rosmetod.rurosmetod.ru/upload/2014/11/22/05-44-00-alehina-sborn… · web view2014/11/22 ·...

ГБОУ СПО

«Прасковейский сельскохозяйственный техникум»

Математика

Сборник

практических занятий по математике.

2 курс .

Специальности:

080114 «Экономика и бухгалтерский учет»

( по отраслям)

100701 «Коммерция» ( по отраслям)

110812 «Технология производства и переработка сельскохозяйственной продукции

260103 « Технология хлеба и хлебобулочных изделий»

260107 «Технология бродильных производств и виноделия».

с. Прасковея, 2014г.

Данное пособие является руководством к решению задач по математике по всем разделам программы для техникумов на базе полной средней школы. Содержит теоретический материал, который сопровождается примерами, изложенными в доступной для понимания форме, а также практические задания для решения в аудитории и для расчетно-графической работы. Может использоваться во время практических занятий в качестве задачника для самостоятельной работы и контроля знаний студентов. Предназначено преподавателям математики средних специальных учебных заведений и студентам вторых курсов. Рассчитано на творческое использование.

Составитель: Алехина Л.Н. – преподаватель ГБОУ СПО «Прасковейский сельскохозяйственный техникум»

Содержание.

Введение 6

Инструкционные карты к практическим занятиям:

Тема 1. Построение графиков основных элементарных функций. 7

Ознакомиться с разделом теоретические обоснования и методические указания по решению задач.

Решить задачи самостоятельно

Ответить на вопросы для самоконтроля

Тема 2 Вычисление пределов.11

Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач»

Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20


Выполнить индивидуальное задание:

Тема 3 Вычисление производных. 17 Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач»




Тема 4 Исследование функций с помощью производных и построение графиков. 21





Тема 5 Нахождение неопределенного интеграла.34





Тема 6 Матрица. Действия с матрицами. 41 Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач»




Тема 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса. 46



Решить один из кроссвордов


Тема 8 Построение математических моделей простейших экономических задач. 56


Решить задачи самостоятельно по вариантам


Тема 9 Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетание, размещения. 67


Решить задачи самостоятельно по вариантам


Тема 10 Действие над комплексными числами. 71 Изучить теоретическую часть темы.

Изучить практическую часть темы и выполнить практические задания.

Ответить на вопросы для самоконтроля. 11. Приложение 1 91

Приложение 2


12. Литература 94

13. Заключение 95

Введение.

Каждая математическая теория становится более понятной и доступной, если ее удается использовать для решения практических задач. Настоящее методическое пособие позволяет каждому студенту техникума, приобрести навыки использования теоретических знаний на практике.

Основную часть практикума составляют 10 практических занятий, соответствующих программе по математике для 2 курсов. Каждая практическая работа состоит из теоретических обоснований и методических указаний по решению задач, задач для самостоятельной работы и вопросов для самоконтроля.

Решать задачи можно на уроках практических занятий или дома. Рекомендуется решение задач оформлять в специальных тетрадях, чертежи чертить карандашом и линейкой. Перед тем как приступить к решению задачи, рекомендуется переписать ее текст вместе с числовыми данными, изучить теоретический материал, составить план решения задачи. Результаты вычислений следует оформлять в виде таблиц.

Основная задача дисциплины « Математика» для средних специальных учебных заведений состоит в том, чтобы вооружить студентов основами математических знаний, умений и навыков, необходимым для их повседневной практической деятельности , для усвоения общетехнических и специальных дисциплин, а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования.

При подборе теоретических сведений автор сознательно старалась избежать дублирования учебников. Поэтому теория в пособии дается в сжатой форме и служит в основном для того, чтобы при решении задач можно было делать точные ссылки на нужные формулы , определения, теоремы, правила.

В приложениях содержатся таблицы:

- формулы сокращенного умножения;

- таблица значений тригонометрических функций;

- правила и формулы дифференцирования функций;

- таблица основных интегралов.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №1

Дисциплина: МатематикаКУРС: 2

ТЕМА: Построение графиков основных элементарных функций.

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ: Обобщить и систематизировать знания о функциях, показать умения построения графиков основных элементарных функций.

ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА

ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;

2.Средства вычислительной техники.

