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ALGORITMOS DE LAS VEGAS

Con suerte voy más rápido...

Diseño y Análisis de AlgoritmosCátedra de Programación

Carrera de Ingeniería SistemasLaudin Alessandro Molina


Utilizan “azar” para alcanzar una solución correcta más rápido que un algoritmo determinista.

Siempre alcanzan una solución correcta o reconocen una solución errónea.

Laudin Alessandro Molina Junio 2005

Existe dos tipos de algoritmos Las Vegas:

a) Los que siempre encuentra una solución correcta, aunque las decisiones tomadas no fueran las óptimas.

b) Los que no encuentran una solución y deben reiniciar la ejecución del algoritmo tomando decisiones aleatorias diferentes.



Tipo a:Cuando existe una solución determinista, que es

mucho más rápida en el caso medio que en el peor caso, podemos introducir aleatoriedad para reducir o

eliminar la aparición de los casos malos.

La idea es lograr uniformidad en los tiempos de ejecución sin importar el caso.



Tipo a:Este tipo tiene un efecto “Robin Hood”, pues roban tiempo a los casos rápidos para dárselo a los casos

lentos.



Tipo a:Tomemos por ejemplo, el problema de selección, que tiene un algoritmo determinista con un tiempo logarítmico en el caso promedio, pero que puede

llegar a ser cuadrático en el peor caso.




Mérida, Junio 2005

seleccion(Arreglo de Enteros[1..n]: T, Entero: k): Entero

{pre: n > 0, 0 < k < n+1} {pos: n > 0, 0 < k < n+1}

i, j = 1, n

( i < j )[

m = T[1]

particionar(T, i, j, m, u, v)

si ( k < u ) entonces

j = u1

sino si( k > v ) entonces

i = v+1

sino entonces

i, j= k, k

f_si

]

Regresar T[i]

Auxiliar Entero: i, j, m, u, v. Almacenan los limites delarreglo.

particionar: función que particiona un arreglo, colocalos elementos menores a “m” antes de “m” y losmayores que “m” despues de “m”


ALGORITMOS DE LAS VEGASMérida, Junio 2005

particionar(Arreglo de Enteros[1..n]: T, Entero: i, j, m, u, v)

{pre: n > 0} {pos: n > 0}

u, v = i,i

[ele = T[k]

si( ele < m ) entonces

T[k] = T[v]

T[v] = T[u]

T[u] = ele

u, v = u+1, v+1

sino si( ele = m )

T[k] = T[v]

T[v] = elev = v+1

f_si

]k = i, k <= n

v = v1

Auxiliar Entero: i, j. Almacenan los limites del arregloque se esta evaluando.

Las variables u y v debe ser pasadas como referencia, esnecesario que conserven su valor luego de terminar lacorrida



Mérida, Junio 2005

SeleccionLV(Arreglo de Enteros[1..n]: T, Entero: k): Entero

{pre: n > 0, 0 < k < n+1} {pos: n > 0, 0 < k < n+1}

i, j = 1, n

( i < j )[

m = T[uniforme(i, j)]

particionar(T, i, j, m, u, v)

si ( k < u ) entonces

j = u1

sino si( k > v ) entonces

i = v+1

sino entonces

i, j= k, k

f_si

]

Regresar T[i]

Auxiliar Entero: i, j, m, u, v. Almacenan los limites delarreglo.

particionar: función que particiona un arreglo, colocandolos elementos menores a “m” antes de “m” y los mayoresque “m” despues de “m”

uniforme: función que regresa un valor aleatorio entero ,perteneciente al rango [i,j]


Tipo a:Los algoritmos de este tipo no son más rápidos que su contra-parte determinista cuando consideramos las media para todos los casos de un tamaño dado,

pero, con mucha probabilidad, los casos que requieren mucho tiempo con el método determinista

ahora se resuelven más rápido.



Tipo b:Se les permite tomar decisiones que llevan a un

callejón sin salida.

Deben ser capaces de reconocer cuando estén en un callejón sin salida.

Si fallan, se vuelven a ejecutar con la misma entrada.



Tipo b:Solo son aceptables si la probabilidad de finalizar

con éxito es razonable.

