ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ

Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις

Α΄ ΜΕΡΟΣ

ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Τ.Α.

Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά

1

ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2019

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ………………………………………………….…………………..… 3

1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ……………………..…….. 4

2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ……………………………………8

3. ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ……………………………...…………..………… 13

4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ……….. 20

5. ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ……………………………………………………….32

2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν μια περιληπτική παρουσίαση των βασικών εννοιών που θα διδαχθούν στα πλαίσια του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ.

Έχει γίνει προσπάθεια να παρουσιαστεί η ύλη με τρόπο απλό και συνοπτικό, αφού η πλήρης θεωρία υπάρχει στα βιβλία.

Το αντικείμενο του μαθήματος είναι ο λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, με έμφαση στις συναρτήσεις δυο ή και τριών μεταβλητών.

Στην αρχή παρουσιάζονται κάποια απαραίτητα στοιχεία από το διανυσματικό λογισμό (Διανύσματα, διανυσματικές συναρτήσεις).

Μετά παραθέτουμε την ύλη η οποία θα καλυφθεί μέσα στις δεκατρείς εβδομάδες του Εξαμήνου.

Κάθε ενότητα αποτελείται από περιληπτική θεωρία, λυμένες και άλυτες ασκήσεις.

Φ. Αργυροπούλου

3

1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

1.1. Διανύσματα στο επίπεδο

Τα διανύσματα παριστάνονται ως προσανατολισμένα ευθύγραμμα

τμήματα. 

Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν το ένα προκύπτει από το άλλο με παράλληλη μετατόπιση, δηλαδή αν έχουν την ίδια διεύθυνση, φορά και μέτρο.

Αλγεβρικά μπορούμε να περιγράψουμε ένα διάνυσμα ως ένα διατεταγμένο ζεύγος (α , β) , όπου (α , β) είναι το σημείο που αποτελεί το πέρας του   εάν θεωρήσουμε, ότι η αρχή ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων.

1.2.  Μέτρο διανύσματοςΤο μέτρο ενός διανύσματος  Α⃑ =(α, β), συμβολίζεται με ¿ Α⃑∨¿ , εκφράζει το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που περιγράφει το Α⃑ και ισούται με:

¿ Α⃑∨¿ = √α 2+β2

1.3. Πρόσθεση διανυσμάτων

Αν Α⃑ = (α,β) και Β⃑ = (γ,δ), τότε Α⃑+ Β⃑ = (α+γ, β+δ)

Γεωμετρική ερμηνεία πρόσθεσηςΓεωμετρικά το άθροισμα των Α⃑   και  Β⃑ δίνεται από την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει ως προσκείμενες πλευρές του τα δύο διανύσματα   και   με την ίδια αρχή.

4

1.4. Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό

Αν Α⃑ = (α,β) και λ∈R τότε                      λ Α⃑ = (λα , λβ) 

Γεωμετρική ερμηνεία πολλαπλασιασμούΤο διάνυσμα λ  Α⃑ θα έχει την ίδια κατεύθυνση με το  Α⃑ εάν λ>0 , ενώ θα έχει αντίθετη κατεύθυνση εάν λ<0.Επίσης θα έχουμε ότι |λ Α⃑ |=|λ|| Α⃑ |.

1.5. Αφαίρεση

Αν Α⃑ = (α, β) και Β⃑ = (γ, δ), τότε

Α⃑−Β⃑ = Α⃑+¿ = (α, β) + (-γ , -δ) = (α - γ, β – δ).

1.6. Εσωτερικό γινόμενο

Αν Α⃑ = (α, β) και Β⃑ = (γ, δ) είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα, το εσωτερικό τους γινόμενο Α⃑ · Β⃑ ορίζεται ως εξής:

Α⃑ · Β⃑ = αγ + βδ

Γεωμετρική ερμηνεία εσωτερικού γινομένου

Γεωμετρικά το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως το γινόμενο των μέτρων των δυο διανυσμάτων επί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν:

. =|  |.| |cosφ , όπου φ η γωνία των   και   ,   0 < φ <πΠαρατήρηση: 

.  = 0 ⇔ φ=π/2

.  > 0 ⇔ 0 < φ <π/2

.  < 0 ⇔ π/2 < φ <π

1.7. Μοναδιαία διανύσματα

Μοναδιαία λέγονται τα διανύσματα που έχουν μέτρο 1.

5

Παρατήρηση : Εάν   Α⃑=(α , β) είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα,

τότε το διάνυσμα

είναι μοναδιαίο και έχει την ίδια κατεύθυνση με το Α⃑ .

1.8. Διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο

Όσα αναφέραμε παραπάνω γενικεύονται και στον τρισδιάστατο χώρο.

 Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

τμήματα.   

Ένα διάνυσμα    Α⃑ στον χώρο είναι μια διατεταγμένη 3-άδα (α, β, γ), όπου (α, β, γ) το σημείο που αποτελεί το πέρας του  Α⃑ εάν θεωρήσουμε ότι η αρχή του ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων.

 

6

       Το μέτρο ενός διανύσματος  Α⃑ = (α,β,γ) συμβολίζεται με

| Α⃑ |, ισούται με   και εκφράζει το μήκος του προσανατολισμένου ευθυγράμμου τμήματος που περιγράφει το  Α⃑. 

 Εσωτερικό γινόμενο

Έστω μη-μηδενικά διανύσματα  =(α,β,γ), = (α΄,β΄,γ΄).

Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζεται με  .  

και ορίζεται ως εξής:

                      . =αα΄+ ββ΄+ γγ΄.

     Μοναδιαία διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο είναι τα διανύσματα που έχουν μέτρο 1. 

Παρατήρηση:

Αν  =(α, β, γ) είναι ένα μη-μηδενικό διάνυσμα, τότε

το διάνυσμα 

είναι μοναδιαίο και έχει την ίδια κατεύθυνση με το  .

7

2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

2.1: Ορισμός     Έστω D υποσύνολο του R×R , δηλαδή του xy - επιπέδου. Κάθε κανόνας f, σύμφωνα με τον οποίο σε κάθε στοιχείο (x, y) του D, αντιστοιχεί ένας και μόνον ένας πραγματικός αριθμός f(x, y) του D, ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών με πεδίο ορισμού το D.

Παραδείγματαα) Η συνάρτηση z = f(x, y) = x2 y + 5 είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών με πεδίο ορισμού το R×R , δηλαδή όλο το xy-επίπεδο.

β)Η συνάρτηση z = f(x, y) =  είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών με πεδίο ορισμού το σύνολο των σημείων (x, y) για τα οποία ισχύει x2+y2 < 1.

Σε μια τέτοια συνάρτηση z = f(x, y), οι μεταβλητές x  και y ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές, ενώ η z εξαρτημένη μεταβλητή. 

2.2: Γραφική παράσταση

Γραφική παράσταση της f ονομάζουμε το σύνολο των σημείων (x,y,z) των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση z = f(x ,y).

Δηλαδή για να σχηματίσουμε την γραφική παράσταση της f παριστάνουμε τις τιμές της f(x, y) ως ύψη z πάνω από τα αντίστοιχα σημεία (x,y).

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο.

