เรื่อง การตกของลกูโฟมภายใต้แรงต้านอากาศ

บทนำา

การทดลองการตกของลกูโฟมภายใต้แรงต้านอากาศทำาขึ้นเพื่อทำานายการเคล่ือนท่ีตกของลกูโฟมขนาดต่างๆโดยใชแ้บบจำาลองแรงต้านอากาศ 2 แบบ คือ Fdrag=-bv และ Fdrag=-kv^2 จะทำาการทดลองเพื่อดวูา่ผลของความเรว็ในการตกลงสูพ่ื้น กับขนาดของโฟม มผีลต่อการการเคล่ือนท่ีของโฟมหรอืไม่

ทฤษฏี

แรงต้านการเคล่ือนที่

พจิารณาแรงต้านการเคล่ือนท่ี ซึ่งมกีารเปล่ียนแปลงตามความเรว็ของวตัถ ุตัวอยา่งของแรงต้านการเคล่ือนที่ ที่มคีณุสมบติัดังกล่าวคือ แรงหนืดในของเหลว แรงต้านของอากาศ เป็นต้น โดยทัว่ไป วตัถท่ีุมขีนาดเล็ก และเคล่ือนท่ีด้วยความเรว็ตำ่า เชน่ ลกูกลมโลหะขนาดเล็ก เคล่ือนที่ตกลงมายงัก้นภาชนะ ที่บรรจุของเหลวภายใต้แรงดึงดดูของโลก จะถกูต้านการเคล่ือนท่ี ด้วยแรงต้านซึ่งแปรผันตรง กับขนาดของความเรว็ของวตัถ ุและสามารถเขยีน ในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังน้ี

F=-kv (1)

เครื่องหมายลบ แสดงวา่แรงต้านการเคล่ือนท่ีมทิีศตรงขา้มกับความเรว็ของวตัถ ุโดยท่ี

f คือ แรงต้านการเคล่ือนท่ี

v คือ ความเรว็ของวตัถ ุb คือ ค่าคงท่ีซึ่งขึ้นอยูก่ับชนิดของตัวกลางและรูปรา่งของวตัถ ุ

ค่า b=6pietaD (2)โดยท่ี eta คือสมัประสทิธิค์วามหนืดของของเหลว

D คือเสน้ผ่านศูนยก์ลางของทรงกลม

( b ตัวน้ี ไมม่คีวามเกี่ยวขอ้งใดๆ ทัง้สิน้กับค่าคงตัวของสปรงิ)

ในกรณีของทรงกลมมวล m ถกูปล่อยใหเ้คล่ือนท่ีตกลงมา ภายใต้แรงดึงดดูของโลก เมื่อพจิารณา แรงที่กระทำาต่อวตัถใุนแนวดิ่งประกอบด้วย f และ mg (โดยในตอนน้ี ยงัไมพ่จิารณาถึงแรงต้านอากาศ เมื่อใหก้ารแก้สมการไมยุ่ง่ยากมากนัก) ดังนัน้ เมื่อใชก้ฎขอ้ที่สองของนิวตันจะได้วา่

และหากกำาหนดใหทิ้ศชีล้งเป็นบวกจะได้วา่

(3)

เขยีนสมการที่ (3) ใหมไ่ด้เป็น

(4)

สมการท่ี 4 น้ีเรยีกวา่สมการอนุพนัธ ์(differential equation)

สมการน้ีแสดงถึงความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรว็ กับเวลา t เราสามารถแก้สมการน้ีเพื่อเขยีน ในรูปของ t ได้เป็น

V(t)=gt-(bg/2m)t^2อินทรเิกรทได้

Y(t)=(g/2)t^2-(bg/6m)t^3

(5) สำาหรบัในอีกกรณีหน่ึงท่ีวตัถมุขีนาดใหญ่และเคล่ือนท่ีด้วยความเรว็สงู

เชน่ นักด่ิงพสธุาท่ีกระโดดจากเครื่องบนิ เขาจะถกูต้านการเคล่ือนที่จากอากาศด้วย ซึ่งแรงต้านจากอากาศน้ีจะไมไ่ด้แปรผันตามความเรว็เหมอืนสมการท่ี 1 แต่จะแปรผันกับขนาดของความเรว็ยกกำาลังสอง ซึ่งสามารถ

