Alicia Monreal OrtegaIES “Ana María Matute”

Cabanillas del Campo, Guadalajara

∞

∞

1

ÍNDICE∞0 .INTRODUCCIÓN.....................................................................2

௨ .FRENTE A LA PUERTA..............................................................3

.EN LA ENTRADAԳ ........................................................................4

.HACIA EL PASILLOԴ .....................................................................6

.EN EL SALÓNԵ .............................................................................8

.SALIENDO FUERAԶ ....................................................................11

Φ .CONCLUSIONES......................................................................12

BIBLIOGRAFÍA..............................................................................12

2

∞0 .INTRODUCCIÓNBienvenidos al recorrido turístico matemático-hogareño. Lo más probable es que este

trabajo parezca más una novela que un proyecto de matemáticas, pero en un principio su intención es hacernos ver uno de los muchos ejemplos de matemáticas diarias.

Las matemáticas son uno de los temas más universales que existen. Y con Universales me refiero a que están en literalmente cualquier rincón de cualquier lugar en el que nos paremos a pensar.

También hay millones de maneras de enfocarlas; desde buscarlas en la física hasta en las motas de las alas de una mariposa, todo puede ser observado con ojo matemático, aunque a veces pueda parecernos que la relación es meramente casual o rebuscada.

Pero en cierto modo, así son las matemáticas, ¿no es cierto? Imprevisibles, espontáneas, infinitas y a veces incomprensibles para ojos inexpertos –me incluyo en el grupo-. Sin embargo, nunca es mal momento para aprender algo: aunque sea sólo un dato extraño, o un problema paradójico y sin respuesta aparente, lo más probable es que cambie nuestra manera de ver el mundo.

Al comenzar este proyecto, tuve serios problemas para buscar un tema de trabajo. Y no porque no se me ocurriese ninguno, sino porque había cientos y cientos, cada cual más interesante. Arquitectura, música, naturaleza, espacio, materiales, literatura, cine, tiempo atmosférico, diseño, transporte, urbanismo, creación de instrumentos, la lista no parecía acabar. Al final, yendo y viniendo por el pasillo, me di cuenta de que sin moverme de dónde estaba tenía material de sobra para trabajar. Así que de eso trata el trabajo, de las matemáticas en una casa y su jardín.

No puedo asegurar que los datos obtenidos sean correctos. No soy científica, sólo estoy en la fase de estudiante, pero aunque no puedo aportar nuevas teorías a la verdad, puedo expresar mi punto de vista sobre las cosas. Aunque sea algo falso, aunque los estudios lo hayan rebatido ya y yo no lo sepa. Esto en consideración a mi nivel de conocimientos.

Tampoco puedo abarcarlo todo en un solo tema. Básicamente es una recopilación caótica que demuestra que con los ojos abiertos, todo está hecho de números, aunque sea de manera indirecta. Porque todo son matemáticas: geometría, óptica, física, perspectiva. Así

3

que en este trabajo hay de todo. Lo cual tiene, de alguna manera, un cierto sentido, pues en mi opinión las matemáticas no son otra cosa que desorden lógico.

4

௨ .FRENTE A LA PUERTAEs viernes, 2:47 de la tarde, día medianamente soleado aunque con pinta de ir a hacer

viento según se desarrolle la tarde. Estamos a finales de invierno, y parece que el tiempo se decide ya a dejar de helar.

Antes de pasar al interior de una casa, lo que se suele hacer es abrir la puerta. Por lo general, a menos que la casa no sea la nuestra, o nos hayamos olvidado las llaves. {…} Trato de recordar en qué bolsillo las he colocado, y me doy cuenta de que están en el derecho, junto con las llaves de la casa de mi padre, idénticas salvo por el color. 50% de probabilidades de sacar las correctas. Saco unas, veo que son las que no necesito, y me veo obligada a sacar otras. Maldito sea el azar. Como es un día poco habitual –puesto que todos los días son diferentes-, me paro delante de la entrada de casa, justo al lado del timbre, pensando en mi gato, al cual he dejado dentro de la cocina, con su cuenco de agua y su comida, así como con muchos objetos potencialmente peligrosos –el horno, cuchillos, detergente de lavavajillas tóxico-. En un instante de pánico, me doy cuenta de que el gato puede estar muerto o vivo, y abro corriendo la puerta para encontrarme al muy condenado maullando felizmente.