3 .Мультимедийное устройство

ЛИТЕРАТУРА: Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;

Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование». Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;

Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва, ОНИКС «Мир и образование – 2007»;

Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы оптимизации, Ставрополь 2000 г.;

Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач» ( Приложение 1)

2.Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)

3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)

4.Индивидуальное задание

а) подготовить презентацию: «Числовые функции и графики».

б) составить мини – конспект: «Графики элементарных функций».


ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Определение. Пусть даны два множества действительных чисел X и Y. Функциональной зависимостью (функцией) называется закон, по которому каждому значению величины х€Х, называемой аргументом, ставится в соответствие некоторое (единственное) число у = f(x) из множества Y. Множество X называется областью определения функции (обозначается D (f) или Df).

Множеством значений E(f) числовой функции f называется множество всех а € R, для которых существует хотя бы одно x€ D(f) такое что f(x) = а. Можно сказать иначе: E(f) состоит из тех значений а, при которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы одно решение. В простых случаях это уравнение можно исследовать и тем самым отыскать E(f).

В математике словом "функция" называют и закон (правило) соответствия f, и величину f(x).

Способы задания функций.

1. Аналитический - задание функции формулой, показывающей способ вычисления значения функции по соответствующему значению аргумента. Среди всего многообразия функций выделяют группу функций, называемых элементарными - это алгебраические функции (степенные с рациональным показателем, многочлены, рациональные) и трансцендентные функции (степенные с иррациональным показателем, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические), а также функции, получаемые из названных с помощью арифметических действий, (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций, применяемых конечное число раз.

При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение у через х, т.е. формула имеет вид у = f(x\ неявно, когда x и у связаны между собой уравнением вида F(x, у) = 0, а также параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

Например, два равенства х = 2t, y = 3t 2+4 определяют

параметрически через параметр функцию у = х2 + 4.

2.Табличный - указание значений функции от соответствующих значений аргумента. Этот способ применяется в тех случаях, когда область определения функции состоит из конечного числа значений. В виде таблиц записывают результаты экспериментального исследования каких-либо процессов.

3.Графический. Для функции, заданной графиком, по чертежу находятся значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно.

Композиция функций. Пусть заданы две функции x = g(t) и у = f(x\ причем область определения функции f содержит область значений функции g, тогда каждому значению t из области определения функции g естественным образом соответствует у такое, что у = f(x) где x= g(t). Эта функция, определяемая соответствием у = f(g (t)), называется сложной функцией, или композицией (суперпозицией) функций.

Например, функция у = представляется как сложная функция так: у= , и =cos x

Свойства четной функции

Область определения четной функции симметрична относительно точки х = 0 на координатной прямой Ох.

Сумма, разность, произведение и частное четных функций являются четными функциями.

Производная четной функции есть нечетная функция.

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции - относительно начала координат.

Свойства нечетной функции.

Область определения нечетной функции симметрична относительно точки х = 0 на координатной прямой Ох. Сумма и разность нечетных функций являются нечетными функциями, а произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями.

Производная нечетной функции есть четная функция.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.


Построить графики функций.

1 вариант

2 вариант

3 Вариант

1. 2.

3.

4.

5.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Что называется функцией?

Что такое область определения и область значений функции?

Что называется функцией обратной данной?

Дать определение сложной функции.

Привести примеры обратимых функций.

Перечислить способы задания функций, их достоинства и недостатки.

Что называется графиком функции?

Каковы особенности графиков прямой и обратной функции?

От чего зависит область определения сложной функции?




ТЕМА: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ.

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

А) Учебная, развивающая: закрепить умения и навыки, полученные в процессе изучения темы, проверить степень усвоения знаний и сформулированных умений.

Б) Воспитательная: продолжить формирования чувства самокритичности в оценке результатов своей работы, что особенно важно в процессе выполнения самостоятельной работы.




3.Справочная литература.







1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач» ( Приложение 1)

2.Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20 ( Приложение 2)

3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)

4.Выполнить индивидуальное задание:

а). Подготовка презентации: «Теория пределов», подготовка рефератов по теме: «Два замечательных предела», составление и решение кроссвордов.

б).Домашняя работа по индивидуальным карточкам.



ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Общие сведения:

Число А называется пределом числовой последовательности если для любого существует такое натуральное число N, что для всех выполняется неравенство:

Число А называется пределом функции в точке x0 (при стремлении х к х0), если для любого существует такое что для всех х, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Предел числовой последовательности обозначается т.е. предел функции f(x) в точке x0 при стремлении х к х0, обозначается .