เขยีนเป็นสมการได้ดังน้ี

F=-kv^2 (6)

k=ρCA/2 (7)

รูปภาพ แสดงแผนภาพ ของแรงท่ีกระทำาต่อวตัถทุี่เคล่ือนที่ผ่านตัวกลางซึ่งเป็นอากาศ

(ก) แสดงภาพของแรงเมื่อวตัถเุริม่เคล่ือนท่ีผ่านอากาศโดยมคีวามเรง่(ข) แสดงภาพของแรงเมื่อวตัถเุคล่ือนที่โดยไมม่คีวามเรง่

ทรงกลมมวล m ตกลงมาอยา่งอิสระดังรูป แรงที่กระทำาต่อมวลดังกล่าวในแนวดิ่งประกอบด้วย f และ mg (ในกรณีน้ียงัไมน่ำาแรงลอยตัวมาพจิารณา) ดังนัน้ขนาดของแรงลัพธส์ามารถเขยีนได้เป็น

โดยท่ี

ดังนัน้ขนาดความเรง่ของทรงกลมดังกล่าวคือ

เขยีน ในรูปของ t

V(t)=gt-(kg^3/2m)t^3อินทรเิกรต ได้

Y(t)=(g/2)t^2-(kg^2/12m)t^4 (8)

วธิทีำาการทดลอง

นำาลกูเหล็กมวล 44.1616 g เสน้ผ่านศูนยก์ลาง 19.74 mm และลกูโฟมขนาดกลางมวล 0.3009 g เสน้ผ่านศูนยก์ลาง 36.04 mm ซึ่งวดัได้จากเครื่องวดัเวอรเ์นียรค์ารลิ์ปเปอร ์และเครื่องชัง่มวลสีต่ำาแหน่งตามลำาดับ ปล่อยลงอยา่งอิสระภายใต้ค่าแรงตึงดดูของโลก โดยปล่อยสงูจากพื้น 1 m โดยใชไ้มบ้รรณทัดขนาด 30 cm เป็นสเกล ในการบอกตำาแหน่ง โดยผู้

ทดลองอีกคนเป็นคนเป็นคนอัดวดีีโอโดยใชก้ล้องดิจติรอนในการบนัทึก ใช้เฟรมเรทประมาณ 210/s จากนัน้นำาวดีิโอท่ีได้ไปคำานวณตำาแหน่งท่ีเวลาต่างๆของมวลทัง้สองโดยใชโ้ปรแกรม Tracker

จากนัน้นำาขอ้มูลท่ีได้จากโปรแกรม Tracker ไปคำานวณหาผลของแรงต้านอากาศทัง้สองแบบคือ Fdrag=-bv และ Fdrag=-kv^2 เพื่อทำานายการเคล่ือนท่ีของลกูโฟมขนาดต่างๆ โดยใชโ้ปรแกรม MatLab ในการคำานวณและเปรยีบเท่ียบค่าคงท่ี b หรอื k ท่ีได้จากการทดลอง ซึ่งโฟมขนาดใหญ่ที่ใชใ้นการทำานายมมีวล 1.0484g เสน้ผ่านศูนยก์ลาง 59.08mm และลกูโฟมขนาดเล็กมวล 0.0756g เสน้ผ่านศูนยก์ลาง 25.00mm

ขัน้ตอนการคำานวณ

จากการคำานวณในโปรแกรม Tracker ซึ่งได้ค่า ตำาแหน่งการเคล่ือนที่ของลกูเหล็ก(ymeatal),โฟมขนาดกลาง(yfoam), โฟมขนาดใหญ่(yfoamb), โฟมขาดเล็ก(yfoams) และเวลาที่ตำาแหน่งต่างๆของลกูเหล็ก(tmeatal),โฟมขนาดกลาง(tfoam), โฟมขนาดใหญ่(tfoamb), โฟมขาดเล็ก(tfoams)

