[email protected] 机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor ...
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一般情况下的压电方程组 在上节中以 z 切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论。
第一类压电方程组（ Xj ， En ） 6 3
1 1
6 3
1 1
Ei ij j ni n
j n
Xm mj j mn n
j n
x s X d E
D d X E
E
t
X
x s X d E
D d X E
第二类压电方程组（ xi ， En ） 6 3
1 1
6 3
1 1
Ej ij i nj n
i n
xm mi i mn n
i n
X c x e E
D e x E
E
t
x
X c x e E
D e x E
第三类压电方程组（ Xj ， Dm ） 6 3
1 1
6 3
1 1
Di ij j mi m
j m
Xm mj j mn n
j n
x s X g D
E g X D
D
t
X
x s X g D
E g X D
第四类压电方程组（ xi ， Dm ） 6 3
1 1
6 3
1 1
Di ij j mi m
j m
xm mj j mn n
j n
X c x h D
E h x D
Dt
x
X c x h D
E h x D
（ 1）表中 i、 j=1 、 2、 3、 4、 5、 6，m、 n=1 、 2、 3；
（ 2）表中 dt矩阵是 d矩阵的转置矩阵， et、gt和 ht是 e、 g和 h的转置矩阵。
（ 3）表中短路弹性柔顺常数 sEij=(xi/Xj)E
为短路时由于应力分量 Xj变化引起应变分量 xi的变化与应力分量 Xj的变化之比。
压电常数 dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量 En变化引起应变分量 xi
的变化与电场分量 En的变化之比；或者短路时，由于应力分量 Xi变化引起电位移分量 Dn
的变化与应力分量 Xi的变化之比。介电常数 X
mn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量 En变化引起电位移分量 Dn的变化与电场分量 En的变化之比。其它常数与此类似。
压电方程组中各常数之间的关系
6
1
6
1
X xmn mn ni mi
i
x Xmn mn ni mi
i
d e
g h
介电常数与压电常数之间的关系
1
1
( )
( )
X xt t
E Et t
x Xt t
D Dt t
x x
X X
d e e d
dc d es e
g h h g
gc g hs h
压电方程组中各常数之间的关系 弹性常数与压电常数之间的关系
1
1
( )
( )
E Dt t
X Xt t
D Et t
x xt t
E E
D D
s s d g g d
d d g g
c c e h h e
e e h h
c s
c s
3
1mmjmi
Eij
Dij
3
1mmjmi
Dij
Eij
hecc
gdss
各类压电常数之间的关系3 6
1 1
3 6
1 1
3 6
1 1
3 6
1 1
X Emi mn ni ij mj
n j
x Emi mn ni ij mj
n j
x Dmi mn ni ij mj
n j
x Dmi mn ni ij mj
n j
d g s e
e h c d
g d s h
h e c g
E X
E x
D X
D x
d e s g
e d c h
g h s d
h g c e
举例说明 :第一类压电方程组分量表达式
1 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3 34 4 35 5 36 6 13 1 23 2 33 3
4 14 1 24
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
E E
x s X s X s X s X s X s X d E d E d E
x s X s X s X s X s X s X d E d E d E
x s X s X s X s X s X s X d E d E d E
x s X s
2 34 3 44 4 45 5 46 6 14 1 24 2 34 3
5 15 1 25 2 35 3 45 4 55 5 56 6 15 1 25 2 35 3
6 16 1 26 2 36 3 46 4 56 5 66 6 16 1 26 2 36 3
1 11 1 12 2 13 3 14 4
E E E E
E E E E E E
E E E E E E
X s X s X s X s X d E d E d E
x s X s X s X s X s X s X d E d E d E
x s X s X s X s X s X s X d E d E d E
D d X d X d X d X d
15 5 16 6 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6 12 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 36 6 13 1 23 2 33 3
X X X
X X X
X X X
X d X E E E
D d X d X d X d X d X d X E E E
D d X d X d X d X d X d X E E E
第一类压电方程组的矩阵形式为：
1 111 12 13 14 15 16
2 12 22 23 34 25 26
3 13 23 33 34 35 36
4 14 24 34 44 45 46
5 15 52 35 45 55 56
6 16 26 36 46 56 66
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
X xs s s s s s
X s s s s s s
X s s s s s s
X s s s s s s
X s s s s s s
