Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví

Katedra bankovnictví a pojišťovnictví

Studijní obor: Finance

Principy obchodování na sázkových burzách

Autor diplomové práce: Mgr. Michal Karásek Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.

2010

- 2 -

Děkuji doc. Mgr. Jiřímu Málkovi, Ph.D. za vedení mé diplomové práce. Rád bych také vyjádřil své díky všem dosavadním čtenářům, kteří svými připomínkami přispěli k odstranění mnoha chyb a nepřesností.

Prohlašuji, že diplomovou práci na téma „Principy obchodování na sázkových burzách“ jsem vypracoval samostatně a veškerou použitou literaturu a další prameny jsem řádně označil a uvedl v přiloženém seznamu.

V Praze dne 4. 6. 2010

Michal Karásek

- 3 -

Název práce: Principy obchodování na sázkových burzách Autor: Mgr. Michal Karásek Email: michal.karasek@gmail.com Katedra: Katedra bankovnictví a pojišťovnictví Vedoucí: doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D. Email vedoucího: malek@vse.cz

Abstrakt: Na rozdíl od tradičních kapitálových burz, kde se obchoduje zejména s dluhopisy, akciemi či finančními deriváty, se na sázkových burzách obchoduje s pravděpodobnostními odhady výsledků sportovních či společenských událostí. Tržní cena sázek, tedy trhem implikovaná pravděpodobnost, je ovlivněna nejen odhadem spekulantů o výsledku zápasu, ale i dalšími faktory. Specifikum sázkových burz je také krátká doba do splatnosti kontraktů, většinou v řádu několika hodin či dnů. Důležitým arbitrážním aspektem je také možnost obchodovat s odhady výsledku jedné události skutečného světa na několika dílčích trzích zároveň. V teoretické analýze jsme postupně vymezili pojem losu, sázky, podkladového aktiva a binárního pravděpodobnostního kontraktu, který je ústředním obchodním prostředkem na sázkových burzách. Popsali jsme některé praktické aspekty obchodování. Vlastnosti pravděpodobnostních kontraktů jsme demonstrovali na několika příkladech. Nakonec jsme zkonstruovali matematický model tenisového zápasu, který vychází z binomického oceňovacího modelu. To umožňuje porovnat tržní cenu pravděpodobnostního kontraktu s cenou, kterou doporučuje model.

Klí čová slova: sázková burza, derivát, binární opce, sázka, predikce

Title : Principles of trading on betting exchanges Author: Mgr. Michal Karásek Email: michal.karasek@gmail.com Department: Department of Banking and Insurance Supervisor: doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D. Supervisor's email: malek@vse.cz

Abstract: Unlike traditional stock exchanges, where bonds, shares and financial derivatives are traded, on the betting exchanges there are traded probabilistic estimates of the results of sporting or social events. The market price of bets, namely the market implied probability is influenced by estimate of the outcome. The specificity of betting exchanges is also a short period to maturity of contracts, and the possibility to trade with the estimated result of one real world event in several sub-markets simultaneously. In theoretical analysis, we have defined the bet, the underlying asset, and the binary betting contract, which is traded on betting exchanges. We have described some practical aspects of trading. Properties of the probabilistic contracts are demonstrated on several examples. Finally, we constructed the mathematical model of a tennis match, which is based on a binomial valuation model. This allows us to compare the market price of a contract with the price recommended by the model.

Keywords: betting exchange, derivative, binary option, bet, prediction

- 4 -

Obsah

Úvod ......................................................................................................................... 6 1 Sázka jako derivát ............................................................................................ 7

1.1 Období bájí ............................................................................................... 7

1.2 Rozvoj pravděpodobnosti ......................................................................... 9

1.3 Los versus sázka ..................................................................................... 13

1.4 Institualizace sázky ................................................................................. 17

1.5 Podnikání na sázkovém trhu a právo ...................................................... 22

1.6 Zdanění zisků dosažených na sázkové burze ......................................... 27

2 Sázkové burzy ................................................................................................. 29 2.1 Základní principy obchodování .............................................................. 30

2.2 Charakteristika sázkové burzy ................................................................ 33

2.2.1 Přístup na trh ..................................................................................... 33 2.2.2 Obchodní systémy............................................................................. 33 2.2.3 Burzovní příkaz................................................................................. 34 2.2.4 Segmentace trhu ................................................................................ 36 2.2.5 Povolené kotace a cenová pásma ...................................................... 37 2.2.6 Monitorování cen a obchodů ............................................................ 37 2.2.7 Vypořádání obchodů ......................................................................... 38 2.2.8 Poplatky ............................................................................................ 39

2.3 Pravděpodobnostní kontrakty ................................................................. 39

2.3.1 Binární kontrakty .............................................................................. 39 2.3.2 Binární kontrakty na trhu se dvěma možnými výsledky .................. 41 2.3.3 Binární kontrakty na trhu se třemi možnými výsledky..................... 42 2.3.4 Exotické opce .................................................................................... 44

2.4 Obchody na sázkové burze ..................................................................... 46

2.4.1 Fotbalový zápas ................................................................................ 46 2.4.2 Politické a ekonomické předpovědi .................................................. 47

3 Oceňování sázek.............................................................................................. 49

3.1 Binomický model oceňování .................................................................. 49 3.2 Matematický model tenisového zápasu .................................................. 51

3.2.1 Markovovy řetězce ........................................................................... 52 3.2.2 Model standardní hry ........................................................................ 52 3.2.3 Model tie-breaku ............................................................................... 54 3.2.4 Model sady ........................................................................................ 56 3.2.5 Model zápasu .................................................................................... 57

3.3 Nastavení parametrů modelu .................................................................. 58 3.3.1 Osobní charakteristika hráčů ............................................................ 58 3.3.2 Zápas dvou hráčů .............................................................................. 59

- 5 -

3.4 Aplikace modelu ..................................................................................... 61

3.4.1 Jednoduché odhady ........................................................................... 61 3.4.2 Simulace většího počtu zápasů ......................................................... 62

3.5 Jiné způsoby předpovědi výsledku tenisových zápasů ........................... 63

3.5.1 Oficiální tenisové žebříčky ............................................................... 63 3.5.2 Alternativní žebříčky ........................................................................ 64 3.5.3 Předpovědi dle ATP ranking............................................................. 64

3.6 Vyhodnocení výsledků modelu .............................................................. 65

Závěr ...................................................................................................................... 66 Literatura .............................................................................................................. 67 Dodatek A Obsah přiloženého CD.................................................................... 69

Dodatek B Přehled pravidel tenisu ................................................................... 70

Standardní hra .................................................................................................. 70 Tie-break .......................................................................................................... 70 Sada .................................................................................................................. 71 Utkání ............................................................................................................... 71 Tenisové turnaje ............................................................................................... 71

- 6 -

Úvod

Svět finančních produktů se stále vyvíjí. Rozvoj počítačové techniky umožnil makléřům opustit parket, rozvoj internetu dovoluje vzdáleně obchodovat téměř odkudkoliv. Zatímco před padesáti lety se na burzách obchodovalo převážně s akciemi, dluhopisy či komoditami, dnes lze portfolio řídit s pomocí celé řady syntetických nástrojů, které dovolují provádět komplikované investiční strategie. Růst pestrosti burzovních instrumentů se projevil i mimo technologii obchodování. Na derivátových burzách najdeme například kontrakty na teplotu v Praze1 nebo množství sněhu na některých letištích2. Novinkou posledního desetiletí jsou burzy, které se specializují na obchody s výsledky sportovních klání. Ačkoliv se na první pohled zdá, že obchodování na takovém trhu lze označit jako čistě hazardní, pokusíme se v této práci přiblížit principy těchto obchodů a ukázat, že tomu tak být vždy nemusí. 3

Analýza kontraktů na sázkových burzách má různorodé využití. Pomineme-li sázkaře, spekulanty, či sázkový průmysl jako takový, rozbor odvozených pravděpodobností výsledků sportovních utkání má svůj význam i pro další odvětví. Marketingový specialisté firem investujících nemalé prostředky do sponzoringu sportovců a sportovních týmů, by měli ve svých úvahách o návratnosti takto vložených prostředků uvažovat jejich očekávané budoucí výkony. Stejně tak investoři do akcií fotbalových klubů by měli pečlivě sledovat odhady pravděpodobností na sázkových burzách. Pokud jsou podkladovými aktivy obchodů na sázkových burzách společenské události, lze analýzou tržního chování subjektů také zjistit odpovědí na různé společensky významné otázky, kdy implikované tržní pravděpodobnosti nahrazují průzkum veřejného mínění.

Abychom čtenáři usnadnili orientaci v celém textu, shrňme si, co nás čeká v dalších kapitolách. První kapitola je věnována úvodu do problematiky kurzového sázení a to jak teoretickému, tak praktickému. Začneme s elementárními pojmy kurzového sázení, které zasadíme do historického kontextu. Po krátkém matematickém intermezzu, přiblížíme princip tvorby kurzů a základy činnosti sázkových kanceláří. Nakonec se krátce zmíníme o platném legislativním rámci a daňové problematice. Ve druhé kapitole vysvětlíme fungování sázkových burz, které také porovnáme s burzami kapitálovými. Přiblížíme si také různé druhy kontraktů a popíšeme několik obchodů na sázkové burze. Na případu kontraktu na výsledek amerických prezidentských voleb demonstrujeme možné společenské implikace. V poslední kapitole popíšeme binomický model oceňování kontraktů, což nám dovolí zkonstruovat matematický model tenisového zápasu a ukázat některé jeho vlastnosti.

1 Dle tiskové zprávy CME Group je od 25.ledna 2010 možné obchodovat s futures a opcemi s podkladovým

aktivem teplota v Praze, http://www.cmegroup.com/trading/weather/online-marketing/weather-update.html. 2 http://www.cmegroup.com/trading/weather/snowfall/seasonal-strip-snowfall_contract_specifications.html 3 Alespoň do té míry jako za hazard nepovažujeme take obchody s opcemi a deriváty.

- 7 -

1 Sázka jako derivát

„Na světě není nic jistého – jen smrt a daně.“ 4 Benjamin Franklin

Význam pojmu „sázka“ je asi každému člověku intuitivně znám. Je však obecnou vlastností jazyka a lidské mysli, že jednomu slovu, mohou různí lidé přisuzovat různé významy, nebo dokonce i více různých významů zároveň. Pro přesnější pochopení celého textu je proto nezbytné „sázku“ přesněji definovat. To nám posléze umožní rozšířit „sázku“ do podoby „pravděpodobnostního kontraktu“.

Nutnost exaktní definice navíc plyne ze samotného tématu této práce – principů obchodů na sázkových burzách. Předpokladem dlouhodobého fungování jakékoliv burzy je totiž neochvějná víra účastníků trhu v to, že prodávající strana dostane za prodaná aktiva dohodnutým způsobem zaplaceno, a naopak, že nakoupená aktiva budou skutečně kupujícím doručena. Na trzích, kde nedochází k fyzickým přesunům aktiv, ale jen k příslibu budoucího vyrovnání v penězích, burza zpravidla garantuje i taková vyrovnání. Tyto činnosti nelze efektivně zajišťovat jinak, než zúžením možného spektra obchodů na standardizované kontrakty, kdy se na jednom trhu obchoduje právě s jedním typem kontraktu5. Formulace tohoto standardu tak, aby vyhovoval co největšímu možnému počtu účastníků trhu, je zodpovědností příslušné burzy.

Než se pustíme do přesnější definice „sázky“, kterou využijeme při popisu standardizovaných pravděpodobnostních kontraktů, podívejme se nejprve, jak se sázky vyvíjely v historii.

1.1 Období bájí

Touha vědět, nebo alespoň tušit, co se stane v budoucnosti, je asi stejně stará jako lidstvo samo. Otázky: Jak bude krutá zima?, Jak bohatá bude úroda?, Zda se podaří sehnat dostatek potravy?, si kladly znovu a znovu další a další generace. Nejistota spojená s neznalostí procesů, které podmiňují chod mnoha událostí, nutila lidstvo

4 "In this world nothing can be said to be certain, except death and taxes." napsal Benjamin Franklin v dopise

Jean-Baptistu Leroyovi (1789) přetištěném v The Works of Benjamin Franklin (1817). Podobné rčení "Things as certain as death and taxes, can be more firmly believed." již dříve použil Daniel Defoe v The Political History of the Devil (1726).

5 Přesnost tohoto tvrzení je závislá na tom, jak úzce chápeme pojem trh. U sázkových burz, lze obvykle obchodovat množství vzájemně se ovlivňujících kontraktů na jedno podkladové aktivum. Pokud budeme například obchodovat s podkladovým aktivem: “Výsledek fotbalového utkání Sparta Praha – Baník Ostrava v základní hrací době”, lze prodej vhodného počtu kontraktů na remízu a vhodného počtu kontraktů na výhru hostů syntetizovat nákupem určitého počtu kontraktů na výhru domácích. Pravidla vypořádávání kontraktů jsou totiž u sázkových burz tak úzce spjatá, že je skupina trhů se stejným podkladovým aktivem často pro zjednodušení označována jako jediný trh.

Kapitola 1

- 8 -

k přenesení zodpovědnosti za rozhodnutí, na něž tehdejší znalosti nestačily, mimo dosah lidského rozumu. Někdy se naši předkové snažili osud uplatit pomocí obětí či modliteb. Jindy jim víra v nadpřirozený řád věcí dovolovala klást nadpřirozenu otázky, ať už pomocí prostředníka, nebo přímo. Tam, kde uvedená komunikace nebyla možná, zjišťovali často naši předci vůli osudu zprostředkovaně, ne hůře než jsme schopni my dnes, – spravedlivým losem. To, že uvedená činnost byla obecně přijímána a schvalována, dokládá například Homér v Iliadě, kde ústy boha Poseidona popisuje, jak byla mezi bohy rozdělena vláda nad světem:

Velmi se rozhorliv Zemětřas k ní vece slavný:

„Ó běda, byť třeba byl mocný, zpupné slovo vyřkl,

když myslí, že mocí mě zkrotí rovného mu ve cti.

Tré bratří nás jesti, které Kronu zrodila Rheia,

Zeus, pak já a třetí podzemských vládyka Hádés.

V tré roztříděno všecko, a každý vlády měl účasť:

já dostal za podíl ve siném moři bydleti povždy,

když los námi metán, Hádés pak mrákotu temnou,

Zeus dostal nebe šíroširé ve vzdušnu a mračnech."6

Nemůžeme se proto divit, že se k volbě losem čas od času uchylovali i celé řecké národy. Fustel de Coulanges píše o volbě devíti nejvyšších představitelů Athén, archontů, v období po roce 487 před naším letopočtem: „Athéňané, stejně jako mnohé jiné řecké národy – nenašli lepší volbu než losem“. 7 Podobně se volba losem používala i jinde v Evropě.

Los považuje za přijatelný způsob volby také Bible. Ve Starém zákoně Hospodin nabádá Mojžíše, aby zemi rozdělil losem:

Hospodin promluvil k Mojžíšovi:

Těm bude rozdělena země v dědictví podle jmenného seznamu.

Většímu přidělíš větší dědictví, menšímu menší dědictví, každému bude dáno dědictví podle počtu povolaných do služby.

Země bude rozdělena losem; budou dědit podle jmen otcovských pokolení.8

Ustanovit dělení dědictví pak Hospodin Mojžíšovi doporučuje ustanovit stejným způsobem:

Dědictví ať je každému rozděleno losem, jak velikému, tak malému.9

6 Homér: Ilias – Zpěv patnáctý, verše 189 až 192, v překladu Antonína Škody. Praha: vlastním nákladem

překladatele, 1886. Ke stažení na http://cs.wikisource.org/wiki/Ilias/Zpěv_patnáctý 7 Fustel de Coulanges: Antická obec. SOFIS, Praha 1998. 8 Čtvrtá kniha Mojžíšova (Numeri), 26:52–55. Písmo svaté Starého a Nového zákona, Český ekumenický

překlad. Biblické dílo Ekumenické rady církví v ČSR v Ústředním církevním nakladatelství v Praze, 1979. Ke stažení na http://www.biblenet.cz/app/bible/Num/chapter/26

- 9 -

Podobně je v páté knize Nového zákona popisováno, jakým způsobem apoštolové zvolili náhradu za Jidáše:

„(…)Proto jeden z těch mužů, kteří s námi chodili po celý čas, kdy Pán Ježíš byl mezi námi,

od křtu Janova až do dne, kdy byl od nás vzat, musí se spolu s námi stát svědkem jeho zmrtvýchvstání.“

Vybrali tedy dva, Josefa, jménem Barsabas, zvaného Justus, a Matěje;

pak se modlili: „Ty, Pane, znáš srdce všech lidí; ukaž, koho z těch dvou sis vyvolil,

aby převzal místo v této apoštolské službě, kterou Jidáš opustil a odešel tam, kam patří.“

Potom jim dali losy a los padl na Matěje; tak byl připojen k jedenácti apoštolům.10

Výsledek losu byl proto ještě v době středověku pokládán za úděl osudu, obraz boží vůle, za něco, co stojí zcela mimo dosah lidské existence. Los se ze spárů nadpřirozena vymanil až s pozdějším rozvojem matematiky a matematického formalismu.

1.2 Rozvoj pravd ěpodobnosti

Hnacím motorem rozvoje teorie pravděpodobnosti byly hry založené na náhodě. Karetní hry, hra v kostky, později také veřejné i soukromé loterie, byly po dlouhá staletí důležitými sociálními i ekonomickými činnostmi. Není proto divu, že v okamžiku, jakmile to rozvoj vědy dovolil, intelektuální zvědavost a ekonomický zájem vedly k matematizaci těchto aktivit. První stavební kameny teorie pravděpodobnosti byly položeny až v šestnáctém století, kdy byly popsány dva typy problémů hazardních her. První skupinu lze charakterizovat kombinatorickou otázkou: Kolika způsoby lze dosáhnout určitého součtu ok při hodu kostkami? Druhá skupina se zabývá problémem spravedlivého rozdělení banku ve hře dvou hráčů v okamžiku, kdy hra byla předčasně (neočekávaně) ukončena. Nejstarší prací věnovanou těmto problémům je spis Hieronyma Cardana Liber de ludo aleæ (Kniha o hrách založených na náhodě) datovaný do roku 1526. [1]

Za skutečný počátek teorie pravděpodobnosti je však považována až korespondence, ve které v průběhu roku 1654 Blaise Pascal, v té době náruživý hazardní hráč, a Pierre de Fermat diskutovali výše uvedený problém rozdělení banku. Inspirován jejich úvahami a povzbuzován Pascalem, pak roku 1657 sepsal Christiaan Huygens spis De ratiociniis in ludo aleæ (Úvahy o hrách založených na náhodě). Z těchto úvah posléze vyplynula definice očekávané hodnoty a klasické pravděpodobnosti. [1]

9 Ibid., 26:56. 10 Skutky apoštolů, 1:21–26. Písmo svaté Starého a Nového zákona, Český ekumenický překlad. Biblické dílo

Ekumenické rady církví v ČSR v Ústředním církevním nakladatelství v Praze, 1979. Ke stažení na http://www.biblenet.cz/app/bible/Acts/chapter/1

- 10 -

Odbočme krátce z cesty historií a připomeňme si modernější zápis pravděpodobnosti, která reálným číslem mezi nulou a jedničkou zachycuje počet příznivých možností vůči celkovému počtu možností.

Definice 1.1: Reálnou funkci P(A) definovanou na algebře podmnožin množiny budeme nazývat pravděpodobnost, jestliže platí: 11 0,,,, , , 1, 0

Doplňme pouze, že algebra je systém množin obsahující prázdnou množinu, který je uzavřený na operace průniku, sjednocení a doplňku. Prvky algebry budeme nazývat jevy. Dle výše uvedené definice tedy platí, že pravděpodobnost je vždy nezáporná. je jev s pravděpodobností 1 a nazýváme jej jevem jistým. Jev , který je doplňkem k jevu jistému, se nazývá jev nemožný. Dva jevy, které mají prázdný průnik, se nazývají jevy nezávislé. Pravděpodobnosti sjednocení dvou nezávislých jevů je rovná součtu příslušných dílčích pravděpodobností. [2]

Nyní můžeme přistoupit ke klasické definici pravděpodobnosti:

Definice 1.2 (Klasická definice pravděpodobnosti): Nechť je konečná a neprázdná množina, nechť je algebra všech podmnožin množiny . Pravděpodobnost je dána vztahem: PA |||Ω| a trojice (, , s nazývá klasický pravděpodobnostní prostor. 12

Jak se tento vývoj odrazil v historii losu? Ačkoliv samotný technický princip loterií byl znám a aplikován po dlouhou dobu, první institucializovaná loterie vznikla až v šestnáctém století. Michal Horáček o počátcích loterie píše: „První skutečnou loterií v moderním slova smyslu se proto stala až v roce 1530 La Lotto de Firenze, která za hotovost nejen prodávala tikety, ale také výhry výhradně v hotovosti vyplácela. Její úspěch byl tak fenomenální, že v prostředí rodícího se kapitalismu byla okamžitě a masívně napodobována po všech italských městských státech a právem dala loteriím své jméno.“ 13 Ekonomický přínos pro státní pokladny byl tak veliký, že se státní loterie rychle rozšířily i mimo Apeninský poloostrov. I proto státní loterie v Itálii, ale také v Polsku, Rakousku a mnohde jinde, nesou původní název Lotto ve svém jménu dodnes. Jako první se koncept loterie jako dobrovolné daně pokoušela napodobit anglická královna Alžběta I., která roku 1566 vypsala svou loterii za účelem obstarání peněz na obnovu přístavů. V roce 1612 si první losy kupovali Američané v Jamestownu, kteří tak financovali osidlování Nového světa. Zájem o loterii byl tak veliký, že o devět let později přinášela plnou polovinu prostředků do místního rozpočtu kolonie. [3]

11 Zvára, K., Štěpán, J: Pravděpodobnost a matematická statistika, str.8. Matfyzpress, Praha, 2006. 12 Ibid., str. 9. 13 Horáček, M.: Los a sázka, str. 27. Fortuna, Praha, 2000.

