Зміст

. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ЗАГАЛЬНЕ ТА КАНОНІЧНЕ РІВНЯННЯСФЕРИ 2

Загальні відомості 2

Рівняння сфери 3

Приклади 5

ВЗАЄМНЕРОЗТАШУВАННЯСФЕРИ ІПЛОЩИНИ 6

ВЗАЄМНЕРОЗТАШУВАННЯСФЕРИ ІПРЯМОЇ 9

СПИСОКЛІТЕРАТУРИ 11

Загальні відомості. Загальне та канонічне рівняння сфери

Загальні відомостіДо поверхонь другого порядку належать поверхні, рівняння яких

є рівняннями другого степеня відносно x , y , z. Це сфера, циліндри другого порядку, поверхні обертання, еліпсоїд обертання, одно- і двопорожнинний гіперболоїди і гіперболоїди обертання, параболоїд обертання, еліптичний і гіперболічний параболоїди, коловий конус, конус. [4]

Сферою називається геометричне місце точок Сферою називається геометричне місце точок простору, рівновіддалених від даної точки, що простору, рівновіддалених від даної точки, що називається центром сфери. називається центром сфери.

Наприклад (Рис. 1). О – центр сфери. ОА – радіус сфери, АВ – діаметр сфери.

Рис. 1

Будь-який відрізок, який з’єднує центр і будь-яку точку сфери, також називають радіусом сфери. Відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр , називають діаметром сфери. Очевидно, діаметр сфери дорівнює 2R.

Рис. 2

Сферу можна отримати в результаті обертання півкола навколо його діаметра (Рис. 2). Сфера отримана поворотом півкола АСВ навколо діаметра АВ).

Тіло, обмежене сферою, називається кулею. Тіло, обмежене сферою, називається кулею.

Центр, радіуса і діаметр сфери називають також центром, радіусом і діаметром кулі. Очевидно, куля радіусом R з центром О містить всі точки простору, які розташовані від точки О на відстані, яка не перевищує R (включаючи точку О), і не містить інших точок.

Рис. 3

Рис. 4

Рівняння сфериНехай центром сфери є точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ), а її радіус дорівнює R

(Рис. 3).Виберемо на сферичній поверхні довільну точку M (x ; y ; z ) .

Відстань до цієї точки від центра, згідно з означенням, дорівнює R, тобто

|M M 0|=R . (1 )

Користуючись формулою d=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2+(z2−z1)2 для

відстані між двома точками M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) і M (x ; y ; z ), одержимо: √(x−x0)

2+( y− y0)2 +(z−z0)

2=R .(2)Рівняння (2) і є рівнянням сфери. Однак його можна звести до більш простого вигляду. Підносячи обидві частини рівності (2) до квадрата, остаточно одержимо:

( x−x0 )2+( y− y0 )2+( z−z0 )2=R2.(3)

Рівняння (3) є рівнянням сфери, яке називають канонічним рівнянням сфери з центром у точці M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) і радіусом R.В окремому випадку, коли центр сфери збігається з початком координат О(0; 0; 0) (Рис. 4), рівняння сфери матиме вигляд

x2+ y2+z2=R2.(4)

Розкриваючи дужки в рівнянні (3), рівняння сфери запишемо у вигляді:x2+ y2+z2−2 x x0−2 y y0−2 z z0+(x0

2+ y02+z0

2−R2)=0або

A x2+B y2+Cz2+2 Dx+2 Ey+2Fz+H=0 ,(5)де A=B=C=1 ,D=−x0 ,E=− y0 , F=−z0 , H=x0

2+ y02+z0

2−R2 . Рівняння (5) називають загальним рівнянням сфери.

З рівняння (5) випливає:1) рівняння сфери є алгебраїчне рівняння другого порядку, тобто

сфера – це алгебраїчна поверхня другого порядку;2) у рівнянні сфери коефіцієнти при квадратах змінних x2 , y2 , z2 рівня

між собою й дорівнюють одиниці, а коефіцієнти при добутку змінних величин xy , yz , zx відсутні, тобто дорівнюють 0.

Таким чином, за зовнішнім виглядом алгебраїчного рівняння другого степеня можна відразу зробити висновок, чи визначає воно сферу, чи ні.