Durante un momento, para mí el gato ha estado vivo y muerto al mismo tiempo, hasta que he entrado a verlo. No podíamos saber qué le había sucedido con seguridad. Esto me remite al célebre gato de Schrödinger, al cual la física cuántica ha matado y dejado vivo ya cientos de veces.

Esta paradoja consiste en el hecho de que tenemos un gato dentro de una caja totalmente opaca. Dentro de ella, tenemos un detector de electrones conectado a un martillo y a un frasco de veneno que mataría al gato. Si este detector capta un electrón, el martillo rompe el frasco y el gato muere. Se dispara un electrón, pero no sabemos si el detector lo capta o no. Puede que el gato siga vivo, o haya perecido. Pero la cuántica nos dice que está a la vez vivo y muerto: el electrón es tanto una partícula como una onda, de manera que toma dos caminos, uno en el que es detectado, y otro en el que no. Y estos dos caminos no son opciones, sino que ambos suceden. Por lo tanto, el frasco se ha roto y el gato se ha muerto. Y el frasco sigue cerrado y el gato está vivo.

Pero, ¿entonces por qué no vemos al gato vivo y muerto? Porque el mero hecho de que nosotros lo observemos contamina el sistema cuántico, y hace que sólo veamos una de esas dos soluciones.

Inteligente, ¿sí? El caso es que mi gato estaba vivo, y ya no puedo encontrar otra razón para quedarme mirando la puerta.

5

6

Գ .EN LA ENTRADALa entrada de mi casa es como la gran mayoría de las casas. Tiene un zapatero, un

guarda-llaves y un par de plantas. También hay una banqueta de color azul cobalto

(PB28), desde la cual he tomado la siguiente foto:

Me quedo un momento quieta, analizando los elementos que puedo ver, y me doy cuenta de que puedo relacionarlo todo –y digo literalmente todo- con las matemáticas.

Hay una planta. Hay cantidad de cosas que se pueden decir sobre ellas; por ejemplo, está demostrado que los vegetales son capaces de “hacer matemáticas” de manera química e involuntaria. Esto sucede en la gran mayoría de los seres vivos, y en el caso de las plantas, las hace capaces de calcular cómo deben regular sus reservas de almidón para que les duren toda la noche, hasta que salga el sol y puedan reabastecerse. Cálculos aritméticos.

El plato que cuelga encima del armario, es, por definición, un objeto de forma circular. La longitud de la circunferencia trenzada que tiene dibujado nos habla del número pi (3.14159265359, alias π). Podemos hablar de su historia, o de sus aplicaciones en innumerables fórmulas, pero lo más curioso que yo sé sobre este número es que tiene una increíble popularidad entre la gente. Hay concursos de personas que se aprenden miles de cifras de memoria (actual campeón, Lu Chao, 67. 890 decimales), grandes ordenadores puestos en funcionamiento para averiguar billones de cifras (10 billones de decimales, Shigeru Kondo y Alexander J. Yee), películas (Pi, de Darren Aronofsky, por ejemplo) e incluso canciones compuestas a partir de los números que lo conforman. Todo esto utilizando números y números de decimales. Pero en los cálculos de la NASA, sólo se utilizan 10 cifras de pi, puesto

7

que el margen de error es despreciable. ¿Quizá la damos demasiada importancia?

Y hablando todavía de circunferencias, podemos acercarnos a la filosofía de las paradojas. Tratemos de imaginarnos una circunferencia de radio infinito. ¿Complicado? En realidad una circunferencia de radio infinito es una recta, que se prolonga más allá de lo que podemos imaginar. Esto se demuestra gracias a la definición de esta figura: es un polígono de infinitos lados, infinitamente pequeños. Pero si esta circunferencia tiene radio infinito, esos lados minúsculos –y rectos- son de tamaño infinito. Y por lo tanto, al ser así, nunca llegamos a ver dónde se une un “lado” con el siguiente, y sólo se puede representar una recta.

Y aún hay más. Si la circunferencia es de radio infinito, técnicamente su área es infinita también. Pero dado a que es una recta, cuyos extremos nunca se unen, no deberíamos poder decir que tiene área. No solo eso, sino que en el caso remoto de que por alguna razón consiguiésemos demostrar que comprende un área infinita, fuera de la circunferencia seguiría habiendo un espacio infinito, lo cual nos lleva a la paradoja de que tanto dentro como fuera de la circunferencia está comprendida todo el universo, a ambos lados.

Sinceramente, no veo por qué hay razones para ser creyente si tenemos un tema de adoración como el infinito.