Resuelven problemas en los que no se conoce algoritmos deterministas eficientes.

El tiempo de ejecución no esta acotado pero sí es razonable con probabilidad deseada para toda

entrada.



Tiempo esperado de Las Vegas tipo bSupongamos el siguiente algoritmo:


Mérida, Junio 2005

RepetirLV(TipoDato: x)

{pre: } {pos: }

[

LasVegas(x, y, exito)

]( exito )

Regresar y

TipoDato: y. Variable que almacena el resultado delalgoritmo.

Lógico: exito. Variable que controla el éxito o fracaso dela ultima ejecución de LasVegas


Dado que cada llamada a LasVegas(x, y, exito) tiene una probabilidad de éxito p(x), el número esperado de

pasadas por el bucle es 1/p(x)

Sea v(x) el tiempo esperado de ejecuciones de LasVegas(x, y, exito) si devuelve exito y f(x) el tiempo

esperado si devuelve falso, entonces el tiempo esperado de repetirLV(x) es:

t(x)=p(x)v(x) + (1-p(x)) (f(x)+t(x))t(x)=v(x) + (1-p(x))/p(x) f(x)



Ejemplo de Las Vegas tipo b: El Problema de las 8 Reinas

Ubicar 8 reinas en un tablero de ajedrez de forma que no se amenacen entre si.

Solución: Colocar aleatoriamente las reinas y verificar que no

queden amenazadas unas con otras.



Algoritmo


Mérida, Junio 2005

reinasLV(Arreglo de Enetero[1..8]: sol, logico: exito)

{pre: } {pos: }

col, diag45, diag135 = {}, {}, {}

[nb = 0

[ si( j !E col y jk !E diag45 y j+k !E diag135) entonces

nb = nb+1

ok[nb] = j

f_si

]j = 0, j=8

si nb=0 entonces terminar exito = falso

j=ok[uniforme(1..nb)]

col, diag45, diag135 = col U {j}, diag45 U {jk}, diag135 U {j+k}

sol[k+1] = j

] k=0, k=7

Regresar exito = verdadero

Entero: col, diag45, diag135.Almacenan las columnas y diagonalesque ya están ocupadas.

Entero Auxiliar: j, k


La probabilidad de éxito es p(x) = 0.1293 y la cantidad esperada de nodos a visitar si se fracasa es f(x) = 6.971, lo que quiere decir que se obtiene una

solución más de una vez de entre ocho!

El número total de nodos visitados (repeticiones del primer bucle) será:

t(x) = 9 + (1-0.1293)/0.1293 * 6.971t(x) = 55.93



El método de vuelta atrás necesita visitar 114 nodos para encontrar la primera solución, mientras que con

el método de Las Vegas se espera encontrar una solución visitando 55.93 nodos.

¡La mitad de los Nodos!



Hay que tener en cuenta que el los algoritmos de Las Vegas utilizan números seudo-aleatorios, lo que puede generar algunas discrepancias entre el tiempo

esperado y el tipo real de corrida.



El algoritmo de Las Vegas es muy “derrotista”, es decir, cuando encuentra un fallo vuelve a empezar

desde el principio.

El algoritmo de Vuelta Atrás hace una búsqueda sistemática.

Una combinación de ambos produce un algoritmo más eficiente.



“Vuelta a Las Vegas”La Idea es ubicar algunas reinas de forma aleatoria y

luego situar las restantes sistemáticamente.¿cuantas reinas debemos situar aleatoriamente?



Utilizando un computador hacemos corridas de prueba y calculamos la probabilidad de éxito (p), el número esperado de nodos a visitar en caso de éxito (v) y el

número esperado de nodos en caso de fracaso (f)No Reinas p v f t

0 1,0000 114,00 0,00 114,00

1 1,0000 39,63 0,00 39,63

2 0,8750 22,53 39,67 28,20

3 0,4931 13,48 15,10 29,01

4 0,2618 10,31 8,79 35,10

5 0,1624 9,33 7,29 46,92

6 0,1357 9,05 6,98 53,50

7 0,1293 9,00 6,97 55,93

8 0,1293 9,00 6,97 55,93



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