- 11 -

Pro posouzení výhodnosti loterie, jiné hazardní hry, ale také jakékoliv jiné rizikové investice pro hráče je podstatný pojem očekávané hodnoty. Abychom ji mohli získat, musíme si nejprve upřesnit, co si pod pojmem los představujeme.

Definice 1.3: Nechť je konečná a neprázdná množina, nechť je algebra všech podmnožin množiny . Funkci : nazveme výplatní funkcí, hodnotu A, A , nazveme kurz.

Výplatní funkce určuje násobek vkladu, který bude vyplacen v případě, že nastane daná varianta. Poměr mezi výhrou a vkladem nazýváme kurz.

Definice 1.4: Nechť (, , je klasický pravděpodobnostní prostor a je výplatní funkce, pak čtveřici (, , , nazveme loterijní hrou. Nechť !"# , Bet , pak šestici(, , , , !"# , " nazveme losem.

Výhodnost (či nevýhodnost) dané hry lze určit dle výplatního poměru, tedy dle očekávané hodnoty výplaty pro všechny možné jevy.

Definice 1.5: Nechť , , , je loterijní hra. Očekávaný výplatní poměr '#()*"_,#"-) potom je:

'#()*"_,#"-) . 1|| / OddsA · PA4

Pokud výplatní poměr vychází větší než jedna, je matematická výhoda na straně hráče. Taková loterní hra by provozovateli přinášela ztrátu, a proto z principu nemůže dlouhodobě existovat.

Z čistě matematického hlediska je tedy koupě losu zcela iracionální činností. Loterie, kasina, či výherní hrací automaty vrací zpět hráčům jen část vložených prostředků. Zatímco v kasinech, kde se marže pohybuje v řádu jednotek procent z vkladu do jedné hry14, se na hráče může krátkodobě usmát štěstí, snaha porazit jednorukého banditu15, který během jednoho roztočení kotoučů připraví hráče v průměru o více než deset procent vkladu16, je vskutku sisyfovská.

Ještě bláhovější se může zdát snaha zbohatnout v loteriích, které těží ještě z výraznější matematické výhody. Poměr součtu vkladů všech hráčů do hry k vyplaceným výhrám se u běžných loterií pohybuje kolem padesáti procent. Nejkřiklavějším příkladem matematické nevýhodnosti loterií pro hráče je Francouzská královská loterie, která na konci osmnáctého století vyplácela zpět

14 Marže kasina je u evropské rulety (ruleta s jednou nulou) přibližně 2,7%, u americké rulety (ruleta s dvěma

nulami) přibližně 5,3%. Existují však hazardní hry, kdy je snaha porazit kasino teoreticky opodstatněná. Při karetní hře blackjack, dokáže hráč dodržující optimální strategii snížit marži kasina pod 1%. V případě, že navíc dokáže počítat nesené karty, lze vhodnou strategií (nejlépe v týmu více hráčů) docílit záporné marže kasina.

15 Pojmenování hracích automatů (či v terminologii české legislativy: výherních automatů) jako jednoruký bandita vyplynulo z jejich původního vzhledu, kdy kotouče automatu byly roztáčeny dlouhou pákou na straně automatu, a také z jejich nepochybné schopnosti zanechat hráče po skončení hry zcela bez peněz.

16 Dle informací uveřejněných New Jersey Casino Control Commission o daňových výnosech kasin v Atlantic City, NJ v dubnu 2010. Viz http://www.state.nj.us/casinos/financia/mthrev/docs/2010/201004revenue.pdf

- 12 -

hráčům v součtu pouze dvě a čtvrt procenta všech vkladů.17 Navíc, zatímco kasino přinejmenším v krátkém časovém horizontu riskuje, že vyplatí na výhrách více, než získá na vkladech, většina loterií se proti této variantě jistí dodržením předem pevně stanovaného výplatního poměru. Na druhou stranu je nutné připomenout, že zatímco loterie probíhají zpravidla jen jednou či dvakrát týdně, v kasinech a na automatech lze hrát neustále. Hráči často v zaujetí pro hru samou vkládají své případné výhry okamžitě do hry zpět. Jejich rozpočet, který si snad pro hru vyhradili, se tak po krátké době může (a také pravděpodobně bude) blížit nule.

Ekonomický pohled na chování mas hráčů je o něco komplikovanější. Pokud bychom účast na hazardní hře označili v souladu s matematickou teorií za nesmyslnou, museli bychom zároveň opustit tradiční předpoklad racionálního chování spotřebitele. Ekonomie si v takovýchto případech pomáhá pojmem užitku a předpokladem, že racionálně se chovající spotřebitel se snaží svůj užitek maximalizovat. Přijmeme-li tuto myšlenkovou konstrukci, připustíme možnost existence jiné motivace hráče ke hře než čistě peněžní zájem.

Užitek se při hazardní hře může zvyšovat z několika důvodů:

• Hráč získává hazardní hrou dodatečný užitek ve výši, která převyšuje ztrátu užitku z matematické nevýhodnosti hry. Může se jednat například o užitek plynoucí z potěšení přímo ze hry samé, užitek z napětí, užitek ze sociálních interakcí apod.

• V případě her s charakterem dobrovolné daně, může být zdrojem užitku pocit, že hráč přispívá na bohulibý účel, například na rozvoj sportu, kultury, obrany státu apod.

• Hráč hazardní hrou zvyšuje svůj užitek, protože tvar jeho užitkové funkce je konvexní. Ekonomická teorie v rámci teorie užitku označuje takového spotřebitele za osobu riziko vyhledávající.18

• Poměr vkladu do hry k výhře je nízký a s pravděpodobností výhry řádově srovnatelný. Obě veličiny se limitně blíží k nule, a proto rozdíl mezi oběma veličinami je pod rozlišovací schopností hráče. Navíc by mělo platit, že výši vkladu do hry hráč považuje v porovnání se svými disponibilními zdroji za velmi nízkou. 19

Zatímco první popisovaný důvod odpovídá motivaci ke hře v kasinu nebo na výherních automatech, druhý důvod bude typičtější pro loterijní hry. Třetí uvedený motiv je v teorii užitku obecnou charakteristikou riziko vyhledávajícího spotřebitele, který preferuje riziko před jistotou. Čtvrtá motivace ke hře by mohla naopak vysvětlovat, proč se spotřebitel účastnící se loterií, může chtít zároveň proti nějakému riziku pojistit.

17 Horáček, M.: Los a sázka, str. 33. Fortuna, Praha, 2000. 18 Soukupová J., kol.: Mikroekonomie, 3. doplněné vydání, str. 122. Management Press, Praha, 2004. 19 V tomto případě je náš idealizovaný racionální spotřebitel racionální jen do té míry, do které se mu to

racionálně vyplácí. Můžeme si představit, že by sice byl schopen si rozdíl mezi oběma limitními veličinami odvodit, ale pro velké náklady (na úkor svého užitku) se rozhodne uvedené odvození neprovádět.

- 13 -

1.3 Los versus sázka

Hra v kostky, loterie nebo ruleta mají cosi společného. Existuje racionální postup, jak vypočíst pravděpodobnost výhry v jedné či více opakovaných hrách. Navíc zpravidla platí, že nabízený výplatní poměr se v čase nemění, a informovaný hráč může snadno srovnat riziko své investice s nabízenou odměnou. Ve světě náhody však tato čistě matematická exaktnost není podmínkou. Naopak, je vyhrazena pouze jeho malé části, sféře losu.

Jak se tedy los a sázka liší? 20 Los je díky své exaktní definici nezpochybnitelný, pravděpodobnosti jevů, které jeho výsledek ovlivňuje je striktně určena. Díky tomu los posuzuje vše nestranně a spravedlivě. Matematická výhoda, využívána kasiny a loteriemi je dána nastavením výplatního poměru, ne samotným principem losu, který nestraní ani hráči ani banku. Naopak sázka, která je názorovým soubojem mezi dvěma protistranami, z principu nemůže mít tak exaktní matematické vyjádření, aby se jen z něho samého dal odvodit její výsledek. Někdy je sice možné názor věrohodně podložit matematickým modelem, jak ostatně ukážeme v dalších kapitolách, přesto se ani v takovém případě nelze zcela oprostit od individuálního názoru. Jedinečnost a neopakovatelnost sázky, která vzniká jako výsledek názorového střetu, je její základní charakteristikou.

O ilustrativní příklad uvedeného požádáme opět básníka Homéra, který v Illiadě popisuje průběh závodů pod hradbami Troje, které uspořádal Achillés na počest svého padlého přítele Patrokla:

Argejští v kruhu všichni sedíce pozírali v zápas

koňstva, kteří rovinou v letu pádili uprašujíce.

První Ídomeneus znamenal koně, vojvoda Krétův,

ježto seděl mimo kruh nejvýše na místě pozorním;

(…) Povstal z místa a jal se k druhům promlouvať Achajským:

„(…) Avšak vizte také vy vstanouce; rozeznati dobře

nelze mi ještě očím; avšak muž zdá mi se býti

Aitólan rozením, jenž v Argách národu vládne,

Týdea syn komoněkrotný, statný Diomédés.“

Jal se hanebně mu láť rychlý Oiléovec Aias:

„ Ídomenée, co jen to tlacháš? Tuze ještě podále

poskoční koňové se ženou po pláni po šíré. (…)“

20 Vysvětlením filozofického rozdílu mezi losem a sázkou se podrobněji věnuje již několikrát odkazovaná kniha

Michala Horáčka Los a sázka, jejíž terminologii, pojmy „los“ a „sázka“, v této práci používáme. Je samozřejmě otázkou, zda byla volba těchto českých slov štastná, protože „sázka“ může být v určitém jazykovém kontextu „losu“ významově nadřazena. Spolu s Michalem Horáčkem však „los“ a „sázku“ považujeme za dvě podmnožiny náhodných her s navzájem nulovým průnikem.

- 14 -

Odvece pak mu slovem Krétů vojevůdce rozezlen:

„V hádkách mistře pravý, pomlouvači, jinde jsi ve všem

poslední z Danaův, nevlídné mysli jsi vezdy.

Nuž tedy o měděnec nebo o trojnožku se saďme;

Atreovec pak rozhodčí buď náš Agamemnon,

čí koně jsou prvními, abys toho pykaje doznal.“ 21

Homér již dále nerozvádí, zda Aias Ídoméneovu výzvu k sázce přijal, ale přesto si můžeme povšimnout několika charakteristických rysů sázky: Na základě své individuální a nejisté informace se Ídomenénés domnívá, že závod vyhraje Diomédés. Svým názorem je si jist tak, že je ochoten dát všanc svůj měděnec či trojnožku, a zřejmě předpokládá stejný vklad od protistrany. Hodnota výplatní funkce – kurz – by v uvedeném případě byla rovna dvěma. Očekává, že protistrana bude za svůj mylný názor pykat, tedy že sám měděnec respektive trojnožku vyhraje. Jinými slovy, považuje za pravděpodobnější výhru Dioméda než jeho ne-výhru. Výplatní poměr jeho individuální výplatní funkce se mu za daných předpokladů zdá vyšší než jedna.

Jak vypadá daná situace z pohledu Aia, za předpokladu, že by uvedenou sázku přijal? Je stejná až na jeden parametr. Individuální rozdělení pravděpodobnostní je opačné, proto v jeho pravděpodobnostním prostoru je pravděpodobnost ne-výhry Dioméda vyšší než poloviční. I jeho individuální výplatní poměr je vyšší než jedna. Pro obě strany je za daného individuálního rozložení pravděpodobností výhodné sázku přijmout.

Pokusme se formálně zachytit předchozí analýzu:

Definice 1.6: Nechť je konečná a neprázdná množina, je algebra všech podmnožin množiny , nechť 5678 , 96: jsou pravděpodobnosti a 5678 je individuální výplatní funkce hráče BACK22, pak pětici (, , 5678, 96:, 5678 nazveme sázkovou hrou. Nechť navíc platí, že !"# # Bet , pak sedmici (, , 5678 , 96:, 5678, !"# , " nazveme sázkou.

Podobně jako u losu, můžeme u sázky vyjádřit očekávaný výplatní poměr pro každého hráče. Nejprve si odvoďme jednoduché tvrzení:

Tvrzení 1.1: Nechť (, , 5678 , 96:, 5678 je sázková hra. Výplatní funkce hráče LAY 23 96: se potom rovná: 96:= 11 > 15678= , ',) ?=

21 Homér: Ilias – Zpěv dvacátý třetí, verše 448 až 451, verš 456, verše 469 až 475 a verše 482 až 487, v překladu

Antonína Škody. Praha: vlastním nákladem překladatele, 1886. Ke stažení na adrese http://cs.wikisource.org/wiki/Ilias/ Zpěv_dvacátý_třetí

22 Anglické sloveso “to back” má (mimo jiné) význam „poskytnou morální či finanční podporu“ či „vsadit peníze na“. Pojem „back“ má na sázkové burze význam odpovídající dlouhé pozici investora na kapitálovém trhu.

23 Význam „lay“ je opačný k „back“, vyjadřuje nedůvěru, a na kapitálovém trhu by odpovídal krátké pozici.

- 15 -

Důkaz: Protože si hráči BACK a LAY vyplácí své výhry navzájem, zřejmě pro ?= platí, že

@ABBCDEFGH @ABBCIEJH 1. Odtud se nám již snadno podaří

vyjádřit dokazovanou rovnost.

Nyní nám nic nebrání definovat:

Definice 1.7: Nechť , , 5678, 96:, 5678 je sázková hra. Očekávané individuální výplatní poměry sázkové hry potom jsou:

'#()*"_,#"-)5678 . 1|| / K5678 = · 5678=LH , '#()*"_,#"-)96: . 1|| / 96:= · 1 > 96:=H .

Pokud platí, že '#()*"_,#"-)5678 1 (respektive '#()*"_,#"-)96: 1), pak sázkovou hru označíme spravedlivou z pohledu hráče BACK (respektive spravedlivou z pohledu hráče LAY).

Pojem spravedlivosti hry má význam v kontextu toho, jak hráč chápe nabízené kurzy. Pokud je výplatní poměr nižší než jedna, zdají se mu kurzy nízké a hra nevýhodná. Pokud je výplatní poměr vyšší než jedna, považuje kurzy za vysoké a hru za výhodnou. V případě, kdy je výplatní poměr roven jedné, je pro něj hra spravedlivá.

Jedinečnost a neopakovatelnost sázky, však činí uvedenou hromadnou definici pro celou sázkovou hru příliš všeobecnou. Obě protistrany budou spíše sledovat zvlášť výplatní poměr u každé své uzavřené sázky.

Definice 1.8: Nechť (, , 5678, 96:, 5678, !"# , " je sázka. Očekávané individuální výplatní poměry potom jsou: '#()*"_,#"-)5678,5NO . 5678 " · 5678 ",

'#()*"_,#"-)96:,5NO . 11 > 15678 " · 1 > 96: ". Pokud platí, že '#()*"_,#"-)5678,5NO 1 (respektive '#()*"_,#"-)96:,5NO 1), pak sázku označíme za spravedlivou z pohledu hráče BACK (respektive spravedlivou z pohledu hráče LAY).

Uvedená definice nezahrnuje míru individuální tolerance rizika hráčem. Pokud bychom definici chtěli o tento ekonomický aspekt rozšířit, museli bychom kurzy (hodnotu výplatní funkce) očistit o riziko: Snížit kurzy v případě rizikově averzního investora, či naopak zvýšit u investora, který riziko vyhledává. Rizikově neutrální investor by byl s naší předchozí definicí spokojen.

- 16 -

Ověřme ještě, zda je předchozí definice v souladu s mikroekonomickou definicí spravedlivé sázky, která zní: „Za spravedlivou je sázka považována tehdy, když poskytuje očekávaný výnos shodný s výchozí jistou částkou.“ 24 Na první pohled vidíme, že uvedený požadavek je skutečně splněn, právě když je výplatní poměr roven jedné.

Podívejme se znovu na rozdíl mezi losem a sázkou, tentokrát z úhlu rozhodování spotřebitele, hráče, spekulanta či investora. Ekonomická teorie se přirozeně zabývá situacemi, kdy je spotřebitel nucen se rozhodnout v okamžiku, kdy budoucí vývoj je nejistý. Množina těchto rozhodnutí v nejistotě se rozkládá v prostoru ohraničeném z jedné strany případem, kdy ten, kdo se rozhoduje, není schopen posoudit, jaké důsledky dané rozhodnutí může mít, a z druhé strany případem, kdy jsou možná rozhodnutí známá a spotřebitel dokáže přiřadit daným rozhodnutím jejich pravděpodobnosti.

Právě poslední možnost, která bývá označována jako rozhodování za rizika25, je charakteristikou losu i sázky. V případě losu je spotřebitel schopen na základě znalosti frekvence, s níž jednotlivé situace nastávají, přiřadit náhodným jevům objektivní pravděpodobnosti. To je dokonce, díky dobrému matematickému popisu, schopen udělat a priori, aniž by daný jev kdy nastal. Nutno však poznamenat, že takové situace nejsou pro ekonomická rozhodnutí typická. Jiným způsobem, jak se lze přiblížit objektivní pravděpodobnosti, je využít velkého množství empirických dat a vět o konvergenci pravděpodobnosti26. Tohoto postupu využívají například pojišťovny, které velmi podrobně sledují všechny charakteristiky svého pojistného kmene. Pro sázku je však typická subjektivní pravděpodobnost, tedy určitý dojem, že určitá událost nastane. Předpoklad o frekvenci jednotlivých výsledků je čistě individuální, a je založený na znalostech a zkušenostech konkrétního jedince.

Určitě stojí za to v této souvislosti připomenout, že koncept sázky je do jisté míry konceptu pojištění podobný. Pojmy spravedlivá sázka a spravedlivá pojistka jsou v podstatě totožné.27 Zatímco v pojišťovně si riziko averzní investoři snižují riziko (například „sázkou“ na to, že jim bude vykraden byt či bude nabouráno auto), na sázkové burze si může sportovní fanoušek například pojistit to, že jeho oblíbený tým nevyhraje titul; podobně si může obyčejný i neobyčejný člověk vhodným obchodem pojistit riziko výhry jemu neoblíbené politické strany ve volbách. Se všemi těmito formami „neštěstí“ může být spojen úbytek užitku. Na britském trhu dokonce existují události, na které se dá vsadit v sázkové kanceláři a zároveň se také proti nim pojistit

24 Soukupová J., kol.: Mikroekonomie, 3. doplněné vydání, str. 121. Management Press, Praha, 2004. 25 Ibid., str. 113 až 115. 26 Jedná se například o zákon velkých čísel (Čebyševova, Chinčinova, Kolmogorovova věta) a centrální limitní

věty (Lindebergova věta). Podrobnosti lze nahlédnout například v Anděl, J.: Základy matematické statistiky, str. 329 až 337. Matfyzpress, Praha,

27 Spravedlivá pojistka je v mikroekonomii popisována jako „pojistka, jejíž výše je shodná s očekávanou ztrátou. Je-li ekonomický subjekt spravedlivě pojištěn, má zajištěn stejný příjem, ať ztráta nastane, či nikoliv.“ Zatímco, „za spravedlivou je sázka považována tehdy, když poskytuje očekávaný výnos shodný s výchozí jistou částkou.” Na první pohled je zřejmé, že se jedná o jiný popis stále stejného jevu. (Viz opět Soukupová J., kol.: Mikroekonomie, 3. doplněné vydání, str. 121 a str. 130.)

- 17 -

v pojišťovně.28 Sázkové kanceláře také mohou od určitého množství nabraných sázek využívat podobných zákonitostí jako pojišťovny. 29 Přesto však nepochybně platí, že samotná počáteční tvorba kurzů (přiřazení pravděpodobností uvažovaným výsledkům události) spadá do sféry subjektivní pravděpodobnosti.

1.4 Institualizace sázky

Novodobá historie sázky začíná v sedmnáctém století na Britských ostrovech. Snaha pozvednout úroveň domácího chovu, přiměla Angličany importovat množství koní arabské krve. Protože se na jejich dovoz vynakládaly značné peněžní částky, stalo se brzy běžným zvykem poměřit výsledky tohoto úsilí přímým soubojem dvou koní, jehož výsledek byl podkladem sázky jejich hrdých majitelů.

První písemné zmínky o těchto soubojích pochází z první poloviny sedmnáctého století. Doklad o sázkách na výsledek závodu koní v centru Londýna, lze nalézt v divadelní hře From Hide Park, kterou napsal James Shirley roku 1637. Ještě dříve, ve třetím čísle Morning Post z roku 1635, je, ve snad první novinové sportovní reportáži, popisován souboj koně ve vlastnictví Michaela Hudsona s koněm nejmenovaného duchovního. Oba majitelé plně věřili ve své vítězství, protože do sázky vložili „všechny peníze, co měli u sebe, nebo co si mohli půjčit od svých přátel.“ 30 Napínavost těchto soubojů lákala ke sledování mnoho diváků, proto se závody koní se těšily stále vyšší popularitě. Na klání hřebců Woodcocka a Flatfoota se roku 1671 přišlo podívat dokonce několik tisíc diváků. [4]

Sázelo se však nejen na koně. Anglický gentleman se v klubu či kavárně mohl vsadit téměř o cokoliv. Aby sázky, zvláště ty dlouhodobější povahy, byly řádně zaznamenány, vedl každý klub svou knihu sázek. Že to byly sázky zajímavé lze najít například v knize sázek klubu White’s: „Délka lidského života, nebo okamžik narození dítěte, byly dva nejčastější předměty sázky, a bylo kvůli nim riskováno velké množství peněz. První záznam v knize sázek je sázka 100 guineí proti 50 guineím, že vévodkyně z Marlborough přežije vévodkyni z Clevelandu.” 31 To, že zdraví obou vévodkyň bylo mezi návštěvníky podniku asi hojně diskutované téma, dosvědčuje fakt, že během roku 1743 bylo uzavřeno ještě dalších 6 podobných sázek.32

Časem se na dostihových závodištích utkávalo více koní navzájem. To dalo vyniknout významné nevýhodě sázek muže proti muži. Faktu, že sázející zastávající určitý názor musel sám vyhledat protistranu, která zastávala názor opačný. Tedy, jak plyne z definice sázky, muselo subjektivní rozdělení pravděpodobnostního prostoru obou hráčů být takové, aby existovala taková výplatní funkce, kde individuální

28 Podle Horáček, M.: Los a sázka, str. 56 se jedná například o narození dvojčat. 29 Dalo by se říct, že pojišťovna nechává své klienty uzavřít mnoho dílčích sázek. Na základě empiricky zjištěné

pravděpodobnosti – kterou považuje za objektivní – dokáže stanovit výplatní funkci tak, aby téměř jistě dosahovala zisku. Sázková kancelář vhodným stanovením kurzů také dokáže docílit rovnoměrného rozložení rizika tak, že i ona vždy dosáhne zisku.

