementa, - ograničene točnosti izraza koji se rabe u “Nauci o čvrstoći”, - pojave početnih, montažnih ili toplinskih naprezanja, a koja su najčešće

nepoznata.

Stvarno naprezanje mora biti manje od čvrstoće materijala, inače bi se konstrukcija slomila. Vrlo često ne smije se dopustiti pojava ni najmanje plastične deformacije, a to znači da stvarno naprezanje u duktilnim materijalima mora biti manje od naprezanja na granici tečenja. Budući da stvarno naprezanje može biti veće od proračunskog, treba osigurati da maksimalno proračunsko naprezanje bude manje od dopuštenog naprezanja:

,dopmax σσ ≤ odnosno dopmax ττ ≤ .

Dopušteno naprezanje krhkih materijala definira se izrazima:

,Mmdop ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR σσ odnosno ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR Mm

dop)( ττ τ ,

gdje su Rm (ili σM) – vlačna, odnosno tlačna čvrstoća, a (Rm)τ (ili τM) – smična čvrstoća.

Dopušteno naprezanje duktilnih (rastezljivih) materijala definira se izrazima:

,Tedop ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR σσ odnosno ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR Te

dop)( ττ τ ,

gdje su Re (ili σT) – granica tečenja (donja granica tečenja!), a (Re)τ (ili τT) – smična granica tečenja materijala.

Faktor sigurnosti S uvijek je veći od jedinice i obično je zadan u propisima za proračunavanu vrstu konstrukcije. U strojarstvu je najčešće njegova vrijednost:

5,25,1 ≤≤ S , ali može biti i 10>S .


Izbor faktora sigurnosti ovisi o mnogim okolnostima, npr. o poznavanju

opterećenja kojima će biti izložena konstrukcija (osnovno opterećenje, vjetar, snijeg, potres i dr.), o opasnosti za ljudski život, o važnosti konstrukcije itd. 4.2. Osnovni načini opterećenja štapa 4.2.1. Definicija unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa Kod općeg slučaja opterećenja štapa vanjske sile moraju biti u statičkoj ravnoteži, tj. rezultanta i rezultirajući moment svih vanjskih sila jednaki su nuli. U koordinatnom sustavu Oxyz, uzdužna os štapa podudara se s osi x, a osi y i z su osi u poprečnom presjeku štapa (presjek okomit na uzdužnu os x štapa).

Ravnina poprečnogpresjeka štapa

F1

F2

F3

F4

M1 M2

q2

xDL

∆F1F1

F2

∆Fi

∆Fn

M1x

L

F

M

x

MLFL

zyL

S

a)

b)

c)

q1

q1

My

F1

F2

x

y z

M1Mx= Mt

N

Mz

QzQyL

S

d)q1

kQjQiNF zy

vvvv++= ,

Za ravnotežu vanjskih sila reduciranih na težište poprečnog presjeka štapa vrijedi:

1. 01

vvv== ∑

=

n

iiR FF , 2. 0)(

1

vvvv=×= ∑

=)(S

n

iiiR FrM .

Ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila lijevog dijela štapa je za:

1. 0)()(vvvvv

=Δ+=+ ∑∑ LiLiL FFFF ,

2. 0)()( )()(SS

vvvvv=+=+ Δ

LF

LF

Lii MMMM .

Po zakonu akcije i reakcije rezultanta unutarnjih sila desnog dijela, jednaka je:

Fv

− i Mv

− . Za ravnotežu dijelova štapa vrijedi:

DL FFFvvv

=−= , DL MMMvvv

=−= .

Rezultantu i rezultirajući moment unutarnjih sila rastavljamo na komponente u smjerovima osi koordinatnog sustava Oxyz u težištu presjeka štapa:

kMjMiMM zyx

vvvv++= .

Komponente unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa označavaju se sa: • N = Fx → normalna ili uzdužna sila (osna ili aksijalna sila), izaziva raste- zanje ili sabijanje u pravcu uzdužne osi x štapa, • Qy = Fy i Qz = Fz → poprečne sile, izazivaju smicanje u ravnini poprečnog

presjeka, • Mx = Mt → moment uvijanja ili moment torzije, uvijanje oko uzdužne osi


x štapa, • My i Mz → momenti savijanja oko poprečnih osi y i z štapa.

Na temelju razmatranja ravnoteže presječenih dijelova, za komponente unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa vrijede sljedeće definicije: a) Normalna ili uzdužna sila N jednaka je po apsolutnoj vrijednosti

algebarskom zbroju uzdužnih komponenata svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka:

( ) ( )DxiLxi FFN ∑∑ =−= .

b) Poprečna sila Qy jednaka je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju poprečnih y - komponenata svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka. Analogna definicija vrijedi i za poprečnu silu Qz:

( ) ( )DyiLyiy FFQ ∑∑ =−= , ( ) ( )

DziLziz FFQ ∑∑ =−= .

c) Moment uvijanja Mt jednak je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju momenata s obzirom na uzdužnu os x od svih vanjskih sila i spregova što djeluju s jedne strane presjeka:

( ) ( )DxiLxix MMMM ∑∑ =−==t .

d) Moment savijanja My jednak je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju momenata s obzirom na poprečnu os y od svih vanjskih sila i spregova što djeluju s jedne strane presjeka. Analogna definicija vrijedi i za moment savijanja Mz:

( ) ( )DyiLyiy MMM ∑∑ =−= , ( ) ( )

DziLziz MMM ∑∑ =−= .