Укажем те основные свойства пределов, которые будут использованы при решении задач. Обозначим через С некоторую постоянную.

Пусть тогда

Если существуют конечные пределы существуют и конечные пределы:

(

Свойства пределов:

(

(

Приведем некоторые замечательные пределы, которые будут использованы при решении задач:

101

n=e

Решение типовых задач

РЕШЕНИЕ: при n- имеет неопределенность вида. В числителе выражения находится сумма членов арифметической прогрессии которая вычисляется по формуле.

В нашем случае

Следовательно

Разделим числитель n на знаменатель n2, после преобразования получим:

Разделим числитель и знаменатель на x3 т.к. при отношении;

Разделим числитель и знаменатель на х и после преобразования будем иметь

Разделим числитель и знаменатель на x3

Приведем выражение к общему знаменателю

Умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное

потому что

первый знаменательный предел.


РЕШИТЬ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Вычислить пределы функций:

1 . а)

b)

c)

d)

e)

2 . a)

b)

c)

d)

e)

3. a)

b)

c)

d)

e)

4 . a)

b)

c)

d)

e)

5 . a)

b)

c)

d)

e)

6 . a)

b)

c)

d)

e)

7 . a)

b)

c)

d)

e)

8 . a)

b)

c)

d)

e)

9 . a)

b)

c)

d)

e)

10 .a)

b)

c)

d)

e)

11 . a)

b)

c)

d)

e)

12 .a)

b)

c)

d)

e)

13 . a)

b)

c)

d)

e)

14 . a)

b)

c)

d)

e)

15 . a)

b)

c)

d)

e)

16 . a)

b)

c)

d)

e)

17 . a)

b)

c)

d)

e)

18 . a)

b)

c)

d)

e)

19 . a)

b)

c)

d)

e)

20 . a)

b)

c)

d)

e)

21 . a)

b)

c)

d)

e)

22 . a)

b)

c)

d)

e)

23 . a)

b)

c)

d)

e)

24 . a)

b)

c)

d)

e)

25 . a)

b)

c)

d)

e)



Что называется пределом функции в точке?

Что называется пределом последовательности?

Перечислите свойства пределов.

Назовите 1 знаменатель предела.

Назовите 2 знаменатель предела.

Какая функция называется непрерывной?

Что называется числовой последовательностью?

Чему равны предел суммы?

Какая величина называется бесконечно малой?

Чему равны пределы бесконечной малой величины?



Дисциплина: МатематикаКУРС:2

ТЕМА: Дифференцирование сложной функции.


а)Учебная, развивающая: научить дифференцировать сложную и обратную функцию.

б)Воспитательная: развивать творческую активность студентов, привить интерес к изучению математики в процессе применения формул.










1. Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач» ( Приложение 1)

2. Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 21 ( Приложение 2)

3. Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)

4. Выполнить индивидуальное задание:

а. Решить кроссворд

б. Составить карточку – консультацию




Общие сведения:

Основные правила дифференцирования.

(U+V-W)’=n’+V’-W’

(U*V)=U’*V+UV’

.

Если y функция от и: , где и, в свою очередь есть функцию от аргумента то у называется сложной функцией от x . Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной. Исходя из этого соотношения, можно получить формулы

дифференцирования сложной функции.

Образцы решения примеров

8

7 7 *(2x-5)

-4

−4

Определение:Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю.

где

Основные правила дифференцирования:

а) (u+v-w)’=u’+v’-w’

б)(Cu)’=c*u’

в)(u*v)’=u’v+uv’

г)

д)c’=0

е) x’=1

ж)(xn)’=n*xn-1

з)

Формулы дифференцирования тригонометрических функций:

а)

б)(cos x)’=-sin x

в)

г)(ctgx)’= -

Формулы дифференцирования показательной, логарифмической функции:

а)(

б)

в)

г)

Производные обратных тригонометрических функций:

а)

б)

в)

Образцы решения задач:

.

Y= In3cos5x

Y’=3In2cos5x**(-sin5x)*5

.

.