Continúo observando la entrada de la casa. Quizá no se aprecia bien en la imagen, pero hay un cristal transparente colgando de una cuerda. En realidad hay una docena de ellos por toda la casa, por algún motivo que no alcanzo a comprender. En este momento la luz lo está atravesando, descomponiendo la luz blanca en motas de colores.

Este fenómeno se conoce como dispersión refractiva, y se produce debido a que el cristal absorbe y reemite la luz cuya frecuencia de oscilación natural –cuando un material tiene que volver a su estado original tras un cambio, no se limita a recuperar directamente esta forma,

Cuantos más lados tiene un polígono, más se parece a una circunferencia, por lo tanto un polígono de infinitos lados es una circunferencia.

Aquí podemos observar cómo cuanto más grande es el radio de una circunferencia, más se parece a una recta, de lo que deriva la representación de una circunferencia de radio infinito.

8

sino que durante un tiempo oscila antes de quedar como estaba- es parecida a la de los electrones que están presentes en él, propagando la luz un poco más despacio.

Դ .HACIA EL PASILLOYa he dejado los zapatos en su sitio y la

mochila tirada junto al armario, y giro hacia la izquierda. Delante de mí no hay nada más que un pasillo vacío. Lo primero que se me ocurre mirar son las líneas de perspectiva.

La perspectiva es una ilusión que nos permite calcular profundidades. En el ámbito del arte, ayuda a que aquello que se pinta parezca sometido a las leyes de la realidad, y requiere un estudio matemático que explica cómo se va reduciendo la distancia aparente entre objetos situados a la misma distancia real.

En la imagen de la derecha observamos que aquello que vemos en perspectiva cónica, según se aleja hacia el punto de fuga, mantiene las mismas proporciones pero reduce su tamaño, y disminuye la distancia entre uno y el siguiente.

Dejando aparte la perspectiva, a lo lejos, en el fondo del pasillo, puedo ver a mi hermano pequeño. Sé que el pasillo mide aproximadamente 6 metros de largo. Desde el suelo, puedo ver la cabeza de mi hermano con un ángulo de aproximadamente 12

grados. Gracias a la trigonometría, puedo calcular cuánto mide –aunque seguramente sería más fácil

coger un metro y medirle simplemente-:

tg(12o)=altura de mi hermano÷6m

mi hermano mide 1’27 metros.

9

Y sí, efectivamente mi hermano mide eso.

También gracias a las matemáticas podría averiguar el área del pasillo, para así poder calcular cuántas baldosas necesito si quiero poner un suelo nuevo; puedo calcular los litros de pintura que tengo que utilizar si quiero pintar las paredes; tengo la posibilidad de decidir la potencia de las bombillas que tendría que utilizar si quiero que iluminen todo el pasillo… La lista sigue y

sigue, pues las matemáticas aportan mucho en el ámbito de la construcción.

Tanto en la parte de la albañilería como en la de arquitectura, hay leyes físicas trabajando para desbaratar cualquier cosa que queramos levantar del suelo. Por suerte, cuanto más fallamos, más vamos desarrollando nuevas fórmulas y programas que, aplicados a la realidad, faciliten la vida.

Por ejemplo, en arquitectura, nuevas aplicaciones permiten diseñar tejados

que eviten mayoritariamente el impacto de la lluvia sobre ellos, y reduzcan la cantidad de superficie –y por lo tanto de material- que hay que utilizar. Se crean estructuras que soporten placas solares que abastezcan una casa, y que reciban perpendicularmente los rayos de sol la mayor parte del día. Se calcula la cantidad de agua, gas y electricidad que se consume, y cuanto hay que abonar como pago, por lo tanto. Con cálculos matemáticos, podemos averiguar el tiempo que tardará en estar listo un bizcocho si lo mantenemos a una temperatura constante, o cuánto tardará en llegar a esa temperatura si esta sigue alguna aceleración determinada.

Matemáticas en una de las aplicaciones de arquitectura más impresionantes de España: paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia de Gaudi.

10

Y aunque evidentemente, en mi casa no hay muestras de matemáticas arquitectónicas como las de las fotos que hay en la página, cada día son más las aplicaciones que se dan en edificios que podemos ver en nuestro día a día.