8

Παραδείγματα

α) f(x,y) = x2+y2            β) f(x,y) = 

             

γ)   f(x,y) = x2-y2             δ)   f(x,y) = 

     

  

9

 Ισοσταθμικές καμπύλεςΈστω συνάρτηση z = f(x, y). Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, με εξίσωση z = c, το οποίο τέμνει την γραφική παράσταση της f. Το Π είναι παράλληλο προς το xy-επίπεδο και ο αριθμός |c| προσδιορίζει την απόσταση του Π απ' αυτό.

Η τομή του Π με την επιφάνεια z =f(x,y), θα είναι μια καμπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σημεία της , όλα τα σημεία (x, y ,z) για τα οποία ισχύει: z = f(x, y) και z = c. Δηλαδή θα είναι όλα τα σημεία (x, y, c) για τα οποία f(x,y)=c.

Αν προβάλλουμε την καμπύλη αυτή πάνω στο xy-επίπεδο, η προβολή της, θα είναι μια καμπύλη που θα έχει για σημεία της,

όλα τα σημεία (x, y, 0) για τα οποία ισχύει f(x, y)=c.

Με άλλα λόγια θα είναι μια καμπύλη στο xy-επίπεδο, στα σημεία της οποίας η f παίρνει σταθερή τιμή c.

Μια τέτοια καμπύλη ονομάζεται ισοσταθμική καμπύλη της συνάρτησης f. 

Παρατήρηση: Οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης αποτελούν ουσιαστικά την αποτύπωση της γραφικής της παράστασης στο xy-επίπεδο.

Εφαρμογή:Τι είδους καμπύλες είναι οι ισοσταθμικές των παρακάτω συναρτήσεων;i) f(x,y)=x2+y2  ,  ii) f(x,y)=y2-x2  ,  iii) f(x,y)=4-x-2y ,iv) f(x,y)=xy  ,  v) f(x,y)=x2/9 + y2/4 .

 10

Απαντήσεις:i)   H f(x,y)=x2+y2 είναι κυκλικό παραβολοειδές (πρώτο σχήμα) , και οι ισοσταθμικές του, δηλαδή οι οριζόντιες τομές του προβαλλόμενες στο xy-επίπεδο, είναι ομόκεντροι κύκλοι (δεύτερο σχήμα). Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν προς την ίδια κατεύθυνση: 

ii)  Η f(x,y)=y2-x2 είναι υπερβολικό παραβολοειδές (πρώτο σχήμα), και οι ισοσταθμικές του είναι υπερβολές (δεύτερο σχήμα). Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν και προς τις δύο κατευθύνσεις:

. 

11

iii) Η f(x, y)=4-x-2y είναι ένα επίπεδο (πρώτο σχήμα), και οι ισοσταθμικές του είναι παράλληλες ευθείες (δεύτερο σχήμα).

 

iv) Η f(x,y)=xy είναι υπερβολικό παραβολοειδές (πρώτο σχήμα), και οι ισοσταθμικές του είναι υπερβολές (δεύτερο σχήμα).Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν και προς τις δύο κατευθύνσεις. 

v) Η f(x,y)=x2/9 + y2/4 είναι ελλειπτικό παραβολοειδές (πρώτο σχήμα), και οι ισοσταθμικές του είναι ελλείψεις (δεύτερο σχήμα). Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν προς την ίδια κατεύθυνση. 

12

3. ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Μερική παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών ως προς μια μεταβλητή, λέγεται η συνηθισμένη παράγωγος της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή αυτή, όταν όλες οι άλλες μεταβλητές θεωρούνται σταθερές.

Αν έχουμε μια συνάρτηση δυο μεταβλητών z = f(x, y), τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς x, θα είναι το όριο του λόγου μεταβολής της μεταβλητής x, όταν το y παραμένει σταθερό:

∂ f∂ x= lim

Δx→0

f (x+Δx , y )− f (x , y)Δ x

Και η μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς y, θα είναι το όριο του λόγου μεταβολής της μεταβλητής y, όταν το x παραμένει σταθερό:

∂ f∂ y= lim

Δ y→0

f (x , y+Δ y )−f (x , y)Δ y

Οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών εκφράζουν τους οριακούς ρυθμούς μεταβολής στις τιμές της, για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση των δύο αξόνων.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τους συμβολισμούς:

13

Παρατήρηση: Οι μερικές παράγωγοι που ορίζονται παραπάνω λέγονται μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ή και πρώτες μερικές παράγωγοι, επειδή όπως θα δούμε παρακάτω αυτές είναι δυνατόν να παραγωγισθούν πάλι, οπότε θα προκύψουν μερικές παράγωγοι δεύτερης ή και ανώτερης τάξης.

Παράδειγμα: Να υπολογισθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης f(x,y)=x3y-xy2 

Λύση:

fx(x,y)=3x2y - y2                fy(x,y) = x3 - 2yx

Ορισμός: Έστω ότι η f έχει μερικές παραγώγους ως προς x και y στο σημείο (x, y).

Το ανάδελτα (∇ f (x , y)¿ ή κλίση (gradient) της f στο σημείο (x, y) είναι το διάνυσμα

To gradient της f  θα συμβολίζεται και με gradf.

Mπορούμε να θεωρήσουμε την κλίση (gradient) της f σαν μια συνάρτηση η οποία στο σημείο (x, y) απεικονίζει το διάνυσμα ∇ f ( x , y )=¿gradf(x,y) (Διανυσματική συνάρτηση). Τα παραπάνω εύκολα γενικεύονται και στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση περισσότερων μεταβλητών.

Παρατήρηση: Η ύπαρξη των μερικών παραγώγων ( διαφορισιμότητα ) μιας συνάρτησης δυο ή περισσότερων μεταβλητών εξασφαλίζεται από την παρακάτω συνθήκη:

Θεώρημα:  Έστω ότι η f είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό σύνολο U⊆ R×R , . Αν οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο U τότε η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του U.

Επίσης, η διαφορισιμότητα σε ένα σημείο (x, y)∈ U δίνει και τη συνέχεια της συνάρτησης σ΄αυτό το σημείο όπως φαίνεται στο παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα:  Έστω ότι η f είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο (x, y)∈U. Τότε η f  είναι και συνεχής στο σημείο (x, y).

14

ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Έστω f ορισμένη στο ανοικτό διάστημα U⊆ R×R ,  για την οποία υπάρχουν στο (x, y) οι μερικές παράγωγοι:

Επειδή αυτές οι μερικές παράγωγοι είναι επίσης συναρτήσεις ως προς x, y, μπορούμε να τις παραγωγίσουμε ως προς x ή y (αν βέβαια οι παράγωγοι υπάρχουν). Έτσι θα έχουμε τις παρακάτω συναρτήσεις

για τις οποίες θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό, όπως αναφέρεται στις παραπάνω ισότητες και θα τις ονομάζουμε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης (ή δεύτερες μερικές παραγώγους).

Ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα:   Αν οι μερικές παράγωγοι

υπάρχουν και είναι συνεχείς τότε ισχύει ότι:

Παράδειγμα:15

Η f(x, y) = 2xy2 έχει ως πρώτες μερικές παραγώγους:

∂ f∂ x = 2y2

∂ f∂ y

=2x 2 y=4 xy

:Και ως δεύτερες μερικές παραγώγους

∂2 f∂ x2 =∂ f

∂ x ( ∂ f∂ x )=∂ f∂x

(2 y 2 )=¿0 , ∂2 f∂ x ∂ y

= ∂ f∂x( ∂ f∂ y

) = ∂ f∂x(4 xy )=¿4y

∂2 f∂ y2 = ∂ f

∂ y ( ∂ f∂ y )= ∂ f∂ y

( 4 xy )=¿4x , ∂2 f∂ y∂ x

= ∂ f∂ y( ∂ f∂ x

) = ∂ f∂ y(2 y 2 )=¿4y

Παρατήρηση: Μπορούμε να χρησιμοποιούμε και για τις δεύτερες μερικές παραγώγους τον παρακάτω συμβολισμό:

fxx(x, y) fyy(x, y) fxy(x, y) fyx(x, y) ,

Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση f(x,y)=x3y-xy2 οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι οι εξής: fx(x,y)=3x2y-y2                fy(x,y)=x3-2yxfxx(x,y)=6xy                     fyy(x,y)=-2x fxy(x,y)=3x2-2y               fyx(x,y)=3x2-2y

(Παρατηρούμε ότι όπως αναφέρεται και στο παραπάνω θεώρημα ισχύει ότι: fxy(x,y) = fyx(x,y))

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

16

1. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης: f(x,y) = 2x3 +3x2 -5y2 -12x +30y + 12.

Λύση:

∂ f∂x = ∂(2 x3+3 x2−5 y2−12 x+30 y+12)∂x

= 6x2 +6x -12

∂ f∂ y

=∂(2x3+3 x2−5 y2−12x+30 y+12)

∂ y = -10y +30.

∂2 f∂ x2 =

∂ f∂ x

( 6 x2+6 x−12 )=¿ 12x +6, ∂2 f∂ y2 =

∂ f∂ y

(−10 y+30 ) =-10 ,

∂2 f∂ x ∂ y

=0, ∂2 f∂ y∂ x

=0

2. Να βρεθούν οι τέσσερις μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x,y) = x3 + 5xy - y2. Λύση: Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης αυτής είναι:

∂(x3+5xy− y2)∂ x

= 3x2 + 5y ∂(x3+5xy− y2)

∂ y=¿ 5x – 2y .

Άρα οι τέσσερις μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης, θα είναι:

∂2 f∂ x2 =∂ f

∂x( 3x2+5 y ) = 6x , ∂

2 f∂ y2 = ∂ f

∂ y(5x –2 y ) = - 2

∂2 f∂ x ∂ y

= ∂ f∂ y

(3 x2+5 y ) = 5, ∂2 f∂ y∂ x

= ∂ f∂ y

(5 x –2 y ) = 5,

Όπως περιμέναμε η ∂2 f∂ x ∂ y

και η ∂2 f∂ y∂ x

είναι ίσες.

17

3. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης, για τη συνάρτηση

f(x,y) =x2 e y+ x3

Λύση: Εφαρμόζουμε τους κανόνες παραγώγισης γινομένου και παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Θα έχουμε:

∂ f∂ x = ∂x

2

∂ x· e y+ x3 + x2· ∂e

y+x3

∂x = 2xe y+ x3 + x2e y +x33x2.

∂ f∂ y = ∂x

2

∂ y· e y+ x3 + x2· ∂e

y+x3

∂ y = 0 + x2e y +x3·1 = x2e y +x3.

4. Αν f(x, y) =ln√ x2+ y2, να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες:

i) x ∂ f∂x + y ∂ f∂ y = 1 ii) ∂

2 f∂ x2 + ∂

2 f∂ y2 = 0

Λύση:

i) x ∂ f∂x + y ∂ f∂ y = 1

Η συνάρτηση f(x, y) =ln√ x2+ y2 είναι σύνθετη. (Στην πραγματικότητα έχουμε τρεις συναρτήσεις ( ln, √ και την x2+ y2 .

∂ f∂ x = ∂ ¿¿ =

1√x2+ y2 · ∂ ¿¿ =

1√x2+ y2 ·

12√ x2+ y2· 2x =

2x2¿¿¿ =

xx2+ y2

∂ f∂ y = ∂¿¿ =

1√x2+ y2 · ∂¿¿ =

1√x2+ y2 ·

12√ x2+ y2· 2y =

2 y2¿¿¿ =

yx2+ y2

Άρα: x ∂ f∂ x + y ∂ f∂ y = x x

x2+ y2 + y yx2+ y2 = x

2+ y2

x2+ y2 = 1.

18

ii) ∂2 f

∂ x2 + ∂2 f

∂ y2 = 0

Πράγματι: ∂2 f∂ x2 =

∂∂x

( xx2+ y2 ) =

1· (x2+ y2)−x ·2 x(x¿¿2+ y2)2¿

= x2+ y2−2 x2

(x¿¿2+ y2)2 ¿ =

y2−x2

(x¿¿2+ y2)2 ¿ (1)

(Παράγωγος πηλίκου)

Επίσης: ∂2 f

∂ y2 = ∂∂ y

( yx2+ y2 ) =

1· (x2+ y2)− y ·2 y(x¿¿2+ y2)2 ¿

= x2+ y2−2 y2

(x¿¿2+ y2)2 ¿ =

x2− y2

(x¿¿2+ y2)2 ¿

(2)

Από τις (1) και (2), θα έχουμε:

∂2 f∂ x2 + ∂

2 f∂ y2 =

y2−x2

(x¿¿2+ y2)2 ¿ +

x2− y2

(x¿¿2+ y2)2 ¿ =

y2−x2+x2− y2

(x¿¿2+ y2)2¿ = 0.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ1. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης των παρακάτω

συναρτήσεων:

i) f(x, y) = xy+ x2 +3x +2y -11

ii) f(x,y) = x2 + xy + y2

iii) f(x,y) = exsin(xy)

iv) f(x,y) = x3 +5xy - y2

v) f(x,y) = x3 – 6x2 - 5y2 + 9x - 20y -17

vi) f (x,y) = (x + 1)( 2y – 3)

vii) f(x, y) = y3 x + ex y2

viii) f(x,y) = x− yx+ y

ix) f(x,y) = x2 cos¿ 19

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Παράγωγος κατά κατεύθυνση ή κατευθυνόμενη παράγωγος μιας συνάρτησης f(x, y), λέγεται η παράγωγος κατά την κατεύθυνση κάποιου διανύσματος.Όπως αναφέρεται στη σελίδα 13 οι μερικές παραγώγους της f(x, y), ως προς x και ως προς y, είναι οι οριακοί ρυθμοί μεταβολής στις τιμές της f, για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση των δύο αξόνων.Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε μετατοπίσεις Δs στο xy-επίπεδο προς κατευθύνσεις διαφορετικές από αυτές των δύο αξόνων.

Μια τέτοια κατεύθυνση καθορίζεται από την γωνία θ που σχηματίζει με τον x-άξονα και αντιστοιχεί σε ταυτόχρονη μεταβολή των x και y κατά

Δx=Δs cosθ         και  Δy=Δs sinθ

Ορισμός Η παράγωγος της f κατά κατεύθυνση θ, στο σημείο (x,y)

συμβολίζεται με Dθf(x,y) και ορίζεται ως το μέγεθος

limΔ s⟶0

f (x+Δx , y+Δy)−f (x+ y )Δ s

Όπως βλέπουμε στον προηγούμενο ορισμό η Dθf(x,y) εκφράζει τον οριακό ρυθμό μεταβολής στις τιμές της f για μετατοπίσεις στο xy-

20

επίπεδο κατά την κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον x-άξονα.