№

Варианта

Найти производные

№

варианта

Найти производные

1

а)

б)

в)

г)

д)

12

а)

б)

в)

г)

д)

2

а)

б)

в)

г)

д)

13

а)

б)

в)

г)

д)

3

а)

б)

в)

г)

д)

14

а)

б)

в)

г)

д)

4

а)

б)

в)

г)

д)

15

а)

б)

в)

г)

д)

5

а)

б)

в)

г)

д)

16

а)

б)

в)

г)

д)

6

а)

б)

в)

г)

д)

17

а)

б)

в)

г)

д)

7

а)

б)

в)

г)

д)

18

а)

б)

в)

г)

д)

8

а)

б)

в)

г)

д)

19

а)

б)

в)

г)

д)

9

а)

б)

в)

г)

д)

20

а)

б)

в)

г)

д)

10

а)

б)

в)

г)

д)

21

а)

б)

в)

г)

д)

11

а)

б)

в)

г)

д)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1.Что называется производной функций? 2.Перечислите основные правила дифференцирования.


К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №4.


ТЕМА: Исследование функции и построение графиков с помощью производной.


А) Учебная, развивающая: формирование и закрепление умений и навыков по вычислению производной проверить уровень усвоения материала; научить находить характер поведения функций на интеграле; проверить усвоение материала темы, научить использовать теоретический материал в практической работе.

Б) Воспитательная: необходимо продолжить формировать чувства ответственности за результат своего труда, самокритичности в оценке результатов; привить интерес к математике, используя приложения к производной; решение прикладных задач имеет большое мировоззренческое значение, т.к. позволяет на простейших жизненных ситуациях показать применение математической модели.


ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта

2.Средства вычислительной техники;








2. Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20 ( Приложение 2)



а.Составить опорный конспект по теме «Производная»

б. Решить кроссворд

в. Решение типовых задач

г. Подготовка презентации «Производное и её приложение»

д. Домашняя работа по домашним тетрадям.




Уравнение касательной и нормали к кривой:

Касательная к графику дифференцированной функции f в точке с абсциссой Х0 – это прямая, проходящая через точку (x0;f (x0)) и имеющая угловой коэффициент fʹ(x0) fʹ(x0) - это тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

Уравнение касательной в точке с абсциссой х0 может быть записано в виде

y = f (x0) + fʹ(x0) (x-x0)

Уравнение нормали: y = y0 - (x – x0), f (x0) ≠ 0

Определим, какой тангенс угла наклона к положительному направлению оси абсцисс имеет касательная к графику функции y = 2 cos x в точке с абсциссой . Определим вид этого угла.

Решение

Искомый тангенс равен fʹ(x0), гдеf (x) = 3 cos x, x0 =

Так как fʹ(x)= (3 cos x)ʹ=-3 sin x, Τo fʹ(x0)= f ( )=-3 sin ( )= -

Поскольку тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс отрицателен, этот угол – тупой.

Составим уравнение касательной, проведенной к графику функций в точке с абсциссой 1.

Решение

Используем уравнение касательной: y = f (x0) + fʹ(x0) (x-x0).Здесь f (x) = x3-x, x0=1.

Значит, fʹ(x) = (x3-x)ʹ= 3x2-1.Поэтому f(x0)= 13-1=0, fʹ(x0)= 3*12-1=2

Получаем уравнение y = 0+ 2 (x -1), т.е. y = 2x – 2

Физический смысл производной:

Точка движется прямолинейно по закону s = 2t3 + t2 - 4 . Найти значения скорости и ускорения в момент времени t = 4.

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t: v = = 6t2 +2t.

Вычислим скорость движения точки в момент t=4: v(4) = 6 . 42 + 2 . 4 = 104 (м/с)

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t: a = = 12t + 2.

Вычислим ускорение движения точки в момент времени t = 4: a (4) = 12* 4 + 2 = 50 (м/с2) .

Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t2. В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

Определим скорость движения точки в любой момент времени t: v = = 6 – 2t

Полагая v = 0, получим 6 – 2t = 0, откуда t = 3.

Таким образом, скорость точки равна нулю в конце 3-й секунды.

Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t задан уравнением T = 0.2t2 . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 10?

При нагревании тела его температура Т изменяется в зависимости от времени , т.е Т есть функция времени: T = f (t).

