w20160302165721883_7001041385_05-20-2016_163359_pm_coordenadas cilindricas y e sfericas
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Facultad de Ingeniera Mg Carmen Monzn Matemtica III
INTEGRALES TRIPLES
COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICAS
Antes de iniciar el estudio de integrales mltiples y de
sus aplicaciones, se introducirn dos nuevos
sistemas de coordenadas para el espacio
tridimensional coordenadas cil!ndricas y
coordenadas es"#ricas$
El sistema de coordenadas cil!ndricas es una
e%tensi&n de las coordenadas polares para tres
dimensiones$ La representaci&n en coordenadas
cil!ndricas de un punto P es 'r, , (), donde r y son
las coordenadas polares de la proyecci&n de P en el
plano polar y ( es la distancia dirigida desde el plano
polar *asta P$ +onsulte "igura $
Gua de Teora y Prctica
Matemtica IIISemana N 8
'r, ,()
FIGURA 1
(
y
%
(
-
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EJEMPLO 1. -i.u/e la gr"ica de cada una de las siguientes ecuaciones
e%presada en coordinadas cil!ndricas, donde c es una constantte 'a) r 0 c1 '.) 0
c, 'c) ( 0 c$
Solucin:
'a) Para un punto P 'r, , () de la gr"ica de r 0 c, y (
pueden asumir cual2uier valor, mientras 2ue r es
constante$ La gr"ica es un cilindro circular recto
cuyo radio es |c|unidades y su e/e es el e/e ($ La
gr"ica se muestra en la "igura 3$
'.) Para todos los puntos P 'r, , () de la gr"ica de 0
c, r y ( pueden tomar cual2uier valor, en tanto 2ue
permanece constante$ La gr"ica es un plano 2ue
pasa por el e/e ($ re"i#rase a la "igura 4 donde 5 6 c
6 7 $
'c) La gr"ica de ( 0 c es un plano paralelo al plano polar u.icado a una distancia
dirigida de c unidades a partir del plano polar$ La "igura 8 muestra la gr"ica
para 9 5$
El nom.re :coordenadas cil!ndricas; proviene del *ec*o de 2ue la gr"ica de r 0 c
es un cilindro circular recto como el del e/emplo 'a)$ Las coordenadas cil!ndricas
se emplean con "recuencia en pro.lemas "!sicos en los 2ue se tiene un e/e de
simetr!a$
Suponga 2ue un sistema de coordenadas cartesianas y otro de coordenadas
cil!ndricas se colocan de modo 2ue el plano %y es el plano polar del sistema de
coordenadas cil!ndricas, y 2ue la parte positiva del e/e % es el e/e polar, o.serve la
"igura
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Fig. Fig. ! Fig. "
EJEMPLO #. @.tenga una ecuaci&n en coordenadas cartesianas para cada una
de las siguientes super"icies cuyas ecuaciones se *an e%presado en coordenadas
cil!ndricas, e identi"i2ue la super"icie 'a) r 0 sen1 '.) r '4cos= 3 sen) = ( 0 5$
Solucin:
'a) Al multiplicar los dos miem.ros de la ecuaci&n
por r se o.tiene r30 r sen $ +omo r30 %3=
y3 y r sen 0 y, entonces %3= y30 y$ Esta
ecuaci&n puede escri.irse en la "orma %3= 'y
B 4)
3
0 C, lo cual muestra 2ue su gr"ica es uncilindro circular recto cuya secci&n transversal
en el plano %y es las circun"erencias con
centro en '5,4) y radio 4$
(y
r %
y
%
(
(
y%
0 c
0 c
5
(
5 P'r,,()
'r,,()
(
y%
5
0 c
0 c
D (
4
y los planos coordenados$
Solucin:
La "igura 3 muestra el paralelep!pedo rectangular S$
S
xysenyzdV=0
0
2
0
2
xysenyz dzdydx
0
0
/2
[xcosyz ]0/3
dydx
0
0
/2
x (1 cos13 y)dydx
0
x (y3 /sen1/3y )]0/2
dx
0
x (/23/sen 2/6)] dx
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x
2
2(23sen2
6)]0
4(26 sen2
6)
A continuaci&n se discutir como de"inir la integral triple de una "unci&n continua
de tres varia.les en una regi&n de R4di"erente de un paralelep!pedo rectangular$
Sea S la regi&n tridimensional cerrada y limitada por los planos % 0 a y % 0 ., los
cilindros y 0 '%) y y 0 3'%), y las super"icies ( 0 '%,y) y ( 0 3'%,y) donde las
"unciones , 3, y 3son lisas$ Trace planos paralelos a los planos coordenados
de modo 2ue se "orme un con/unto de paralelep!pedos rectangulares 2ue cu.ran
toda la regi&n S$ Los paralelep!pedos 2ue se encuentran completamente dentro de
S o en la "rontera de S "orman una partici&n de S$ Eli/a un sistema para numerar
de a estos paralelep!pedos$ La norma de esta partici&n de S es la
longitud de la diagonal ms grande de los paralelep!pedos$ El volumen de iD
#simo paralelep!pedo es i unidades c.icas$ Sea " una "unci&n de tres varia.les
continua en S, y sea 'ui, vi, Qi) un punto ar.itrario del iD#simo paralelep!pedo$
Re"i#rase a la "igura 4$
'ui,vi, Qi)
i(
0 '%,y)
0 '%,y)
iy5
i%i.