30 Cook, T. A.: A history of the English turf, str. 65. H. Virtue and company, limited, London, 1901. 31 Bourke A. H.: The history of Whités (with the Betting Book from 1743 to 1878 and a list of members from

1736 to 1892), str. 81. Waterlow and Sons, Printers, London, 1892. 32 Ibid.

- 18 -

výplatní poměr ze sázky bude u obou hráčů vyšší než 1.33 Hráči přirozeně čelili také problémům se vzájemnou důvěrou. Sázky na koně se v polovině osmnáctého století staly tak oblíbené, že velmi vzrostla jejich anonymita. Pokud se hráči na závodišti podařilo vhodnou protistranu najít, stále neměl zaručeno, že v případě výhry, protistrana svému kontraktu dostojí. Řešení této situace přinesl rok 1795, kdy vznikl institut bookmakera.34 Ten vypisoval kurzy a přijímal sázky na všechny koně dostihu naráz. Do sázkové knihy zaznamenával nejen přijaté sázky, ale také rizika, kterým v případě výhry jednotlivých koní čelí.

Cílem činnosti bookmakera je přijmout sázky na všechny možné výsledky tak, aby výše výhry sečtená přes všechny sázející byla pro každý možný výsledek stejná. Přirozeně, v reálné sázkové hře není bookmaker schopen zachytit všechny možné výsledky událostí. Proto zpravidla uvažuje jen ty, které jsou nějakým způsobem ve sledovaném oboru standardizované. Pokud shodou okolností nastane událost bookmakerem nevypsaná, sázky se obvykle ruší. Zde však pro větší názornost přepokládáme plné pokrytí , což zachycuje následující definice:

Definice 1.9: Nechť je konečná a neprázdná množina, nechť je algebra všech podmnožin množiny . Dvojici PQ R" . , nazveme událost. Množinu = *S" T nazveme obchodovatelné výsledky události, pokud platí ?=, ! = *S", = U ! V = W ! a X = = *S" . Dále nazveme dvojici PQ R", = *S" . , , = *S" podkladové aktivum.

Bookmaker může při vypisování kurzů postupovat dle jednoduchého algoritmu. Než ho sestrojíme, potřebujeme ještě přesněji vyjádřit vztah mezi kurzem a pravděpodobností u spravedlivé sázky. Vše zachycuje následující tvrzení:

Tvrzení 1.2 (o implikované pravděpodobnosti): Nechť (, , 5678, 96:, 5678, !"# , " je spravedlivá sázka z pohledu hráče BACK. Pak platí následující rovnost: 5678 " 1 5678 "

Důkaz: Tvrzení plyne přímo z definice výplatního poměru.

Připomeňme, že bookmaker je v pozici hráče LAY, tedy nabízí sázkařům (hráčům BACK) kurzy 5678 na možné výsledky podkladového aktiva , , = *S". Pravděpodobnost 5678 nezná, proto ji ve svém algoritmu nahrazuje nejlepším dostupným odhadem, svou subjektivní pravděpodobností 96:.

V průběhu obchodování bude svůj odhad pravděpodobnosti 5678 iteračně upřesňovat podle skutečného náběru sázek.35 Nyní už můžeme bez problémů sestrojit algoritmus, který zachycuje práci bookmakera se subjektivní pravděpodobností.

33 Jak je z uvedeného popisu zřejmé, nemusí se nutně jednat o názor zcela opačný, ale postačí, aby se názor

protistran dostatečně lišil. 34 Horáček, M.: Los a sázka, str. 71. Fortuna, Praha, 2000. 35 Podrobnosti tohoto postupu zde neuvádíme. Strategie bookmakera totiž může být různorodá. Kapitálově silný

bookmaker se silnou vírou ve správnost svého názoru snáze unese krátkodobou nepřízeň osudu, což mu dovolí déle setrvat na původních kurzech. Pokud bude jeho názor dlouhodobě správný, dosáhne navíc vyššího zisku.

- 19 -

Algoritmus 1.1 (Ohodnocení výplatní funkce YZZ[\]^_ pro událost `, a:

1) Identifikuj obchodovatelné výsledky = *S" T . 2) Stanov subjektivní pravděpodobnosti 96:=, ? = = *S"

a odhadni subjektivní pravděpodobnost 5678= 96:=.

3) Vypočti implikované kurzy: 5678bcd = = @dDEFGH, ? = = *S"

4) Uprav implikované kurzy o požadovanou rizikovou prémii , a ziskovou marži e a zaokrouhli je na výši kurzů, která je standardně obchodována: 5678= ABBCDEFGfgh H@i@j , ? = = *S"

5) V průběhu obchodování upravuj odhad 5678 dle tržní situace a pokračuj bodem 4.

Příklad 1.1 (Aplikace algoritmu ohodnocení výplatní funkce YZZ[\]^_):

Bookmaker chce vypsat kurz na finálový zápas Mistrovství světa v ledním hokeji 2010 v Německu mezi Ruskem a Českou republikou na trhu výsledek po základní hrací době. Aplikace algoritmu s výjimkou bodu 5 je následující:

1) Bookmaker se rozhodl se vypsat sázky na následující tři možné výsledky: výhra Ruska, remíza, výhra Česka. = *S" kRUS; p=q; rsPt.

2) Těmto variantám přiřazuje pravděpodobnosti: 5678=u! 65% , 5678p=q 20%, 5678rsP 15%.

3) Implikované kurzy potom jsou:

5678bcd =u! @dDEFGHyz @

,| 1,538

5678bcd p=q @dDEFGH6 @

, 5

5678bcd rsP @56787 @

,@ 6,667

4) Nechť bookmaker chce uplatnit marži (včetně prémie za riziko) e 10%

5678=u! ABBCDEFGfgh Hyz@j @,

@,@ 1,398 1,40

5678p=q ABBCDEFGfgh H6@j

@,@ 4,545 4,5

5678rsP ABBCDEFGfgh 7@j |,||

@,@ 6,061 6

Jako výsledek algoritmu jsme získali trojici kurzů (1,4; 4,5; 6). Podobnou trojici bychom také mohli získat v kterékoliv sázkové kanceláři.36 Podívejme se na tuto

36 Protože jsme vstupní pravděpodobnosti odhadli jen zhruba, bez hlubší analýzy, výstup algoritmu se kurzům

sázkových kanceláří jen přibližuje. Průměrné kurzy na zápas v internetových sázkových kancelářích byly dle Oddsportal.com těsně před začátkem zápasu (1,45; 4,97; 5,4).

- 20 -

trojici očima nestranného pozorovatele. Má vůbec nějakou možnost posoudit kvalitu těchto kurzů, pokud nezná pravděpodobnosti 5678 a 96:? Naše předchozí definice individuálních výplatních poměrů totiž určila jen výhodnost sázky z pohledu konkrétního hráče, který se může na základě svých individuálních pravděpodobností rozhodnout vybrat vhodnou sázku. Nechceme-li však sázet, ale například jen porovnat, jak (ne-)výhodné kurzy bookmakeři nabízí, musíme upravit definici výplatního poměru. K tomu budeme potřebovat následující tvrzení:

Tvrzení 1.3 (o součtu kurzů): Nechť , , = *S" je podkladové aktivum a je výplatní funkce, pak pro libovolnou neprázdnou podmnožinu = T = *S" platí následující rovnost:

= 1 = HNC

@

Důkaz: Jako důsledek tvrzení o implikované pravděpodobnosti platí zobecněná

rovnost " @ ABBC5NO, kde " = *S" a , je událost.

Dokazovanou rovnost můžeme proto přepsat do tvaru:

/ =H HNC =

Z definice pravděpodobnosti víme, že , tedy platí:

= = HHNC / = HHNC

Nyní již můžeme definovat výplatní poměr:

Definice 1.10: Nechť , , = *S" je podkladové aktivum a je výplatní funkce. Očekávané výplatní poměry potom jsou:

'#()*"_,#"-)5678 . = *S" 1 = H HNCOC

@

, '#()*"_,#"-)96: . 1 '#()*"_,#"-)5678

Pokud platí, že '#()*"_,#"-)5678 '#()*"_,#"-)96: 1, pak kurzy označíme za spravedlivé.

Pokud by byla hodnota '#()*"_,#"-)5678 vyšší než jedna, hráč BACK by mohl vhodnou sázkou na všechny možné výsledky realizovat bezrizikový zisk. Taková situace je u jednoho bookmakera prakticky vyloučena. Obecně ale platí, čím vyšší je hodnota '#()*"_,#"-)5678, tím jsou kurzy pro sázejícího výhodnější. Bookmaker se

- 21 -

vhodnou volbou ziskové marže a rizikové prémie snaží pohybovat mezi dvěma extrémy. Pokud stanoví příliš nízké kurzy, nepřiláká tolik sázejících. Na druhou stranu, pokud kurzy budou příliš vysoké, může se stát, že zkrachuje.

V následující tabulce jsou uvedeny průměrné výplatní poměry37 největších internetových sázkových kanceláří. Rozdíl mezi 100% a uvedeným výplatním poměrem tvoří marže sázkové kanceláře a riziková přirážka. Jak lze nahlédnout, uvedené číslo je mezi jednotlivými sázkovými kancelářemi velmi různorodé, a pohybuje se mezi třemi a patnácti procenty. Protože tyto sázkové kanceláře působí úspěšně na trhu již po několik let, dá se předpokládat, že kvalita kurzů není ve spotřebitelském rozhodování pro určitou skupinu sázkařů tím rozhodujícím faktorem.

Tabulka 1.1 - Přehled výplatních poměrů vybraných online sázkových kanceláří z pohledu sázejícího, průměr v období 25.4. až 24.5.2010, seřazeno dle celkového výplatního poměru.38

37 V terminologii tohoto textu se jedná o '#()*"_,#"-)5678, které je pro přehlednost uváděné v procentech. 38 Využita data ze serveru http://www.oddsportal.com.

- 22 -

1.5 Podnikání na sázkovém trhu a právo

Hazard, kam většina právních úprav sázení řadí, je ve většině zemí světa regulován. Některé státy jeho provozování zakazují zcela, jinde je jeho omezení stanoveno pouze částečné. Například v USA je ve všech státech sázení zakázáno, s výjimkou indiánských rezervací, státu Nevada, a některých měst39. Také v Evropě je situace různorodá. V kolébce sportovní sázení, Velké Británii, bylo vypisování kurzů v místech mimo závodiště střídavě regulované a ilegální, nakonec bylo jednoznačně legalizováno roku 1960. Mnoho evropských států si však dlouhodobě vyhrazuje právo přijímání sázek jen pro státní monopoly.

Základním legálním aspektem hazardních her, který je společný všem evropským právním úpravám, je požadavek náhodnosti výsledku hry. Hazardní hry jsou definovány jako hry, které umožňují soutěžit o ceny tak, že úspěch závisí zcela nebo zčásti na náhodě nebo na výsledku nějaké budoucí události, za předpokladu, že tento výsledek nemůže být ovlivněn hráčem. Podmínkou také bývá, že alespoň jeden z hráčů prohraje svou sázku.

Bližší náhled do situace v Evropě nám může dát studie připravená pro Evropskou komisi Švýcarským institutem komparativního práva [5], která zachycuje stav hazardních služeb na vnitřním trhu Evropského společenství k 31. 12. 2005. Zpráva rozlišuje mezi osmi druhy hazardu: sázkové služby, bingo, kasino, charitativní hazard, výherní automaty, loterie, spotřebitelské soutěže a soutěže v médiích. Náš krátký právní přehled však omezíme pouze na první oblast, která je jediná pro tuto práci relevantní.

Jak je tedy v Evropě definována sázka? Většina členských států40, včetně České republiky, shodně ve své zákonné úpravě pod pojmem „sázení“ rozumí poskytnutí nebo přijetí sázky na:

• výsledek závodu, soutěže nebo jiné události či procesu,

• pravděpodobnost, že něco přihodí nebo nepřihodí, nebo

• toho, zda něco je či není pravda.41

Právní úprava Belgie, Francie, Lucemburska a Portugalska zná také pojem „náhodný kontrakt“. Ten je definován jako smlouva, ve které se dvě strany dohodnou, že na základě sporného tvrzení, ta strana, jejíž tvrzení se ukázalo jako prokazatelně chybné, vykoná něco ve prospěch protistrany, nebo, jak platí v Lotyšsku, ve prospěch třetí osoby. Podle německého práva, byla sázka původně koncipována jako institut k urovnání sporů.42

39 Hazard je v Nevadě legální od roku 1931, v Atlantic City, NJ od roku 1976, v Tunica, MS od roku 1990.

Kasína v indiánských rezervacích vznikají ve velkém od roku 1987. 40 Konkrétně se daná právní úprava používá v Rakousku, Belgii, České republice, Estonsku, Francii, Německu,

Litvě, Lucembursku, Maltě, Polsku, Portugalsku, Slovensku a ve Spojeném království. 41 Swiss Institute of Comparative Law: Study of gambling services in the internal market of European Union –

Final Report, str. 8. European Commission, 2006. 42 Ibid.

- 23 -

V České republice je oblast hazardních her upravena již mnohokrát novelizovaným zákonem 202/1990 Sb. o loteriích a jiných podobných hrách, kam sázky spadají jako:

„sázkové hry, při nichž je výhra podmíněna uhodnutím sportovních výsledků nebo pořadí ve sportovních soutěžích, závodech nebo uhodnutím jiných událostí veřejného zájmu, pokud sázky na tyto události neodporují etickým principům. Výše výhry je přímo úměrná výhernímu poměru, ve kterém byla sázka přijata a výši vsazené částky.“ 43

Dikci zákona reflektují ve svých herních plánech i sázkové kanceláře:

„Kurzovou sázkou se rozumí hra, při níž po složení vkladu je výhra podmíněna uhodnutím (nebo také jen „správným tipem“) sportovních výsledků nebo pořadí ve sportovních soutěžích nebo závodech a nebo uhodnutím jiných nesportovních sázkových událostí především veřejného zájmu jako např. volby, referenda, kulturní události aj., pokud kurzové sázky na tyto sázkové události neodporují morálním a etickým principům (dále také jen „kurzová sázka“ nebo „sázka“). Kurzová sázka je uzavírána buď na jednu sportovní, nesportovní nebo jinou, v předchozí větě uvedenou sázkovou událost nebo na soubor sázkových událostí (dále jen „sázková událost“). Výše výhry je přímo úměrná výhernímu poměru (dále jen „kurz“), ve kterém byla sázka přijata a výši vsazené částky.“ 44

Z hlediska spotřebitele není příliš důležitá konkrétní právní úprava, ale spíše fakt, kde a za jakých podmínek může sázku uzavřít. Pokud je mu umožněn přístup k více sázkovým operátorům, může těžit z jejich konkurenčního boje lepšími kurzy nebo jinými výhodami. Zatímco na českém trhu se obvyklý výplatní poměr jednoduchých sázek pohybuje kolem 88 %45, a jen ve výjimečných případech přesahuje 90 %, na internetu se sázející naopak obvykle nesetkává s výplatním poměrem pod 90 %. Přijímat sázky po internetu mohou od ledna 2009 také české sázkové kanceláře. Tato částečná liberalizace trhu přinesla růst výplatního poměru z 82 %46 v kamenných pobočkách k výše zmiňovaným 88 %.

Co vlastně brání sázkovým operátorům podnikat v ostatních zemích Evropského společenství? Je to zejména místní úprava členských států, kterou si jednotlivé státy brání svůj daňový výnos z hazardu. Oficiálně jsou členskými státy akcentovány jiné důvody jako: ochrana mladistvých před hazardem, obrana proti praní špinavých peněz a podobné chvályhodné cíle.

43 Zákon 202/1990 Sb. o loteriích a jiných podobných hrách, ve znění pozdějších zákonů k 1.5.2010, paragraf 2

bod h). 44 Herní plán kurzových sázek SAZKA, a.s., paragraf 2 odstavec 1. SAZKA, 2009. 45 V českých podmínkách přijatelný výplatní poměr 88% dosáhneme například při kurzech (1,85; 1,85) a 5%

manipulačním poplatku, který je uplaťnován na internetu. 46 Běžný sázející na kamenné pobočce musí čelit výplatnímu poměru, který se u jednoduché sázky pohybuje

kolem 82 %. Přesná hodnota výplatního pomětu, které dosáhneme při kurzech (1,8; 1,8) a 10% manipulačním poplatku, je 81,8 %.

- 24 -

Legislativní omezení sázek v jednotlivých členských státech například zahrnuje: 47

• všeobecný zákaz sázení na nesportovní akce (uplatňovaný v Belgii, Francii, Lucembursku a Portugalsku);

• zákaz on-line sázení (uplatňovaný na Kypru a v Nizozemsku);

• zákaz podnikání zahraničních operátorů na území daného státu (v České republice, Dánsku, Finsku, Nizozemsku, Portugalsku a Španělsku);

• omezení přijímání sázek mimo závodiště (v Madridu).

Některé země mají zvláštní právní požadavky na typ právnické osoby oprávněné nabízet sázkové služby48. Státy se také často snaží vyloučit cizí sázkové operátory striktním požadavkem na umístění sídla držitele licence na území daném státu49. Někdy je také vyžadováno, aby sázkový operátor své podnikání fyzicky provozoval tam, kde jsou sázky přijímány.50

Jak je tedy při všech těchto legislativních překážkách možné, že internetové sázkové kanceláře sponzorují přední evropské kluby a jejich jména nesou i celé soutěže? Hlavním důvodem je fakt, že není v moci žádného evropského státu efektivně zakázat svým občanům sázet po internetu v zahraničí. To má za následek, že uvedená omezení, jsou v daném kontextu spíše deklaratorní než skutečná. Navíc se internetové sázkové kanceláře snaží důsledně uplatňovat primární právo Evropské unie. Při svých snahách se odvolávaly zejména na články 43 ES (svoboda usazování) a 49 ES (volný pohyb služeb) Smlouvy o založení Evropského společenství ve znění smlouvy z Nice: 51

Článek 4352

V rámci níže uvedených ustanovení jsou zakázána omezení svobody usazování pro státní příslušníky jednoho členského státu na území státu druhého. Stejně tak jsou zakázána omezení při zřizování zastoupení, poboček nebo dceřiných společností státními příslušníky jednoho členského státu na území druhého státu.

Svoboda usazování zahrnuje přístup k samostatně výdělečným činnostem a jejich výkon, jakož i zřizování a řízení podniků, zejména společností ve smyslu čl. 48 druhého pododstavce, za podmínek stanovených pro vlastní státní příslušníky právem země usazení, nestanoví-li kapitola o pohybu kapitálu jinak.

47 [5], str. 20 až 21. Konkrétní příklady zemí uplatňující příslušné omezení dle stavu legislativy k 31.12.2005. 48 Ibid., str. 21. K 31.12.2005 to byly například Kypr, Dánsko, Finsko a Francie. 49 Ibid.,str. 22. Ke stejnému datu se jednalo například o Českou republiku, Lucembursko, Litvu, Lotyšsko,

Polsko, Slovensko, Slovinsko a část Velké Británie (Severní Irsko). 50 Ibid. Omezení bylo k 31.12.2005 uplatňováno v Dolním Rakousku a na Maltě. 51 Smlouva o založení Evropského společenství, konsolidovaná verze ve znění smlouvy z Nice. Ministerstvo

zahraničních věcí České republiky. 52 Jako článek 43 ve znění Smlouvy z Nice, je veden bývalý článek 52 smlouvy o založení Evropského

společenství. Ve znění Lisabonské smlouvy je tento článek veden pod číslem 49.

- 25 -

Článek 4953

Podle následujících ustanovení jsou zakázána omezení volného pohybu služeb uvnitř Společenství pro státní příslušníky členských států, kteří podnikají v jiném státě Společenství, než se nachází příjemce služeb.

Rada může na návrh Komise rozhodnutím přijatým kvalifikovanou většinou rozšířit použitelnost této kapitoly též na poskytovatele služeb, kteří jsou státními příslušníky třetích zemí a kteří jsou usazeni ve Společenství.

Spory sázkových operátorů s členskými státy Evropské unie jsou poměrně časté, a místní soudy se někdy obrací s žádostmi o výklad evropského práva na Evropský soudní dvůr. Protože k těmto otázkám mají právo dodávat svá vyjádření i přímo nezúčastněné státy, lze mezi nimi snadno identifikovat zastánce konceptu legislativního omezení hazardu. Do této skupiny lze zařadit zejména: Belgii, Dánsko, Německo, Řecko, Španělsko, Portugalsko, Itálii, Nizozemsko, Rakousko, Slovinsko, Finsko a Norsko.

Pro rozvoj internetového sázení byly důležité čtyři rozsudky Evropského soudního dvora ve věcech: „Zenatti“ (případ C-67/98), „Gambelli a další“ (případ C‑243/01), „Placanica a další“ (případ C-338/04), „Bwin Liga“ (případ C‑42/07).