X s s s s s s
11 21 31
2 12 23 321
3 13 23 332
4 14 24 343
5 15 25 35
6 16 26 36
d d d
x d d dE
x d d dE
x d d dE
x d d d
x d d d
弹性方程部分
第一类压电方程组的矩阵形式为：
1
21 11 12 13 14 15 16 11 12 13 1
32 21 22 23 24 25 26 12 22 23 2
43 31 32 33 34 35 36 13 23 33 3
5
6
X X X
X X X
X X X
X
XD d d d d d d E
XD d d d d d d E
XD d d d d d d E
X
X
介电方程部分
可见 dt矩阵为六行三列， d矩阵三行六列。 dt是d 的转置矩阵（或称易位矩阵）。 d 矩阵的行与列互换就成为 dt矩阵。其余三类压电方程组的情况与（ 4-27 ）、（ 4-28 ）和（ 4-29 ）式类似，这里不再一一列出。在压电晶体中，除去属于三斜晶系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。
几种典型晶体的压电方程组实用化晶体：石英 :属 32 点群钛酸钡 :属 4mm 点群 铌酸锂和钽酸锂 :属 3m 点群压电陶瓷 :可用 m 表示，与 6mm 点群相同
钛酸钡晶体的第一类方程组1 1 3111 12 13
2 2 3112 11 13
3 3 3313 13 33
4 4 1544
5 5 1544
6 666
0 00 0 0
0 00 0 0
0 00 0 0
0 00 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0
0 0 00 0 0 0 0
E E E
E E E
E E E
E
E
E
x X ds s s
x X ds s s
x X ds s s
x X ds
x X ds
x Xs
1
2
3
E
E
E
1
21 15 11 1
32 15 11 2
43 31 31 33 33 3
5
6
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
X
X
X
X
XD d E
XD d E
XD d d d E
X
X
分量形式为 1 11 1 12 2 13 3 31 3
2 12 1 22 2 13 3 32 3
3 13 1 13 2 33 3 33 3
4 44 4 15 2
5 44 5 15 1
6 66 6
1 15 5 11 1
2 15 4 11 2
3 31 1 31 2 33 3 33 3
E E E
E E E
E E E
E
E
E
X
X
X
x s X s X s X d E
x s X s X s X d E
x s X s X s X d E
x s X d E
x s X d E
x s X
D d X E
D d X E
D d X d X d X E
铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组1 1 22 3111 12 13 14
2 2 212 11 13 14
3 313 13 33
4 414 14 44
5 544 14
6 614 11 11
00 0
00 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2( )
E E E E
E E E E
E E E
E E E
E E
E E E
x X d ds s s s
x X ds s s s
x Xs s s
x Xs s s
x Xs s
x Xs s s
2 311
332
153
15
22
0 0
0 0
0 0
2 0 0
dE
dE
dE
d
d
1
21 15 22 11 1
32 22 22 15 11 2
43 31 31 33 33 3
5
6
0 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
X
X
X
X
XD d d E
XD d d d E
XD d d d E
X
X
分量形式为 1 11 1 12 2 13 3 14 4 22 2 31 3
2 12 1 22 2 13 3 14 4 22 2 31 3
3 13 1 13 2 33 3 33 3
4 14 1 14 2 44 4 15 2
5 44 5 14 6 15 1
6 14 5 11 12 6 22 1
1
2 2( ) 2
E E E E
E E E E
E E E
E E E
E E
E E E
x s X s X s X s X d E d E
x s X s X s X s X d E d E
x s X s X s X d E
x s X s X s X d E
x s X s X d E
x s X s s X d E
D d
15 5 22 6 11 1
2 22 1 22 2 15 4 11 2
3 31 1 31 2 33 3 33 3
2 X
X
X
X d X E
D d X d X d X E
D d X d X d X E
压电陶瓷的第一类方程组1 1 3111 12 13
2 2 3112 11 13
3 3 3313 13 33
4 4 1544
5 5 1544
6 611 11
0 00 0 0
0 00 0 0
0 00 0 0
0 00 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0
0 0 00 0 0 0 0 2( )
E E E
E E E
E E E
E
E
E E
x X ds s s
x X ds s s
x X ds s s
x X ds
x X ds
x Xs s
1
2
3
E
E
E
1
21 15 11 1
32 15 11 2
43 31 31 33 33 3
5
6
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
X
X
X
X
XD d E
XD d E
XD d d d E
X
X
写成为分量为 1 11 1 12 2 13 3 31 3
2 12 1 11 2 13 3 31 3
3 13 1 13 2 33 3 33 3