y 0 '%) y 0 3'%)
y
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FIGURA
orme la suma
i=1n
f(ui , v i , wi)i V
Si esta suma tiene un l!mite con"orme tiende a cero, y si el l!mite es
dependiente de la elecci&n de los planos de la partici&n y de los puntos ar.itrarios
'ui, vi, Qi) en cada paralelep!pedo, entonces el l!mite se denomina integral triple de
" en S y se escri.e
lim
0
i=1
n
f(u i , vi , w i)i V=S
f(x , y , z ) dV
Se puede demostrar, en +lculo avan(ado 2ue una condici&n su"iciente para 2ue
el l!mite de '3) e%ista es 2ue " sea continua en S$ Adems con la condici&n
impuesta a las "unciones , 3, y 3de 2ue sean lisas, tam.i#n es posi.le
demostrar 2ue la integral triple puede evaluarse mediante la integral iterada$
a
b
1(x)
2(x)
F1(x)
F2(x)
f(x , y , z ) dzdydx
As! como la integral do.le puede interpretarse como la medida del rea de una
regi&n plana cuando "'%,y) 0 en R$ la integral triple puede interpretarse como la
medida del volumen de una regi&n tridimensional$ Si "'%,y,() 0 en S, entonces '3)
se trans"orma en
lim0i=1
n
i V=S
dV
-e modo 2ue la integral triple es la medida del volumen de la regi&n S$
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EJEMPLO #. +alcule el volumen del s&lido del e/emplo < del "asc!culo mediante
integraci&n triple$
Solucin:
El s&lido se encuentra so.re el plano %y y est limitado por el para.oloide el!ptico
( 0 %3= 8y3y el cilindro %3= 8y30 8$ +onsulte la "igura 8, si unidades c.icas es
el volumen del s&lido, entonces
V= lim0
i=1
n
i V
S
dV
-onde S es la regi&n limitada por el s&lido$Los l!mites de ( son de 5 'el valor de ( en
el plano %y) a %3= 8y3'el valor de ( en el
para.oloide el!ptico)$ Los l!mites de y para
cuarto del volumen son de 5 'el valor de y
en plano %() a1
24x2 'el valor de y en
el cilindro)$ Los l!mites de % para el primer
octante son de 5 a 3$
Al evaluar la integral triple por medio de una integral iterada se o.tiene$
V=40
2
0
4x2 /2
0
x2+4y2
dzdydx
40
2
0
4x2/ 2
(x2+4y2 ) dydx
4
FIGURA !