V případě Zenatti Evropský soudní dvůr rozhodoval předběžnou otázku italského soudu o interpretaci článku 49 ES54. Soud dospěl k závěru, že: „Vnitrostátní právní úprava, která vyhrazuje právo přijímat sázky na sportovní události jen pro některé subjekty, a která tak brání provozovatelům z jiných členských států přijímat sázky, přímo nebo nepřímo, představuje překážku volného pohybu služeb.“ Nicméně ve svém rozhodnutí zdůraznil podmínky, za kterých považuje restrikci za oprávněnou: „Taková právní úprava nebude znamenat žádnou diskriminaci na základě státní příslušnosti, pokud jejím cílem bude chránit spotřebitele a udržovat pořádek ve společnosti.“. Konečně, posouzení jaká ochrana spotřebitele je vhodná, je na posouzení dohledového orgánu členského státu: „Za těchto okolností nemůže mít pouhá skutečnost, že členský stát zvolil systém ochrany odlišný od toho přijatého v jiném členském státě, vliv na hodnocení přiměřenosti daného opatření. Ta musí být posuzována pouze ve světle cílů sledovaných vnitrostátními orgány dotčeného členského státu a úrovně ochrany, kterou má zajišťovat.“ 55

V případě Gambelli Evropský soudní dvůr rozhodoval předběžnou otázku italského soudu o výkladu článků 43 ES a 49 ES v trestním řízení probíhajícím proti Piergiorgiu Gambellimu a dalším italským občanům. Obvinění stanuli před místním soudem, protože přijímali bez místní licence sázky pro společnost Stanley

53 Jako článek 49 ve znění Smlouvy z Nice, je veden bývalý článek 59 smlouvy o založení Evropského

společenství. Ve znění Lisabonské smlouvy tomuto článku odpovídá článek 56. 54 Tehdy ještě vedeného jako článek 59 (EC Treaty, Art. 59). 55 Rozsudek Evropského soudního dvora C-67/98, Questore di Verona v Diego Zenatti z 21.10.1999. Ke stažení

na: http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:61998J0067:EN:NOT

- 26 -

International. Evropský soudní dvůr uznal argumentaci obhájců obviněných a 30. března 2001 rozhodl, že: „Vnitrostátní právní úprava, která pod hrozbou trestních sankcí zakazuje provádění sběru, přijímání, registrace a předávání návrhů sázek, zejména na sportovní události, bez koncese nebo povolení vydaných dotyčným členským státem, je omezením svobody usazování a volného pohybu služeb podle článků 43 ES a 49 ES.“ 56 Evropský soudní dvůr jasně vyřkl, že pokud stát sám vyvíjí činnost k vedoucí k podpoře sázení a zároveň nepřeje konkurenčnímu prostředí se zdůvodněním, že chrání své obyvatelstvo před tím samým, co mu sám nabízí, odporuje principům jednotného trhu. Reakce na tento rozsudek byla velmi silná a odstartovala masivní rozvoj internetového sázení v Evropě.

Podobný případ, opět předložený opět italským soudem v trestní řízení proti Massimilianu Placanicovi a dalším obviněným, rozhodoval Evropský soudní dvůr dne 6. března 2007. Předběžná otázka místního soudu zněla, zda je přípustná vnitrostátní úprava, která postihuje propagaci a sběr sázek prostřednictvím internetu subjektem bez licence, jménem společnosti, která má oprávnění ke své činnosti v jiném členském státě. Soudní dvůr v souladu s rozsudkem v případu Gambelli dospěl k následujícímu závěru:57

• „Vnitrostátní právní úprava, která zakazuje výkon činností sběru, přijímání, registrace a předávání návrhů sázek bez koncese nebo policejního povolení vydaných dotyčným členským státem, je omezením svobody usazování, jakož i volného pohybu služeb upravených v článku 43 ES, resp. v článku 49 ES.“

• „ Články 43 ES a 49 ES musejí být vykládány v tom smyslu, že brání takové vnitrostátní právní úpravě, která a priori vylučuje subjekty založené ve formě kapitálových společností, jejichž akcie jsou kótovány na regulovaných trzích, z odvětví hazardních her.“

• „ Články 43 ES a 49 ES musejí být vykládány v tom smyslu, že brání takové vnitrostátní právní úpravě, která ukládá trestní sankci za výkon organizované činnosti sběru sázek bez koncese nebo policejního povolení vyžadovaných vnitrostátními právními předpisy, pokud tyto osoby nemohly získat uvedené koncese či uvedená povolení z toho důvodu, že tento členský stát jim je v rozporu s právem Společenství odmítl udělit.“

Posledním důležitým případem, který zatím v této oblasti Evropský soudní dvůr rozhodoval je případ „Bwin Liga“. V tomto sporu se Liga Portuguesa de Futebol Profissional spolu se společností Bwin International Ltd domáhali zrušení pokut, které jim udělila Santa Casa de Lisboa z důvodu porušení portugalských právních předpisů týkajících se nabízení některých hazardních her po internetu. Rozhodnutí vynesené 8. září 2009 bylo jednoznačným vítězstvím státu. Soudní dvůr potvrdil

56 Rozsudek Evropského soudního dvora C‑243/01 z 6.11.2003, trestní řízení proti Piergiorgiu Gambellimu

a dalším.Ke stažení na: http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:62001J0243:EN:NOT 57 Rozsudek Evropského soudního dvora ve spojené věci C-338/04, C-359/04 a C-360/04 z 6.3.2007, trestní řízení proti Massimilianu Placanicovi, Christianu Palazzese a Angelu Sorricchiovi. Ke stažení na adrese: http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:C2007/095/04:EN:NOT

- 27 -

právo členského státu svěřit v zájmu ochrany spotřebitelů a v zájmu prevence praní špinavých peněz oblast hazardních her výhradně do rukou státního monopolu: „Udělení výlučných práv k provozování hazardních her prostřednictvím internetu jedinému hospodářskému subjektu, který podléhá důsledné kontrole ze strany veřejných orgánů, může totiž umožňovat usměrnit provozování těchto her do kontrolovaného okruhu a lze jej považovat za způsobilé k ochraně spotřebitelů před podvody, jichž se hospodářské subjekty dopustí.“ Soudní dvůr navíc zhoršil postavení mezinárodních sázkových operátorů v dalších sporech následujícím výkladem: „Jelikož mezi spotřebitelem a hospodářským subjektem neexistuje přímý kontakt, hazardní hry přístupné prostřednictvím internetu s sebou mimoto nesou oproti tradičním trhům těchto her odlišná a zvýšená rizika, pokud jde o případné podvody, jichž se hospodářské subjekty dopustí vůči spotřebitelům. Nelze dále vyloučit možnost, že se hospodářský subjekt, který sponzoruje sportovní soutěže, na něž přijímá sázky, jakož i některá družstva, která se těchto soutěží účastní, bude nacházet v postavení, které mu umožní přímo nebo nepřímo ovlivňovat výsledek těchto soutěží, a tak zvyšovat své zisky.“ 58

Jak je zřejmé z uvedených sporů, v současné době není situace ohledně internetového sázení v Evropě zcela vyjasněna. Internetové sázkové kanceláře usídlené v příznivých jurisdikcích, jako je Velká Británie, Malta a Gibraltar, působí po celé Evropské unii. Největší odpor se proti nim zvedá, tam, kde v současné době působí jen státní monopolní operátoři. V místech, kde na sázkovém trhu panuje konkurence, není odpor tak veliký. Je to zejména proto, že internetové sázení nelze zcela vymýtit. Pro stát pak může být finančně výhodnější internetové sázení povolit a inkasovat příslušné daňové výnosy. Touto cestou se postupně vydává většina členských států.

K uvolnění restrikcí a připuštění konkurence vyzývá také Evropská komise, která v současnosti vede spory s některými členskými státy. Na počátku května 2010 schválila legislativu umožňující on-line hazardní hry Itálie.

Sázkové burzy pro své podnikání obvykle využívají kombinaci několika licencí pro internetové sázení v několika jurisdikcích. Například burza Betfair je oprávněna poskytovat sázkové služby z Velké Británie na základě britského loterijního zákona Gambling Act 2005, dále z Malty na základě povolení vydaného dle Maltese Remote Gaming Regulations 2004, a z Tasmánie dle Tasmanian Gaming Control Act 1993.59

1.6 Zdanění zisk ů dosažených na sázkové burze

Protože sázkové burzy podnikají na základě sázkových licencí, je nutno zisky dosažené účastníky trhu na těchto burzách považovat za výhry ze sázek. Pro českého daňového rezidenta (fyzickou osobu) je v současné době právní úprava zdanění výher z licencovaných sázek výhodná. Situace je jednoduchá zejména u sázek

58 Rozsudek Evropského soudního dvora C-42/07 z 8.9.2009, v případu “Bwin Liga”. Ke stažení na adrese:

http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:62007J0042:EN:NOT 59 Betfair Regulatory and Company Information. Viz http://www.betfair.com/en/aboutUs/Regulatory.Information

- 28 -

přijatých sázkovým operátorem sídlícím v České republice. Dle platné verze zákona č. 586/1992 Sb. jsou od daně z příjmu osvobozeny „výhry z loterií, sázek a podobných her provozovaných na základě povolení vydaného podle zvláštních předpisů nebo na základě obdobných předpisů vydaných v členských státech Evropské unie nebo dalších státech, které tvoří Evropský hospodářský prostor.“ 60 Odkazovaným zvláštním předpisem je „zákon ČNR č. 202/1990 Sb., o loteriích a jiných podobných hrách“, což znamená, že všechny výhry plynoucí z českých loteriích, kurzových sázek či jiných podobných her jsou od daně z příjmu osvobozeny.

Stejná pravidla platí také pro výhry ze sázkových her provozovaných dle příslušných povolení na území Evropského hospodářského prostoru. Jak bylo demonstrováno na počátku předchozí subkapitoly, je samotná definice loterií a sázkových her založena na stejných předpokladech náhodnosti. Navíc, sázkové hry ve všech členských státech podléhají zákonné regulaci, proto lze bez problémů využít citované ustanovení o osvobození od daně z příjmu fyzických osob také u výher v těchto sázkových hrách. Osvobození od daně z příjmu v České republice však nezbytně nezaručuje celkový nulový daňový náklad. To, zda výhra bude zatížena daní v zahraničí, závisí na tamních daňových zákonech a na znění příslušných smluv o zamezení dvojího zdanění.

Do třetí skupiny spadají sázkové společnosti usídlené mimo Evropskou unii. Výhry získané v neosvobozených „loteriích, sázkách a jiných podobných hrách“ 61 spadají u fyzických osob do kategorie ostatních příjmů a podléhají dani. Navíc v tomto případě nelze snížit výnosy ze sázek o vynaložené výdaje. Přestože nelze všechny sázky, které podléhající dani z výher, a priori prohlásit za nevýhodné, většina takových sázek se uvedenému označení pravděpodobně nevyhne. Spotřebitel, který si není daňového rizika vědom, se proto může snadno dostat do problémů. Případný daňový nedoplatek – za předpokladu, že by byl zjištěn a vymáhán – by byl pro dlouhodobého sázkaře zdrcující. Proto je pro každého spotřebitele téměř povinností, ověřit si před započetím sázkové hry na internetu pečlivě sídlo a licenci příslušného sázkového operátora.

60 Paragraf 10, odstavec 3 bod b) zákona č. 586/1992 Sb.,o daních z příjmů ve znění k 1.5.2010. 61 Ibid., odstavec 1 bod h).

- 29 -

2 Sázkové burzy

„Ještě jedno takové vítězství a budu ztracen!“62 Pyrrhos I. Épeirský

Historie burzovního obchodování sahá více než osm set let do minulosti. První dokumenty o existenci obchodních míst, která měla blízko k dnešním burzám, pochází z Itálie a jsou datovány do dvanáctého století. V polovině čtrnáctého století začali benátští bankéři na jednom místě obchodovat se státními dluhopisy. Pravidelná setkání obchodníků se konala také v Pise, Veroně, Janově a Florencii. Podobná setkání obchodníků probíhala také jinde v Evropě. Samotné slovo „burza“ je odvozeno od jména belgické obchodnické rodiny „Van der Beurse“, v jejímž hostinci v Brugách se scházeli obchodníci s komoditami. V erbu rodiny byly tři měsce, proto má slovo „burza“ také blízko k latinskému „bursa“, tedy koženému měšci. Myšlenka se brzy rozšířila do okolí a označení „Beurs“ začala používat i obchodní místa v Amsterdamu a Ghentu. V roce 1631 vznikla v Amsterdamu burza cenných papírů. Rozvoj burzovních obchodů pokračoval, v roce 1739 vznikla burza v Berlíně, v roce 1745 v Londýně a v roce 1792 v New Yorku. Rozvoj kapitálových trhů pokračoval a během dvacátého století se významně rozrostly burzy v New Yorku a v Londýně. V 70. a 80. letech dvacátého století se začaly podávat pokyny pomocí počítačů. Na konci století se začalo obchodovat přes internet. [6]

Koncept sázkové burzy, v tuto chvíli ještě ve verzi sázek hráče proti hráči po internetu, byl poprvé představen veřejnosti na internetových stránkách Flutter.com v květnu 2000. Ve stejnou dobu zahájil činnost obdobný server Betmart.com. Brzy poté, v červnu 2000, britská společnost The Sporting Exchange Limited spustila sázkovou burzu Betfair. Na rozdíl od konkurence, která primárně počítala jen s ochotou sázkařů sázky akceptovat, tvůrci Betfair se rozhodli pro čistě burzovní model obchodování. Betfair se velmi rychle rozrostla, a její úspěch přilákal do tohoto oboru podnikání i mnoho dalších konkurentů. Mezi další sázkové operátory provozující burzu lze zařadit BETDAQ, Betsson, Intrade, Matchbook, WBX aj. Tržní pozici Betfair se jim však ohrozit nepodařilo. Tři miliony zákazníků, kteří aktivně obchodují na Betfair, generuje přes šest milionů transakcí denně63, což odpovídá zhruba devadesáti procentům obratu zobchodovaného na všech sázkových burzách. Proto se v této kapitole budeme soustředit převážně na popis obchodování na burze Betfair. [7]

62 Tuto větu měl Pyrrhos I. Épeirský prohlásit po bitvě u Auscula jako odpověď na gratulaci k vítězství nad

Římany. 63 Údaj pochází z tiskové zprávy společnosti z 23. dubna 2010, která je ke stažení na adrese:

http://corporate.betfair.com/Three%20Million%20Customers

Kapitola 2

- 30 -

2.1 Základní principy obchodování

Podstata burzovních obchodů je na každé burze stejná. Na trhu se střetávají pokyny dvou skupin obchodníků, které mají opačný pohled na cenu obchodovaného aktiva. První skupina očekává růst jeho ceny, a proto nakupuje, druhá kvůli opačným očekáváním prodává. Zatímco na kapitálovém trhu je hlavním obchodním parametrem cena aktiva, na sázkové burze se obchoduje s pravděpodobností, že určitá událost nastane. Tu lze vyjádřit dvěma způsoby. Přímé vyjádření, ať už v procentech nebo číslem mezi nulou a jedničkou, poskytuje bezprostřední informaci o pravděpodobnosti. Nepřímé vyjádření, pomocí kurzu, pak lépe informuje o poměru mezi cenou vkladem a výplatou.

Souvislost přímého a nepřímého vyjádření, lze nahlédnout na obrázku dole, kde vidíme dva grafy zobrazující vývoj obchodování s kontraktem na výhru fotbalového týmu Francie na mistrovství světa v roce 2010. V horní části jsou červenou čarou zobrazeny obchodované kurzy, tedy nepřímé vyjádření pravděpodobnosti. Dole je tato pravděpodobnost vyjádřena přímo, jak vyplynula z uzavřených obchodů na sázkové burze.

Obrázek 2.1 – Zobrazení vývoje kurzu a pravděpodobnosti výhry týmu Francie na MS 2010 ve

fotbale v čase na sázkové burze Betfair. (Upraveno, data dle údajů Betfair k 30.5.2010.)

- 31 -

Předpokládejme pro zjednodušení, že se kontrakt na výhru Francie právě obchoduje v kurzu rovném dvaceti. Implikovaná pravděpodobnost, které odpovídá převrácené hodnotě kurzu, potom dosahuje pěti procent. 64

Jak vypadá situace z pohledu celého trhu? Pokud je trh dostatečně likvidní, měl by se celkový součet implikovaných pravděpodobností přes všechny obchodované kontrakty blížit 100 %.65 Lze snadno nahlédnout, že hodnota součtu implikovaných pravděpodobností je převrácená hodnota výplatního poměru '#()*"_,#"-)5678, tedy výplatní poměr '#()*"_,#"-)96::

1 = H HNCOC

1 '#()*"_,#"-)5678 '#()*"_,#"-)96: Z rovnice (2.1) bezprostředně plyne, že na nabídkové straně by součet měl sto

procent překračovat, na poptávkové straně by měl být naopak nižší.66

Tržní situaci zachycuje obrázek na následující stránce. Na levé straně obrázku vidíme kumulované nabídky sázek na jednotlivé obchodované výsledky události „World Cup – Winner 2010“. Naopak, na pravé straně jsou zachyceny dosud neuspokojené pokyny zájemců o sázku. Můžeme si povšimnout dvou výplatních poměrů:

• Na pravé straně uvedený '#()*"_,#"-)96: nabývá hodnoty 98,2 %, a je vypočten z nejnižších poptávek pro všechny možnosti výsledků. Aby obchodník uspokojil poptávku po sázkách, musí sám sázku nabízet. Je tedy v pozici hráče LAY. Výplatní poměr sázkové hry '#()*"_,#"-)96: z pohledu hráče LAY vyjadřuje, jaká část vložených prostředků se mu vrátí, v případě, že se rozhodne akceptovat nejnižší poptávku u každého z obchodovaných výsledků tak, aby na každé variantě nesl stejné riziko. Rozdíl mezi sto procenty a uvedenou hodnotou odpovídá realizované ztrátě.

• Na levé straně nabývá '#()*"_,#"-)96: hodnoty 101,8 %. Aby obchodník využil nabídku sázek, musí sám sázku akceptovat. Je tedy v pozici hráče BACK. Výplatní poměr '#()*"_,#"-)96: vyšší než sto procent v tomto případě vyjadřuje ztrátu hráče BACK, která odpovídá rozdílu mezí uvedenou hodnotou a sto procenty.

Podívejme se podrobněji na tržní situaci zachycenou na obrázku a ukažme si na jednoduchém příkladě, jakým způsobem jsou uzavírány obchody na sázkové burze.

64 Technika převodu kurzu na implikovanou pravděpodobnost plyne například z tvrzení 1.2 o implikované

pravděpodobnosti. 65 Možnost sčítat pravděpodobnost vyplývá z definice pravděpodobnosti jako algebry. Zde lze také využít

tvrzení 1.3 o součtu kurzů a z tvrzení 1.2 o implikované pravděpodobnosti. Hodnota 100 % odpovídá spravedlivé sázkové hře.

66 Hodnota součtu implikovaných pravděpodobností na poptávkové straně nižší než 100 % odpovídá výplatnímu poměru vyššímu než jedna. Výhoda je v tomto případě na straně hráče BACK. Pro hodnotu součtu implikovaných pravděpodobností nad 100 % je výhoda naopak na straně hráče LAY.

(2.1)

- 32 -

Předpokládejme, že se obchodník domnívá, že pravděpodobnost výhry Španělska je 19 %, a že je ochotný na uvedený názor vsadit 8400 eur. Riziko a marži obchodníka neuvažujeme. Odpovídající kurz potom je 1 / 0,19 5,26. Na burze je povoleno obchodovat jen v určitých krocích, proto obchodník podá nákupní pokyn na nejbližší vyšší hodnotě kurzu: (BACK; Spain; 5,3; 8400). Většina pokynu bude uspokojena již v kuzu 5,4, proto bude výsledkem sázka s průměrným kurzem 5,37.

Pokud Španělsko na mistrovství světa zvítězí, obchodník bude inkasovat částku 5,37 > 1 · 8400 36 708 eur. V opačném případě ztratí 8400 eur.

Obrázek 2.2 – Zobrazení vývoje kurzu a pravděpodobnosti výhry týmu Francie na MS 2010 ve fotbale v čase na sázkové burze Betfair. (Data dle údajů Betfair k 30.5.2010)

- 33 -

2.2 Charakteristika sázkové burzy

Přestože má obchodování na sázkových a kapitálových burzách leccos společného, v mnoha aspektech se liší. Pro lepší zachycení těchto rozdílů při následujícím popisu sázkových burz67 použijeme metodiku podobnou té, která byla použita v [6] pro popis charakteristiky akciových burz.

2.2.1 Přístup na trh

Obchody jsou na sázkových burzách sjednávány výhradně elektronicky, především s pomocí internetu. Prezenční způsob obchodování, jak jej historicky známe z burz akciových, se nevyužívá, burza Betfair však umožňuje uzavírat obchody přes telefon.

Specifikum sázkových burz je možnost přímého přístupu na trh bez prostředníka. Každý uživatel proto komunikuje přímo s burzou, nejčastěji přes webovou aplikaci burzy. Některé sázkové burzy také provozují API68, které umožňuje softwarovým vývojářům vytvářet speciální obchodní software pro přístup na burzu.

2.2.2 Obchodní systémy

Na akciových burzách existují tyto obchodní systémy:69

• klasický aukční systém,

• systém tažený příkazy,

• systém tažený cenou,

• systém tažený kotacemi.

Pro elektronické obchodování na sázkových burzách je typická kombinace aukčního systému a systému taženého příkazy, kdy se kupní a prodejní příkazy automaticky párují. Tato kontinuální verze systému taženého příkazy se nazývá systém s centrální příkazovou knihou. Někdy se také označuje jako kontinuální aukční systém. Nabídka a poptávka funguje zcela bez účasti tvůrců trhu, což s sebou nese riziko menší likvidity na některých trzích.

Na sázkové burze obchodování spadá do dvou režimů. První z nich, pasivní, trvá před začátkem podkladové události. V té době se neočekávají rychlé změny v pravděpodobnosti, kurzy jsou proto relativně stabilní. Přijaté pokyny proto burza umisťuje na trh okamžitě (zpravidla do jedné sekundy po odeslání pokynu od uživatele). V předem stanoveném okamžiku začátku události burza zruší všechny neuspokojené pokyny70 a začíná aktivní režim obchodování71. Během této fáze burza

67 Pokud nebude specifikováno blíže jinak, je uvedená charakteristika platná pro sázkovou burzu Betfair. 68 API, Application Programming Interface, je rozhraní pro komunikaci mezi aplikacemi. V tomto případě je to

komunikace mezi software burzy a software třetích stran. API provozují např sázkové burzy Betfair a Betdaq. 69 [6], str. 120 až 123. 70 Vyjma těch, kde obchodník výslovně zadal parametr: „ponechat za každých okolností“.