Θεώρημα : Έστω z=f(x,y) συνεχής συνάρτηση της οποίας οι μερικές παράγωγοι fx(x,y) και fy(x,y) είναι επίσης συνεχείς. Έστω επίσης ότι μεταβολές Δx και Δy ως προς τις μεταβλητές x και y επιφέρουν μεταβολή Δz ως προς την μεταβλητή z. Τότε: 

Δz =f (x+Δx, y+Δy) - f(x,y) = fx(x,y)Δx +  fy(x,y)Δy +n1Δx+ n2Δy

όπου n1,n2  0  όταν Δx , Δy  0.

Με βάση αυτό το θεώρημα θα έχουμε:

διότι όταν Δs 0 ,  Δx , Δy  0 και άρα   n1 , n2  0

Επομένως η παράγωγος της f κατά κατεύθυνση θ, στο σημείο (x,y), θα δίνεται από τον τύπο

Dθf(x,y) = fx(x,y)cosθ +fy(x,y)sinθ (1)

21

Παρατηρούμε ότι: για γωνία θ=0 , θα έχουμε ότι D0f(x,y)=fx(x,y) , δηλαδή ότι η κατευθυνόμενη παράγωγος ισούται με τη μερική παράγωγο της f ως προς x.

Επίσης για θ = π2 , θα έχουμε ότι Dπ/2f(x,y)=fy(x,y),

δηλαδή ότι η κατευθυνόμενη παράγωγος ισούται με τη μερική παράγωγο της f ως προς y.

Επίσης γνωρίζουμε ήδη από την προηγούμενη παράγραφο (σελ.14), ότι το διάνυσμα της κλίσης είναι το διάνυσμα των μερικών παραγώγων. Και ως διάνυσμα, μπορεί να παρασταθεί μέσω των μοναδιαίων διανυσμάτων των δυο αξόνων, ως εξής:

∇ f ( x , y )=¿ fx(x,y)i⃗ + fy(x,y) j⃗

Άρα ο τύπος (1) της κατευθυνόμενης παραγώγου μπορεί να γίνει βάσει του τύπου του εσωτερικού γινομένου:

Dθf(x,y) = fx(x,y)cosθ + fy(x,y)sinθ=

=(fx(x,y)   +fy(x,y)  ) . (cosθ  +sinθ  )==∇(f(x,y))(cosθ  +sinθ  ) 

όπου (cosθ  +sinθ  ) =u⃗0,  το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση θ.

Οπότε ο τύπος της κατευθυνόμενης παραγώγου μπορεί να γραφεί σε τελική μορφή:

Du⃗0 f(x,y)= ∇f(x,y) ∙ u⃗0

Άρα για την εύρεση της κατευθυνόμενης παραγώγου μιας συνάρτησης z=f(x,y), κατά την κατεύθυνση ενός διανύσματος u⃗ με την προϋπόθεση ότι η f θα είναι παραγωγίσιμη μπορούμε να ακολουθήσουμε την παρακάτω μεθοδολογία:

22

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

1. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους της f(x,y).

2. Σχηματίζουμε το διάνυσμα της κλίσης ∇ f ( x , y )=¿ fx(x,y)i⃗ + fy(x,y) j⃗

3. Αν το διάνυσμα u⃗, που μας έχει δοθεί δεν είναι μοναδιαίο, σχηματίζουμε το αντίστοιχο μοναδιαίο u⃗0 = u⃗

¿u∨¿¿ , σύμφωνα με τον τύπο της σελίδας 6, όπου για ένα διάνυσμα Α⃗ =(α,β), το αντίστοιχο μοναδιαίο συμβολίζεται με Α̂.

4. Εφαρμόζουμε τον τύπο: Du⃗ f(x,y)= ∇f(x,y) ∙ u⃗ο

Παρατήρηση: Τα παραπάνω γενικεύονται και για συναρτήσεις τριών ή και περισσότερων μεταβλητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η κατευθυνόμενη παράγωγος της συνάρτησης f(x, y) =2x2y3 + 6xy στο σημείο (1,1), κατά την

κατεύθυνση του διανύσματος u = √32 i⃗ + 1

2 j⃗ .

Λύση: fx(x, y)= 4xy3 +6y fy(x, y)= 6x2y2 +6x

∇ f ( x , y )=¿ (4xy3 +6y )i⃗ + (6x2y2 +6x) j⃗ ∇ f (1 ,1 )=¿ 10i⃗ + 12 j⃗

Εξετάζουμε αν το διάνυσμα u είναι μοναδιαίο:

¿u| = ¿ = √ 34+

14 = √ 4

4 = 1

Άρα το διάνυσμα u είναι μοναδιαίο.

23

Εφαρμόζουμε τον τύπο Du⃗ ο f(x,y)= ∇f(x,y) ∙ u⃗ο. Θα έχουμε:

Du⃗ f(1,1)= ∇f(1,1) ∙ u⃗ =(10i⃗ + 12 j⃗ ) ∙ ( √32 i⃗ +

12 j⃗ ¿=¿ 10√3

2 + 122 = 5√3+6.

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕ ΓΡΗΓΟΡΟΤΕΡΟ ΡΥΘΜΟ

Αν παρατηρήσουμε το διάνυσμα της κλίσης της f στο (x,y), θα δούμε ότι:

,Dθf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=

=(fx(x,y)   +fy(x,y)  ).(cosθ  +sinθ  ).

Δηλαδή: Dθf(x,y) = (∇f(x,y))(cosθ  +sinθ  )

όπου (cosθ  +sinθ  ) το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση θ.

Όμως από ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι:

(∇f(x,y))(cosθ +sinθ ) =|∇f(x,y)|cosφ

όπου φ η γωνία που σχηματίζει το  ∇f(x,y) με την κατεύθυνση θ.Άρα:

Dθf(x,y)=|∇f(x,y)|cosφ και επομένως

-| f(x,y)| < Dθf(x,y)   < | f(x,y)|.Εάν φ=0        Dθf(x,y)=| f(x,y)|Εάν φ=π        Dθf(x,y)=-| f(x,y)|

Θεώρημα:  Έστω ότι ∇f(x,y)≠ 0.  Tότε στο σημείο (x,y), η κατεύθυνση κατά μήκος της οποίας η f παρουσιάζει τη μέγιστη μεταβολή είναι αυτή του∇f(x,y). 

Συμπέρασμα:

- H f αυξάνεται περισσότερο προς την κατεύθυνση του ∇f.24

- H f μειώνεται περισσότερο προς την αντίθετη κατεύθυνση του ∇f.

- Ο ρυθμός μεταβολής είναι μηδενικός όταν φ=π/2 ή φ=3π/2.