Скорость нагревания тела есть производная температуры по времени:

= 0.4t; ( )t=10 = 0.4 * 10 = 4

Итак, в момент времени тело нагревается со скоростью 4 град/с

Тело массой 10 кг. Движется прямолинейно по закону s = 3t2 + t + 4. Найти кинетическую энергию тела(mv2/2) через 4 с после начала движения.

Найдем скорость движения тела в момент времени t: v = = 6t + 1

Вычислим скорость тела в момент t = 4; v(4) = * 4 + 1 = 25 (м/с)

Определим кинетическую энергию тела в момент t = 4; mv2/2 = 10 * 252/2 = 3125 (Дж)

Нахождение интервалов монотонности функции

Правило нахождения интервалов монотонности функции y=f(x)

Найти производную fʹ(x) данной функции, а затем определите точки, в которых fʹ(x) равна нулю или не существует (критические точки).

Исследовать знак fʹ(x) в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции f(x). В тех интервалах, где fʹ(x)>0, функция возрастает, а в тех интервалах, где fʹ(x)<0, - убывает.

Пример: Найти интервалы монотонности функции f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1

Решение

Находим произвольную и приравниваем ее к нулю: fʹ(x) = x2 – 4x + 3; x2-4x+3 =0, откуда x1 = 1 и x2 = 3. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы

[ - ; 1], [1;3], [3;+], в каждом из которых производная сохраняет знак.

Определим знак производной f’(x) = (x -1) (x – 3) в этих интервалах.

Пусть x = 0, тогда f’(x) = (0 – 1) (0 – 3)>0; пусть x =2, тогда f’(x) = (2-1)(2-3)<0; пусть x=4, тогда f’(x) = (4-1)(4-3)>0. Отсюда следует, что данная функция в интервале [-;1] возрастает, в интервале [1;3] убывает в интервале [3;+ ] снова возрастает.

Нахождение экстремумов функции

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью первой производной.

Найти критические точки функции т.е точки в которых или не существует.

Исследовать знак f’(x) в некоторой окрестности каждой из критических точек. Если производная f’(x) изменяет знак при переходе через такую точку, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум, а если знак f’(x) не изменяется, то функция в этой точке экстремума не имеет. При этом если при переходе через рассматриваемую точку слева направо знак f’(x) изменяется с минуса на плюс, то в этой точке достигается минимум, а если с плюса на минус – то максимум.

Пример: Найдите экстремумы функции f (x) = x3 – x2 - 4x + 1.

Решение

Найдем производную f’(x) = 2x2 – 2x - 4. Далее имеем 2x2 – 2x – 4 = 0, откуда

x1 = -1, x2 = 2 – критические точки. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала [-;-1], [-1;2], [2;+].

Определим знаки производной в окрестностях критических точек. В

интервале [-;-1] возьмем произвольную точку x = -2 при x = -2 имеем f’(-2)>0.

В интервале [-1;2] возьмем x=0; при x=0 имеем f’(0) = -4 <0. Так как производная при переходе через точку x=-1 меняет знак с плюса на минус, то функция x=-1 имеет максимум. Вычислим максимальное значение функций f(-1) = 3 . Выше мы установили, что в интервале [-1 ;2] производная f’(x) <0. Определим знак производной в интервале [2;+ ];полагая x=3, находим f’(3)>0.

Так как производная при переходе через точку x=2 меняет знак с минуса на плюс, то функция в точке x=2 имеет минимум. Вычислим минимальное значение функции: f(2) = -5 .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a;b].

Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку.

Вычислить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка, т.е. в

точках x=a и x=b. Сравнить все полученные значения; наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [a;b].

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-1.5x2 -6x + 1 на отрезке [-2;0].

Решение

Находим y’=3x2 – 3x – 6; 3(x2 – x – 2) =0, откуда x1=2, x2=-1. Значение x=2 не принадлежит отрезку [-2;0] и, следовательно, не удовлетворяют условию.

Найдем значение функции при x=-2, x=-1, x=0; имеем y(-2)= -1, y(-1) =4.5, y(0) =1. Таким образом, наибольшее значение функции равно 4,5, а наименьшее значение равно -1.

Нахождение интервалов выпуклости графика функции

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции f(x).

Найти вторую производную f’’(x) и определить точки, в которых f’’ (x)=0 или f’’(x) не существует.