- 34 -

všechny odeslané pokyny předává na trh s předem definovaným zpožděním, které se v závislosti na specifikách trhu pohybuje mezi jednou a dvanácti sekundami. Jedinou výjimkou, která nepodléhá uvedenému zpoždění, jsou rušící příkazy, které stahují čekající, dosud neuspokojené pokyny k obchodu z trhu. Tento nástroj dává obchodníkům čas, vzít při nenadálém vývoji událostí příkazy k obchodu zpět. Burza tímto způsobem výrazně snižuje výhodu, kterou mají obchodníci s rychlejším přístupem k informacím.

Burza také na určitých předem označených trzích aktivně spravuje celý trh. Pokud se zdá, že došlo k významné změně pravděpodobnosti určitých výsledků, obchodování je zastaveno. Pokud se uvedená změna potvrdí, všechny uzavřené sázky jsou zrušeny, a poté je obchodování znovuobnoveno.

Příkladem může být trh: „Výsledek fotbalového zápasu Sparta Praha – Baník Ostrava“, na kterém bude obchodování burzou pozastaveno, „pokud se bude zdát, že byla vstřelena branka, byla nařízena penalta, nebo byla udělena červená karta.“ 72

2.2.3 Burzovní p říkaz

Sázkové prodejní a nákupní příkazy nejsou zdaleka tak unifikované jako příkazy u burz klasických. Zcela chybí obdoba jednoznačného určení sázkové události mezi burzami, které u cenných papírů plní ISIN73. Navíc nejsou mezi burzami ani standardizována pravidla vyhodnocení sázkových událostí.

Obrázek 2.3 – Pokyny k nákupu a prodeji na burze Betfair.

71 Aktivní režim obchodování bývá také označován jako „živé“ obchodování, nebo jako obchodování „in-play“. 72 Informace o sázkové příležitosti na http://sports.betfair.com/. 73 ISIN, International Securities Identification Number, je dvanáctimístný alfanumerický kód označující emise

veřejně obchodovatelných cenných papírů.

- 35 -

Přesto jsou některé atributy pokynů k obchodu u všech sázkových burz společné:

• podkladové aktivum – trh,

• obchodovaný výsledek,

• kurz hráče BACK (pravděpodobnost, toho že událost nastane),

• velikost sázky (v podporované měně).

Jen některé burzy podporují možnost při zadání pokynu uvést dobu trvání pokynu. Pokud to není možné, zpravidla se předpokládá, že pokyn platí až do doby, kdy je uspokojen, nebo dokud není burzou či obchodníkem zrušen.

Pokyny jsou také omezeny, co do velikosti sázky, jejíž povolená velikost je zpravidla určena stanovenou minimální hranicí. U sázkové burzy Betfair je dolní mez stanovena na 2 eura či ekvivalent v jiné měně.74

Jistá odlišnost sázkových burz vzniká také jiným způsobem zápisu sázkového kurzu. Ve světě totiž existuje několik různých forem zápisu, které jsou uvedeny v následující tabulce. Sázkové burzy však převážně používají decimální zápis, který je někdy nazýván také evropský či kontinentální. Na několika sázkových burzách se obchoduje přímo s pravděpodobnostmi.75

Různorodost zápisů je daná historicky. Decimální zápis je oblíben u sázkových kanceláří v Evropě, Kanadě a Austrálii. Nese proto primárně informaci o tom, kolika násobek vkladu si sázející v případě výhry odnese. V Británii, kde byla sázka historicky soubojem muže proti muži, bookmakery používán zlomkový zápis kurz. Ten zde vyjadřuje poměr výher dvou obou protistran pravděpodobnostního kontraktu. Americký zápis pochází ze Spojených států. Kladná čísla bezprostředně informují sázejícího, kolik peněz vyhraje za vsazených sto dolarů. V případě, že je kurz uveden záporným znaménkem, je interpretace opačná. Pokud chce sázející vyhrát sto dolarů, musí vsadit částku odpovídající absolutní hodnotě kurzu.

Tabulka 2.1 – Ukázka různých způsobů zápisu kurzu a pravděpodobnosti76

74 Na burze však lze s pomocí jednoduchého algoritmického postupu obchodovat i s menšími částkami. Toho se

často využívá při kurzové arbitráži. 75 S pravděpodobnostmi se obchoduje například na burze Intrade. 76 Hodnoty jsou převzaty z Wikipedie a jsou dostupné na http://en.wikipedia.org/wiki/Sports_betting. Na stejném

místě lze take získat převodní algoritmy mezi jednotlivými variantami zápisu.

- 36 -

2.2.4 Segmentace trhu

Sázkové burzy rozdělují obchodované kontrakty do segmentů s odlišnými skupinami podkladových aktiv. Protože jsou sázkové burzy primárně využívány k obchodům s kontrakty, které jsou podloženy sportovními událostmi, nejvíce segmentů odpovídá jednotlivým skupinám sportů. Mezi nejčastěji obchodované sporty patří: dostihy, fotbal, tenis, kriket, závody F1, basketbal, baseball.

Na burzách se však obchodují také kontrakty podložené nesportovními událostmi: politikou, výsledky televizních soutěží či událostmi společenského života. Na některých burzách se obchoduje také se sázkami, které jsou podložené událostmi na finančním nebo kapitálovém trhu.

Tabulka 2.2 – Informace o aktuálně nejaktivnějších otevřených trzích na burze Betfair

k 30. 5. 2010 21:30 CET77

77 Hodnoty dle údajů burzy Betfair – „Where is the money?“. Aktuální informace lze nalézt na stránce:

http://site.sports.betfair.com/betting/WheresTheMoneyAction.do

- 37 -

Tabulka na předchozí stránce zachycuje aktuálně neaktivnější otevřené trhy na burze Betfair v okamžiku jejího pořízení. Velkou oblíbenost tenisu na burze dokládá hned první řádek tabulky. Objem obchodů uzavřených během třech hodin trvajícího tenisového zápasu Andy Murrayho a Tomáše Berdycha přesáhl 13 milionu euro. Tím překonal i nejoblíbenější dlouhodobou událost – trh se sázkami na vítěze fotbalového mistrovství světa ve fotbale 2010.

2.2.5 Povolené kotace a cenová pásma

Na rozdíl od poměrně stabilního obchodování na kapitálových trzích, pro obchodování se sázkami je typická blízká doba do exspirace kontraktu, a s tím spojená volatilita i velké cenové skoky. Aktivní omezení obchodů do cenových pásem se proto nevyužívá.

Jediným omezením kotace je stanovení standardních hodnot kurzů. Betfair dovoluje obchodovat pouze s kurzy v intervalu 1,01 až 1000. Navíc, aby byla zajištěna vyšší likvidita a přehlednost trhu, dovoluje obchodovat jen s kurzy dle následující tabulky.

Tabulka 2.3 – Povoléné kotace na burze Betfair78

2.2.6 Monitorování cen a obchod ů

Protože sázkové burzy často podnikají na základě několika licencí, podléhají zároveň několika regulatorním orgánům. Navíc, pokud někde místní úprava explicitně dovoluje podnikání na základě licencí cizích států, vyhrazuje si zároveň právo dohledu pro místní regulatorní orgán. Například činnost burzy Betfair proto podléhá přímé regulaci ve Velké Británii, na Maltě, v Tasmanii a Itálii.79 Riziko manipulace s trhem, které obecně souvisí s mírou korupce ve sportu, je u sázkových

78 Informace jsou převzaty z dokumentů burzy Betfair pro vývojáře software, který je dostupný na adrese:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sports_betting. Na stejném místě lze take získat převodní algoritmy mezi jednotlivými variantami zápisu.

79 Betfair Regulatory and Company Information. Viz http://www.betfair.com/en/aboutUs/Regulatory.Information

- 38 -

burz poměrně veliké.80 Proto má většina velkých sázkových operátorů podepsány dohody s regulačními orgány mnoha sportovních soutěží. Zvláštní oddělení burz vyhodnocují integritu obchodování.

Ačkoliv se během posledních let vyskytlo několik zápasů s podezřelým průběhem obchodování, sázkové burzy v naprosté většině případů zachovávají obchody v platnosti. Jednou z mála výjimek, kdy byly uzavřené obchody zpětně a hromadně stornovány, byl tenisový zápas Martina Vassalla Arguella s Nikolayem Davydenkem na turnaji Prokom Open v dubnu roku 2007.81

2.2.7 Vypo řádání obchod ů

Obchody jsou, s výjimkou některých dlouhodobých soutěží, vypořádávány až v okamžiku splatnosti kontraktu. V zásadě není dovoleno obchodování na dluh, všechna rizika musí být po celou dobu zcela kryta vlastními prostředky deponovanými u burzy. Během každého pokynu burza okamžitě vyhodnocuje, zda je požadovaná pozice kryte dostatečnými prostředky na účtu obchodníka. V případě nedostatku peněz, je pokyn odmítnut. Burza také aktivně vyhodnocuje pozici obchodníka v případě více obchodů na jednom trhu, což většinou umožňuje několika obchody pozici uzavřít a blokované peníze uvolnit. Případné zamknuté zisky však burza vyplácí až v okamžiku exspirace kontraktu.

Přestože je základním principem sázkové burzy párovat obchody, ve skutečnosti je každý uzavřený kontrakt mezi obchodníky BACK a LAY okamžitě nahrazen dvěma dílčími kontrakty: kontraktem mezi obchodníkem BACK a burzou; a kontraktem mezi burzou a obchodníkem LAY. Jen tak se je obchodníkům umožněno vypisovat sázky bez příslušné sázkové licence.

Jak probíhá samotné vypořádání obchodů? V okamžiku, kdy je výsledek podkladové události znám, je dle pravidel trhu rozhodnuto, zda nastal, či nenastal výsledek = = *S" definovaný v kontraktu. V prvním případě strana BACK inkasuje z kontraktu čistý zisk odpovídající násobku vkladu "# a hodnoty kurzu = sníženého o jedna: = > 1 "# , protistrana realizuje stejně velkou ztrátu. Pokud bylo dle pravidel rozhodnuto, že výsledek = nenastal, realizuje strana LAY je zisk ve výši vkladu a protistrana o vklad přichází.

V případě nespokojenosti s postupem burzy při vypořádání sázkových příležitostí, je možné, pokud burza sídlí ve Velké Británii, kontaktovat nezávislý rozhodčí orgán IBAS82. Ten je jako způsobilý nezávislé posoudit vzniklou situaci. Svou případnou stížnost lze pochopitelně také směřovat k příslušným orgánům dohledu nad sázkovým trhem.

80 Viz například argumentace členských států Evropské unie ve sporu v případu “Bwin Liga”, jak je zaznamenána

v rozsudku Evropského soudního dvora C-42/07 z 8.9.2009, který je dostupný na: http://eur-lex.europa.eu/ LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:62007J0042:EN:NOT.

81 Viz článek Scott, M.: Betfair calls off all wagers on $7m tennis tie, The Guardian, Friday 3 August 2007, [online]. Dostupné na: http://www.guardian.co.uk/sport/2007/aug/03/tennis.sport

82 IBAS, The Independent Betting Adjudication Service, je nezávislý arbitrážní orgán, k němuž se mohou obracet zákazníci britských sázkových operátorů v případě nesouhlasu s vyhodnocením sázky.

- 39 -

2.2.8 Poplatky

Špatně nastavené poplatkové schéma může udělat obchodování na jakékoliv burze pro obchodníky zcela neatraktivní. Většina sázkových burz zvolila poměrně jednoduchý systém, který podporuje aktivní obchodování během života trhu.

Základ pro výpočet poplatků je stanoven na celkový čistý zisk dosažený ze všech kontraktů na trhu s jedním podkladovým aktivem. Poplatek za obchodování se pak obvykle pohybuje mezi dvěma až pěti procenty ze základu.83

Betfair navíc vybírá: transakční poplatky od obchodníků, kteří uzavřou více než tisíc sázek za den; poplatky za velkou zátěž, od uživatelů, kteří za sekundu posílají více než dvacet dotazů na server; a prémiové poplatky ve výši až 20 % ze zisku, od obchodníků, kteří na burze generují soustavně vysoký zisk.

Protože se prémiové poplatky dle vyjádření Betfair dotýkají méně než půl procenta všech zákazníků, což je asi dvě procenta zákazníků s kladnou bilancí obchodů, lze usoudit, že na Betfair působí přibližně deset tisíc úspěšných profesionálních obchodníků.84 Navíc lze odhadnout, že přibližně dvacet procent sázkařů dosahuje na Betfair dlouhodobě zisku.

2.3 Pravděpodobnostní kontrakty

Pravděpodobnostní kontrakt je smlouva, ve které se dvě smluvní strany zavazují vyplatit protistraně finanční plnění v závislosti na (předem neznámém) výsledku náhodné události. Na sázkových burzách se obchoduje s několika druhy pravděpodobnostních kontraktů. Specifikum těchto kontraktů je krátká doba do splatnosti, většinou v řádu několika hodin či dnů.

2.3.1 Binární kontrakty

Pravděpodobnostní kontrakty, kde podmínka definující výplatu jednotlivým protistranám dává navíc v závislosti na výsledku náhodné události jednoznačnou odpověď „ano“ nebo „ne“, označujeme jako binární kontrakt. Z toho přímo plyne, že výplatní funkce binárního kontraktu je diskrétní. Prémii, kterou kupující kontraktu zaplatí, zde nazýváme v souladu s předchozí terminologií vklad.

Ve smyslu předchozích definic binární kontrakt odpovídá jednomu obchodovatelnému výsledku = = *S" podkladového aktiva , , = *S", což lze formálně vyjádřit jako:

Definice 2.1: Nechť , , = *S" je podkladové aktivum a s je výplatní funkce definovaná alespoň pro výsledek = = *S", nechť pro vklad S"# platí !"# , potom šestici r= . , , = *S", , !"# , = označíme jako binární pravděpodobnostní kontrakt.

83 Betfair účtuje 5 % poplatky koncovým zákazníkům, dle výše odvedených poplatků za uplynulá období nabízí slevy až 60 % z poplatku. Bedaq účtuje 5 % poplatky koncovým zákazníkům, největším hráčům na trhu pak stejně jako Betfair účtuje 2 % z čistého zisku na trhu.

84 Cobb, J. : Betfair faces criticism for massive rise in charges, 10.8.2008 [online]. The Independent. Dostupné na: http://www.independent.co.uk/sport/racing/betfair-faces-criticism-for-massive-rise-in-charges-924359.html

- 40 -

Na obrázku níže vidíme graf výplat binárního pravděpodobnostního kontraktu na výsledek = k; t, kde události , ) odpovídá pětice elementárních jevů α1 až α5. Množina obchodovatelných výsledků = *S" k; t; k; t; k@t, vklad !"# 2, výplatní funkce k; t 1,5.

Obrázek 2.4 – Graf výplat binárního kontraktu v závislosti na výsledku události

Jakou entitu reálného světa by mohl takový kontrakt reprezentovat? Podkladovou událostí může být například událost: „Příští premiér ČR po 30. 5. 2010 (stranická příslušnost)“, kde elementární jevy @ až po řadě odpovídají následujícím stranám: TOP09, ODS, ČSSD, VV, KSČM. Binární kontrakt podložený výsledkem k; t by byl splatný v případě, kdyby příští premiér byl z ODS nebo VV. Hodnotě výplatní funkce, kurzu 1,5, odpovídá implikovaná pravděpodobnost této varianty 66,67 %.85

Ačkoliv uvedený kontrakt může být ze společenského hlediska zajímavý, na sázkových burzách se častěji obchodují kontrakty podložené sportovními událostmi. Pro sport je charakteristické, že přechody mezi dílčími stavy v průběhu sportovního klání jsou uspořádány do určitého systému. Toho lze využít při konstrukci grafu výplat binárních kontraktů, a také při oceňování kontraktů.

Než se blíže podíváme na některé binární kontrakty, připomeňme jednu vlastnost podkladového aktiva, která odpovídá myšlence spravedlivé sázky. Na trhu lze pozorovat, že cena binárních kontraktů jednoho podkladového aktiva je navzájem propojena. Na spravedlivém trhu jako analogie rovnice 2.1 platí:86

1 =

HNC HNCOC 1 .

85 Jedná se pouze o čistě ilustrativní příklad. 86 Rovnost plyne z tvrzení 1.3 o součtu kurzů, z důsledku tvrzení 1.2 o implikované pravděpodobnosti, a také

z vlastností pravděpodobnosti.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

α1 α2 α3 α4 α5

Zisk

z k

on

trak

tu

(2.2)

- 41 -

2.3.2 Binární kontrakty na trhu se dv ěma možnými výsledky

Pokud podkladové aktivum binárního kontraktu může nabývat dvou různých výsledků, je cena obou druhů kontraktů jednoznačně spjata. Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že mohou nastat výsledky @ a . Protože vždy nastane právě jeden ze dvou možných výsledků, vždy právě jeden kontrakt vyplácí a druhý prohrává. Prodej binárního kontraktu na platnost r@ lze proto nahradit nákupem binárního kontraktu na platnost r, protože z rovnice 2.2 je možné odvodit: @ 1

Do kategorie binárních kontraktů s dvěma obchodovanými výsledky spadají například kontrakty na výsledek tenisového zápasu. Výplatní funkce dvou inverzních kontraktů stejného podkladového aktiva je zobrazena na obrázku 2.5. Jak výše kurzů binárního kontraktu ovlivňuje výši výplat, vidíme na obrázku 2.6.

Obrázek 2.5 – Graf závislosti výplat binárního kontraktu na výsledku

pro dva inverzní kontrakty

Obrázek 2.6 – Graf závislosti výplat binárního kontraktu na výsledku a hodnotách kurzu

-15

-10

-5

0

5

10

15

3:0 3:1 3:2 2:3 1:3 0:3

Binární kontrakt (A), kurz 1,5 Binární kontrakt (B), kurz 3,0

Zisk

z k

on

trak

tu

(2.3)

- 42 -

2.3.3 Binární kontrakty na trhu se t řemi možnými výsledky

Podobná situace nastává i na trhu se třemi možnými výsledky. Inspirovat se můžeme například trhem na výsledek fotbalového zápasu, kde můžou nastat tři varianty: výhra domácích (H), výhra hostů (A), či remíza (D). Abychom mohli uvedené snadno přenést do grafu, definujme si ', #, jako rozdíl mezi počtem vstřelených gólů domácích a hostů. Tříprvková množina výsledků pak bude určena tím, zda ', # je vyšší, nižší, či roven nule. Na obrázku níže vidíme, že kombinace kurzů a vkladů binárních kontraktů lze zvolit tak, že nákup libovolných dvou kontraktů lze syntetizovat prodejem kontraktu zbývajícího.

Obrázek 2.7 – Graf závislosti výplat binárního kontraktu na výsledku (rozdíl ve skóre) pro tři

související kontrakty

Vhodnou velikost sázky pro popisovanou operaci je možné zjistit jednoduchým výpočtem, což dokládá následující tvrzení:

Tvrzení 2.1 (o nulovém riziku): Nechť , , = *S" je podkladové aktivum a je výplatní funkce, pak lze sestrojit . |= *S"| binárních pravděpodobnostních kontraktů tak, že investor, který nakoupí (nebo prodá) všech kontraktů nenese riziko. Pokud jsou kurzy spravedlivé, pak lze nákup (prodej) libovolného takového kontraktu syntetizovat prodejem (nákupem) všech ostatních kontraktů.

Důkaz: Nejdříve dokažme první část tvrzení. Označme jednoznačně pevně =@ až = prvky množiny = *S". Nechť se bez újmy na obecnosti vklad !"# @ 1. Potom pro výhru z prvního kontraktu , , = *S", , !"# @, =@ platí -R@ !"# @ · =@ =@. Stanovme ?- ) 2 ) :

!"# !"# @ · =@ = =@

= -R@ =,

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BPC(H), kurz 2,00 BPC(D), kurz 3,00 BPC(A), kurz 6,00

Zisk

z k

on

trak

tu

Spread

- 43 -

pak se ale také: -R !"# · = -R@ = · = -R@. Z definice kontraktu víme jistě, že nastane právě jeden z výsledků. Nákupem všech kontraktů r= , , = *S", , !"# , =, kde - je od 1 do , investor získá jistou výplatu z právě z jednoho kontraktu ve výši -R@. Celkově tedy investor realizuje jistý zisk -R@ > ∑ !"# @ . V případě prodeje všech kontraktů investor naopak inkasuje N vkladů a musí jistě vyplatit částku -R@. Tak realizuje jistý zisk ∑ !"# > -R@ @ . Uvedená operace je tedy bezriziková.

Dokažme nyní druhou část tvrzení. Tvrzení o implikované pravděpodobnosti nám dovoluje stanovit implikované pravděpodobnosti pro každý kontrakt:

' = 1= , ',) - 1. .

Protože kurzy jsou spravedlivé, platí: '@ ¡ ' 1. Využijme první část tvrzení a vytvořme kontraktů r=@ až r=. echť si investor bez újmy na obecnosti vybere k nákupu první kontrakt. Pravděpodobnost, že bude inkasovat částku -R@ > !"# @ je '@, pravděpodobnost že utrpí ztrátu !"# @ je 1 > '@. Porovnejme situaci při prodeji > 1 kontraktů r= až r=. S pravděpodobností ' ¡ ' 1 > '@ právě jeden prodaný kontrakt bude splatný a investor bude muset vyplatit částku -R@. Zároveň ale si ale bude moci ponechat vklady !"# ¡ !"# -R@ > !"# @. Investor tedy s pravděpodobností 1 > '@ utrpí ztrátu !"# @. V opačném případě, s pravděpodobností '@, bude investor inkasovat zisk ze všech > 1 prodaných kontraktů ve výši !"# ¡ !"# -R@ > !"# @. Investor je proto při nákupu jednoho kontraktu v totožné situaci jako při prodeji zbývajících kontraktů.