Проведемо дослідження випадків виродження сфери в точку або уявну сферу.

У рівняння другого порядку, що описує сферу, коефіцієнти A ,B , C рівні між собою, тому позначимо B=C=A й запишемо (5) у вигляді

A(x¿¿2+ y2+ z2)+2Dx+2 Ey+2 Fz+H=0.(6)¿Поділивши всі коефіцієнти на A( A ≠ 0) і виділивши повні

квадрати, перепишемо рівність (6) у вигляді

(x+ DA

)2

+( y+ EA

)2

+(x+ FA

)2

= 1A2 ( D2+E2+F2 )− 1

AH .(7)

або, ввівши позначення x0=

−DA

, y0=−E

A, z0=

−FA

, h=−HA

у вигляді(x−x0)

2+( y− y 0)2+(z−z0)

2=x02+ y0

2+ z02+h .(8)

У залежності від знака правої частини цього рівняння можуть бути такі випадки:

1. Якщо x02+ y0

2+z02+h>0 ,то припустивши x0

2+ y02+z0

2+h=R2 з рівняння (8), одержимо

(x−x0)2+( y− y 0)

2+(z−z0)2=R2 ,(9)

що, як відомо, є рівнянням сфери з центром у точці M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ).2. Якщо x0

2+ y02+z0

2+h=0 ,то рівняння (8) набере вигляду:(x−x0)

2+( y− y 0)2+(z−z0)

2=0.(10)Дане рівняння задовольняється тільки при

x=x0 , y= y0 , z=z0 .(11)

Таким чином, у цьому випадку рівняння (10) є рівнянням сфери, що виродилася в точку, тобто сфери з нульовим радіусом.

3. Якщо x02+ y0

2+z02+h<0 ,то припустивши x0

2+ y02+z0

2+h=¿¿−R2, рівняння (8) набере вигляду

(x−x0)2+( y− y 0)

2+(z−z0)2=−R2 .(12)

Очевидно, що дане рівняння не задовольняється жодного з точок простору. Тому рівняння (12) є рівнянням уявної сфери.

Отже, алгебраїчне рівняння другого степеня (5) визначає сферу за таких умов:

{ A=B=C ,D2+ E2+ F2−AH >0.

При вивчення будь-якої поверхні уявлення про її вигляд часто дає можливість отримати так званий метод перерізів. Суть його полягає в знаходження ліній перетину даної поверхні з різними системами площин, наприклад площини, паралельних координатним.

Так, розрізаючи сферичну поверхню площинами z=z0 , y= y0 , z=z0, ми будемо отримувати кола з радіусами, рівними радіусу сфери. Це підтверджується виглядом рівнянь, в які перетворюється рівняння сфери за відповідних умов:

1) при z=z0 ( x−x0 )2+( y− y0 )2=R2 ; (13 )2) при y= y0,(x−x0)

2+(z−z0)2=R2 ;(14)

3) при x=x0 , ( y− y0 )2 +(z−z0)2=R2 ;(15)

При значеннях z у проміжку (z0−R , z0+R), у проміжку (y0−R , y0++R) і x у проміжку (x0−R , x0+R), відповідні перерізи сфери будуть утворювати також кола, але вже з меншими радіусами.

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як:

x=x0+ρcosϑcosφy= y0+ ρcosϑsinφ

z=z0+ρsinφ . (16)Зовнішній вигляд рівняння кола на площині x2+ y2=R2і рівняння

сфери в просторі (4) схожий. Це пов’язано з тим, що коло є проекцією сфери на площину, як і одночасно з тим полярні координати є проекцією на площину сферичних.

ПрикладиПриклад 1. Яку поверхню визначає рівняння x2+ y2+z2+2 x+4 y−6 z−2=0?

Доповнюючи члени, що містять x, y, z, до повних квадратів, маємо:

(x+1)2+( y+2)2 +(z−3)2=16.Отже, дана поверхня є сфера з центром у точці M 0 (−1;−2 ;3 )і

радіусом R=4.Приклад 2. Знайти точки перетину сфери (x−4)2+¿ із прямою

лінієюx−3−1

= y+32

= z−4−2

.