Исследовать знак f’’ (x) в интервалах, на которые найденные в п. 1 точки делят область определения функции f(x). В тех интервалах, где f’’ (x)>0, график функции является выпуклым вниз, а в тех интервалах, где f’’(x)<0 – выпуклым вверх.

Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции y = x4 - x3+ 3x2.

Решение

Находим вторую производную:

Y’ =( x4 - x3+2x2)’ = x3 - x2 + 6x;

Y’’=( x3 - x2 + 6x)’=x2 – 5x – 6

x2 – 5x+ 6 = 0,Откуда x1=2, x2=2. Эти точки разбивают область определения функции на интегралы [;2], [2;3] и [3;+.

Пусть x=0, тогда y’’>0; следовательно, в интеграле [-;2] график функции

является выпуклым вниз. Пусть x= , тогда y’’<0; поэтому в интервале [2;3] график функции является выпуклым вверх. Пусть x=4, тогда y’’>0; значит, в интервале [3;+ ] график функции является выпуклым вниз.

Построить график функции y = x3 – 6x2 + 9x – 3.

Функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) =R.

Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, кроме того

она не является периодической.

Найдем точку пересечения графика с осью Oy: полагая x=0, получим y = -3. Точки пересечения графика с осью Ox в данном случае затруднительно.

Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

Найдем производную y’ = 3x2 – 12x +9.

X=1,

X=3.

Далее, имеем (3x2 – 12x +9 = 0) ↔(x2 – 4x + 3 = 0)↔

Точки x=1 и x=3 делят область определения функции на три промежутка: и 3< x < . В промежутках и 3< x < y’>0, т.е. функция возрастает, а в промежутке y’ < 0 функция убывает. При переходе через точку x=1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x= 3 - с минуса на плюс. Значит, ymax = y (1) = 1, ymin=y(3) = -3.

Найдем вторую производную: y’’= 6x -12; 6x – 12 = 0, x = 2. Точка x = 2 делит

область определения функции на два промежутка < x < 2 и 2< x < . В первой из них y’’ < 0, а во втором y’’ > 0, в промежутке < x < 2 кривая выпукла вверх, а в промежутке 2< x < выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2;-1).

Используя полученные данные, строим искомый график.

Построить график функции y = .

Находим область определения функции:D(y) = < x < 3; 3 < x <

Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

При x = 0 получим y = 0, т.е. график проходит через начало координат.

Так как , то прямая x = 3 служит вертикальной асимптотой графика.

Далее находим:K =

b =

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика.

Находим

Производная y’ обращается в нуль в точках x=0 и x=6 и терпит разрыв при x=3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: -. Исследуем знак y’в каждом из них; очевидно, что y’>0 в промежутках - и (в этих промежутках функция возрастает) и y’<0 в промежутках (в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку x=0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума, а при переходе через x=6 – с минуса на плюс, т.е. это точка минимума.

Находим ymax = y(0) = 0, ymin = y(6)=12.

Находим

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при x=3. В

промежутке имеем y’’<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке имеем y’’>0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.

На основании полученных данных строим график функции.



Вариант 1.

Найдите производную f’(x) если:

а) б)

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:

в точке с абсциссой

Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке (

Решить задачу:

Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

S = t3 + 5t2 + 4, t = 2

Найти промежутки монотонности функции

Найти точки экстремума функции

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

x

Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой

Вариант 2.


а) б)




в точке (



S = , t = 1




x


Вариант 3.


а) б)




sin x+1 в точке (



S =, t = 3




x


Вариант 4.


а) б)




в точке (



, t = 3




x


Вариант 5.


а) б)




в точке (



t = 3




x


Вариант 6.


а) б)




в точке (


Точка движется прямолинейно по закону

В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?




x


Вариант 7.


а) б)




в точке (


Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону

С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=5?




x


Вариант 8.


а) б)




в точке (


Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону

Найдите кинетическую энергию через 2с после начала движения.




x


Вариант 9.


а) б)




в точке абсциссой x₀=1


Изменение силы тока I в зависимости от времени t дано уравнением

I = 2t²-5t (I - в амперах, t - в секундах)

Найдите скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.




x


Вариант 10.


а) б)




в точке абсциссой x₀=2


Тело движется прямолинейно по закону

(s - метрах, t - в секундах).

Определите, в какие моменты времени тело было в начальном пункте.




x




Что называется производной функции?