Παράδειγμα: Το ύψος h ενός βουνού στην θέση (x,y) περιγράφεται από την συνάρτηση h(x,y)=4e-x2 +3e-2y2. Αν ξεκινήσουμε από το σημείο (1,2), προς ποιά κατεύθυνση πρέπει να αρχίσουμε να προχωράμε για να σκαρφαλώσουμε γρηγορότερα;

Απάντηση: Θα βρούμε το διάνυσμα κλίσης της h(x,y) στο σημείο (1,2), οπότε έχουμε : 

hx(x,y)=4e-x2 (-2x)=-8xe-x2  ,  hy(x,y)=3e-2y2(-4y)=-12ye-

2y2 

Άρα  ∇h(x,y)=(-8xe-x2)  +(-12ye-2y2) 

οπότε   ∇h(1,2) =(-8e-1)   +(-24e-8)   .

Θα πρέπει να κινηθούμε προς την κατεύθυνση του ∇h(1,2), διότι προς αυτήν την κατεύθυνση οι τιμές της h(x,y) αυξάνονται με τον γρηγορότερο ρυθμό.

25

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρεθεί η κατευθυνόμενη παράγωγος της συνάρτησης f(x, y) = xy, κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u = 3 i⃗ + 4 j⃗ ,στο σημείο (1, 2).

Λύση: fx(x, y)= y fy(x, y)= x ∇ f ( x , y )=¿ f x (x , y) i⃗ + fy(x, y) j⃗ = y i⃗ + x j⃗

∇ f (1 ,2 )=¿ 2i⃗ + j⃗ .

Εξετάζουμε αν το διάνυσμα u είναι μοναδιαίο:

¿u|= √32+42 =√9+16 = √25 =5. Άρα δεν είναι μοναδιαίο.

Βρίσκουμε το αντίστοιχο μοναδιαίο: u⃗0 = u⃗

¿u∨¿=3 i⃗+4 j⃗5

¿ = 3 i⃗5 + 4 j⃗

5 .

Άρα η ζητούμενη κατευθυνόμενη παράγωγος θα είναι:

Du⃗ ο f(1,2)= ∇f(1,2) ∙ u⃗ο = (2i⃗ + j⃗ ¿ · (3 i⃗5 + 4 j⃗

5¿= 2 ·

35 + 1·

45 =

65+ 4

5 = 105 =

2.

2. Η παράγωγος της f(x,y) στο σημείο Α(2,4) στην κατεύθυνση του διανύσματος i+j  είναι√2 και προς την κατεύθυνση του διανύσματος -3i  είναι 4. Να βρεθεί η παράγωγος της f στην κατεύθυνση του διανύσματος 3i -4j.

26

Λύση: Είναι:

[(fx(2,4)i + fy(2,4)j) ● (i + j)] / √2= √2 (1) και (fx(2,4)i + fy(2,4) j)●(-3i + 0j)/│-3i+0j│ = 4 (2)

Από την (1) με απαλοιφή παρανομαστών θα έχουμε: (fx (2,4) i + fy(2,4) j )● (i + j) = √2 ∙ √2

ή (fx (2,4) i + fy(2,4) j ) ● (i + j) = 2 (3)

Eπίσης από τη (2) θα έχουμε:

-3i+0j /│-3i+0j│=-3i /√(−3)2+02 = -3 i/√9 = -3 i/3 = -i = - i +0j

ή (fx(2,4)i + fy(2,4) j)●(-i + 0j) = 4 (4)

Αν κάνουμε την πράξη του εσωτερικού γινομένου με τις συντεταγμένες, στις (3) και (4) θα έχουμε:

fx (2,4) ∙ 1 + fy(2,4) ∙ 1 = 2 (3)΄

fx (2,4) ∙(-1) + fy(2,4) ∙0 = 4 (4)΄

ή fx (2,4) + fy(2,4) = 2 και -fx (2,4) = 4

Η λύση του συστήματος των δυο αυτών εξισώσεων μας δίνει τις μερικές παραγώγους fx (2,4) = - 4 και fy (2,4) = 6.

Άρα μπορούμε να βρούμε την παράγωγο της f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u = 3 i - 4 j ως εξής:

-Σχηματίζουμε το διάνυσμα της κλίσης: ∇ f (2,4) = (-4i + 6j) - Εξετάζουμε αν είναι μοναδιαίο το διάνυσμα 3i -4j:│3i-4j│=√32+(−4)2 =√9+16 =√25 = 5. Άρα δεν είναι. Το αντίστοιχο μοναδιαίο είναι: (3i-4j)/│3i -4j│= (3i - 4j)/5.

27

Και η κατευθυνόμενη παράγωγος στην κατεύθυνση του διανύσματος 3i -4j θα είναι: Duf(2,4) = (-4i + 6j) ∙ (3i - 4j)/│3i -4j │ = [(-4i + 6j) ∙ (3i - 4j)]/5

= = [(-4)∙3+6 ∙(-4)]/5 =−12−245 = −36

5 .

3. Για τη συνάρτηση z = f(x,y) = 4x2y, να βρεθεί στο σημείο (-1, 1), η κατεύθυνση προς την οποία η τιμή της f(x,y) αυξάνει με το γρηγορότερο ρυθμό.

Λύση: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (R×R ¿

και ως προς τις δυο μεταβλητές x και y. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης και σχηματίζουμε το διάνυσμα της κλίσης:

∂ f (x , y)∂x =8xy ∂ f f (x , y )∂ y = 4 x2

∇ f (x , y) =∂ f (x , y)∂x

i +∂ f f (x , y )∂ y

j = 8xyi + 4 x2 j

Και η κλίση στο σημείο (-1, 1) θα είναι: ∇ f (−1,1)= 8(-1)·1i + 4 (−1)2 j ή ∇ f (−1,1)= -8i + 4 j (1) Γνωρίζουμε ότι η f(x,y) αυξάνει με το γρηγορότερο ρυθμό κατά την κατεύθυνση του διανύσματος της κλίσης ∇ f (x , y) σε οποιοδήποτε σημείο. Δηλαδή η κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης είναι η κατεύθυνση κατά το διάνυσμα της κλίσης στο δεδομένο σημείο (-1, 1), που είναι το διάνυσμα ∇ f (−1,1)= -8i + 4 j .

Η κατευθυνόμενη παράγωγος δίνεται από τον τύπο: Du⃗f(x,y)= ∇f(x,y)∙ u⃗ο, όπου u⃗=(α , β)είναι το δεδομένο διάνυσμα και u⃗ο, το

αντίστοιχο μοναδιαίο: u⃗ο = α¿ u⃗∨¿ i ¿

+β¿ u⃗∨¿¿ j και |u⃗∨¿√α2+β2.

Στη δική μας περίπτωση θα πάρουμε την κατευθυνόμενη παράγωγο κατά την κατεύθυνση της κλίσης, δηλαδή θα έχουμε: u⃗=∇ f (x , y ) στο

28

σημείο (-1, 1), που γνωρίζουμε από την (1) ότι είναι ∇ f (−1,1) = -8i + 4 j .

Εξετάζουμε αν το διάνυσμα της κλίσης είναι μοναδιαίο. |∇ f (−1,1)∨¿ √(−8)2+42 =√64+16 = √80 = √5 ·16 = 4√5 . Δεν είναι και το

μετατρέπουμε σε μοναδιαίο ∇ f (−1,1)0 = −8¿4√5∨¿i ¿ +4

¿4√5∨¿¿ j =

= −84 √5

i +44 √5 j = −2

√5i +1

√5 j . Οπότε η κατευθυνόμενη παράγωγος κατά

την κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης θα είναι:

D∇ f (−1,1)0f(-1,1)= ∇f(-1,1)∙∇ f (−1,1)0 = (-8i + 4 j ¿ ·(−2√5

i+ 1√5

j)=¿

(-8)¿) + 4 ( 1√5 ) = 16

√5 + 4√5 = 20

√5 = 20 √5√5√5

= 20√5√52 = 20√5

5 = 4√5 .