Зводячи рівняння даної лінії до параметричного вигляду x=3−t , y=−3+2t , z=4−2 t і підставляючи дані значення x, y, z у рівняння сфери, одержимо:

(−1−t)2+¿Звідки t 1=−4 , t2=2. Підставляючи ці значення параметра в

параметричні рівняння прямої лінії, одержимо відповідні дві точки перетину даних сфери та прямої лінії:

M 1 (7 ;−11 ;12 ) , M 2 (1;1 ;0 ) . [3]

Взаємне розташування сфери і площиниДослідимо розташування сфери і площини в залежності від

співвідношення між радіусом сфери і відстані від її центра до площини. Позначимо радіус сфери буквою R, а відстань від її центра до площини α – буквою d. Введемо систему координат так, як показано на мал. 3: площина Oxy співпадає з площиною α , а центр С сфери лежить на півосі Oz. В цій системі координат точка С має координати (0; 0; d), тому сфера має рівняння

x2+ y2+(z−d )2=R2 .Площина αспівпадає з координатною площиною Oxy, і тому її

рівняння має вигляд z=0.Якщо координата будь-якої точки M (x ; y ; z ) задовольняють двом

рівнянням, то точка M лежить як і в площині α , так і на її сфері, тобто є спільною точкою площини і сфери. Якщо ж система цих двох рівнянь не має розв’язку, то сфера і площина не мають спільних точок. Таким чином, питання про взаємне розташування сфери і площини зводиться до розгляду системи рівнянь:

¿

Підставимо z=0 в друге рівняння, отримаємоx2+ y2=R2−d2 .(17)

Можливі три випадки:1. d<R .Тоді R2−d2>0, і рівняння (17) є рівнянням кола радіуса

r=√R2−d2 з центром в точці О на площині Oxy. Координати будь-якої точки M (x ; y ; 0 ) цього кола задовольняють як рівняння площини α , так і рівняння сфери, тобто всі точки цього кола є спільними точками площини і сфери (Рис. 5 (а, б,в)). Таким чином, в даному випадку сфера і площина перетинаються по коло.

Отже, якщо відстань від центра сфери до площини Отже, якщо відстань від центра сфери до площини менша радіуса сфери, то перетин сфери площиною є менша радіуса сфери, то перетин сфери площиною є коло. коло.

Зрозуміло, що перетин кулі площиною є круг. Якщо січна площина проходить через центр кулі, то d=0 і в перетині отримуємо круг радіуса R, тобто круг, радіус якого дорівнює радіусу кулі. Такий круг називається великим кругом кулі (Рис. 6). Якщо січна площина не проходить через центр кулі, d>0 і радіус перетину r=√R2−d2, очевидно, менша за радіус кулі.

Рис. 5 (а, б, в)

2. d=R .Тоді R2−d2=0, і рівняння (17) задовольняють тільки значення x=0 , y=0. Отже, тільки координати точки О (0; 0; 0) задовольняють двом рівнянням, тобто О – єдина спільна точка сфери і площини (Рис. 5 (а, б, в)).

Отже, якщо відстань від центра сфери до площини Отже, якщо відстань від центра сфери до площини рівна радіусу сфери, то сфера і площина мають тільки рівна радіусу сфери, то сфера і площина мають тільки одну спільну точку.одну спільну точку.

3. d>R .Тоді R2−d2<0, і рівняння (17) не задовольняють координати жодної з точок.

Отже, якщо відстань від центра сфери до площини Отже, якщо відстань від центра сфери до площини більша радіусу сфери, то сфера і площина не мають більша радіусу сфери, то сфера і площина не мають спільних точок (спільних точок (Рис. 5 (а, б, в)Рис. 5 (а, б, в)).).

Рис. 6

Рис. 7

Розглянемо більш детально випадок коли сфера і площина мають тільки одну спільну точку. Площина, яка має з сферою одну спільну точку, називається дотичною площиною до сфери, а їх спільна точка називається точкою дотику площини і сфери. На Рис. 7 площина α – дотична до сфери з центром О, А – точка дотику. Дотична площина до сфери володіє властивістю, яка аналогічна властивості дотичній до окружності. Вона виражається в наступній теоремі:

Теорема. Радіус сфери, проведений в точку дотику сфери і площини, перпендикулярний дотичній площині.