Что показывает производная функция в точке?

Каков геометрический смысл производной?

Каков физический смысл производной?

Какие свойства производной вы знаете?

По каким формулам вычисляются производные тригонометрических функций?

По каким формулам вычисляются производные степенной функции?

По каким формулам вычисляются производные показательной функции?

По каким формулам вычисляются производные логарифмической функции?

Как вычисляются производные сложной функции?

Что называется дифференциалом функции?

Что необходимо сделать, чтобы вычислить дифференциал функции?

Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции y= (x)?

Каков геометрический смысл дифференциала?

Какая функция называется монотонно возрастающей?

Какая функция называется монотонно убывающей?

Как исследовать функцию на монотонность?

Какие точки называются критическими?

Что такое экстремум функции?

Как исследовать функцию на экстремум по первому правилу?

Как исследовать функцию По второму правилу?

Как исследовать функцию, чтобы построить её график?

Как вычислить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке?




ТЕМА: Метод непосредственного интегрирования.


А) учебная, развивающая: закрепить знания и умения по нахождению неопределенного интеграла.

Б) воспитательная: подчеркнуть важность изучаемого материала, научить осознанному его усвоению, творческому применению.











2. Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)



а.Составить историческую справку по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

б.Составить глоссарий по теме: «Интеграл»




Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение

Производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) . В интегральном исчислении решается обратная задача. По данной функции f(x) требует найти такую функцию F(x), что F’(x)=f(x) или dF (x)=F’(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Определение. Функция F(x), x называется первообразной для функции f(x) на множестве X, если она дифференцируема для любого x⋹X и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Определение. Функция , называется первообразной для функции на множестве X, если она дифференцируема для любого и или dF(x)=f(x)dx

Теорема. Любая непрерывная на отрезке[a;b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если иF – две различные первообразные одной и той же функцииf(x) на множестве x , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. F = +C, где C – постоянная.

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность всех первообразных функций f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается:

(1)В формуле (1) называется подынтегральным выражением, подынтегральной функцией, x- переменной интегрирования, а C - постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла , вытекающие из его определения.

Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Постоянный множитель a (a≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций

Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

(.

d(

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим,

что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

Интегралы 1 – 17 называются табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле , откуда

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве T и пусть X - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве X функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

(2)

Формула (2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и y(x) - две дифференцируемые функции переменной x. Тогда:

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как то:

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла Применить её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

Интегралы вида многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу (4) n раз.

Интегралы вида:

многочлен степени n относительно x). Их можно найти по частям, принимая за и функцию, являющуюся множителем при

Интегралы вида: (a, b - числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.


Решить задачи самостоятельно

№

варианта

Найти интеграл

МЕТОД ТАБЛИЧНЫЙ

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ МЕТОД

1

1

2

3

4

5

2

1

2

3

4

5

3

1

2

3

4

5

4

1

2

3

4

5

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

7

1

2

3

4

5

8

1

2

3

4

5

9

1

2

3

4

5

10

1

2

3

4

5

11

1

2

3

4

5

12

1

2

3

4

5

13

1

2

3

4

5

14

1

2

3

4

5

15

1

2

3

4

5

Вопросы для самоконтроля:

1.Какое действие называется интегрированием?

2.Что называется первообразной?

3.Назовите методы интегрирования.

4.Назовите формулу Ньютона - Лейбница.

5.В чем геометрический смысл определенного интеграла?




ТЕМА: Определитель второго и третьего порядка. МАТРИЦА ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ.


А) учебная, развивающая: дать понятие матрицы, состав матрицы, ранга матрицы, научить выполнять действия над матрицами, показать значение матриц для дальнейшего решения уравнений.

Б) воспитательная : ввести понятие матрицы, видов матриц, действиями над матрицами, начать выполнять действия над матрицами.










1. Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические указания по решению задач» (см. Приложение 1)

2. Решить задачи самостоятельно по вариантам (см. Приложение 2)

3. Ответить на вопросы для самоконтроля (см. Приложение 3)


а.Составить историческую справку по теме: «Матрица».

б. Составьте глоссарий по теме: «Матрица»

rosmetod.rurosmetod.ru/upload/2014/11/22/05-44-00-alehina-sborn… · web view2014/11/22 ·...

Documents