นำาขอ้มูล ymeatal และ tmetal มา fit กราฟเป็น Polynomial Degree 2 จากโปรแกรมแมทแล็ปดังภาพ(2)

(2)ภาพการแสดงการฟติกราฟระหวา่ง ymetal กับ tmetal

เพื่อหาค่า g ท่ีตำาแหน่งทำาการทดลอง จากนัน้ทำาการปรบัค่า yfoam ให้มค่ีา g=9.81 m/s^2 โดยการนำาค่า yfoam ที่ตำาแหน่งต่างๆคณูกับค่า g ทฤษฏี แล้วหารด้วยค่า g ที่ได้จากการ fit กราฟ แล้วนำาค่า yfoam ใหมม่าฟ ติ ก ร า ฟ เ ป ็น custom equation โ ด ย ส ม ก า ร ท ี่ใ ช ใ้ น ก า ร ฟ ติ ค ือ y=a*x^3-(4.905*x^2)+c เพื่อหาสมประสทิธิข์อ้งหน้า x^3 (a) ดังภาพ(3)เพื่อหาค่า b

(3)ภาพการแสดงการฟติค่าจาก custom equation degree 3

ทำาซำ้าเพื่อหาสมัประสทิธิข์า้งหน้า t^4 (a)ดังภาพ(4) เพื่อหาค่า k

(4)ภาพการแสดงการฟติค่าจาก custom equation degree 4

นำาขอ้มูลที่ได้(ค่า b กับ k)ไปทำานายการเคลื่อนที่ของโฟมขนาดใหญ่ และขนาดเล็ก

ผลการทดลอง

จากการคำานวณพบวา่ค่าที่ได้จากการฟติกราฟ yfoam กับ tfoam จากสมการ คือ y=a*x^3-(4.905*x^2)+c

และเมื่อนำาค่า a มาคำานวณหาค่า b จาก a= bg/6m จะได้ค่า b =5.6757e-04และจากการฟติกราฟ yfoam กับ tfoam จากสมการ คือ y=a*x^4-(4.905*x^2)+cและเมื่อนำาค่า a มาคำานวณหาค่า k จากสมการ a= kg^2/12m จะได้ค่า k = 2.9600e-04นำาค่า k กับ b ท่ีได้มาคำานวณจากสมการ (2),(7)

จะได้ cv =0.4836

cp=eta = 0.0017นำาค่า cv กับค่า cp ทำานายการเคล่ือนท่ีของโฟรมขนาดใหญ่ กับโฟมขนาดเล็ก ดังกราฟ

กราฟ(1)แสดงการเปรยีบเทียบ ระหวา่งการเคล่ือนท่ีของมวลใหญ่ที่ได้จากการทดลอง ,การเดา(t^3),การเดา(t^4)

yk คือ สมการการการเดาเคลือนท่ีจากสมการ (8)

yb คือ สมการการการเดาเคลือนท่ีจากสมการ (5)

yfoamb คือ สมกาการเคลือนท่ีจากการทดลอง

กราฟ(2)แสดงการเปรยีบเทียบ ระหวา่งการเคล่ือนท่ีของมวลเล็กที่ได้จากการทดลอง ,การเดา(t^3),การเดา(t^4)

yk คือ สมการการการเดาเคลือนท่ีจากสมการ (8)

yb คือ สมการการการเดาเคลือนท่ีจากสมการ (5)

yfoams คือ สมกาการเคลือนท่ีจากการทดลอง

สรุปผลการทดลอง

จากผลการทดลองพบวา่ค่า b =5.6757e-04

k = 2.9600e-04cv =0.4836cp=eta = 0.0017

เมื่อเปรยีบเท่ียบกับค่าทฤษฎี cv=0.5

%error =(0.5-0.4836)/0.5= 0.0328 หรอื= 3.28%

จากแบบจำาลองทัง้สองพบวา่แบบจำาลองแรงต้านอากาศ f=-kv^2 ทำานายการเคล่ือนท่ีของโฟมขนาดต่างๆได้ดีกวา่ แบบจำาลองแรงต้านอากาศ f=-kv

เอกสารอ้างอิง

http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-physics1/lesson2_11b.html