Доведення. Розглянемо площину α , яка дотикається до сфери з центром О в точці А (Рис. 7). Доведемо, що OA⊥α.

Припустимо, що це не так. Тоді радіус OA є похилою до площини α , і відстань від центра сфери до площини α менша за радіус сфери. Тому сфера і площина перетинаються по колу. Але це суперечить тому, що площина α - дотична, тобто сфера і площина α мають тільки одну спільну точку. Отримане протиріччя доводить, що OA⊥α. Теорема доведена.

Доведемо обернену теорему.Теорема. Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, яка

проходить через його кінець, який лежить на сфері, то ця площина є дотичною до сфери.

Доведення. Із умови теореми випливає, що даний радіус є перпендикуляром, який проведений із центра сфери до даної площини. Тому відстань від центра сфери до площини дорівнює радіусу сфери. Отже, сфера і площина мають тільки одну спільну точку. Це і означає, що дана площина є дотичною до сфери. Теорема доведена. [2]

Взаємне розташування сфери і прямоїРозглянемо взаємне розташування сфери з центром О і прямої а

в залежності від співвідношення між радіусом сфери R і відстані d від центра сфери до прямої а. Проведемо через центр сфери і пряму а площину α (якщо центр сфери лежить на прямій а, то в якості площини α візьмемо будь-яку площину, яка проходить через пряму а). Вона перетинає сферу по колу L з центром О радіуса R. Зрозуміло, що всі спільні точки сфери і прямої а (якщо вони є) лежать в площині α і, отже, на колі L. Можливі три випадки:

1. d>R. В цьому випадку коло L і пряма а не мають спільних точок, тому сфера і пряма а також не мають спільних точок (Рис. 8).

Рис. 8

2. d=R. В цьому випадку коло L і пряма а мають рівно одну спільну точку, тому сфера і пряма а також мають рівно одну спільну точку (Рис. 9).

Рис. 9

3. d<R. В цьому випадку коло L і пряма а мають рівно дві спільні точки, тому сфера і пряма а також мають рівно дві спільні точки (Рис. 10).

Пряма, яка має з сферою рівно одну спільну точку, називається дотичною до сфери, а спільна точка – точкою дотику прямої і сфери.

Рис. 10

Радіус сфери, проведений в точку дотику сфери і прямої, перпендикулярний до цієї прямої.

Якщо радіус сфери перпендикулярний до прямої, яка проходить через його кінець, який лежить на сфері, то ця пряма є дотичною до сфери.

Рис. 11

Розглянемо тепер дві дотичні до сфери з центром О, які проходять через точку А і дотикаються до сфери в точках В і С (Рис. 11).

Відрізки АВ і АС назвемо відрізками дотичних, які проведені із точки А. Вони володіють наступною властивістю: відрізки дотичних до сфери, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівня кути з прямою, яка проходить через цю точку і центр сфери.Це випливає із рівності прямокутних трикутників АОВ і АОС (вони мають спільну гіпотенузу АО і катети ОВ і ОС, рівні радіусу сфери). [1]

Список ілюстраційРис. 1............................................................................................................................................................2Рис. 2............................................................................................................................................................2Рис. 3............................................................................................................................................................3Рис. 4............................................................................................................................................................3Рис. 5 (а, б, в)...............................................................................................................................................7Рис. 6............................................................................................................................................................8Рис. 7............................................................................................................................................................8Рис. 8............................................................................................................................................................9Рис. 9............................................................................................................................................................9Рис. 10........................................................................................................................................................10Рис. 11........................................................................................................................................................10

Список літератури

[1] Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов та С. Б. Кадомцев, Геометрия 10-11 классы, Москва: Просвещение, 2009.

[2] Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов та С. Б. Кадомцев, Геометрия, Москва: Просвещение, 1992.

[3] Б. В. Гриньов та І. К. Кириченко, Аналітична геометрія, Харків: "Гімназія", 2003.

[4] М. І. Шкіль, Т. В. Колесник та В. М. Котлова, Вища математика, Київ: "Либідь", 2010.