Ե .EN EL SALÓNEl salón es la habitación más grande de toda la casa, se mantiene a 17o la mayor parte

del año y contiene un total de 4 sillas y 2 sillones. En la parte izquierda hay un piano de pared con 88 notas blancas y negras. En el piano podemos ver matemáticas: el orden de

las notas sigue una periodicidad: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, y de nuevo Do. La longitud de las cuerdas determina el tono que suena cuando el martillo golpea y da la nota que queremos; esta proporción de las cuerdas fue descubierta por primera vez por Pitágoras, matemático y filósofo. Esta relación la encontró en los martillos de una herrería, observando que dependiendo del peso -6, 8, 9 y 12 proporcionales-, se producía una sucesión de timbres “perfectos”. A partir de ellos, aplicó las mismas proporciones a las divisiones de una cuerda, y consiguió así la Escala Pitagórica

Diatónica.

Cerca de una de las ventanas están las bolas del árbol de navidad, que aún no hemos recogido. Como tienen forma de bola de discoteca, reflejan la luz del sol.

Este fenómeno tan común es el llamado reflexión. Es el cambio de dirección de una onda al entrar en contacto con una superficie que separa dos medios. En este caso, la onda que se refleja es la luz, y

El proyecto de la Biblioteca Nacional de Astaná (Kazajistán), un edificio con forma de cinta de Möbius: de izquierda a derecha, el círculo interior con los archivos nacionales, la espiral de espacios públicos y la envolvente.

11

podemos observar sus efectos en los puntos rojos que se proyectan en la pared. También se ve la imagen de mi mano y la cámara haciendo la foto; en este caso la luz no se refleja en las bolas de adorno, sino en la pared directamente.

Según subía las escaleras para ver si encontraba más datos sobre los que hablar, me he encontrado una botella medio llena con agua, y la luz también se ha descompuesto al pasar a través de ella, aunque ese es un fenómeno del que ya he hablado.

Luego la botella se me ha caído, y podría haber pensado en calcular la velocidad de caída, o el tiempo que iba a tardar en llegar al piso de abajo –no lo he hecho, simplemente he bajado corriendo tras ella-. Sin embargo, lo más probable es que los cálculos fuesen incorrectos, puesto que yo los habría hecho dando por supuestas unas condiciones perfectas, en las cuales se cumplen las fórmulas del nivel que yo estudio; las ecuaciones de caída libre que yo conozco ignoran el rozamiento del objeto con el aire, que la botella no cae perfectamente en vertical, y que la gravedad donde yo me encuentro ahora mismo no es exactamente 9’8 m/s2. Ese es el principal problema de las aplicaciones prácticas de la teoría sencilla, que por lo general los resultados no son verídicos.

El caso es que la botella ha rodado durante un buen rato, y me ha llevado cerca de la habitación de los trastos. Es básicamente el cuarto más caótico de toda la casa, pero tiene su encanto. Está bastante oscuro, ya que no hay ninguna ventana que dé a él, y la luz de la bombilla es más bien escasa.

Hemos intentado varias veces ordenarlo todo, establecer alguna clase de armonía, secuencia o proporción que nos permita encontrar las cosas que guardamos en él con más rapidez, pero ha sido imposible. Llegado este momento, supongo que sería mejor que encontrásemos una manera de entender su caos particular. Desde luego, eso es lo que han hecho algunos científicos decididos a encontrar la Teoría del Caos.

No sabemos por qué llueve unos días sí y otros no, o por qué al romperse un cristal los pedazos se esparcen de tal manera. Sólo

12

sabemos que estos cambios que se producen son estables, al amoldarse a lo que sucede, consiguen no derrumbarse de la manera que harían si siguiesen un orden absoluto. En el caso de que no fuese posible el caos, una mínima alteración del orden destruiría todo el mundo.

Antes de llegar a esta Teoría, se planteó el problema de los tres cuerpos –en el que Henri Poincaré descubrió que, en situaciones críticas, el tirón gravitatorio mínimo, que se produce en atracciones gravitatorias múltiples, podía realimentarse hasta producir un efecto de resonancia que modificara la órbita o incluso lanzara el planeta fuera del sistema solar-, que cuestionaba un principio de Newton, hasta entonces perfecto en su explicación. La visión clásica se tambalea cuando las fórmulas conocidas dejan de ser aplicables, y se comienza a descubrir que el mundo se rige por fórmulas no lineales.

En 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se percata del llamado efecto mariposa, que consiste en el hecho de que cualquier alteración mínima de las condiciones en las que se observa el estado inicial tiene una influencia en el resultado que se obtenga al final. Esto trae como consecuencia que estos datos obtenidos son generalmente inestables.