%3=8y3083
D
(0%3=8y3
% y
D3
5
D (
V1 de modo 2ue
z=
2
15 a
5
1
8 a4 2
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15 a
Conclu*in: El centro de masa se encuentra so.re el e/e del s&lido a una
distancia de X>
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S
f( , , )2 senddd
La integral triple puede evaluarse mediante una integral iterada$ @.serve 2ue encoordenadas es"#ricas d 0 3sen ddd
Las coordenadas es"#ricas son especialmente tiles en algunos pro.lemas 2ue
involucran es"eras, como en el e/emplo siguiente
EJEMPLO ".2 +alculela masa de la semies"era s&lida del e/emplo 4 si la densidad
volum!nica en cual2uier punto del s&lido es proporcional a la distancia del punto al
centro de la .ase$
Solucin:
Si
( i i i)
es un punto de la iD#sima su.regi&n de una partici&n es"#rica,
entonces la densidad volum!nica en este punto esi Uilogramos por metro
c.ico, donde U es una constante$ Si V Uilogramos es la masa del s&lido,
entonces
M= lim0i=1
n
i i V
S
dV
4
0
/2
0
/2
0
a
3
sen
ddd
a4 0
/2
0
/2
sendd
-
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1
2a
4
0
/2
send
1
2a
4[cos ]
0
/2
1
2a
4
Conclu*in.2 La masa de semies"era s&lida es 7 a8U Uilogramos$ Resulta
interesante comparar la soluci&n del e/emplo
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El clculo implicado en la evaluaci&n de esta integral es o.viamente muc*o ms
complicado 2ue cuando se emplearon coordenadas es"#ricas$
EJEMPLO $.2 n s&lido *omog#neo est limitado superiormente por la super"icie
0 a e in"eriormente por el cono 0 , donde 5 6 61
2
$ +alcule el momento
de inercia del s&lido con respecto al e/e ($ La densidad volum!nica en cual2uier
punto del s&lido es U Uilogramos por metro c.ico$
Solucin:
En la "igura C se muestra el s&lido$ +onsidere una partici&n es"#rica y sea
( i i i)
un punto de la iD#sima su.regi&n$ La medida de la distancia del punto
( i i i)
al e/e ( es
i sen i $ En consecuencia, si l( Uilogramos metro
cuadrado es el momento de inercia del s&lido con respecto al e/e (, entonces
'z= lim0
i=1
n
( i seni )2
i V
S
2 sen2dV
0
#
0
2
0
#
(2 sen2)3
senddd
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1
5 a
50
#
0
2
sen3dd
25
a5
0
#
sen3d
2
5 a
5[cos+ 13cos3]0
#
2
5 a
5
(cos
3
#3cos
#+2
)
Conclu*in:
El momento de inercia del s&lido con respecto al e/e ( es
2
5 a
5(cos3 #3cos#+2) &( )2
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PRO3LEMAS RESUEL)OS
En los e/ercicios al F calcular las integrales
) 0
1
dx0
2
dy0
3
dz
Soluci&n
0
1
dx0
2
dy0
3
dz=0
1
dx0
2
3dy=0
1
6dx=6
3) 0
a
dx
0
b
dy
0
c
(x+y+z ) dz
Soluci&n
0
a
dx0
b
(xz+yz+z2
2)|0c
dy=0
a
dx0
b
(dx+cy+ c2
2)dy
0
a
(cxy+c
y2
2+
c2
2 y
)|0
b
dx=0
a
[cbx+
b2
c
2 +
b2
c
2
]dx
( bc x2
2 +
b2
c
2 +
bc2
2 x)|
0
a
=a2
bc
2 +
ab2
c
2 +
abc2
2
abc2 (a+b+c )
-
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4) 0
a
dx0
b
dy0
y
xyzdz
Soluci&n
0
a
dx0
x
dy0
y
xyzdz=0
a
dx0
xxyz
2
2|0y
dy=0
a
dx0
xxy
3
2 dy
1
20
a
xy4
4|0x
dx=1
80
a
x5
dx=x
6
48|0a
=a
6
48
8) 0
a
dx0
x
dy0
xy
x3
y3zdz
Soluci&n
0
a
dx0
x
dy0
xy
x3
y3zdz=
0
a
dx0
x
x3
y3z
2
2 |0xy
dy
0
a
dx0
xx
5y
5
2 dy=
0
ax
5y
6
12|0x
dx=0
ax
11
12dx=
x12
144|0a
=a
12
144
-
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0
e1
dx 0
ex1
dy 0
x +y+eln(zxy)
(xe )(x+ye)dz=
0
e1
dy 0
ex1
[(zxy ) ln (zxy )z(xe)(x+ye) ]|ex+y+ e
dy
0
e1
dy 0
ex1 (exy) [1ln(exy )](xe)(x+ye)
dy
0
e1
dx 0
ex11ln(exy )
(xe ) dy=
0
e1 (xe) ln (ex )+2(ex1)xe
dx
0
e1
(ln (ex )+2 2xe )dx=2e-1