1.1.- Ejercicios del Teorema de Pitágoras
· Encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
( c= c= c= c= 2 )
( c = ? )
( a= ) ( b = )
· ( ? ) ( A )Encontrar el valor del cateto a y el ángulo A de un triángulo rectángulo, sabiendo que B mide 37º, su hipotenusa mide 3 y su cateto mide
( b= c= c= c= b= 2 )
( c = )
( b = ? )
( 37º )
( b = ) ( c = )
( csc A = ) ( sec A = ) ( cot A = ) ( tan A = ) ( cos A = ) ( sen A = ) ( csc B = ) ( sec B = ) ( cot B = ) ( tan B = ) ( sen B = ) ( cos B = ) ( a= ) ( B ) ( C ) 2.1.2 Funciones trigonométricas de ángulos notables.
FUNCIONES 45 30 60
sen
cos
tan
cot
sec
csc
· ( A )Hallar Las funciones del ángulo B, sabiendo que b = 5 y c = 13.
( a= a= a= )
( sen B = ) ( cos B = )
( tan B = ) ( sec B = ) ( csc B = ) ( cot B = ) 2.2 Problemas con funciones Trigonométricas
La longitud del hilo que sostiene una cometa es de 250m y el ángulo de elevación es de 40°grados.
( )
160, 69 = h
Un árbol ha sido roto por el viento del modo que sus 2 ramas forman un triangulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35° con el piso y la distancia sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide es de 5m.
Hallar la altura que tenía el árbol
d2 Tan35°= d2=
Árbol= d1+d2 Árbol=3,5m + 6,1m=9,6m
Desde un punto situado a 200m, seguido por una horizontal del pie de una torre, se observa que el ángulo de elevación de la cúspide es de 60°.
Calcular la altura de la torre.
Tan60°=
h=346,41m
200m 60
El palo central de una tienda de campaña tiene una elevación de 6m y su parte superior está sostenida por cuerdas de 12m de largo amarrados a estacas clavadas en la tierra
¿A qué distancia están las estacas del pie del mástil?
¿Cuál es la inclinación de los cables?
( 6m )
x
Los ángulos iguales de un triangulo isósceles son de 35° y la base de 313,18cm.
Hallar sus otros elementos.
313,18cm c=240cm A=110°
Un poste de 10m de longitud proyecta una sombra de 8,34m.
Hallar el ángulo de elevación del sol.
Tan
10m
8,391m
Con el fin de hallar el ancho de un rio se ha medido una base (AC) de 350m a lo largo de una de sus orillas. Sobre la orilla opuesta se toma un punto B tal que (CB) sea perpendicular a (AC).También se ha medido el ángulo CAB y resulta ser de 52°,12.
Hallar el ancho del rio
350m
CB=(350m) Tan 52°12
C CB=451,217m
12cm Sen22,5°=6cm R
R=14,49cm
Desde la parte superior de una torre de 120m de altura se observa que el ángulo de depresión de un objeto que esta a nivel de la de la torre es de 27°,43
¿Cuáles son las distancias del objeto a la punta y a la base?
( 120m ) ( )
3.3 Relaciones binarias
Dados los conjuntos A y B, decidimos que R es una relación de A en B si es subconjunto del producto cartesiano.
A B
1 4
2 5
3.3.1 Dominio
Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de una relación
3.3.2 Rango
Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de una relación
Ejemplo:
A
5
6
7
3.5.1 Propiedad Reflexiva
Se dice que una relación en un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo mismo
A
1
2
3
Ejemplo:
A
4
7
9
3.5.2 Propiedad Simétrica
Una relación es simétrica cuando cada vez que entonces está relacionado con
A
a
b
c
Ejemplo:
17
25
3.5.3 Propiedad Transitiva
Una relación es transitiva si cada vez que está relacionada con la y la esta relacionada con la , entonces está relacionada con
A
13 17
25
Conclusión: si una relación cumple con las tres propiedades es decir que esa relación es de equivalencia.
4. Funciones
Una función es una relación especial que se denota si solo si cada elemento de le corresponde un único elemento
Ejemplo:
1. Conjunto de partida dominio de la relación
2. No deben existir dos pares con la primera componente igual
4.1 Funciones de variable real
Variable independiente
Variable dependiente
4.2 Gráfico de una Función Lineal
4.3 Intervalos
Graficar las siguientes funciones lineales:
1.- g=
3.- f(x) = x-3; < -2; 4]
4.- f (x) = 2x - 2; x [-2; 3]
5.- f (x) = 3x - 1; x [-1; 3]
6.- f(x) = 4x; x [-1; 2]
7.- f(x) = 2x; x [-2; 4]
5. Pendiente de una Recta
· y = 2x-1
Pendientes es igual al ángulo de inclinación:
· Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:
1.- P = (; 1) Q = (0.5; 3)
2.- P = (-1/2; ) Q = (3; -4)
3.-
Observación: Si la pendiente (m) es positiva la recta estará hacia la derecha y si la pendiente es negativa la recta estará inclinada hacia la izquierda
5.1 Rectas Paralelas Y Perpendiculares
5.1.1 Paralelas
Dos rectas son paralelas si solo sí son pendientes iguales: m1=m2.
