was noch fehlt konzepte jenseits der quantenmechanik ws 2015 / 16 – ulrich hohenester 13....
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Was noch fehltKonzepte jenseits der Quantenmechanik
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 13. Vorlesung
Was noch fehlt …
Franck – Hertz Experiment
Messung von quantenmechanischen SystemenUm ein System zu „messen“, muss man es stören und beobachten, wie es aufdie Störung reagiert
Zeitunabhängige Störung
Ungestörtes Problem
Kleine Störung
Nehmen wir an, wir kennen die Lösungen des ungestörten Problems.
Durch die Störung wird es zu einer (kleinen) Änderung der Eigenwerte und Eigenzustände kommen. Diese Änderungen werden im Rahmen der Störungs-theorie berechnet.
l ist ein Parameter, der die Stärke der äußeren Störung (elektrisches oder magnetisches Feld) beschreibt.
Experimentell kann l frei gewählt werden. Man kann also den Einfluß der Stärke der Störung systematisch untersuchen.
Zeitunabhängige Störung
Schrödingergleichung
Ordnen nach Potenzen von l
Der Hamiltonoperator inkl. Störung und die gestörten Eigenwerte und Eigen-zustände werden in die Schrödingergleichung eingetzt.
Danach fasst man Terme mit derselben Potenz ln zusammen.
Für das Skalarprodukt zwischen ungestörter und gestörter Wellenfunktion gilt
Zeitunabhängige Störung
Die ungestörten Zustände bestimmen die Änderung der Energieeigenwerte (bei schwacher Störung)
Die erste Korrektur zum Energieeigenwert ergibt sich zu :
Beispiel Zeemaneffekt : Anlegen eines schwachen Magnetfelds spaltet Linien auf
Zeitabhängige Störung
Ungestörtes Problem
Hamiltonoperator
Allgemeine Lösung
Auf ähnliche Weise kann man auch vorgehen, wenn die Störung zeitabhängig ist.Allerdings ist die Rechnung komplizierter.
Man findet, dass Übergänge zwischen Eigenzuständen induziert werden können „Fermis Goldene Regel“
Beispiel Atomspektren
Semiklassische EntwicklungFür hoch angeregte Zustände kann man die Lösungen der Schrödingergleichungnach Potenzen des Planckschen Wirkungsquantums entwickeln.
Man erhält damit Korrekturen zur klassischen Lösung.
Beispiel WKB – Näherung
benannt nach Wentzel, Kramers, Brillouin
Ortsabhängiger Impuls
Näherungsweise Wellenfunktion
Analogie mit Vektoren
Abstrakter Formalismus der QuantenmechanikOft ist es günstig, eine abstraktere Formulierung der Quantenmechanik zu wählen,
ein beliebter Zugang wurde von Paul Dirac eingeführt
Paul Dirac
VektorSkalarproduktKomponentenMatrixTransformation
VektorSkalarproduktKomponentenMatrixTransformation
Quantenmechanik im Hilbertraum
VielteilchensystemeBei Systemen mit mehreren Elektronen müssen wir berücksichtigen, dass
Elektronen ununterscheidbare Teilchen sind (empirisch) !!!
Mehrelektronen – Wellenfunktion
Elektronen sind ununterscheidbare Teilchen
Zweimaliges Austauschen liefert wieder ursprüngliche Wellenfunktion
+1 Bosonen (ganzzahliger Spin) … Photon, H – Atom- 1 Fermionen (halbzahliger Spin) …. Elektron, Proton, Neutron
Vorzeichen hat enorme Auswirkungen !!!
Relativistische QuantenmechanikDie Formulierung einer relativistisch invarianten Theorie ist in der Quanten-mechanik deutlich schwieriger als in der klassischen Mechanik
Bosonen … Klein – Gordon – Gleichung
Fermionen … Dirac – Gleichung
Man erhält Zustände mit negativer Energie. Diese werden als neue Teilchen, nämlich als „Positronen“, interpretiert.
In der Quantenfeldtheorie wird eine Theorie entwickelt, die auch Systeme mit einer variierenden Zahl von Teilchen (Elektronen, Positronen) beschreiben kann
Konzepte jenseits der (konventionellen )Quantenmechanik
Wenn die Quantenmechanik in der heutigen Form die endgültige Theorie ist,gibt es eine Wellenfunktion Y des Universums.
Aber: Wer beobachtet diese Wellenfunktion ?Wie messen wir diese Wellenfunktion ?Was beschreibt diese Wellenfunktion, wenn wir nur | Y |2 physikalischinterpretieren dürfen ?
Wheeler‘s universe
Everettsche Vielweltentheorie
Bei einer Messung kollabiert die Wellenfunktion nicht, sondern das Universumteilt sich in zwei (oder mehrere) „Paralleluniversen“.
Vorteil: Interpretation benötigt keinen Kollaps der Wellenfunktion bei Messung.Die Wellenfunktion selbst bekommt eine „physikalische Realität“.
Nachteil: Existenz (~unendlich) vieler Paralleluniversen.Warum gibt es keine Interferenz zwischen Paralleluniversen ?
De-Broglie-Bohm-Theorie
Wellenfunktion beschreibt „Führungswelle“ für klassische Teilchen.
Umgeht Probleme wie Kollaps und Interpretation, hat allerdings eine Reihe vonkonzeptionellen Schwierigkeiten.
Ghirardi – Rimini – Weber – Theorie
Superpositionszustand kollabiert für makroskopische Objekte bei einerbestimmten Distanz.
Theorie liefert – ähnlich wie die Bellschen Ungleichungen – Ungleichungen, die experimentell überprüft werden können.
Kollaps durch Gravitations – Krümmung des Raums ? (Penrose)
Die wundersame Welt der Atomis …
Sobald die Atomis beobachtet werden, benehmen sie sich auf einmal ganz anders.