Při důkazu ekvivalence prodeje kontraktu s nákupem zbývajících kontraktů bychom postupovali obdobně.

Pro přehlednost textu jen zopakujme nejdůležitější výsledek předchozího důkazu, tedy postup, jakým lze nahradit nákup (respektive prodej) jednoho binárního sázkového kontraktu prodejem (nákupem) > 1 kontraktů zbývajících.

Je-li výše vkladu do původního kontraktu rovna !"# @, je ekvivalentní operací prodat (koupit) zbývající kontrakty se vklady rovnými:

!"# !"# @ · =@ = .

(2.4)

- 44 -

2.3.4 Exotické opce

Binární kontrakty nejsou ve finančním světě úplnou novinkou. Binární opce, které jsou někdy označovány také jako digitální opce, jsou řazeny do skupiny exotických opcí. Pro svůj unikátní charakter jsou nejčastěji obchodovány na mimoburzovních trzích. Jedinou významnou výjimkou obchodovanou mimo sázkové burzy byly po dlouhou dobu pouze „CDOs“ (credit default options), které slouží k nákupu (resp. prodeji) ochrany proti kreditnímu riziku.87 Od května 2008 se binární opce na akciové a další indexy obchodují na Chicago Board Options Exchange (CBOE).88

Klíčovou vlastností binárních opcí je fakt, že výnos nezávisí na rozdílu mezi realizační cenou opce a aktuální cenou podkladového aktiva. Pokud je v okamžiku exspirace podkladové aktivum nad domluvenou hranicí, tedy binární opce je v penězích, nakupující obdrží od prodávajícího částku, která byla stanovena předem, již v momentu otevření obchodu. Pokud je naopak níže, než bylo stanoveno, tedy mimo peníze, je ztráta kupujícího rovna výši zaplacené opční prémie.

Zatímco evropská opce může být uplatněna jen v okamžiku exspirace, americká opce může být uplatněna kdykoliv předtím. U binárních opcí toto pravidlo přirozeně znamená, že americká opce bude uplatněna v okamžiku dosažení stanovené hranice.

Blízkost pravděpodobnostním kontraktům lze nejlépe demonstrovat na podobnosti výše uvedeného příkladu binárních kontraktů na fotbal s trojící opcí: European Digital Above, European Digital Below a European Digital Range Inside.

Obrázek 2.8 – Graf výplat European Digital Above Option na forexovém trhu EUR/USD

v obchodní platformě X-Trade Brokers89

87 Securities And Exchange commission: Self-Regulatory Organizations; The Options Clearing Corporation;

Order Granting Approval of a Proposed Rule Change Relating to Binary Options. Federal Register, Vol. 72, No. 235, str. 69 274.

88 Reuters: CBOE to list binary options on S&P 500, VIX. Reuters, Chicago, 9. 6. 2008, [online]. Dostupné na http://www.reuters.com/article/idUSN0943920080609

89 Využit obrázek dostupný na: http://www.in.xtb.com/strona.php?p=664

- 45 -

Držitel opce European Digital Above má výměnou za zaplacenou opční prémii nárok na výplatu fixní částky, pokud cena, hodnota, či jiný podobný ukazatel podkladového aktiva bude v okamžiku splatnosti nad dohodnutou mezí. Tato opce se pro svůj charakter také někdy označuje jako „cash-or-nothing“. V naší terminolgii je opční prémie vkladem, poměr výplaty k opční prémii kurzem.

Z obrázku 2.8 je patrné, že průběh výplat European Digital Above je obdobný jako průběh výplat binárního kontraktu BPC(H) na obrázku 2.7. Podobně lze porovnat průběh European Digital Below s BPC(D) a European Digital Range Inside s BPC(A), což lze nahlédnout na obrázcích níže.

Obrázek 2.9 – Graf výplat European Digital Below Option na forexovém trhu EUR/USD

v obchodní platformě X-Trade Brokers90

Obrázek 2.10 – Graf výplat European Digital Range Inside Option na forexovém trhu

EUR/USD v obchodní platformě X-Trade Brokers91

90 Využit obrázek dostupný na: http://www.in.xtb.com/strona.php?p=664 91 Využit obrázek dostupný na: http://www.in.xtb.com/strona.php?p=666

- 46 -

2.4 Obchody na sázkové burze

Hodnota binárních pravděpodobnostních kontraktů může být během doby života kontraktu velmi volatilní. Navíc je vývoj ceny významně závislý na druhu podkladového aktiva. Ukažme si na několika příkladech, jak se hodnota kontraktu může v čase vyvíjet, a co lze z hodnoty kontraktu usuzovat o podkladovém aktivu.

2.4.1 Fotbalový zápas

Na obrázku 2.11 vidíme schematicky zaznamenán vývoj ceny binárního pravděpodobnostního kontraktu „Výhra FC Liverpool“ na trhu „Finálový zápas Ligy mistrů 2005, AC Milán – FC Liverpool, výsledek po základní hrací době“. 92 Kontrakt je typu BPC(A), tedy rozdíl počtu gólu AC Milán a počtu gólů FC Liverpool musí být záporný. Výplata kontraktu je obdobná opci European Digital Below.

Obrázek 2.11 – Vývoj hodnoty kontraktu na výhru Liverpoolu v základní hrací době (90’)

ve finále Ligy mistrů 200593

Popišme si po jednotlivých bodech vývoj ceny binárního kontraktu:

(1) 00‘: Těsně před začátkem zápasu se kurz kontraktu pohyboval kolem 4,0. (2) 01’: V 1. minutě zápasu AC Milán vstřelil gól. Tržní kurz stoupl k 9. (3) 15’: Tempo zápasu polevilo, kurz mírně roste na 10. (4) 30’: AC Milán převzal kontrolu nad hrou. Kurz zvolna roste k 11. (5) 39‘: AC Milán vstřelil 2. gól, 2:0. Kurz kontraktu stoupl na 50. (6) 43’: AC Milán vstřelil 3. gól, 3:0. Kurz kontraktu stoupl na 300. (7) 45’: O poločase se situace uklidnila. Kontrakt se obchodoval kolem 320. (8) 46’: Na začátku druhého poločasu kurz kontraktu vzrostl na 350. (9) 54’: Liverpool snížil na 3:1. Kurz kontraktu klesl na 200. (10) 56’: Další gól Liverpoolu, 3:2. Kurz kontraktu klesl na 140. (11) 59’: Liverpool vyrovnává, 3:3. Kurz kontraktu klesl pod 10. (12) 80‘: Při velmi volatilním obchodování se kurz pohybuje mezi 5 a 10. (13) 90‘: Základní hrací doba končí remízou. Těsně před koncem kurz roste.

Kontrakt exspiroval mimo peníze, prodávající si ponechává vklad.

92 Zápas skončil 3:3 po prodloužení, cennou trofej získal FC Liverpool po penaltovém rozstřelu. 93 V obrázku a komentářích byly využity materiály sázkové burzy Betfair. Viz: http://www.betfair.com/

- 47 -

2.4.2 Politické a ekonomické p ředpov ědi

Pokud jsou podkladovými aktivy binárních kontraktů na sázkových burzách události společenského života, lze analýzou chování tržních subjektů zjistit preference společnosti, kdy implikované tržní pravděpodobnosti nahrazují průzkum veřejného mínění. Burza funguje ve smyslu tzv. „Foresight Exchange“, což lze nahlédnout na obrázku níže, kde jsou zobrazeny tržní odhady výsledků voleb do Dolní sněmovny Parlamentu Spojeného království.

Obrázek 2.12 – Kurz a pravděpodobnost kontraktu: „zisk většiny mandátů

v General Election 2010“94

Burzovní data nám dokonce dovolují prozkoumat problematiku do větší hloubky. Ilustrujme si to na příkladu prezidentských voleb, které proběhly v roce 2008 v USA. Během primárek Demokratické strany na konci března 2008 bylo na sázkové burze Betfair možné obchodovat výsledek voleb i výsledek primárek Demokratické strany na několika trzích. Na trhu jsme mohli zjistit odvozené tržní pravděpodobnosti:

• prezidentským kandidátem Demokratů bude Barack Obama 'A 77 %,

• prezidentskou kandidátkou Demokratů bude Hillary Clinton '7 20 %,

• prezidentem bude Barack Obama 'dA 44 %,

• prezidentkou bude Hillary Clinton 'd7 14 %.

Z vlastností amerického volebního systému je zřejmé, že prezidentem se Barack Obama nebo Hillary Clinton mohli stát jen v případě výhry v primárkách Demokratické strany. Zkusme si spočítat pravděpodobnosti vítězství obou kandidátů ve volbách podmíněné jejich vítězstvím v primárkách, které se rovná hodnotě podílu obou pravděpodobností.95 Toto číslo bude mít význam pravděpodobnosti vítězství kandidáta Demokratů ve volbách, pokud si zvolí příslušného kandidáta.

94 Zdroj sázková burza Betfair: http://sports.betfair.com/ 95 Využijeme zde definici podmíněné pravděpodobnosti, viz např. Zvára, K., Štěpán, J: Pravděpodobnost

a matematická statistika, str.27. Matfyzpress, Praha, 2006.

- 48 -

Aplikací uvedeného postupu zjistíme, že pravděpodobnost vítězství Demokratů byla v případě kandidatury Baracka Obamy rovna 57 %. Kdyby se však demokratickou kandidátkou stala Hillary Clinton, byla by zvolena prezidentkou s pravděpodobností 70 %. Nastala tedy jedna z následujících možností: tržní pravděpodobnosti jsou nastaveny nesprávně, protože se na trhu objevila možnost arbitráže, nebo se Demokraté volbou Baracka Obamy v primárkách chovali iracionálně. Tržní vývoj preferencí voličů v primárkách Demokratické strany zachycuje obrázek níže.

Obrázek 2.13 – Kurz a pravděpodobnost kontraktu: „kandidátem v prezidentských

volbách 2008 v USA se za Demokratickou stranu stane Hillary Clinton“ k 25. 3. 200896

Sázkové burzy lze využít také k odhadu, které můžou mít zásadní vliv na ekonomiku. Věrohodnost odhadu však často významně snižuje nízká likvidita trhu.

Obrázek 2.14 – Vývoj ceny kontraktu na oznámení o rozpadu eurozóny do 31.12.2010,

(levá osa – objem transakcí, pravá osa – pravděpodobnost v %)97

96 Zdroj: http://sports.betfair.com/ 97 Zdroj: sázková burza Intrade, The Prediction Market. http://www.intrade.com/

- 49 -

3 Oceňování sázek

„ Chceme-li pochopit chování nějakého systému entit, musíme si o něm utvořit představu ve své mysli. Pokud však je daný systém složitý, nezbude nám nic jiného než se uchýlit k velkým zjednodušením. Postupný matematický popis jednoduchých pravidel, která se nám podaří v systému objevit, nám dává možnost odpoutat se od jeho složitosti a svou představu můžeme vytvořit dle chování matematického modelu. Systémy, které mají velkou dynamiku vývoje, je nejlepší pozorovat v nějaké počítačové reprezentaci modelu. Ze získaných výsledků pak můžeme lépe pochopit zákonitosti, které v modelu platí.

V této kapitole se pokusíme sestrojit matematický model tenisového zápasu, který se pokusíme ověřit na empirických datech. Podobnou analýzu, kterou zde využijeme, jsme již provedli v [8]. Vycházet budeme z idey binomického modelu oceňování, který upravíme tak, aby respektoval hierarchii odpovídající pravidlům tenisu. Celý postup nám dává inspiraci, jak by mohla postupovat fundamentální analýza binomických pravděpodobnostních kontraktů podložených sportovními utkáními. Binomický model oceňování opcí je navíc v literatuře velmi dobře popsaný, viz například [9]. Podrobněji se s problematikou oceňování opcí lze seznámit v [10].

3.1 Binomický model oce ňování

Východiskem modelu je svět, ve kterém mohou v budoucnosti nastat pouze dva stavy: podkladová událost nastane, nebo podkladová událost nenastane. Stav světa budeme popisovat pravděpodobností, že podkladová událost nastane. Dva budoucí stavy světa, tedy jsou 1 a 0. Stav světa nyní odpovídá pravděpodobnosti, že podkladová událost světa nastane: q ¢ £ 1 1 > ¢ £ 0 ¢.

Obrázek 3.1 – Jednoperiodický binomický model

Kapitola 3

- 50 -

Tento jednoduchý model popisuje chování binárního pravděpodobnostního kontraktu během jedné periody. Aby kontrakt vyplácel na konci částku 1, musí být výše vkladu, tedy cena kontraktu v současnosti, rovna !"# 1 ⁄ q.

Jednoperiodický model lze snadno rozšířit do víceperiodického, kdy každý z dosud koncových stavů se stane výchozím bodem pro další periodu. Přirozeně pak vznikají vrcholy, do kterých se lze dostat různými cestami. Vše lze nahlédnout na obrázku níže.

Obrázek 3.2 – Dvouperiodický binomický model

Postup ocenění lze shrnout do třech kroků:

1) Vytvoření binomického grafu a přiřazení pravděpodobností q a 1 – q.

2) Přiřazení ohodnocení koncovým vrcholům FUT, což v případě binárních kontraktů znamená přiřazení hodnoty 1 nebo 0.

3) Postupný výpočet hodnot ve vrcholech vždy o jednu úroveň zpět až do stavu NOW, když výpočet v každém dílčím vrcholu je obdobný výpočtu u jednoperiodické varianty modelu.

Pokud aplikujeme předchozí postup na situaci z obrázku 3.2, můžeme hodnotu q vyjádřit jako:

q ¢ · «u¬­ 2¢1 > ¢ · «u¬® 1 > ¢ · «u¬

Navíc tak získáme dílčí hodnoty pro všechny vrcholy grafu.

Uvedený algoritmus oceňování binárních pravděpodobnostních kontraktů lze například použít pro kontrakty na výsledek fotbalového zápasu. My se v následující části pokusíme vytvořit model tenisového zápasu, který má složitější strukturu přechodu stavů než jednoduchý binomický model.

- 51 -

3.2 Matematický model tenisového zápasu

Přestože je tenis obecně známá hra, pro vytvoření plausibilního modelu tenisového zápasu je potřeba se důkladně seznámit se všemi aspekty hry. To mimo jiné předpokládá dostatečnou všeobecnou orientaci ve sportovním dění a jistý náhled do činností profesionálního sportovce. Pro přesné porozumění pravidlům tenisu je vhodné využít [11]. Systém losování a nasazování do turnajů je popsán např. v [12], [13]. Časté změny v systému výpočtu žebříčků ovšem činí tyto publikace v tomto ohledu neaktuální, proto je nezbytné použít [14]. Stručný náhled do pravidel tenisu, jejichž znalost je pro pochopení zbytku této kapitoly nezbytná, lze nalézt v dodatku B.

Jeden z prvních modelů tenisu a jiných hierarchických her byl navržen v práci Kemeny a Snell [15].98 Jimi popisovaný model měl pouze jeden parametr, pravděpodobnost zisku bodu podávajícím hráčem. Tato pravděpodobnost byla neměnná po celý zápas a nezávisela na podávajícím hráči. Fischer [16], Carter a Clarke [17] navrhli model, který více respektoval odlišnost mezi soupeři. Vyjádřili pravděpodobnost získání bodu hráčem jako průměr pravděpodobnosti výhry rozehry při podání a při příjmu. V moderním tenise je právo podávat velkou výhodou, proto je pro věrohodnější přenesení reality do modelu nezbytné rozlišovat mezi schopnostmi obou hráčů na podání a příjmu. Hsi a Burych [18], Carter a Crews [19] vyjádřili algebraicky pravděpodobnost vítězství v sadě a zápase stanovením konstantní pravděpodobnosti výhry bodu při podání obou hráčů. Pollard [20] popsal další statisticky zajímavé údaje, jakými jsou například střední délka hry, sady a zápasu. Barnett a Clarke [21] zveřejnili návod, v němž na jednom příkladu ilustrovali, jak z údajů o úspěšnosti příjmu a podání soupeřů odvodit pravdě-podobnosti výhry bodu při jejich vzájemném zápase. [22]

Všechny předchozí práce předpokládají, že rozehry v tenise se dají považovat za nezávislé stejně rozdělené náhodné proměnné (dále jen iid), což znamená, že pravděpodobnosti výhry hráčů v jednotlivých rozehrách jsou konstantní. Některé další analýzy však naznačily, že tomu tak být nemusí. Magnus a Klassen [23] analyzovali 90 000 bodů odehraných během Wimbledonu a dokázali statistickou významnost jevu známého jako „first game effect“. Tedy, že nejtěžší je prolomit protivníkovo podání v první hře zápasu.

Jackson a Mosurski [24] na dalších podobných případech popsali, že výsledky rozehry v tenise nemusí být nutně nezávislé. Podařilo se jim totiž ukázat, že vítězství v rozehře má pozitivní vliv na úspěšnost v rozehře po ní bezprostředně následující. Tedy, že četnost výskytu výher po již vyhrané rozehře je vyšší než teoretická. Tento efekt je obvykle nazýván „hot-hand effect“. Zjistili také, že se v jimi analyzovaných datech objevuje „back-to-the-wall effect“, jak je nazývána (údajná) psychologická výhoda hráče, který je o bod zpět.

98 Dle [1] zcela první model části tenisového utkání ve skutečnosti navrhl již Jacob I. Bernoulli ve svém „Letter to

a Friend on the Game of Tennis“. Ve svém popisu se však zabývá pouze modelem jedné hry.

- 52 -

Magnus a Klassen [25] ve své další práci uvádějí, že body v tenise sice nejsou iid, nicméně lze toto rozdělení považovat za iid blízké. Je nutné si uvědomit, že důležitým aspektem přesnosti výsledků je velikosti analyzovaných dat. U menších souborů se může odchylka od iid projevit výrazněji. [26]

3.2.1 Markovovy řetězce

Model popsaný níže charakterizuje průběh tenisového zápasu jako řadu náhodných událostí, jejichž sémantický význam, přechod mezi jednotlivými stavy, je dán omezujícími podmínkami. Tento druh stochastického procesu je znám jako Markovovy řetězce [27]. Model je rozdělen do logických celků: modelu hry, modelu sady a modelu zápasu. Různorodost tenisových pravidel způsobila, že bylo nutno zkonstruovat několik různých variant uvedených logických celků. Plausabilita modelu je ověřena v části 3.4 na základě dostupných empirických dat.

3.2.2 Model standardní hry

Nyní přistupme ke konstrukci modelu. Sestrojme nejdříve model standardní hry.

Definice 3.1: Mějme dva hráče S a R. Nechť výsledek rozehry těchto dvou hráčů je výsledek náhodného pokusu s dvěma možnými jevy. Vítězství hráče S, které nastává s pravděpodobnostmi pSR, či vítězství hráče R, které nastává s pravděpodobností 1 – pSR.

Přestože jsou tenisové stavy obvykle počítány jako „love“, „15“, „30“, …, zdá se praktičtější je modelovat jako „0“, „1“, „2“, … Jediným problémem je, jak budeme modelovat cyklus „shoda“ → „výhoda“. Počet rozeher v jedné hře totiž nelze nijak shora omezit. Naštěstí existuje elegantní řešení. Aby hráč získal ze „shody“ hru, musí vyhrát dvě rozehry v řadě. To znamená, že pravděpodobnosti zisku hry ze „shody“ hráčem S resp. R jsou vůči sobě v poměru druhých mocnin pravděpodobnosti zisku rozehry odpovídajícím hráčem:99

K4,3±3,3L

K3,4±3,3L

'

1 > '

Pravděpodobnost, že hráč S vyhraje po „shodě“ hru pak je rovna:

K4,3±3,3L '

' 1 > ' '

2' > 2' 1,

z čehož přímo plyne pravděpodobnost pro hráče R:

K3,4±3,3L 1 > '

' 1 > ' 1 > '

2' > 2' 1

99 Využíváme zde definici podmíněné pravděpodobnosti, viz např. Zvára, K., Štěpán, J: Pravděpodobnost

a matematická statistika, str.27. Matfyzpress, Praha, 2006.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

- 53 -

Pravděpodobnosti získané v rovnicích (3.2) a (3.3) nám dovolí definovat model hry:

Definice 3.2: Modelem hry nazveme Markovův řetězec, kde:

dvojice (s,r) 0 ≤ s, r ≤ 4 jsou stavy hry; stav (s, r) ~ (0, 0) je počáteční stav;

přechodová funkce je definována:

(s, r) -> (s+1, r) s pravděpodobností pSR, pro s <4 & r<3; (s, r) -> (s, r+1) s pravděpodobností 1 – pSR, pro r<4 & s<3; (3,3) -> (4,3) s pravděpodobností dle (3.2), kde p = pSR; (3,3) -> (3,4) s pravděpodobností dle (3.3), kde p = pSR;

a absorpční stavy řetězce jsou definovány jako: (4,r), r<4 a (s,4), s<4.

Pravděpodobností vítězství podávajícího ve hře pSG pak nazveme sumu:

'z» = / ((4, ,))

i .

Takto zkonstruovaný konečný model se dá jednoduše reprezentovat na počítači, což dovoluje snadno zjistit některé zajímavé hodnoty. Na obrázku 3.3 můžeme vidět křivky pravděpodobnosti zisku hry podávajícím v závislosti na aktuálním stavu a na pravděpodobnosti zisku rozehry.

Obrázek 3.3 - Rozložení pravděpodobnosti zisku hry podávajícím v závislosti na

pravděpodobnosti zisku rozehry. Křivka odpovídající stavu a) 40:0 b) 0:0 c) 15:15 d) 30:30 (nebo shodě) e) 0:40.

- 54 -

3.2.3 Model tie-breaku

Nyní se pokusíme zkonstruovat podobný model i pro tie-break. Délku tie-breaku, podobně jako délku standardní hry nelze shora omezit, ale i zde platí, že použitím vhodné konstrukce lze tie-break modelovat konečným počtem stavů. Zásadní rozdíl mezi oběma modely bude způsobený tím, že se v tie-breaku oba hráči střídají na podání.