5.1.2 Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares entre sí y solo sí el producto de sus pendientes es igual a -1: m1*m2 = -1.
· Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares:
No son ni paralelas ni perpendiculares porque y .
5.2 Ecuación de la recta Punto – Pendiente
Ejemplo:
Determinar la ecuacion de una recta que pasa por el punto (-2;5) y de pendiente -3
P (-2;5)
m = -3
y = -3x-1 Forma y = mx+b
3x+y+1 = 0 Forma general
Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7;1/2) y tiene de pendiente -1/3
5.3 Ecuación de la recta Punto – Punto
y-y1 = m (x-x1)
x2-x1
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3;4) (5;3)
y = -4 (-3-4 )
P1 = (a;0)
y-y1 = m(x-x1)
ay = -b(x-a)
a = Abscisa al origen
b = Ordenada al origen
Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3x+2y-6 = 0
3x+2y = 6
1/2x+y/3 = 1
5x-3y+15 = 0 Determina 1 triángulo con los ejes. Calcular el área del triángulo.
5x-3y = -15
(-3;0)
(0;5)
El área de un triángulo es 10u^2 y el segmento que determina sobre el eje "x" mide 4u hacia la derecha del origen, calcular el valor de la ordenada al origen y escribir la ecuación simétrica.
10(2) = h
5x+4y = 20
5x+4y-20 = 0
6. Función Creciente
Una función f es creciente si para todo x1 y x2 D se cumple que: x1<x2 f(x1) < f(x2)
Ejemplo:
1) f(x) = 3/2x+1
D= -3 < x ≤ 7
P1(x1;y1)
P2(x2;y2)
1.- Calcular la distancia entre los puntos A.(-3;5) y B.(4;-2)
dAB = √(4+3)^2+(-2-5)^2
dAB=√49+49
dAB = 7√2
3.- La ordenada del punto A. es 8 y su distancia al punto B. (5;-2) es 2√41. Hallar la abcisa de A.
P1: (0;8)
(x-13)(x+3)=0
x = 13
x = -3
164 = x^2-10x+125
0 = x^2-10x+125-164
dAB = √(2+1)^2+(2+2)^2
dAB = √6+16
P1: -1/2;√3
P2: 1/2;2√3
dPQ = √4
dPQ = 2
3) Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(1;5) y B(7;-3),C(-4;-3)
P1: (1;5)
P = 30.47m
P2: (7;-3)
C: (-4;-3)
C: (-4;-3)
AB = CD
BC = DE
xm-xy = x2-xm
ym-y1 = y2-ym
Fórmula
2
2
Ejercicios:
1.- Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB siendo A(7;-5) y B(5;3)
A(7;-5)
xm = 6
ym = -1
2.- Si el punto medio del segmento AB es (3;2) y sabiendo que su punto A(4;5). Hallar las coordenadas
del punto B.
xm = x2+x1
ym = y2+y1
Suma de ecuaciones lineales
{
2x-y = 9
Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar valores para "x" y para "y" que permitan
mantener la igualdad en las 2 ecuaciones. Entre los métodos de resolución de un sistema de ecuación
tenemos los siguientes:
1.- método gráfico
Método Gráfico
El método gráfico consiste en dibujar las dos rectas en un mismo plano cartesiano.
Posibilidad de soluciones:
1.- solución única: el sistema tiene solución única cuando las dos rectas intersecan en el mismo punto.
2.- infinitas soluciones: un sistema tiene infinitas soluciones cuando la primera recta coincide con la segunda recta.
3.- No tiene solución: un sistema no tiene solución cuando sus rectas son paralelas.
Deber
· Para tres números reales:;
· Para tres números reales:;
La propiedad de tricotomía dicta que:
· Para dos números reales cualquiera solo se cumplirán una de las siguientes:
· Si entonces
· Si entonces
12. Inecuaciones lineales
Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguientes formas
1.
2.
3.
4.
La solución de una inecuación lineal con 2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad.
Por lo tanto la solución se observara en el grafico como una región que se encuentra sombreada bajo o sobre una recta.
Ejemplo:
2. Paso : despejar la y
3. Paso : Tabla de valores
4. Paso : graficar
Sobre la recta Bajo la recta
Si la inecuación tiene símbolos de , la línea recta que se dibuja para su solución va en forma punteada.
Esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta no son parte de la solución.
Si la inecuación tiene símbolos , la línea recta va en forma continua, esto quiere decir que los puntos pertenecen a la recta son parte del conjunto solución.
Determinar la solución de las siguientes ecuaciones lineales
1.
Bajo la recta
13. Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación de 2º grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se que se puede expresar como:
, donde son números reales y
Ejemplo:
13.1 Método de Factorización
Uno de los métodos para determinar las raíces de una ecuación cuadrática y por factorización consiste en descomponer en factores a la expresión y luego aplicar el tema de factor o que indica que entonces hay que igualar cada factor para obtener las posibles raíces
Ejemplo:
a)
3. Paso : resolver
4. Paso : comprobación
13.2 Método de completación del Cuadrado
Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se debe sumar y restar la expresión , con el coeficiente de igual a
Ejemplo:
2. Paso : Calcular el termino
3. Paso : pasar el termino independiente a la derecha
4. Paso : sumar la expresión (en ambos lados)
5. Paso : Factorizar
·
·
14. Función cuadrática
Una función cuadrática es de la forma o en donde a, b y c son números reales ya demás a tiene que ser diferente de 0.