4 44 4 15 2
5 44 5 15 1
6 11 12 6
1 15 5 11 1
2 15 4 11 2
3 31 1 31 2 33 3 33 3
2( )
E E E
E E E
E E E
E
E
E E
X
X
X
x s X s X s X d E
x s X s X s X d E
x s X s X s X d E
x s X d E
x s X d E
x s s X
D d X E
D d X E
D d X d X d X E
几点注意 在这里，这四类压电方程组是作为根据
实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组。
在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程中建立的。
关于单位问题。压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用 MKS 单位制，因此这里中也采用 MKS 单位制。参考资料中也有采用 CGS 单位制的。为了便于换算，在表 4-6 中给出了 MKS 单位制与 CGS 单位制之间的换算因子。
压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）。
机电耦合系数
前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量元件压电性质好坏的重要物理量—机电耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。
Electro-mechanical coupling factor
所谓“机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式表示为 :
M
Uk
U U
I
E（ 4-37 ）
机电耦合系数
式中 k代表机电耦合系数，UI为相互作用能密度， UM为弹性能密度，UE为介电能密度， 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。
U UM E
M
Uk
U U
I
E
因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（ 4-37 ）式而导出。
压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为 :
6 3
1 1
1 1
2 2i i m mi m
U x X D E
式中 U为压电晶体的内能。
（ 4-38 ）
如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（ 4-38 ）后，即可得到体系的内能 U 。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单。
求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（ 4-37 ），即得到相应的机电耦合系数 k。举例如下：薄长条片的机电耦合系数 ; 细长杆的机电耦合系数 ; 平面机电耦合系数 ; 厚度切变机电耦合系数 ;
薄长条片的机电耦合系数 设为 z切割晶片，如图 4-17 所示，若晶片受到沿x 方向的应力 X1与沿 z 方向的电场强度 E3 的作用，其它 X2、 X3、 X4、 X5、 X6、 E1、 E2皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为：
1 1 3 3
1 1
2 2U x X D E
选 X、 E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，
1 11 1 31 3
3 31 1 33 3
E
X
x s X d E
D d X E
6 3
1 1
1 1
2 2i i m mi m
U x X D E
式中： sE11X1
2/2 为晶片的弹性能密度 UM； X33E3
2/2为晶片的介电能密度 UE； d31E3X1/2 为与压电效应有关的相互作用能密度 UI。
11 1 31 3 1 31 1 33 3 3
2 211 1 33 3 31 3 1
1 1( ) ( )2 2
1 1 12( )
2 2 2
E X
E X
U s X d E X d X E E
s X E d E X
将上式代入（ 4-39 ）式得到晶片的内能表示式为：
1 11 1 31 3
3 31 1 33 3
E
X
x s X d E
D d X E
6 3
1 1
1 1
2 2i i m mi m
U x X D E
将这些结果代入到（ 4-37 ）式即得晶片的机电耦合系数 k为：
31 3 1
312 2
11 1 33 3
1
21 1( )( )2 2
E X
d E Xk
s X E
3131
11 33E X
dk
s 即：
M
Uk
U U
I
E
2 211 1 33 3 31 3 1
1 1 12( )
2 2 2E XU s X E d E X
与元件的形状有关！
式中机电耦合系数 k31的前一个下标代表电场的方向是沿 z 轴方向，后一个下足标代表晶片是 x方向的伸缩振动。从（ 4-40）式可以看出长条晶片的机电耦合系数 k31与压电常数 d31成正比；与短路弹性柔顺常数 sE
11和自由介电常数 X33的乘积的
平方根成反比 。
k31 的数值举例
钛酸钡晶片：d31=-34.510-12 库仑 /牛顿sE
11 =8.0510-12 米 2/ 牛顿X33 =1688.8510-12 法拉 /米故有： k31=0.317
k31 的数值举例PZT-4 压电陶瓷d31 =-12310-12 库仑 /牛顿sE
11 =12.310-12 米 2/ 牛顿X33 =13008.8510-12 法拉 /米故有： k31=0.327
钛酸钡陶瓷d31 =-7810-12 库仑 /牛顿sE
11 =9.110-12 米 2/ 牛顿X33 =17008.8510-12 法拉 /米故有： k31=0.212
计算时已将 d31中的负号省去