Mějme dva hráče A a B. Můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že hráč A podává v tie-breaku první. Pravděpodobnost, že hráč A resp. hráč B zvítězí v rozehře, ve které podává, označme pAS resp. pBS.

Podobnou úvahou jako výše zjistíme, že rozložení pravděpodobností je při stavech „6-6“, „8-8“, „10-10“, … u obou hráčů stejné. Aby hráč zvítězil v tie-breaku, musí získat dvě rozehry v řadě, a to jednu při svém a druhou při soupeřově servisu. Stav „6-6“ můžeme tedy považovat za analogií „shody“ ve standardní hře. Z předchozího plyne, že poměr pravděpodobností vítězství hráčů ze stavu (6,6) je roven poměru pravděpodobností získání dvou rozeher jedním hráčem v řadě. To lze vyjádřit následujícím zápisem:

K7,6±6,6L

K6,7±6,6L

'6z1 > '5z'5z1 > '6z

Teď již můžeme lehce vyjádřit pravděpodobnost vítězství hráče A ze stavu (6,6):

K7,6±6,6L '6z1 > '5z'6z1 > '5z '5z1 > '6z '6z1 > '5z'6z > 2'6z'5z + '5z

Obdobně vyjádříme pravděpodobnost vítězství hráče B:

K(7,6±6,6L '5

z1 > '6z'6z1 > '5z '5z1 > '6z '5z1 > '6z'6z > 2'6z'5z + '5z

Nyní již můžeme zformulovat definici:

Definice 3.3: Modelem tie-breaku nazveme Markovův řetězec s následujícími parametry:

dvojice a,b 0 ≤ a, b ≤ 7 jsou stavy tie-breaku;

stav a, b ~ 0, 0 je počáteční stav;

přechodová funkce je definována:

if a b 4k+3) or (a + b = 4k) k є Âthen (podává hráč A) (a, b) -> (a+1, b) s pravděpodobností pAS, pro a <7 & b<6; (a, b) -> (a, b+1) s pravděpodobností 1 – pAS, pro b<7 & a<6; (6,6) -> (7,6) s pravděpodobností dle (3.5), kde pA = pAS a pB = pBS; (6,6) -> (6,7) s pravděpodobností dle (3.6), kde pA = pAS a pB = pBS;

fi;

(3.4)

(3.5)

(3.6)

- 55 -

if (a + b = 4k+1) or (a + b = 4k+2) k є Â then (podává hráč B) (a, b) -> (a+1, b) s pravděpodobností pBS, pro a <7 & b<6; (a, b) -> (a, b+1) s pravděpodobností 1 – pBS, pro b<7 & a<6;

fi; Absorpční jsou stavy (7,b), b<7 a (a,7), a<7. Pravděpodobnost pAT vítězství prvního podávajícího v tie-breaku lze potom vyjádřit jako: '6Ë = ∑ ((7, Ì))|® . Na obrázku 3.4 můžeme vidět vizualizaci očekávaného počtu rozeher odehraných

během tie-breaku. Můžeme si povšimnout, že se jejich počet zvyšuje s rostoucí vyrovnaností hráčů a se zvyšující se pravděpodobností výhry podávajícího hráče.

Obrázek 3.4 - Graf očekávaného počtu rozeher v tie-breaku (vertikální osa) v závislosti na

pravděpodobnosti výhry podávajících hráčů v rozehře (horizontální osy).

- 56 -

3.2.4 Model sady

Nyní můžeme postoupit o úroveň výše k modelování sady. Opět lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že v sadě začne podávat hráč A. Pravděpodobnost výhry podávajícího hráče ve hře označujeme pG, tedy pAG pro hráče A resp. pBG pro hráče B, a pravděpodobnost výhry tie-breaku hráčem, který začne v tie-breaku podávat, označujeme pT (pAT, pBT).

Definice 3.4: Modelem tie-break sady nazveme Markovův řetězec s následujícími parametry:

dvojice (a,b) 0 ≤ a, b ≤ 7 jsou stavy sady;

stav (a, b) ~ (0, 0) je počáteční stav;

přechodová funkce je definována:

if (a + b) mod 2 = 0 then (podává hráč A) (6,6) -> (7,6) s pravděpodobností pAT; (6,6) -> (6,7) s pravděpodobností 1 – pAT; pro a <6 & b<6 nebo a + b = 11: (a, b) -> (a+1, b) s pravděpodobností pAG; (a, b) -> (a, b+1) s pravděpodobností 1 – pAG;

fi; if (a + b) mod 2 = 1 then (podává hráč B)

(a, b) -> (a+1, b) s pravděpodobností pBG, pro a <6 & b<6; (a, b) -> (a, b+1) s pravděpodobností 1 – pBG, pro a <6 & b<6;

fi; Absorpční jsou stavy (6,b), b<5; (a,6), a<5; (7,5),(7,6),(5,7),(6,7). Pravděpodobnost pAS vítězství prvního podávajícího v sadě lze vyjádřit jako:

'6z = / K(6, Ì)L + (7,5) + (7,6)

® .

Pravděpodobnost pASSC vítězství prvního podávajícího v sadě spolu ze změnou prvního podávajícího v následující sadě je:

'6zz7 = (6,1) + (6,3) + (7,6). Konečně pravděpodobnost pASrSC vítězství prvního přijímajícího v sadě spolu ze změnou prvního podávajícího v další sadě je:

'6ziz7 = (1,6) + (3,6) + (6,7).

Poslední a předposlední větou definice 3.4 jsme definovali pravděpodobnosti změny prvního podávajícího hráče v sadě, což nám umožní vytvořit model zápasu.

- 57 -

3.2.5 Model zápasu

Tenisové zápasy se hrají na dva nebo tři vítězné sady. I když se zápas zdá z hlediska složitosti tvorby matematického modelu nejjednodušší entitou, dělají ho pravidla změny podání o něco složitější, než by se na první pohled mohlo zdát. Opět můžeme předpokládat, že v sadě začne podávat hráč A. Pokud by nám vadilo, že v reálném tenisovém zápase dochází k losu, můžeme snadno model doplnit o stavy zajišťující los a volbu strany. Abychom se snadno mohli odkázat na již vymodelované, připomeňme pA

S pravděpodobnost výhry sady hráčem, který v něm začne podávat jako první, pASSC je pravděpodobnost téhož sdružená s pravděpodobností změny prvního podávajícího. Potom 1 – pAS odpovídá zisku sady prvním přijímajícím a pASrSC je pravděpodobnost téhož jevu spolu se změnou prvního hráče na podání v další sadě. Sestavme nyní model tie-break zápasu „best of five“100.

Definice 3.5: Modelem tie-break zápasu „best of five“ nazveme Markovův řetězec s následujícími parametry:

trojice (a,b,s) 0 ≤ a, b ≤ 3 jsou stavy zápasu,

0 ≤ s ≤ 1 označuje podávajícího hráče, kde 0 odpovídá hráči A, 1 hráči B ;

stav (a, b) ~ (0, 0, 0) je počáteční stav;

přechodová funkce je (pro a < 3, b < 3) definována:

(a,b,0) -> (a+1,b,0) s pravděpodobností pAS – pASSC; (a,b,0) -> (a+1,b,1) s pravděpodobností pASSC; (a,b,0) -> (a,b+1,0) s pravděpodobností 1 – pAS – pASrSC; (a,b,0) -> (a,b+1,1) s pravděpodobností pASrSC; (a,b,1) -> (a,b+1,1) s pravděpodobností pBS – pBSSC; (a,b,1) -> (a,b+1,0) s pravděpodobností pBSSC; (a,b,1) -> (a+1,b,1) s pravděpodobností 1 – pBS – pBSrSC; (a,b,1) -> (a+1,b,0) s pravděpodobností pBSrSC.

Absorpční jsou stavy (3,b), b<3 a (a,3), a<3. Pravděpodobnost pAM vítězství hráče, který v zápase podával jako první lze vyjádřit jako:

'6c = /ÐK(3, Ì, 0)L + K(3, Ì, 1)LÑ

® .

Tímto jsme dokončili tvorbu modelu tie-break zápasu typu „best of five“. Model tie-break zápasu „best of three“101 je obměnou modelu popsaného v definici 3.5. Stačí jen snížit horní mez dostupných stavů ze tří na dva, upravit stejným způsobem přechodovou funkci a pozměnit vyjádření celkové pravděpodobnosti.

100 Utkání hrané na tři vítězné sety. 101 Utkání hrané na dva vítězné sety.

- 58 -

Definice 3.6: Modelem tie-break zápasu „best of three“ nazveme Markovův řetězec s následujícími parametry:

trojice (a,b,s) 0 ≤ a, b ≤ 2 jsou stavy zápasu,

0 ≤ s ≤ 1 označuje podávajícího hráče, kde 0 odpovídá hráči A, 1 hráči B ;

stav (a, b) ~ (0, 0, 0) je počáteční stav;

přechodová funkce je (pro a < 2, b < 2) definována:

(a,b,0) -> (a+1,b,0) s pravděpodobností pAS – pASSC; (a,b,0) -> (a+1,b,1) s pravděpodobností pASSC; (a,b,0) -> (a,b+1,0) s pravděpodobností 1 – pAS – pASrSC; (a,b,0) -> (a,b+1,1) s pravděpodobností pASrSC; (a,b,1) -> (a,b+1,1) s pravděpodobností pBS – pBSSC; (a,b,1) -> (a,b+1,0) s pravděpodobností pBSSC; (a,b,1) -> (a+1,b,1) s pravděpodobností 1 – pBS – pBSrSC; (a,b,1) -> (a+1,b,0) s pravděpodobností pBSrSC.

Absorpční jsou stavy (2,b), b<2 a (a,2), a<2. Pravděpodobnost pAM vítězství hráče, který v zápase podával jako první lze vyjádřit jako:

'6c = /ÐK(2, Ì, 0)L + K(2, Ì, 1)LÑ@

® .

S využitím Markovovo řetězců se nám podařilo zkonstruovat matematický model tenisového zápasu. Nejdříve jsme definovali model hry a tie-breaku, odkud jsme dále postupovali směrem ze zdola nahoru. Jakmile se nám podařilo matematicky vymezit pojem „tie-break sady“, mohli jsme konečně v definicích 3.5 a 3.6 popsat celý tenisový zápas.

3.3 Nastavení parametr ů modelu

V této subkapitole si nejprve ukážeme, jak lze získat z dat o úspěšnosti hráčů pravděpodobnost jejich výhry ve vzájemném zápase. Tím získáme metodu jak nastavovat parametry našeho matematického modelu, což nám umožní se pokusit o jeho aplikaci na reálná data.

3.3.1 Osobní charakteristika hrá čů

Barnett a Clarke [21] navrhují získat pravděpodobnosti výhry rozehry dvou konkrétních soupeřů následujícím postupem. Na internetových stránkách ATP102, lze každý týden nalézt data o aktuálních statistikách nejlepších 200 hráčů světa dle žebříčku ATP Ranking. Po vhodném zpracování publikovaných údajů lze získat úspěšnosti při prvním a druhém podání.

102 Statistiky jsou dostupné na: www.atptour.com/en/media/rankings/matchfacts.pdf

- 59 -

Postup výpočtu úspěšnosti si podávajícího hráče v rozehře je přímočarý a vyplývá z následující rovnice:

= #Ì + (1 > #)Ò,

kde pro hráče i je ai úspěšnost prvního podání, bi úspěšnost v rozehře po povedeném prvním podání včetně es, ci úspěšnost v rozehře po nepovedeném prvním podání včetně dvojchyb.

Výpočet téže pravděpodobnosti ri pro přijímajícího hráče je složitější. Úspěšnost prvního podání ai jsme nuceni aproximovat průměrem všech ostatních hráčů aavg. Nyní můžeme úspěšnost vyjádřit v rovnici:

, = #­ÕÖ + K1 > #­ÕÖL ,

kde di je úspěšnost hráče i v rozehře při příjmu prvního podání a ei je úspěšnost téhož hráče v rozehře při příjmu druhého podání. Pro data platná v době psaní této práce je koeficient aavg roven 0,609.

3.3.2 Zápas dvou hrá čů

Předchozí odstavce nám daly návod jak získat charakteristiky jednotlivých hráčů. Abychom mohli náš model aplikovat, potřebujeme mít možnost do něj vložit úspěšnosti odpovídající jejich potenciálnímu vzájemnému zápasu, které zatím neznáme. Jinými slovy musíme rozhodnout, co se stane, když dobře podávající hráč narazí na dobře přijímajícího. Tento problém s kvantifikací pravděpodobností dvou protichůdných charakteristik musí být nějakým způsobem řešen při v každé simulaci sportu. Podobnou otázku, vyjádření věrohodných pravděpodobnosti zisku rozehry podávajícím respektive přijímajícím družstvem, pozorujeme během modelování volejbalového utkání. Je nutné zejména vyřešit komplementárnost obou pravděpodobností, tedy fakt, že součet úspěšnosti jednoho hráče na podání s úspěšností druhého hráče na příjmu musí být roven jedné.

Dalším důležitým faktorem ovlivňující úspěšnost v rozehře je druh hracího povrchu, což lze nahlédnout v tabulce 3.1, která uvádí statistiky všech čtyř Grand Slamů. Podávající hráči jsou nejúspěšnější na Wimbledonu, který se hraje na trávě, následují tvrdé kurty na Australian Open a U.S. Open. Nejhorším povrchem pro podávajícího je antuka na Roland-Garros. Rozdíl mezi U.S. Open a Australian Open je způsoben různými typy umělého povrchu. DecoTurf, pokrývající kurty ve Flushing Meadows, je rychlejší než v Melbourne Park položený Rebound Ace.

Tabulka 3.1 - Úspěšnost podávajícího hráče v rozehře na jednotlivých Grand Slamech

v letech 2002 až 2004, zdroj dat [22].

(3.7)

(3.8)

- 60 -

Výše zmiňované charakteristiky hráčů jsou utvářeny pro všechny povrchy. Aby náš model kvalitně popisoval tenisový zápas, je nutné jeho parametry upravovat v závislosti na místě jeho konání. Elegantně se tyto rozdíly podařilo vyřešit v již zmiňované [21]. Pravděpodobnost výhry podávajícího v rozehře lze vyjádřit jako součet:

• poměru bodů, které všichni hráči vyhrávali v minulosti při svých podáních na turnaji, kde je simulovaný zápas odehrán;

• rozdílu mezi celkovou schopností hráče vyhrávat při svém podání a celkovým průměrem všech hráčů při této činnosti;

• rozdílu mezi celkovým průměrem všech hráčů na příjmu a individuální schopností soupeře v této činnosti.

První sčítanec reprezentuje vlastnosti povrchu, druhý schopnosti podávajícího hráče, třetí schopnosti hráče na příjmu. Můžeme tedy vyslovit následující definici.

Definice 3.7: V zápase dvou hráčů i a j stanovme pravděpodobnost zisku rozehry Ø podávajícím hráčem i rovnou následujícímu výrazu:

Ø = O_­ÕÖ + K > ­ÕÖL + K,­ÕÖ > ,ØL,

kde O_­ÕÖ je průměrná úspěšnost podávajících hráčů v rozehře na daném turnaji, je celková úspěšnost podávajícího hráče ve všech zápasech, ­ÕÖ je celková průměrná úspěšnost všech podávajících hráčů ve všech zápasech, ,Ø je celková úspěšnost přijímajícího hráče ve všech zápasech, ,­ÕÖ je celková průměrná úspěšnost všech podávajících hráčů ve všech zápasech.

Analogicky lze vyjádřit i úspěšnost na příjmu.

Definice 3.8: V zápase dvou hráčů i a j stanovme pravděpodobnost zisku rozehry ,Ø přijímajícím hráčem j rovnou následujícímu výrazu:

,Ø = ,O_­ÕÖ + K,Ø > ,­ÕÖL + K­ÕÖ > L,

kde ,O_­ÕÖ je průměrná úspěšnost přijímajících hráčů v rozehře na daném turnaji a ostatní proměnné mají stejný význam jako v předchozí definici.

Korektnost uvedených definic můžeme ověřit následujícím tvrzením:

Tvrzení 3.1: V zápase dvou hráčů i a j dle výše uvedených definic platí, že součet pravděpodobností Ø a ,Ø je roven jedné.

Důkaz: Z konstrukce průměrných pravděpodobností O_­ÕÖ a ,O_­ÕÖ je zřejmé, že platí rovnost (3.11):

O_­ÕÖ + ,O_­ÕÖ = 1

Vyjádříme-li pravděpodobnosti O_­ÕÖ a ,O_­ÕÖ z rovnic (3.9) respektive (3.10), a dosadíme-li je do rovnice (3.11), dostaneme rovnici (3.12).

(3.9)

(3.10)

(3.11)

- 61 -

Z té po jednoduché úpravě získáme dokazovanou rovnost.

Ø + ,Ø > ÐK > ­ÕÖL + K­ÕÖ > LÑ > ÐK,­ÕÖ > ,ØL + K,Ø > ,­ÕÖLÑ 1

Pravděpodobnosti Ø a ,Ø dle definic 3.7 a 3.8 můžeme nyní použít jako vstup do našeho modelu tenisového zápasu.

3.4 Aplikace modelu

V této části se pokusíme zjistit, do jaké míry odpovídá námi zkonstruovaný model tenisového zápasu realitě. Soubor programů TennisBase103 nám umožnil získat empirická data, výsledky mužských tenisových dvouher. Počítačovou implementaci matematického modelu jsme pak zkonstruovali v tabulkovém procesoru Microsoft Excel s využitím programovacího jazyka Visual Basic for Applications.

Abychom mohli porovnat model se získanými empirickými daty, potřebujeme znát dva vstupní parametry modelu: úspěšnost přijímajících a podávajících hráčů v rozehře. Tento požadavek však značně omezil rozsah dat, která je možno využít. Dostatečné množství potřebných údajů se podařilo získat pro turnaj U.S. Open, který je jako jediný z turnajů Grand Slam hrán stylem tie-break „best of five“.

U.S. Open hraje 128 hráčů, turnaj má tedy 7 kol a odehraje se v něm 127 zápasů, to odpovídá 381 zápasům během tří let. Z empirických dat jsme vyřadili 22 zápasů, ve 21 případech jeden z hráčů vzdal, v jednom nenastoupil k zápasu. Tabulka 3.2 uvádí zjištěné souhrnné statistiky o sledovaném souboru 359 zápasů.

Tabulka 3.2 - Souhrnná statistika U.S. Open 2002 až 2004, z empirických dat získaných

pomocí programu TennisBase Builder.

3.4.1 Jednoduché odhady

K určení parametrů modelu jsme využili údaje z tabulky 3.1, kde je průměrná pravděpodobnost zisku rozehry podávajícím hráčem na U.S. Open v letech 2002 až 2004 vypočtena na 62,8 %.

Nejprve se pokusme odhadnout celkový počet her odehraných během sledovaného období. Protože očekávaný počet her v zápase je nejvyšší u vyrovnaných soupeřů,

103 Programy TennisBase Builder, TennisBase Convertor a TennisBase Viewer jsou k dispozici na přiloženém

CD k [8]. TennisBase Builder umožňuje převést textové soubory s výsledky tenisových turnajů udržované tenisovými nadšenci na http://stevegtennis.com/ do formátu CSV, který lze bez problémů zpracovat libovolném tabulkovém procesoru.

(3.12)

- 62 -

umožní nám to snadno získat horní odhad očekávané hodnoty. Dosazením do modelu nám vychází hodnota 15 062 her za uvedené období, což je mnohem více než pozorovaných 13 094.

Podobným způsobem lze shora odhadnout očekávaný počet tie-breaků. Při nezměněných vstupních parametrech dostáváme z modelu 311 tie-breaků při jen 214 pozorovaných.

Konečně náš model předpovídá 90 výsledků 3:0, 135 výsledků 3:1 a shodně 135 výsledků 3:2. Empiricky však získáváme 161 výsledků 3:0, 122 výsledků 3:1 a 76 zápasů skončilo 3:2. Důvod uvedeného přeceňování délky zápasu je však zřejmý. Nelze u všech 359 zápasů očekávat naprosto vyrovnané soupeře. Chceme-li dosáhnout přesnějších odhadů, nezbude nám nic jiného než zlepšit distribuci pravděpodobností, aby se blížila simulovanému souboru.

3.4.2 Simulace v ětšího po čtu zápas ů

K získání parametrů využijeme poznatky z části 3.3. Ze statistických údajů o dvou stovkách nejlepších hráčů, které jsme převedli do tabulkového procesoru, jsme vyřadili hráče s neúplnými či nulovými údaji. Redukovaný soubor 189 hráčů jsme dále zpracovali, abychom získali jejich úspěšnosti v rozehře při podání a příjmu. Dále jsme s využitím definice 3.7 vytvořili matici pravděpodobností odpovídající všem možným vzájemných zápasů. Jednoduchý program napsaný ve Visual Basic for Application umožňuje nasimulovat libovolný násobek 359 zápasů náhodným výběrem z 17 766 dvojic hráčů, což tvoří celkem 35 532 variant, když uvážíme, že náš model rozlišuje, kdo ze soupeřů podává v zápase jako první. Celkem jsme nasimulovali 3 590 zápasů.

Tabulka 3.3 - Výsledky simulace a empiricky zjištěná data, očekávané hodnoty počtu her

a počtu tie-breaků v 359 zápasech.

Tabulka 3.4 - Výsledky simulace a empirická data, rozložení délky zápasů v setech.

Výsledky simulace přepočtené pro 359 tenisových utkání jsou uvedeny v následujících tabulkách. Srovnejme jednotlivé charakteristiky mezi výsledkem simulace a empirickými daty. Rozdíly mezi teorii a praxí jsou na první pohled patrné. Vidíme, že náš matematický model předpověděl celkem o 800 her, tj. o přibližně 6 %, více než bylo ve skutečnosti pozorováno. Nejvýraznější rozdíly lze pozorovat ve čtvrtém a pátém setu.