Lo grafico de una función cuadrática es una parábola que puede tener su abertura hacia arriba y hacia abajo.
Si el coeficiente a de la función cuadrática es positivo (a>0) la parábola se abre hacia arriba.
a>0
Si el coeficiente de la función cuadrática es negativo (a<0) la gráfica de la parábola se abrirá hacia abajo.
a<0
El coeficiente c en la función cuadrática determina el punto de corte con respecto al eje de las “y”.
Ejemplos:
En las siguientes funciones cuadráticas determinar hacia donde se abre la parábola y cuál es su punto de corte ene l eje de las “Y”.
1.
a= -3 a<0 la parábola se abre hacia abajo.
c= -7 la parábola corta por -7 en el eje de las “Y”
C = -7
15. Vértice de la parábola
El punto más bajo en una parábola que se abre hacia arriba y el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo se llama vértice.
( -- ) Vértice
Vértice
Pasos
2. Calcular el vértice.
( -- )
16. Eje de simetría
El eje de simetría es una línea imaginaria que pasa por el vértice y divide en dos partes a la parábola.
( Calcular el vértice y graficar una línea vertical. )
Eje de simetría
17. Raíces de una función cuadrática
( )
( -- ) ( -- )
· Cuando la parábola no interseca con el eje de las “X” los números son irreales.
· Cuando la parábola interseca con un solo punto en el eje de las “X” es cuando hay una sola solución (Un trinomio cuadrado perfecto).
18. Punto máximo y mínimo
Punto máximo._ en una parábola que se abre hacia abajo al punto más alto (vértice) se lo llama también punto máximo.
Vértice
( )
( )
19. Dominio y recorrido de la función cuadrática
Dominio._ el dominio son todos los valores que puede tomar “X” en la función cuadrática para encontrar un respectivo y. en el caso de a función cuadrática el dominio serán todos los números reales.
Recorrido._ rango o imagen, el recorrido son toso los valores que pueda tomar “Y” en a función de x. en una función cuadrática que se abre hacia arriba el recorrido será el intervalo desde el punto mínimo hasta el infinito positivo, si la parábola se abre hacia abajo el recorrido será desde el punto máximo hasta el infinito negativo.
( y._ recorrido )
( x._ dominio )
a) Hacia donde se abre la parábola
b) Punto de corte en el eje “Y”
c) Vértice
f) Si tiene punto máximo o mínimo
g) Grafica
h) Dominio y recorrido
i) Signos de f(X)
( a= 1 a>0 la parábola se abre hacia arriba. c= 2 la parábola corta en 2 del eje de las “y” Eje de simetría Vértice Tiene punto mínimo porque la parábola se abre hacia arriba. Dominio y recorrido D= R R= ) Signos de f(x) - -2 -3 + + - + )
( a= 2 a>0 la parábola se abre hacia arriba. c= 5 la parábola corta en 5 del eje de las “y” Eje de simetría Vértice Dominio y recorrido D= R R= ) Signos de f(x) - + + )
( x y (x; y) -1 10 (-1; 10) 2 7 (2; 7) 3 14 (3; 14) -2 19 (-2; 19) )
Deber
a) Hacia donde se abre la parábola
b) Punto de corte
a) Hacia donde se abre la parábola
b) Punto de corte
c) Eje de simetría
( a= 2 a>0 la parábola se abre hacia arriba. x y (x; y) 2 8 (2; 8) 1 2 (1; 2) -1 2 (-1; 2) -2 8 (-2; 8) )
( a= - 2 a< 0 la parábola se abre hacia a bajo . x y ( x;y ) 2 -8 (2; -8) 1 -2 (1; -2) -1 -2 (-1; -2) -2 -8 (-2; -8) )
( a= 1 b= 2 la parábola se abre hacia a rriba . Vértice )
x
y
(-2; 0)
( a= 1 a> 0 la parábola se abre hacia arriba . Vértice x y (x; y) 1 -3 (1; -3) 2 -4 (2; -4) -2 12 (-2; 12) -1 5 (-1; 5) 3 -3 (3; -3) -3 15 (-3; 15) )
( a= -2 a< 0 la parábola se abre hacia abajo . Eje de simetría Vértice x y (x; y) 1 4 (1; 4) 2 4 (2; 4) -1 -8 (-1; -8) )
20. inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática debe ser de la forma
( Resolver una inecuación cuadrática consiste en determinar todos los valores que puede tomar “X” )
Ejemplo:
1.
COMPROBACION:
-2
2.
3.
4.
COMPROBACION:
3
COMPROBADO
DEBER
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
4º cotangente
5º secante
6º cosecante
cot / ctg
secb =/( )= /
cscb =/( )= /

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