warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń
DESCRIPTION
Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń. Łukasz Łach. Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kraków, 05 styczeń 2011 r. Wykaz ważniejszych oznaczeń. T - temperatura, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/1.jpg)
Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła imasy oraz problemów odkształceń
Łukasz Łach
Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Kraków, 05 styczeń 2011 r.
![Page 2: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/2.jpg)
Wykaz ważniejszych oznaczeń
T - temperatura,K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia ciepła,Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku
plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku przemian fazowych zachodzących w materiale,
ρ - gęstość metalu w temperaturze T,cp - ciepło właściwe w tejże temperaturze,α - współczynnik wymiany ciepła, Tα - temperatura otoczeniav - wektor prędkości.
![Page 3: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/3.jpg)
Transport ciepła i masy
Większość zjawisk zachodzących w procesach przetwórstwa materiałów jest aktywowanych cieplnie, a zatem numeryczna symulacja tych procesów musi uwzględniać pole temperatury. Transport masy (dyfuzja) również odgrywa dominującą rolę w zmianach jakie zachodzą w strukturze odkształcanego i/lub poddawanego obróbce cieplnej materiału. Transport ciepła i masy opisany jest jednakowym równaniem różniczkowym cząstkowym, a różne są tylko współczynniki tego równania zależne od własności materiału.
![Page 4: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/4.jpg)
Równanie Fouriera
Określanie pola temperatur możliwe jest poprzez rozwiązanie uogólnionego równania dyfuzji – równania Fouriera. Wielkością podlegającą dyfuzji jest w tym przypadku ciepło. W ogólnej postaci równanie to zapisane jest następująco:
gdzie: T - temperatura,K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia ciepła,Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku przemian fazowych zachodzących w materiale,ρ - gęstość metalu w temperaturze T,cp - ciepło właściwe w tejże temperaturze,v – wektor prędkości.
![Page 5: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/5.jpg)
Warunki brzegowe
Równanie przewodzenia ciepła musi spełniać odpowiednie warunki brzegowe. Brzeg odkształcanego materiału zmienia swoją temperaturę w wyniku:
konwekcji (unoszenia ciepła),promieniowania,przewodzenia.
![Page 6: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/6.jpg)
Warunek ten jest przyjmowany, jeśli cały brzeg lub jego część posiada znaną temperaturę określoną poprzez znaną, zależną od czasu funkcję f(t):
Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta)
Rys.1. Przykład warunku brzegowego I rodzaju.
![Page 7: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/7.jpg)
Warunek brzegowy drugiego rodzaju (warunek Neumanna)
Warunek jest przyjmowany, gdy znana jest funkcja określająca natężenie strumienia cieplnego na brzegu obszaru:
Rys.2. Przykład warunku brzegowego II rodzaju.
![Page 8: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/8.jpg)
Warunek jest przyjmowany, gdy następuje swobodny, niczym nie skrępowany przepływ ciepła przez powierzchnię brzegową ciała. Opiera się on na bilansie natężenia strumieni cieplnych przepływających przez powierzchnię brzegową:
Warunek graniczny trzeciego rodzaju (warunek Fouriera)
gdzie: α - współczynnik wymiany ciepła, Tα - temperatura otoczenia
Rys.3. Przykład warunku brzegowego III rodzaju.
![Page 9: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/9.jpg)
Stosowalność warunków brzegowych
W procesach przetwórstwa materiałów praktycznie nie występuje warunek brzegowy Dirichleta. Dlatego do celów śledzenia zmian temperatury wyrobów w trakcie tych procesów w wielu następujących po sobie operacjach bardzo często należy zastosować połączony warunek brzegowy drugiego i trzeciego rodzaju zadany na całym brzegu obszaru, w postaci:
W powyższym równaniu funkcja q może reprezentować strumień ciepła przekazywany do materiału w wyniku pracy sił tarcia na powierzchni styku z narzędziem:
gdzie: τ - naprężenie tarcia, Δv – prędkość poślizgu między odkształcanym materiałem i narzędziem.
![Page 10: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/10.jpg)
Wprowadzanie warunków brzegowych w MES
Wprowadzenie warunków brzegowych następuje poprzez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.
Macierz współczynników elementu
⇗
Globalna macierz współczynników
∥
⇗
⇗
![Page 11: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/11.jpg)
Wprowadzanie warunków brzegowych w MES - przykład
⇗Wprowadzenie warunków Neumanna
Wprowadzenie warunków Dirichleta⇗
⇗
![Page 12: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/12.jpg)
Warunki brzegowe – automaty komórkowe
(a) (b)
Rys.4. Początkowa struktura z różnymi warunkami brzegowymi: a) periodyczne, b) otwarte.
![Page 13: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/13.jpg)
Cięcie i składanie modelu
Rys.5. Operacje cięcia oraz składania w widoku 3D.
![Page 14: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/14.jpg)
Literatura
1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Finite Element Method, T. 1-3, Elsevier, 2000
2. Pietrzyk M., Metody numeryczne w przeróbce plastycznej metali, skrypt AGH 1303, Kraków, 1992
3. F. P. Incropera, D. P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer, New York: John Wiley&Sons, 2001.
![Page 15: Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła i masy oraz problemów odkształceń](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813f18550346895da9b0a5/html5/thumbnails/15.jpg)
Dziękuję za uwagę