4. Να βρεθεί η κατεύθυνση κατά την οποία η συνάρτηση

f(x,y) = x2

2+ y2

2 παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση, στο σημείο (1,

1).

Λύση: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση κατά την κατεύθυνση της κλίσης ∇ f (x , y). Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης και σχηματίζουμε το διάνυσμα της κλίσης:

∂ f (x , y)∂x =x ∂ f f (x , y )∂ y = y

∇ f (x , y) =∂ f (x , y)∂x

i +∂ f f (x , y )∂ y

j = x i +y j , ∇ f (1,1 )=¿ i + j

Η κατεύθυνση της κλίσης είναι:

∇ f (1,1)0 = i+ j¿ i+ j∨¿¿ = i+ j

√12+12 = i+ j√2 = i

√2+ j

√2 = √2 i2 + √2 j

2 . 5. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x, y, z) = x3 – xy2

–z κατά την κατεύθυνση του διανύσματος v = 2i – 3j + 6k , 29

στο σημείο (1, 1, 0). Σε ποια κατεύθυνση η συνάρτηση θα παρουσιάζει στο σημείο αυτό τη μέγιστη αύξηση;

Λύση: Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της f(x, y, z) = x3 – xy2

–z είναι:

∂ f (x , y , z )∂ x = 3x2 – y2 ∂ f (x , y , z )∂ y = -2xy ∂ f (x , y , z )∂ z = -1.

Στο σημείο (1, 1, 0) οι παραπάνω παράγωγοι θα είναι: ∂ f (1 ,1 ,0)

∂ x =2 ∂ f (1 ,1 ,0)∂ y = -2 ∂ f (x , y , z )∂ z = -1.

Το διάνυσμα της κλίσης θα είναι:

∇ f (x , y , z ) =∂ f (x , y , z )∂ x

i + ∂ f f (x , y , z )∂ yj +∂ f f (x , y , z )

∂ zk .

Στο δεδομένο σημείο θα είναι: ∇ f (1,1 ,−1) =2 i - 2 j - k .

Εξετάζουμε αν το δεδομένο διάνυσμα v = 2i – 3j + 6k είναι μοναδιαίο: | v|= √22+¿¿ = √4+9+36 = √49 = 7 . Άρα δεν είναι

μοναδιαίο. Το αντίστοιχο μοναδιαίο θα είναι: v0 = v¿v∨¿¿ =

2i –3 j+6 k7 = 2i

7−3 j

7+ 6k

7 . Η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του

διανύσματος v, θα είναι: Dv f(x,y,z) = ∇ f (x , y , z ) · v0.

Και στο σημείο (1,1 ,−1) θα είναι:

Dv f(1,1,-1) = ∇ f (1,1 ,−1) · v0 = (2 i - 2 j - k )· (2i7

−3 j7

+ 6k7 ) =

= 2·27 +

(−2 ) ·(−3)7 +

(−1) ·67 = 4

7+ 6

7−6

7 = 47 .

Η συνάρτηση θα παρουσιάζει τη μέγιστη αύξηση στο σημείο (1, 1, 0), κατά την κατεύθυνση του διανύσματος της κλίσης, που στο σημείο αυτό είναι όπως αναφέρεται παραπάνω ∇ f (1,1 ,−1) =2 i - 2 j - k .

30

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση f(x, y) = x2 e y+ x3. Να υπολογισθούν

οι παράγωγοι ∂ f (x , y)∂x

∂ f f (x , y )∂ y

και η κλίση ∇ f (x , y) στο

σημείο (1, 1).

2. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x,y) = xy, στο σημείο (2, -1), κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u = i + 2j.

3. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x,y, z) = x2 +4y2

+ 9z2 , στο σημείο (2, -1, 1), κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u = i – 2j + 2k .

4. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x, y, z) = 1x+ 1y+ 1z

στο σημείο (1, -1, 1), κατά την κατεύθυνση της κλίσης της συνάρτησης g(x, y, z) = xy – z2, στο σημείο (-1, 0, 2).

5. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x, y, z) = x2y2 + z(x + y) στο σημείο (1 , -1 ,2) κατά την κατεύθυνση του

διανύσματος u = i +3 j + 4k.31

 6. Υποθέτουμε ότι το υψόμετρο ενός  βουνού στο σημείο (x, y) δίνεται από τον τύπο f(x, y) = 10.000-3x2-5y2. Στο σημείο (3, 3) προς ποιά κατεύθυνση αυξάνει γρηγορότερα το υψόμετρο; Αν  σ΄αυτό το σημείο αφήσουμε μια μπάλα προς ποιά κατεύθυνση θα κινηθεί;

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΗΜΕΙΑ

Ορισμός: Έστω f συνάρτηση δύο μεταβλητών, η οποία ορίζεται σε κάποιο σύνολο S ⊆ R×R .Το σημείο (xo, yo) θα αποτελεί τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο σημείο για την f, εάν υπάρχει περιοχή του (xo, yo) στο πεδίο ορισμού της, τέτοια ώστε                      f(xo, yo) >  f(x,y)   ή    f(xo, yo) < f(x,y)

για όλα τα (x,y), που ανήκουν σε αυτή την περιοχή. Τα τοπικά μέγιστα  ή ελάχιστα σημεία της f, ονομάζονται και τοπικά ακρότατα σημεία της. Εάν το (xo, yo) είναι τοπικό ακρότατο σημείο, ο αριθμός zo =f(xo, yo) ονομάζεται τοπική ακρότατη τιμή της f .

Θεώρημα (Γενίκευση του Θεωρήματος του Fermat στο R×R ¿: Εάν το (xo, yo) αποτελεί τοπικό ακρότατο σημείο για την f, και υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι fx(xo, yo) , fy(xo, yo), τότε ισχύει: fx(xo, yo)=0 και fy(xo, yo)=0

32

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή όλα τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία μηδενίζονται οι δύο πρώτες μερικές παράγωγοι δεν είναι τοπικά ακρότατα.

Αυτά τα σημεία είναι πιθανά σημεία ακροτάτου και ονομάζονται κρίσιμα σημεία ή στάσιμα σημεία ή σημεία στάσης.

Παραδείγματα:  

α) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)= -x2-y2 .H f  ορίζεται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου και το σημείο (0,0) αποτελεί προφανώς τοπικό μέγιστο σημείο της. Παρατηρούμε ότι σ' αυτό το σημείο μηδενίζονται οι δύο μερικές παράγωγοι της f, δηλαδή ισχύει η συνθήκη του παραπάνω θεωρήματος.

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x,y)=3+2

 

Η f έχει γραφική παράσταση έναν κυκλικό κώνο με κορυφή το σημείο (0,0,3). H f  ορίζεται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου και το σημείο (0,0) αποτελεί προφανώς τοπικό ελάχιστο σημείο για την f.Παρατηρούμε ότι σ' αυτό το σημείο οι δύο μερικές παράγωγοι της f, 

δεν ορίζονται.