A partir de este momento, los científicos comprenden que deben estudiar este orden o caos como un “todo orgánico, fluido e interconectado”. El problema de la visión clásica ha sido que ha intentado estudiar la naturaleza en fragmentos y ha pretendido obtener resultados correctos. Finalmente se acepta la paradoja de que el caos y el orden, lo simple y lo complejo, son elementos inseparables. Sin embargo, estoy segura de que a mi madre no le va a hacer mucha gracia si le digo que el caos es necesario, utilizándolo como argumento para no ordenar una habitación.

13

Զ .SALIENDO FUERAMientras pensaba en el caos, he mirado por la ventana,

y me he dado cuenta de que estamos casi en primavera.

Cerca del estanque han comenzado a crecer los narcisos, y hay una par de flores y plantas creciendo como les da la gana.

Tal como han observado muchos antes que yo, la naturaleza está llena de indicios matemáticos, principalmente geométricos.

En el narciso podemos observar la forma de un hexágono regular,

repetido en cada una de las flores que crecen de cada bulbo, todas con el mismo patrón.

A la derecha, una flor cuyo nombre desconozco, pero en la que he podido observar una forma parecida a una espiral.

En la esquina izquierda inferior, madreselva. Sus hojas crecen siguiendo una sucesión fija. Este es el motivo por el cual Platón pensaba que la naturaleza tenía un modelo que la forzaba a buscar la perfección.

Y en la foto de las flores blancas, encontramos el pentágono, tanto en los capullos como en las flores abiertas, e incluso encontramos patrones en los ojos de la mosca que se ha posado mientras tomaba la instantánea.

La gran mayoría de la naturaleza que crece puede ser matematizada, pero sin embargo, cuando hablamos de meteorología y tiempo, somos incapaces de predecir secuencias, y sólo podemos hablar de probabilidades. Extraño mundo.

14

Φ .CONCLUSIONESCreo que en este trabajo las consecuencias que pueden extraerse son las mismas que

en cualquier otro proyecto de matemáticas: que son imprescindibles, infinitas y presentes hasta debajo de las rocas. Son interesantes, y divertidas si nos atrevemos a mirarlas desde un punto de vista diferente.

Con toda seguridad, han provocado guerras y han mejorado nuestras vidas. Nos han dado quebraderos de cabeza y resuelto grandes problemas. Así que en mi opinión, son como cualquier cosa en la vida. Tan necesarias como queramos que sean.

Respecto al trabajo en sí, simplemente comentar que espero que todas las imágenes sigan en su sitio. Su elaboración ha sido, seguramente, la que más tiempo ha requerido –salvo aquellas que he obtenido de internet-. Durante la realización del proyecto han ido volando de un lado a otro, y no he visto secuencia alguna en ello, así que será cosa del caos.

Durante mi día a día habitual no voy parándome en cada esquina de la calle para observar los patrones de la vida, de manera que ha sido una experiencia interesante, y creo que, por lo menos a mí, me ha resultado en cierto modo enriquecedora. Al fin y al cabo, cualquier cosa que modifique nuestro modo de ver el mundo es bienvenida.

En general la información que he utilizado en el trabajo procede de cosas que me han explicado en un momento u otro de mi vida, de manera que no puedo concretar la mayoría de las fuentes. Sin embargo, debo hacer una especial mención a mis profesores de matemáticas y a quien me introdujo en las paradojas del infinito.

Por último, concretar que los números que preceden los títulos son prácticamente todos procedentes del armenio, salvo el 1, que es infinito elevado a 0, y este último, que es el número áureo.

BIBLIOGRAFÍA http://www.astromia.com/astronomia/paradojagato.htmhttp://santosacuarela.blogspot.com.es/2011/08/pigmentos-y-colores.htmlhttp://www.bbc.com/mundo/noticias/

2013/06/130624_ciencia_plantas_matematicas_alimentos_noche_jphttps://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_refractivahttp://www.resumosetrabalhos.com.br/http://juanmtg1.blogspot.com.es/2011/11/modernismo-en-albacete-arquitectura-y.htmlhttp://biblioteca.ucm.es/blogs/InfoMat/5879.php#.VuRqXvl97IV

http://tucuatro.com/camburpinton/las-cuerdas-de-pitagoras/

15

https://es.wikipedia.org/wiki/Reflexi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)http://www.iac.es/gabinete/difus/ciencia/silbia/