A(+)

Komponente unutarnjih sila: a) pozitivne, b) negativne

A(+)

A(+)

A(+)

b) a)

Mt

Qz

My

Qy

N

Mz

y x

z

zz

z

yy

y

xx

x N

N

N

Qz

Qz

Qz

Qy

Qy Qy

My

My My

Mz

MzMz

Mt

Mt

Mt

Predznak komponenata unutarnjih sila definira se na isti način kao i predznak komponenata naprezanja: komponenta je unutarnjih sila pozitivna, ako na pozitivnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru pripadajuće koordinatne osi, odnosno ako na negativnom presjeku djeluje u negativnom smjeru pripadajuće koordinatne osi.


4.2.2. Osnovni načini opterećenja štapa Analiza naprezanja i deformacija u proizvoljno opterećenu štapu vrlo je složena i stoga se analiziraju pojedine vrste opterećenja štapa. Osnovne vrste opterećenja štapa su:

a) Osno opterećenje štapa: u poprečnom presjeku N ≠ 0, ostale komponente = 0:

F RastezanjeN > 0

SabijanjeN < 0

F

F

F

b) Smicanje (smik, odrez):u poprečnom presjeku Q ≠ 0, ostale komponente = 0:

F

F

c) Uvijanje (torzija): u poprečnom presjeku Mx = Mt ≠ 0, ostale komponente = 0:

Mt

Mt

d) Savijanje (fleksija) štapa: 1) čisto savijanje: u poprečnom presjeku My = const. ≠ 0, ostale komponente = 0:

M

Mkružnica


2) savijanje silama (poprečno savijanje), npr. savijanje u ravnini x-z: My ≠ 0 i Qz ≠ 0 ili savijanje u ravnini x-y → Mz ≠ 0 i Qy ≠ 0, ostale komponente = 0:

FB

F1

F2

q

MFAz

y

xelastična linija

3) koso savijanje, savijanje u dvije ravnine x-z i x-y istovremeno → My ≠ 0, Qz ≠ 0, Mz ≠ 0 i Qy ≠ 0, ostale komponente = 0. Težišne osi y i z poprečnog presjeka su glavne osi tromosti presjeka.

e) Izvijanje (gubitak stabilne elastične ravnoteže) → kod vitkih štapova opterećenih na sabijanje.

F F

4.3. Veza između komponenata unutarnjih sila i naprezanja u poprečnom presjeku štapa

U poprečnom presjeku štapa postoji veza između komponenata unutarnjih sila i komponenata naprezanja. One se prikazuju u integralnom obliku, gdje se integracija vrši po poprečnom presjeku štapa.

A

N

My

Mz

Mt x

z

y

M1

F1

F2

F3

σxτxy

τxz

dA

S

z

QyQz

y r

q1a)

Na elementarnoj površini presjeka dA djeluje vektor punog naprezanja:

{ }zxyxxp ττσ ,,v , koji je posljedica

unutarnje sile ∫=)( A

ApF drv

i unutarnjeg sprega sila:

∫ ×=)(

)(A

AprM drvv.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u težištu S poprečnog presjeka ploštine A, veza između naprezanja i komponenata unutarnjih sila jest:


ANA

xd)(∫= σ , AQ

Ayxy d

)(∫= τ , AQ

Azxz d

)(∫= τ ,

AzyMM yxA

zxx d)()(

t ⋅−⋅== ∫ ττ , AzMA

xy d)(

⋅= ∫σ , AyMA

xz d)(

⋅−= ∫σ .

4.4. Opći pristup rješavanju problema metodama Nauke o čvrstoći. Pri analizi naprezanja i deformacija štapova postupamo kod rješavanja problema na jednak način za sve načine opterećenja štapa: • vanjsko opterećenje reduciramo na težište S poprečnog presjeka štapa, • rezultirajuću silu rastavljamo na normalnu i poprečne komponente, a

rezultirajući moment na moment uvijanja i momente savijanja, • uvodimo pretpostavke o deformiranju štapa, npr. da poprečni presjeci ostaju

ravni pri deformiranju, a mogu se uvesti i direktno pretpostavke o raspodjeli naprezanja,

• na temelju pretpostavki o deformiranju, geometrijskom analizom dolazimo do izraza za raspodjelu deformacija, ali ne i do iznosa samih deformacija,

• pomoću Hookeovog zakona (kod elastičnih tijela) dobivamo raspodjelu naprezanja, • pomoću uvjeta ravnoteže određujemo vrijednosti nepoznatih parametara, a

samim tim i izraze za iznose naprezanja i deformacija za pojedinu vrstu opterećenja. Nepoznatih parametara smije biti toliko koliko u konkretnom slučaju ima

nezavisnih uvjeta ravnoteže. Nakon što su izvedeni izrazi za naprezanja, deformacije i pomake, potrebno ih je provjeriti. To se može učiniti eksperimentalno (npr. metodom tenzometrije) ili usporedbom s rezultatima iz Teorije elastičnosti. Smatra se da je odstupanje do 5 % zadovoljavajuće u praksi.


Shematski prikaz pristupa analizi naprezanja i deformacija metodama “Nauke o čvrstoći”:

Pretpostavke o deformiranju ilipretpostavke o raspodjeli naprezanja

Geometrijska analiza

Izrazi za raspodjelu deformacija uovisnosti o nepoznatim parametrima

Hookeov zakon ili σij = f(εij)

Izrazi za raspodjelu naprezanja uovisnosti o nepoznatim parametrima

Uvjeti ravnoteže

Vrijednosti nepoznatih parametara,tj. konačni izrazi za naprezanja i

deformacije

vrste opterećenja

Documents