33

Παρατήρηση: Το θεώρημα, μας δίνει μια αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί ένα σημείο (xo, yo) ακρότατο σημείο της f. Η συνθήκη

αυτή όπως φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα δεν είναι και ικανή.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=y2-x2.Έχουμε  ότι fx(x,y)= -2x  ,  fy(x,y)=2y, οι οποίες ορίζονται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου.Παρατηρούμε ότι  fx(x,y)=fy(x,y)=0, μόνον όταν (x,y)=(0,0). Όμως, το σημείο (0,0) δεν αποτελεί τοπικό ακρότατο σημείο για την f.Τα στάσιμα σημεία της f, στα οποία δεν έχουμε τοπική ακρότατη τιμή, τα ονομάζουμε σαγματικά σημεία.

Εσσιανός Πίνακας (Hessian matrix) (ή Πίνακας του Hesse):

Έστω μια συνάρτηση f(x, y), παραγωγίσιμη, ώστε να υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης και να είναι συνεχείς. Εσσιανός πίνακας της f(x, y) είναι ο πίνακας των δεύτερων μερικών παραγώγων της.

Hf (x , y ) = [ f xx f xyf yx f yy ]

Εσσιανή Ορίζουσα λέγεται η ορίζουσα του παραπάνω πίνακα, δηλαδή η ορίζουσα των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x, y). (Συμβολίζεται επίσης και με Δ):

Δ = |H f (x , y )|=|f xx f xy

f yx f yy|

34

Μια ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου μας δίνει το παρακάτω:

Θεώρημα : Έστω μια συνάρτηση f(x, y), με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό σύνολο S ⊆R×R, για την οποία υπάρχουν στο S οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης και είναι συνεχείς και ότι (x0,

y0) είναι ένα κρίσιμο σημείο. Τότε αν σχηματίσουμε την ορίζουσα των παραγώγων δεύτερης τάξης (Εσσιανή Ορίζουσα) και υπολογίσουμε την τιμή της στο κρίσιμο σημείο (x0, y0), τότε:

Ι. Αν Δ ¿ 0 , τότε η f(x, y) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο (x0, y0

), το οποίο θα είναι τοπικό ελάχιστο αν ισχύει και ότι f xx ¿ 0 ή θα είναι τοπικό μέγιστο αν ισχύει και ότι f xx ¿ 0.

ΙΙ. Αν Δ¿ 0, τότε δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο για την f(x, y) στο (x0, y0 ), αλλά έχουμε σαγματικό σημείο.

ΙΙΙ. Αν Δ = 0, τότε το θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί, δηλαδή δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν υπάρχει ή όχι τοπικό ακρότατο.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογιστούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

f(x, y) = 2x3 + 3x2 – 5y2 -12x + 30 y +12Λύση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το επίπεδο R×Rκαι η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

∂ f (x , y)∂x

= 6x2 + 6x – 12 , ∂ f (x , y)∂ y

= - 10y +30

Λύνουμε το σύστημα: ∂ f (x , y)∂x

= 0,

∂ f (x , y)∂ y = 035

Δηλαδή: 6x2 + 6x – 12 =0 - 10y +30 = 0 Οι λύσεις του συστήματος είναι x=-2 , x=1 και y=3. Από αυτές προκύπτουν τα δυο ζεύγη τιμών (-2 , 3) και (1, 3), που αντιστοιχούν σε δυο σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Τα σημεία αυτά είναι τα στάσιμα σημεία ή κρίσιμα σημεία.

Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: ∂2 f (x , y)

∂x2 = ∂(6 x2+6x –12)∂x

= 12x +6, ∂2 f (x , y)∂ x ∂ y

=∂(6 x2+6x –12)∂ y

= 0

∂2 f (x , y)∂ y2 = ∂(−10 y+30)

∂ y = -10, ∂

2 f (x , y)∂ y ∂ x

=∂(−10 y+30)∂x

= 0

Σχηματίζουμε την ορίζουσα τους (Εσσιανή Ορίζουσα).

|12 x+6 0O −10|

Υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας σε κάθε ένα από τα κρίσιμα σημεία:

Αν η τιμή της ορίζουσας είναι θετική, τότε υπολογίζουμε και την τιμή της ∂

2 f (x , y)∂x2 =¿ 12x+6,

α) Για το σημείο (-2,3) θα έχουμε:

|12(−2)+6 0O −10| = |−18 0

O −10| = (-18) (-10) -0 =180 ¿ 0,

άρα υπάρχει τοπικό ακρότατο.

∂2 f (−2,3)∂x2 = 12(-2) + 6 = -24 +6 = -18 ¿ 0,

36

άρα το τοπικό ακρότατο στο σημείο (-2, 3) είναι τοπικό μέγιστο.

Η τιμή του τοπικού μεγίστου είναι: f(-2,3)= 2(-2)3 + 3(-2)2 -5 32 -12(-2) +30·3 +12 = 77

β) Για το σημείο ( 1, 3) θα έχουμε:

|12 ·1+6 0O −10| = |18 0

O −10| = (18) (-10) -0 = - 180 ¿ 0,

άρα δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο, αλλά έχουμε σημείο σάγματος (σαγματικό σημείο).

2. Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

f(x, y) = x4 + y4 - 4xy +2

Λύση: Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R×R .Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

f x = 4x3 -4y f y = 4y3 -4x Τις εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα που θα προκύψει: 4x3 -4y = 0 (1) 4y3 -4x = 0 (2) Λύνουμε την την(1) ως προς y και αντικαθιστούμε στη (2). Θα έχουμε: x3 = y . Και από τη (2) έπεται : 4 (x3)3 - 4x = 0 ⟺ 4x9 - 4x = 0 ⟺

4x¿¿ – 1) = 0 ⟺ x = 0 ή x8 – 1 = 0 ⟺ (x4 – 1)(x4 + 1) = 0 ⟺ x4 – 1 = 0 ⟺

¿ – 1) = 0 ⟺ ¿¿ – 1)¿¿ + 1) =0 ⟺ ¿¿ – 1) = 0 ⟺ ¿¿ – 1)¿¿ + 1) = 0 (Οι όροι x4 + 1 και x2 + 1 έχουν παραλειφθεί επειδή διάφοροι του μηδενός)

⟺ x=−1ή x=1. Άρα έχουμε συνολικά τρεις τιμές του x: x = 0 ή x=−1ή x=1.

37

Με αντικατάσταση του κάθε x στην x3 = y, θα έχουμε τα παρακάτω κρίσιμα σημεία: x=0, y = 0, x = -1, y = -1, x = 1, y = 1. Δηλαδή τα κρίσιμα (ή στάσιμα) σημεία είναι : (0, 0), (-1, -1), (1, 1).

Κατόπιν θα βρούμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους και θα σχηματίσουμε την Εσσιανή ορίζουσα: Επειδή οι πρώτες είναι: f x = 4x3 -4y f y = 4y3 -4x , οι δεύτερες θα είναι:

f x x = 12x2 f x y=−4 f yx=−4 f yy = 12y2.

