· web viewgiải thích: khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ...

www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁCPHẦN 1

Bài 1. Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Điều kiện: (*).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

2 22 3 sin cos 3sin 2 3 sin .cos cos 0x x x x x x

3 sin cos 03 sin cos 3 sin cos 2 0

3 sin cos 2

x xx x x x

x x

TH1:

TH2: 3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 16 6 6

x x x x x

22 2 ,6 2 3

x k x k k

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm

.

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x (2009; 2011) của phương trình :

Bài 3. Chứng minh rằng:

Bài 4. Cho: , với . Chứng minh rằng: .

www.thuvienhoclieu.com Trang 1


Bài 5. Giải phương trình :

Bài 6. Cho tam giác với các kí hiệu thông thường, biết: Chứng minh

rằng tam giác cân.Bài 7. Giải phương trình sau:

Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: Bài 9. Cho tam giác có độ dài các cạnh là , , , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc , , lần lượt là l , l , l .

1. Chứng minh rằng:

2. Nhận dạng tam giác, biết:

Bài 10. Định a để hệ: có nghiệm duy nhất.

Bài 11. Chứng minh rằng nếu thì:

Bài 12. Tìm để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những

giá trị tìm được của m:

Bài 13. Cho hai phương trình sau: (1)

(2)

a. Giải các phương trình trên với .

b. Tìm tất cả các giá trị của để hai phương trình (1) và (2) tương đương.

Bài 14. Giải hệ phương trình:

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị sao cho: Bài 16. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:



Bài 17. Cho tam giác có . Chứng minh rằng:

Bài 18. Cho tam giác có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: Tính tổng số đo

góc:

Bài 19. Xét các tam giác thoả mãn ràng buộc: . Tìm giá trị lớn của biểu thức:

Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 21. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có .Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Bài 23. Giải phương trình: .

Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình thỏa

mãn điều kiện

Bài 25. Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm trên khoảng

Bài 26. Trong tất cả các tam giác cho trước, tìm tam giác có lớn nhất.Bài 27. Giải phương trình :

Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác , biết

Bài 29. Giải phương trình

Bài 30. Tam giác thỏa mãn đẳng thức Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :

Bài 32. Cho tam giác có : tanA+tanC=2tanB.CMR :

Bài 33. Giải phương trình: Bài 34. Trong tam giác biết số đo ba góc lập thành cấp số cộng với và thỏa hệ

thức . Tính số đo các góc .




Bài 36. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng :

Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4Hướng dẫn giải

x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx

Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5

vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π


Bài 39. Cho phương trình: a) Giải phương trình khi .

b) Xác định tham số để phương trình có đúng một nghiệm .

Bài 40. Cho tam giác có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:

Chứng minh tam giác là tam giác đều.

Bài 41. Giải phương trình : .

Bài 42. Tìm m để phương trình cos có nghiệm.

Bài 43. Tam giác có ba góc thỏa mãn hệ thức : . Hãy tính các góc của tam giác đó.


Bài 45. Giải phương trình sau .Hướng dẫn giải



Vậy phương trình có hai họ nghiệm:

Bài 46. Cho với . Tính giá trị của biểu thức:


Do nên . Ta có:

,

,

Khi đó:

Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số


Ñieàu kieän xaùc ñònh

Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Hướng dẫn giải

*

*

* GTNN y = 1

* y = 1





Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc :


* t = cotx ,

* (1)

(2)

Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt

keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m<

Bài 51. Giải phương trình Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = R.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:



Xét hàm số f(t) = , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x

cos3x = 0 x = , k Z

Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1Hướng dẫn giải

Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x) 2m – 1.

Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx

Đặt t = sinx + cosx, . Ta có:

f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với .

Xét sự biến thiên của g(t) ta có:

Vì f(x) 0 nên ta có:

maxf(x) =

Vậy ta có: .

Bài 53. Rút gọn tổng S = trong đó n là một số tự

nhiên.

Bài 54. Biết rằng sin2x + sin2y = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y.

Bài 55. Rút gọn : P = .

Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có thì .



Bài 57. Trong tam giác có A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử , hãy tìm cặp số

nguyên (p, q).

Bài 58. Cho . Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0).

Bài 59. Cho . Tính giá trị của biểu thức

Bài 60. Tính giá trị của biểu thức: .

Bài 61. Cho tam giác bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức đạt

giá trị lớn nhất.

Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức , trong đó .

Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số với .

Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với n là số tự nhiên.

Bài 65. Cho tam giác thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:

a) B , b) cosA+ cosC .

Bài 66. Cho tam giác thoả mãn: . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác

vuông là .

Bài 67. Tính tổng S = .