细长杆的机电耦合系数设细长杆的长度方向与 z轴平行，电极面与 z轴垂直。若杆只受到沿 z轴方向的应力 X3以及电场 E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：
3 3 3 3
1 1
2 2U x X D E
图 4-18 细长杆压电振子示意图选 T、 E为自变量，杆的第一类压电方程组为
3 33 3 33 3
3 33 3 33 3
E
X
x s X d E
D d X E
代入到（ 4-41）式得到杆的内能为：
2 233 3 33 3 33 3 3
1 1 12( )
2 2 2E XU s X E d E X
2 233 3 33 3
33 3 3
1 1, ,
2 21
2
E XU s X U E
U d E X
M E
I
故得：
可见电场与形变都沿 z 方向的细长杆的机电耦合系数与 d33成正比，与 sE
33X33的根方成反比。
3333
33 33E X
dk
s
再代入到（ 4-37 ）式，即得细长杆的机电耦合系数为，
k33 的数值举例钛酸钡晶片：d33=86.510-12 库仑 /牛顿sE
33 =15.710-12 米 2/ 牛顿X33 =1688.8510-12 法拉 /米故得： k33=0.565
PZT-4 压电陶瓷d33=28910-12 库仑 /牛顿sE
33=15.510-12 米 2/ 牛顿X33 =13008.8510-12 法拉 /米故得： k33=0.70
钛酸钡陶瓷d33=19010-12 库仑 /牛顿sE
33 =9.5110-12 米 2/ 牛顿X33 =17008.8510-12 法拉 /米故得： k33=0.50
平面机电耦合系数设所研究的晶片为 z 切割的薄圆片，并有 sE
11=sE22， d31=d32，电极面与 z轴垂直，晶片只受到应力 X1与 X2以及电场 E3的作用。在此情况下，选X、 E为自变量，则第一类压电方程组为：
1 11 1 12 2 31 3
2 12 1 11 2 31 3
3 31 1 31 2 33 3
E E
E E
X
x s X s X d E
x s X s X d E
D d X d X E
考虑到薄圆片存在 sE11=sE
22， d31=d32等对称性，因而有 X1=X2=Xp ，并引入平面应变 xp=x1+x2 ，平面压电常数 dp=2d31，平面弹性柔顺常数 sE
p=2 （ sE
11+sE22），利用这些关系，压电方程组可
简化为：1 2 11 12 31 3
3 31 33 3
2( ) 2
2
E Ep
Xp
x x s s X d E
D d X E
即： 3
3 33 3
Ep p p p
Xp p
x s X d E
D d X E
1 2 11 12 31 3
3 31 33 3
2( ) 2
2
E Ep
Xp
x x s s X d E
D d X E
X1=X2=Xp ， xp=x1+x2 ， dp=2d31 ， sEp=2 （ sE
11+sE2
2 ）
又薄片的内能表示式为：
1 1 2 2 3 3
1 2 3 3
1 1 1
2 2 21 1( )2 2p
U x X x X D E
x x X D E
3 3
1 1
2 2p pU x X D E 即：
将（ 4-43 ）式代入（ 4-44 ）式可得
2 233 3 3
1 1 12( )
2 2 2E Xp p p pU s X E d E X
2 233 3
3
1 1, ,
2 21
2
E Xp p
p p
U s X U E
U d E X
M E
I
式中：
再代入到（ 4-37 ）式，即得薄圆片的机电耦合系数为：
3 31
2 233 3 33 12
11 3311
3131
11 33
2
2(1 )
2 2
1 1
p p pp E X E X E
E Xp p pE
E X
d E X d dk
s X E s ss
s
dk
s
式中 kp 称为平面机电耦合系数， =-sE12/sE
11 称为泊松比，可见平面机电耦合系数 kp > k31。应该注意，因为导出（ 4-45 ）式时曾用到 sE
11=sE22，
d31=d32等对称性关系，所以（ 4-45）式规定的平面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的4 、 4mm 点群，三方晶系中的 3 、 3m 点群，六方晶系中的 6、 6mm 点群等晶体以及压电陶瓷。
31
2
1pk k
kp 的数值举例
钛酸钡晶体的 kp值：=-sE
12/sE11=2.3510-12/8.0810-12= 0.292
k31=0.317故得： kp =0.529
厚度切变机电耦合系数设有压电常数 d150 的 x 切割的晶片，电极面与 x 轴垂直，若此晶片只受到切应力 X5以及电场强度 E1的作用。在此情况下选 X5、 E1
为自变量，第一类压电方程组为：
5 55 5 15 1
1 15 5 11 1
E
X
x s X d E
D d X E
晶片内能为 :
5 5 1 1
2 255 5 11 1 15 1 5
1 1
2 21 1 1
2( )2 2 2
2
E X
U x X D E
s X E d E X
U U U
M E I
对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，具有 d150 的压电晶体以及压电陶瓷（ z 轴为极化轴）都存在 sE
55=sE44，故（ 4-46 ）式可改
写为
1515
44 11E X
dk
s
对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷，除了 sE
55=sE44外，还存
在 d14=d15关系。于是可得到切变机电耦合系数k14为：
1514 15
55 11E X
dk k
s
可见切变机电耦合系数 k15和 k14与 d15成正比，与 sE
55X11平方跟成反比。k15和 k14的数值举例，钛酸钡晶体：
d15=39210-12 库仑 /牛顿sE
55 =18.410-12 米 2/ 牛顿X11 =29208.8510-12 法拉 /米
故得 k15= k14=0.568
小结 一般情况下的四类压电方程组，矩阵形式和分量形式，参量之间的关系；
机电耦合因子：定义，如何求得；薄长条片的机电耦合系数，细长杆的机电耦合系数，平面机电耦合系数，厚度切变机电耦合系数。