- 63 -

Nesouvisí to však pouze s nižším počtem odehraných čtvrtých a pátých setů než by odpovídalo teoretickému odhadu. Na obrázku 3.5, kde je graficky znázorněn průměrný počet odehraných her v jednotlivých sadách, můžeme pozorovat snižování délky jednotlivých sad s postupující délkou zápasu. To je v přímém rozporu s teoretickými předpoklady. Není to však zcela překvapující výsledek, protože lze předpokládat, že při takto dlouhých zápasech působí na skutečné tenisové hráče další faktory, jako je například únava, které náš jednoduchý model nedokáže zachytit.

Obrázek 3.5 - Průměrný počet odehraných her v sadě: (a) simulovaná data,

(b) empirická data.

Celkové zkrácení délky zápasu si je možno povšimnout také v tabulce 3.4, kdy model předpovídá 142 výsledků 3:0, 122 výsledků 3:1 a 95 výsledků 3:2. Ve skutečnosti pozorujeme o 19 výsledků 3:0 více a o 19 výsledků 3:2 méně. Navíc je ve sledovaných zápasech odehrán nižší než teoretický počet tie-breaků.

3.5 Jiné zp ůsoby p ředpov ědi výsledku tenisových zápas ů

Pro obchodníka s pravděpodobnostními kontrakty může být užitečné se seznámit s tím, jak přesné jsou různé odhady výsledku tenisu, což mu umožní lépe odhalovat různé nesrovnalosti v chování trhů.

3.5.1 Oficiální tenisové žeb říčky

V mnoha sportech lze nalézt jistou formu oficiálního žebříčku, který udává pořadí hráčů či týmů. Fotbalové reprezentační týmy jsou seřazeny v žebříčku Fédération Internationale de Football Association (FIFA), ve volejbale světové pořadí udává žebříček FIVB World Ranking, tenisový žebříček mužů vydává Association of Tennis Professionals (ATP).

Všechny tyto žebříčky jsou založeny na postupné kumulaci bodů na základě výsledků odehraných zápasů. Přesné bodové ohodnocení každého výsledku je však ovlivněno různými dalšími kvantitativními a kvalitativními charakteristikami. Takto získaná pořadí nejsou používána pouze jako vzájemné dlouhodobé porovnání týmů a pro jednoduchou prezentaci výsledků sportovní veřejnosti. Umožňují navíc

- 64 -

sportovním asociacím zaručit, spolu se systémy kvalifikací a nasazování, spravedlivější los v jimi pořádaných soutěžích.

V profesionálním tenise se používá žebříček ATP Ranking, který určuje, kdo z přihlášených hráčů se kvalifikuje do hlavní soutěže nebo kvalifikace každého turnaje. Dále také ovlivňuje případné nasazení hráčů v losu. Žebříček zahrnuje výsledky za uplynulých 52 týdnů, což zajišťuje nezávislost na kalendáři.

3.5.2 Alternativní žeb říčky

U ostatních sportů se můžeme setkat s podobnými ad hoc vytvořenými žebříčky. Asi nejdůležitějším z nich je Elo žebříček [28], který byl vyvinut jako nástroj pro porovnávání výkonnosti šachistů. Ten mimo jiné umožňuje teoretické porovnání výkonnosti současných hráčů s hráči již nehrajícími. Jeho konstrukce vychází z předpokladu, že výkonnost každého hráče v každé hře je normálně rozdělená náhodná proměnná.

Elo systém je založen na exponenciálně vyrovnávaných hodnoceních jednotlivých hráčů, která jsou získána porovnáním skutečného poměru jejich vítězství k očekávanému, tak jak by to odpovídalo dosavadní výkonnosti jejich soupeřů. Navíc žebříček udává přímý vztah mezi rozdílem v hodnocení hráčů v žebříčku a pravděpodobností jejich porážky či vítězství. Rozdíl 200 bodů odpovídá přibližně 75% pravděpodobnosti výhry a 25% pravděpodobnosti prohry, rozdílu 100 bodů mezi hráči odpovídají pravděpodobnosti 64 % resp. 36 %.

O výhodnosti použití Elo systému svědčí jeho využití i v ostatních sportech. Strauss a Arnold [29] doporučili použití podobného hodnotícího systému pro racquetball, Clarke [30] upravil systém pro squash. Jedním z problémů adaptace Elo systémů pro hodnocení výkonnosti hráčů tenisu je fakt, že se tenisové turnaje hrají na různém povrchu (antuka, tráva, umělá tráva, beton, různé syntetické povrchy, …), navíc se mohou konat venku i v hale. Většina hráčů má svůj oblíbený povrch a jejich výkonnost se mezi různými povrchy významně liší.

Jedním z podobných případů statisticky významné nerovnosti podmínek je výhoda domácího prostředí, která byla popsána u např. u australského fotbalu [31]. Přesto se podařilo vytvořit několik systémů pro předpověď výsledků fotbalových utkání, jejichž úspěšnost předpovědi byla srovnatelná s úspěšností tipů sportovních expertů [32][33].

3.5.3 Předpov ědi dle ATP ranking

Clarke a Dyte [13] testovali, zda lze předpovídat výsledky na základě žebříčku ATP Ranking. Jejich metoda byla založena na předpokladu, že výše nasazení hráči vyhrávají zápasy nad níže nasazenými. Např. v roce 1997 hráči s vyšším postavením v žebříčku vyhráli na Australian Open 69,7 %, na Roland-Garros 60,9 % zápasů, na Wimbledonu 64,1 % zápasů a na U.S. Open 62,5 % zápasů.

- 65 -

Sestrojili proto model, který postupně testovali na datech Wimbledonu 1998, U.S. Open 1998 a Australian Open 1999. Nejzdařilejší byla předpověď výsledků Wimbledonu, kde se správně podařilo určit pozdějšího vítěze Peta Samprase, když byl modelem před turnajem odhadován na vítězství s pravděpodobností 25 %. Nicméně poraženému finalistovi Goranu Ivaniševiči, byly až do pozdních kol dávány zcela teoretické šance (menší než jedno procento). Ve finále bylo vítězství Peta Samprase kvantifikováno na 90 %, což však příliš neodpovídalo vyrovnanému průběhu zápasu: 6-7(2-7) 7-6(11-9) 6-4 3-6 6-2. Na ostatních turnajích byly výsledky předpovědí méně přesné.

Scheibehenne a Bröder [34] ve studii předpovědí výsledků Wimbledonu 2005 srovnávali úspěšnost mezi předpověďmi dle žebříčku ATP Ranking, tipy tenisových amatérů, tipy laiků a tipů s využitím kurzů sázkových operátorů. Zaznamenali, že první tři skupiny dosahovali podobné úspěšnosti 70 %. Není asi velkým překvapením, že se nejlépe podařilo výsledky určit dle kurzů on-line sázkových kanceláří, kde byla dosažena úspěšnost 76 %.

3.6 Vyhodnocení výsledk ů modelu

Na základě naší představy o tenise, která je vymezena tenisovými pravidly a získanými empirickými daty, jsme vytvořili matematický model tenisového zápasu. Při jeho konstrukci jsme vycházeli z binomického oceňovacího modelu. To nám v důsledku umožňuje porovnat cenu pravděpodobnostního kontraktu na burze s cenou, kterou nám doporučuje model. Chování modelu je zásadně ovlivněno pravděpodobnostmi výhry obou hráčů v rozehrách, v nichž podávají, což je do jisté míry úskalím tohoto modelu. Ukázali jsme však metodu, jak zkombinovat reálné údaje o servisu hráčů tak, abychom z nich mohli odvodit parametry modelu. Výsledky jeho počítačové implementace nám umožnily mimo jiné kvantifikovat odhady očekávaného počtu her v zápase, počtu a rozložení setů a výsledku zápasu. Toho jsme využili k tomu, abychom mohli porovnat simulovaná data s empirickými daty. Zjistili jsme, že náš model předpovídá více her a obecně delší zápasy, než je ve skutečnosti pozorováno. Jedním z důvodů této odlišnosti, může být předpoklad statických pravděpodobností zisku rozehry během celého průběhu zápasu.

- 66 -

Závěr

V této práci jsme se věnovali popisu světa obchodování na sázkových burzách. Začali jsme od elementárních pojmů teorie pravděpodobnosti, které jsme zasadili do historického rámce. To nám umožnilo ukázat souvislosti mezi teorií a praxí obchodu na sázkových burzách. Činnost sázkových operátorů a účastníků trhu jsme zkoumali z právního a daňového hlediska. V teoretické analýze jsme postupně vymezili pojem losu, sázky a podkladového aktiva, až jsme se konečně dostali k pojmu binárního pravděpodobnostního kontraktu, který je ústředním obchodním prostředkem na sázkových burzách.

Na rozdíl od tradičních kapitálových burz, kde se obchoduje zejména s dluhopisy, akciemi či finančními deriváty, se na sázkových burzách obchoduje s pravdě-podobnostními odhady výsledků sportovních či společenských událostí. Zatímco tržní cena akcií firmy je ovlivněna očekáváním budoucích hospodářských výsledků, tržní cena sázek, tedy trhem implikovaná pravděpodobnost, je ovlivněna odhadem výsledku zápasu spekulanty. Specifikum sázkových burz je také krátká doba do splatnosti kontraktů, většinou v řádu několika hodin či dnů. Část textu jsme proto věnovali bližšímu popisu obchodování na sázkových burzách. Na několika příkladech jsme také ukázali, že analýzou kontraktů na sázkových burzách lze odhadovat veřejné mínění. Podrobnější rozbor chování kontraktů na výsledek amerických prezidentských voleb nám ukázal, že tržní odhady nemusí být vždy racionálně opodstatněné.

Poslední kapitola byla věnována konstrukci matematického modelu tenisového zápasu, kde jsme vycházeli z binomického oceňovacího modelu. To nám v důsledku umožňuje porovnat cenu pravděpodobnostního kontraktu na burze s cenou, kterou nám doporučuje model. Výsledky počítačové reprezentace modelu nám umožnily kvantifikovat odhady očekávaného počtu her v zápase, počtu a rozložení setů a výsledku zápasu. Toho jsme využili k tomu, abychom porovnali simulovaná data s daty empirickými.

- 67 -

Literatura

[1] Hald, A., 1990. A history of probability and statistics and their applications before 1750. Wiley, New York.

[2] Zvára, K., Štěpán, J, 2006. Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpress,

Praha. [3] Horáček, M., 2000. Los a sázka. Fortuna, Praha. [4] Cook, T.A., 1901. A history of the English turf. London, H. Virtue and company,

limited, London. Dostupné také na: http://openlibrary.org/books/OL7060451M/ history_of_the_English_turf

[5] Swiss Institute of Comparative Law, 2006. Study of gambling services in the internal

market of European Union – Final Report. European Commission. Dostupné na: http://ec.europa.eu/internal_market/services/gambling_en.htm

[6] Jilek, J., 2009. Akciové trhy a investování. Grada, Praha. [7] Betting Exchange [online], aktualizováno 28.5.2010. Wikipedie. Dostupné na:

http://en.wikipedia.org/wiki/Betting_exchange [8] Karásek, M., 2007. Tenisová databáze. Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální

fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Praha. [9] Málek, J., 2003. Opce a futures. Vysoká škola ekonomická v Praze, Oeconomica,

Praha. [10] Kolb, R. W., 1992. Understanding Options. John Wiley& Sohns 1993. [11] International Tennis Federation, 2006. Rules of Tennis 2007. ITF Ltd., London. [12] Stefani, R.T., 1997. Survey of the major world sport rating systems. Journal of

Applied Statistics 24, 635-646. [13] Clarke, S.R., Dyte, D., 2000. Using official ratings to simulate major tennis

tournaments. International Transactions in Operational Research 7, 585-594. [14] ATP Tour, 2010. The 2010 ATP Official Rulebook. ATP Tour Inc., United States of

America. [15] Kemeny J.G., Snell, J.L., 1960. Finite Markov chains. D. Van Nostrand, Princeton,

New Jersey. [16] Fischer, G., 1980. Exercise in probability and statistics, or the probability of winning

at tenis. American Journal of Physics. 48(1), 14–19.

- 68 -

[17] Carter W.H., Crews, S.L., 1974. An analysis of the game of tenis. The American Statistician 28 (4), 130–134.

[18] Hsi, B.P., Burych, D.M., 1971. Games of two players. Applied Statistics 20,

86–92. [19] Carter, W.H., Crews, S. L., 1974. An analysis of the game of tennis. American

Statistician 28(4), 130–134. [20] Pollard, G.H., 1983. An analysis of classical and tie-breaker tenis. The Australian

Journal of Statistics 25(3), 496–505. [21] Barnett, T., Clarke, S.R., 2005. Combining player statistics to predict outcomes of

tennis matches. IMA Journal of Management Mathematics 16, 113−120. [22] Barnett, T.J., 2006. Mathematical modelling in hierarchical games with specific

reference to tennis. Swinburne University, Melbourne. [23] Magnus, J.R., Klaassen, F. J. G. M., 1999. On the advantage of serving first in

a tennis set: Four years at Wimbledon, The Statistician 48, 247–256. [24] Jackson, D., Mosurski, K., 1997. Heavy defeats in tennis: Psychological momentum

or random effects. Chance 10, 27–34. [25] Klaassen, F. J. G. M., Magnus, J.R., 2001. Are points in tennis independent and

identically distributed? Evidence from a dynamic binary panel data model, Journal of the American Statistical Association 96 (454), 500–509.

[26] Newton, P.K., Keller J.B., 2005. Probability of Winning at Tennis I. Theory and

Data. Studies in Applied Mathematics 114 (3), 241–269. [27] Dupač, D., Dupačová, J., 1980. Markovovy procesy I. SPN Praha, Praha. [28] Elo, 1978. The Rating of Chess Players, Past and Present. Batsford, London. [29] Strauss, D., Arnold, B.C., 1987. The rating of players in racketball tournaments.

Journal of Applied Statistics 36, 163-173. [30] Clarke, S.R., 1994. An adjustive rating system for tennis and squash players. In: de

Mestre, N. (Ed.), Mathematics and Computers in Sport. Bond University, Gold Coast, Qld, 43-50.

[31] Courneya, K., Carron, A., 1992. The Home Advantage in Sport Competitions: a Literature Review. Journal of Sport and Exercise Psychology 14: 13-27

[32] Stefani, R.T., Clarke, S.R., 1992. Predictions and Home advantage for Australian

Rules Football. The Journal of Applied Statistics. 19, 2, 251-261. [33] Harville, D.A., 1980. Predictions for national football league games via linear-model

methodology. Journal of the American Statistical Association 75, 516-524.

[34] Scheibehenne, B., Bröder, A., 2007. Predicting Wimbledon tennis results 2005 by

mere player name recognition. International Journal of Forecasting.

- 69 -

Dodatek A Obsah p řiloženého CD

Přiložené CD obsahuje komprimovaný archiv s ukázkou implementace modelu a elektronickou formu textu této práce ve formátu PDF.

Adresářová struktura obsahuje soubory:

/text.pdf – text této práce ve formátu PDF;

/data.zip – komprimovaný ZIP archiv s ukázkou implementace modelu.

- 70 -

Dodatek B P řehled pravidel tenisu

Tenis je hra, kterou hrají dva hráči, v případě dvouhry („singles“), či čtyři hráči, v případě čtyřhry („doubles“). Úkolem hráčů je pomocí vypletené rakety udeřit plstí pokrytý gumový míček tak, aby se přes síť dostal do soupeřova pole. Míček do rozehry uvádí vždy jeden z hráčů („server“) na kříž do prostoru vymezeného v soupeřově části pole. Přijímající hráč („receiver“) musí mezi prvním a druhým dopadem míče vrátit míček jedním úderem přímo na druhou stranu. Podávající hráč nyní musí, předtím než míč podruhé dopadne, opět vrátit míč přes síť. Rozehra podobným stylem pokračuje a končí, jakmile jeden z hráčů nedokáže legálně vrátit míček na druhou stranu. Soupeři chybujícího hráče je připsán bod a hra pokračuje další rozehrou.

Průběh hry

Standardní hra

V tenise, na rozdíl od většiny ostatních sportů, platí, že všechny rozehry během jedné hry zahajuje stále stejný hráč (s výjimkou tie-breaku). Podání, na které má maximálně dva pokusy, provádí střídavě z pravé a z levé poloviny kurtu.

Struktura přidělování bodů je definována následovně. Standardní „hra“ („game“) začíná za stavu „0-0“ („love-all“). První bod je zaznamenán jako „15“, druhý jako „30“, třetí jako „40“. Pokud má první hráč, který získá čtvrtý bod, dva body náskok, získává hru. V opačném případě se hraje neomezeně dlouho až do doby, kdy jeden z hráčů získá dvoubodový náskok, a tím pádem i hru.

Stav, kdy oba hráči dosáhnou tří, čtyř či více bodů, je v tenisové terminologii nazýván „shoda“ („deuce“). Po shodě má hráč, který vyhraje další bod „výhodu“ („advantage“). Pokud ten samý hráč získá i další bod, pak vyhrává hru; pokud další bod vyhraje opačný hráč, pak je stav opět shoda. Hráč tedy musí po shodě vyhrát dva body za sebou, aby vyhrál hru.

Tie-break

Tie-break bývá občas v češtině nepřesně nazýván jako „zkrácená hra“. V průběhu tie-breaku jsou dosažené body uváděny jako 0, 1, 2, … Pokud první hráč, který získá sedm bodů, vede nad soupeřem rozdílem dvou bodů, vyhrává hru a sadu. V opačném případě tie-break pokračuje, dokud není tohoto rozdílu dosaženo.

Hráč, který je na řadě s podáním, podává první bod tie-breaku. Následující dva body podává soupeř. Oba hráči dále podávají střídavě dva body za sebou až do konce celého tie-breaku.

- 71 -

Sada

Existuje několik způsobů počítání her v sadě („set“). Dva hlavní se nazývají „sada hraná s rozdílem dvou her" („advantage set“) a "tie-break sada" („tie-break set“). Pokud je použita metoda "tie-break sady", pak může být rozhodující závěrečná sada hrána jako "tie-break sada" nebo jako "sada hraná s rozdílem dvou her".

Do každého setu se vstupuje za stavu 0-0. V sadách hraných stylem „advantage set“ první hráč, který získá šest her, získává i danou sadu, za předpokladu, že vede nad soupeřem rozdílem alespoň dvou her. Jinak sada pokračuje, dokud není tohoto rozdílu dosaženo. Celkový počet her v sadě tedy není nijak omezen.

Tie-break sady byly zavedeny, aby odstranily tuto nepříjemnost. Počítání probíhá stejně jako u metody „advantage set“, počet standardních her je však omezen na 12. Pokud je dosažen stav „6-6“, rozhoduje o vítězi sady tie-break.

Utkání

V utkáních hraných stylem „best of three“ vítězí ten, kdo první dosáhne dvou sad. Podobně, pokud se hraje stylem „best of five“, je vítězem ten, kdo první získá tři sady. Množství zápasů, které jsou tenisti nuceni během roku odehrát, způsobuje, že většina utkání je hrána na dvě vítězné sady. Na tři vítězné sady jsou hrána jen Davis Cupová utkání, zápasy mužů na Grand Slamech a některá finále důležitých tenisových turnajů. Ženy hrají všechna svá utkání výhradně na dvě vítězné sady.

Většina utkání je hrána se všemi sadami počítanými jako „tie-break sady“. Jedině při zápasech Wimbledonu, Roland-Garros a Australian Open jsou případné páté sady stylem „advantage set“.

Tenisové turnaje

Téměř všechna soutěžní tenisová utkání jsou odehrána během turnajů. Ty obvykle trvají jeden týden, kdy první kolo je odehráno během pondělka či úterka, a finále se koná v neděli. Jedinou výjimkou jsou největší světové turnaje, čtyři Grand Slamy: Australian Open v Melbourne, Roland-Garros (French Open) v Paříži, Wimbledon na kurtech All England Lawn Tennis and Croquet Club v Londýně a U.S. Open ve Flushing Meadows v New York City, na jejichž odehrání jsou vyhrazeny dva týdny. Tenisová sezóna začíná v lednu, kdy se během léta na jižní polokouli koná první Grand Slam sezóny, a končí v listopadu při turnaji mistrů.

Hráči na turnajích, které jsou rozděleny do několika kategorií, bojují kromě peněžitých odměn o body do žebříčku. Platí, že čím vyšší jsou vyplacené peněžité odměny, tím vyšší kategorie je turnaji přidělena, a tím lépe je turnaj bodově ohodnocen.

Protože počet účastníků je pevně dán, od 32 hráčů u malých turnajů po až 128 hráčů u Grand Slamů, jsou turnaje hrány kaskádovým způsobem. To znamená, že hlavní soutěži předchází kvalifikace, která je dokonce u některých turnajů předcházena před-kvalifikací. Systém výběru do hlavní soutěže je pak následující.

- 72 -

Z přihlášených hráčů je dle oficiálního žebříčku pro nasazování vybráno tolik účastníků, aby naplnili přibližně 90 % losu. Několik dalších míst je vyhrazeno pro tzv. divoké karty („Wild Card“) udělované organizátory nadějným domácím hráčům či vracejícím se hvězdám. O zbytek volných míst se bojuje v kvalifikaci. Asi k nejznámějšímu úspěchu hráče s divokou kartou došlo roku 2001 na Wimbledonu, kde Goran Ivaniševič porazil ve finále dvouhry Patricka Raftera 6-3 3-6 6-3 2-6 9-7.

Turnaje se většinou hrají vyřazovacím způsobem. Aby bylo zajištěno rovnoměrnější rozložení kvality hráčů v pavouku, je čtvrtina nejlepších hráčů do turnaje nasazena. Nasazená jednička začíná na horní polovině pavouka, na opačném konci je vyhrazeno místo pro nasazenou dvojku. Podobně se postupuje, až jsou všichni nasazení hráči rozmístěni co nejdále od sebe, a je jim přiřazeno pevné místo.

Úspěšnost hráčů v zápasech závisí mimo jiné na druhu hracího povrchu. Existují hráči, kterým lépe vyhovuje klouzavá a pomalá antuka, jiní zase preferují rychlými umělými povrchy pokrytý beton. Nejlépe podávajícím hráčům vyhovuje nejlépe styl „servis - volley“ typický pro travnaté dvorce.