Bài 68. Chứng minh rằng: .

Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa và thoả mãn: .

Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t .

Bài 70. Tìm GTNN của hàm số .

Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: .

Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: .

Bài 73. Cho tam giác có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của

tam giác . Tính tỷ số trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài 74. Cho tam giác vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, lần lượt là

độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: .

Bài 75. Giải các phương trình sau:1/ .

2/ .

3/ .

4/

5/ .

6/



Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36

Bài 77. Cho . Tính .


Bài 79. Thu gọn tổng S = .

Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)...

Bài 81. Tính các tổng:

S = , P = , R =

Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x trong đó k, là các tham số thực. Chứng minh rằng:

Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn đẳng thức sau:

PHẦN 2

Câu 1: Giải các phương trình sau đây:Hướng dẫn giải:

Ta có:



.

Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)

c)

Hướng dẫn giải:

a)

b)



Điều kiện:

Với , không thỏa mãn điều kiện

Với

Giá trị bị loại do điều kiện

Vậy pt đã cho có họ nghiệm là:

c)

.

Câu 3: Giải phương trình .




không phải là nghiệm.nhân thêm vào hai vế để đưa về pt .

Suy ra ; .

Vì nên pt có các nghiệm ; ; .

Câu 4: Giải phương trình .Hướng dẫn giải

.

Theo BĐT Bunhiacôpski .

Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi

(Hệ phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình .Hướng dẫn giải

Ta có:

(nghiệm dương nhỏ nhất khi ).

(2) có (do nguyên).



(2) có hai nghiệm .

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất khi . Khi đó

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là .

Câu 6: Cho phương trình: .

a. Giải phương trình khi .

b. Tìm m để phương trình có nghiệm .


a. khi phương trình .

.

b. Tìm m để phương trình có nghiệm .

phương trình .

với ta có nên không thoả mãn.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm .

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện: .

Hướng dẫn giải(*)

+



+

hoặc

+ (1)

+ (vì không thể xảy ra)

Ta có: hoặc .

+ Với điều kiện , chọn số nguyên . Vậy .

Câu 8: Cho phương trình (1) ( là tham số).a. Giải phương trình (1) với .b. Tìm để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giảia. Với . Thay vào phương trình ta được:

.

b. Phương trình có nghiệm .

Câu 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giảiĐiều kiện: .

Ta có:



, .

Vậy phương trình có họ nghiệm là và , .

Câu 10: Cho phương trình . Tìm các giá trị của sao cho phương trình đã

cho có nghiệm.Lời giải

ĐKXĐ: . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho , ta được:

Đặt , ta được phương trình: Do phương trình có nghiệm với mọi nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

có nghiệm .

Câu 11: Giải phương trình

Lời giảiĐKXĐ: .

Ta có:



.

Câu 12: Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện: .

.

Câu 13: Giải phương trình Lời giải



.

Câu 14: Giải phương trình Lời giải

(Điều kiện: )

.

Câu 15: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm.

Lời giải

Đặt , điều kiện .

Phương trình (1) trở thành (2).

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm .

Lập bảng biến thiên của , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là .

Câu 16: Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm?

Lời giải



Phương trình có nghiệm .

Câu 17: Cho 3 số thực . Số nghiệm của phương trình trên khoảng

làA. . B. . C. . D. thay đổi theo .

Lời giải

(1)

(2) (vì )

Trên khoảng thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

Câu 18: Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm

Lời giải

Ta có:

.

Phương trình có nghiệm khi .

Câu 19: Gọi , là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Lời giải



Đặt , .

Ta có .

Ta được hàm số .Bảng biến thiên:

Suy ra .

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình vô

nghiệm.

Lời giải

.

Phương trình vô nghiệm .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm

.

Lời giải

không là nghiệm của phương trình.

Đặt .

Ta được phương trình .

Phương trình có nghiệm có nghiệm .

Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm parabol

và đường thẳng .



Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm .

Câu 22: Phương trình có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn ?

Lời giải

.

Ta có: .

.

Dấu xảy ra

Vậy có nghiệm dương bé hơn ứng với .

Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được

bao nhiêu điểm?

Lời giải

Điều kiện: .

.



+ Với (không thỏa điều kiện).

+ Với (thỏa điều kiện).

Biểu diễn hai họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được điểm.

PHẦN 3

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải.Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với: .

..

.

.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ( ).

Bài 2. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với .

.

.

.



.

Bài 3. Giải phương trình Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với .

.

.

.



Điều kiện: ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm).

Khi đó: .

.



.

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là

.

Bài 5. Cho phương trình: ( m là tham số).

1) Giải phương trình khi .

2) Tìm để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn .


Phương trình đã cho tương đương với:

(1).

1) Với ta có phương trình:

2) Đặt t = cos4x ta được: , (2).

Với thì Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình (2) có nghiệm phân biệt (3).



Xét g(t) = với ta có bảng biến thiên :

t 1

g(t)

5 3

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra

Vậy giá trị m cần tìm là: .

Bài 6. Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. Hướng dẫn giải

Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 .

Đáp số: .

Bài 7. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng .


Đẳng thức .



Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200.

Bài 8. Giải phương trình : .


.

.

.

.

Bài 9. Giải phương trình: 2sin x + = 0.Hướng dẫn giải

2sin x + = 0 .

.

.



.

Điều kiện : .



PT .

.

.

.

Đặt : . Ta có: .

Với .

.

Bài 11.Hướng dẫn giải

Xét phương trình: (1).

Điều kiện: .

Phương trình (1) .

.

.



.

Đối chiếu với điều kiện: .

Vậy phương trình có nghiệm: .

Bài 12. Giải hệ: .

Hướng dẫn giảiĐiều kiện: .

, ta có và .

Kết hợp với ta được: .

Cộng và ta được , thế vào ta được:

Đặt , phương trình trở thành

.



Với , ta được .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là và .

Bài 13. Giải các phương trình sau: .Bài 14.

1. Cho phương trình: .

a) Giải phương trình với .

b) Tìm để phương trình có nghiệm thuộc [0; ].

2. Tính các góc của tam giác biết: .


Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: .

Bài 17. Cho số thực x thỏa mãn .

Bài 18. Tính giá trị biểu thức .

Bài 19. Giải phương trình .

PHẦN 4

Bài 1. Giải phương trình sau:





Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: và .




Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là:










Bài 10.Giải phương trình:


Bài 12. Cho hàm số:

Giải phương trình:

a)

b)

Bài 13. Chứng minh với mọi giá trị của ta có:


Bài 15. Cho phương trình sau:

a) Giải phương trình khi

b) Xác định tham số để phương trình có đúng 1 nghiệm .


(với là tham số).

a) Khi , hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

b) Xác định để phương trình có nghiệm .



Bài 17. Tìm thuộc khoảng nghiệm đúng phương trình:

.



Bài 20. Cho phương trình:

Tìm để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc .

Bài 21. Cho

Chứng minh rằng: .






Bài 27. Tìm để phương trình: có nghiệm

và chỉ có nghiệm ấy.






Bài 31. Cho phương trình:

Tìm để phương trình có nghiệm.

Bài 32. Tính tổng các nghiệm của phương trình:


Bài 34. Giải phương trình sau:

Bài 35. Giải phương trình sau: .

Bài 84. Giải phương trình: Hướng dẫn giải





ĐK

Khi đó phương trình đã cho trở thành

+) không thỏa mãn ĐK

+) (thỏa mãn ĐK)

Bài 86. Giải các phương trình sau đây:




Hướng dẫn giải +) §iÒu kiÖn

+) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0

+) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S:

Bài 88. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh:

cã nghiÖm

Hướng dẫn giải +) §a PT vÒ d¹ng: (1)

+) §Æt t = cos4x víi t (-1; 0)

+) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn

Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0)

+) §S:




Hướng dẫn giảiDùng công thức hạ bậc ta được:



Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2

Từ đó suy ra nghiệm của pt:

Bài 92. Giải phương tình :

Bài 93. Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên



Bài 96. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0)6

5sin(2)6

sin()3

sin(3 xxx

Bài 97.

Hướng dẫn giảiTa có:

Đặt:

Ta có:


với m là tham số.



1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

2) Xác định m để phương trình có nghiệm


1) Giải phương trình khi .

2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm


Bài 101. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình .

Hướng dẫn giảiBiÕn ®æi ph¬ng tr×nh

Do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ

Bài 102. Cho tam giaùc ABC Coù goùc A,B nhoïn thoûa ñieàu kieän : .Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng



Hướng dẫn giảiTừ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (1) (2đ)

Lại có : (2) (2đ)

Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ)

a) Giải phương trình:


1) Sin sinx - cos . sin2x + 1 = 2 cos2

2) 2 cos

Bài 104. Giải phương trình :

3tan2x - = 0

Bài 105. Giải phương trình: Hướng dẫn giải





ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương

hoặc

Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là

Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm.







Gi¶i (1) ta ®îc x=k víi kGi¶i (2): Ta cã (2) (3)

Áp dông B§T C«si cho 3 sè: ta có :

. Do ®ã <

Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm.

KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k víi k


Hướng dẫn giảiPT

+)

.



+) .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm


· web viewgiải thích: khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ...

Documents