Οπότε η Εσσιανή ορίζουσα θα είναι:

|12 x2 −4−4 12 y2|

Υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας σε κάθε ένα από τα κρίσιμα σημεία:Αν η τιμή της ορίζουσας είναι θετική, τότε υπολογίζουμε και την τιμή της f x x = 12x2 .

α) Για το σημείο (0, 0) θα έχουμε:

|12 x2 −4−4 12 y2|(0, 0) = | 0 −4

−4 0 | = -16 ¿ 0, άρα δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο,

αλλά έχουμε σαγματικό σημείο.

β) Για το σημείο (-1, -1) θα έχουμε:

|12 x2 −4−4 12 y2|(-1, -1) = |12 −4

−4 12 | = 144 – 16 = 128 ¿ 0 , άρα υπάρχει τοπικό

ακρότατο στο (-1, -1).

Υπολογίζουμε και την τιμή της f x x (−1 ,−1 ) . Είναι f x x (−1 ,−1 )=¿

= 12x2 ¿ (-1, -1) = 12 ¿0 , υπάρχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο (-1, -1).

Το τοπικό ελάχιστο θα βρεθεί με αντικατάσταση των συντεταγμένων του σημείου στον τύπο της συνάρτησης f(x, y) = x4 + y4 - 4xy +2 .

38

Δηλαδή η τιμή του τοπικού ελαχίστου θα είναι: f(-1, -1) = (-1)4 +(-1)4 – 4(-1)(-1) +2 = 1 +1 – 4 + 2 = 0

γ) Για το σημείο (1, 1) θα έχουμε:

|12 x2 −4−4 12 y2|(1, 1) = |12 −4

−4 12 | = 144 – 16 = 128 ¿ 0 , άρα υπάρχει τοπικό

ακρότατο στο (1, 1).

Υπολογίζουμε και την τιμή της f x x (1,1 ) . Είναι f x x (1,1 )= 12x2 ¿ (-1, -1) = 12 ¿0 , υπάρχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο (1, 1).

Και η τιμή του τοπικού ελαχίστου στο σημείο (1 , 1) θα βρεθεί όπως και προηγουμένως με αντικατάσταση στον τύπο της συνάρτησης: f(1, 1) = 14 +14 – 4·1·1 +2 = 1 +1 – 4 + 2 = 0

3. Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση: f(x, y) = x3 – y3 + 3xy .

Λύση: Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R×R . Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

f x = 3x2 +3y f y = - 3y2 +3x Τις εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα που θα προκύψει: 3x2 + 3y = 0 - 3y2 +3x= 0 Βγάζουμε και από τις δυο κοινό παράγοντα το 3, το οποίο και απαλείφουμε: Το σύστημα θα γίνει:

x2 + y = 0

- y2 +x= 0 Λύνουμε τη δεύτερη ως προς x. Θα έχουμε: x = y2 . Με αντικατάσταση στην πρώτη θα προκύψει το σύστημα:

39

y4 + y = 0 , x = y2

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το y στην πρώτη: y(y3 + 1) = 0 , x = y2 Εφαρμόζουμε τη γνωστή ταυτότητα από τα αξιοσημείωτα πηλίκα: y3 + 1 = (y + 1)(y2 – y + 1).

Το σύστημα θα γίνει: y(y + 1)(y2 – y + 1) = 0 x = y2

To y2 – y + 1 μπορεί να παραλειφθεί από την πρώτη εξίσωση, διότι είναι μια παράσταση που δεν μηδενίζεται ποτέ, αφού έχει αρνητική διακρίνουσα.

Άρα το σύστημα θα γίνει: y(y + 1) = 0 και x = y2

Από την πρώτη προκύπτουν δυο τιμές του y: y = 0 ή y = -1. Αντικαθιστώντας στη δεύτερη θα έχουμε αντίστοιχα τα σημεία: y = 0, άρα και x = 0 ή y = -1, άρα και x = 1.

Δηλαδή τα κρίσιμα σημεία θα είναι: (0, 0) και ( 1, -1).

Κατόπιν βρίσκουμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους και σχηματίζουμε την Εσσιανή ορίζουσα: Επειδή οι πρώτες είναι:f x = 3x2 +3y f y = - 3y2 +3x , οι

δεύτερες θα είναι: f xx = 6x f xy =3 f yx =3 f yy = -6y

Οπότε η Εσσιανή ορίζουσα θα είναι:

|6 x 33 −6 y|

Υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας σε κάθε ένα από τα κρίσιμα σημεία:

40

α) Για το σημείο (0, 0) θα έχουμε:

|6 x 33 −6 y|(0, 0) = |0 3

3 0| = - 9 ¿ 0,

άρα δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο, αλλά έχουμε σαγματικό σημείο.

β) Για το σημείο (1, -1) θα έχουμε:

|6 x 33 −6 y|(1, -1) = |6 3

3 6| = 36 – 9 = 27 ¿0 , άρα υπάρχει τοπικό ακρότατο.

Η τιμή της f x x στο (1,−1 ) είναι f x x (−1 ,−1 )=¿ f xx = 6x¿(1, -1) = 6 ¿0.

Άρα στο (1, -1) υπάρχει τοπικό ελάχιστο.Το τοπικό ελάχιστο θα βρεθεί με αντικατάσταση στον τύπο της συνάρτησης f(x, y) = x3 – y3 + 3xy . Και είναι:

f(1, -1) = 13 – (-1)3 + 3·1· (-1) = 1+1 – 3 = -1

4. Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

f(x, y, z) = x2 + y2 – z2

Λύση: Η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή στο χώρο R×R× R . Βρίσκουμε τις πρώτες μερικές παραγώγους και τις εξισώνουμε με το μηδέν. f x = 2x f y = 2y f z = -2z Προκύπτει το σύστημα: 2x = 0 2y = 0 -2z = 0 Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση (x, y, z) = (0, 0, 0). Άρα το κρίσιμο σημείο είναι το σημείο (0, 0, 0).

Βρίσκουμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους:

Επειδή οι πρώτες είναι:f x = 2x f y = 2y f z = -2z

οι δεύτερες θα είναι: f xx = 2 f xy = 0 f xz = 041

f yx = 0 f yy = 2 f yz = 0 f zx = 0 f zy = 0 f zz = -2

Σχηματίζουμε την Εσσιανή ορίζουσα:

|2 0 00 2 00 0 −2| = 2|2 0

0 −2| - 0 |0 00 −2| + 0|0 2

0 0| = 2(-4 -0) – 0 + 0 = -8 ¿ 0.

Άρα στο (0, 0, 0) δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο, που σημαίνει ότι το σημείο αυτό είναι σαγματικό σημείο.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογιστούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

f(x, y) = x3 –6x2 - 5y2 + 9x – 20 y -172. Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις:i) f(x, y) = 9 -2x + 4y – x2 - 4y2

ii) f(x, y) =x3 + y3 -3xyiii) f(x, y) = yx3 + 12x2 – 8y

iv) f(x, y) = 43x3 + 4xy2 - 4x2 -4y2 + 1

3. f(x, y) = 2x2 + 2xy + 5y2 +2x -2y + 24. f(x, y) = 4xy - x4 - y4

5. f(x, y, z) = x4 + y4 + z4 – 4xyz

6. f(x, y) =x3 + y3 -3x – 12y -20

42