ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ

Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις

Β΄ ΜΕΡΟΣ

ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Τ.Α.

Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά

1

ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2019

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ.

1. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ………………………………………..………

3

2. ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ………………………..………………………….…

5

3. ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ……………………………………………………...

21

2. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ………………………………………………………...

29

2

ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Γνωρίζουμε από το λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής ότι για μια συνάρτηση y=f ( x ), ορισμένη και συνεχή σε ένα κλειστό διάστημα [α , β ],

το ορισμένο ολοκλήρωμα από α έως β, εκφράζει το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη y=f (x ) και τις ευθείες x=a , x=β .Το εμβαδόν αυτό ισούται με το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των στοιχειωδών ορθογωνίων, τα οποία τείνουν να καλύψουν την παραπάνω επιφάνεια. Συμβολικά γράφουμε:

3

Ε=∫α

β

f ( x ) dx

Αυτό όμως ισχύει όταν f ( x ) ≥ 0. Γενικότερα το εμβαδόν αυτό θα είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος:

Ε=|∫αβ

f ( x ) dx|=∫α

β

|f (x )|dx

Γνωρίζουμε επίσης ότι η τιμή του ολοκληρώματος αυτού μπορεί να υπολογισθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton-Leibnitz), το οποίο αναφέρει ότι:

Θεώρημα Newton-Leibnitz: Αν F ( x ) είναι το αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα) της f (x) στο διάστημα [α , β ] , τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της f ( x ) dx είναι ίσο με F ( β )−F (α ) . Συμβολικά γράφουμε:

∫α

β

f ( x )dx=F ( β )−F (α )=[ F (x)]αβ (1)

Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού το ορισμένο ολοκλήρωμα

Ε=∫α

β

f ( x ) dx υπολογίζεται από τη σχέση (1) , αφού πρώτα βρεθεί το

αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα) της f ( x ) . Παραθέτουμε για υπενθύμιση μερικούς από τους βασικούς τύπους του αόριστου ολοκληρώματος.

(Είναι προφανές ότι για το ορισμένο ολοκλήρωμα η σταθερά c δεν έχει νόημα και άρα θα πρέπει να παραλείπεται).

ΜΕΡΙΚΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ1. ∫ odx=0+c

4

2. ∫ dx=x+c

3. ∫ 1x

dx=ln|x|+c

4. ∫ xa dx= xa+1

a+1+c , ό�πόυ α ≠−1 , α ϵ ℝ

5. ∫ ex dx=ex+c

6. ∫ α x dx= ax

lna+c a ≠ 1

7. ∫ συν x dx=ημ x+c8. ∫ ημ x dx=−συν x+c

ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

1. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση z = f (x, y) με πεδίο ορισμού μια περιοχή R του επιπέδου xΟy, συνεχής.

Διαιρούμε την περιοχή αυτή σε ν υποπεριοχές R1, R2,…, Rν και έστω ότι οι στοιχειώδεις αυτές περιοχές έστω ότι θα έχουν εμβαδά Δ1Α, Δ2Α, …, ΔνΑ αντιστοίχως.

Σε κάθε υποπεριοχή Rk θεωρούμε ένα σημείο Ρk(xk, yk) και σχηματίζουμε το άθροισμα:

∑k=1

ν

f ( xk , yk ) Δk Α= f ( x1 , y1) Δ1 Α+ f ( x2 , y2 )Δ2 Α+⋯+ f ( xν , yν ) Δν Α

5

Το κάθε ένα από τα γινόμενα f ( xi , y i ) Δi Α μας δίνει τον όγκο του πρίσματος που έχει βάση την υποπεριοχή ΔiA και ύψος

zi=f ( x i , y i) . Το άθροισμα των όγκων όλων αυτών των πρισμάτων θα πλησιάζει όλο και περισσότερο τον όγκο του στερεού V που περικλείεται από την επιφάνεια ε1, την περιοχή R και την κυλινδρική επιφάνεια, όταν ο αριθμός ν των στοιχειωδών αυτών πρισμάτων μεγαλώνει και οι βάσεις τους R1, R2, …, Rν , μικραίνουν.

Το όριο στο άπειρο του αθροίσματος των όγκων των στοιχειωδών πρισμάτων θα μας δώσει τον όγκο V του παραπάνω κυλινδρικού σώματος με την καμπυλόγραμμη βάση.

limν→∞

∑k=1

ν

f ( xk , yk ) Δk Α=V

Αυτός ο όγκος V , λέγεται διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης z = f(x, y) στην περιοχή R και παριστάνεται με το σύμβολο

∬R

f (x , y )dA=V ή ∬R

f

Η κλειστή περιοχή R του επιπέδου xΟy είναι τέτοια ώστε οι παράλληλες προς τον άξονα των x ή των y να την κόβουν σε δύο το πολύ σημεία.

Οι υποπεριοχές Rk έγιναν με τον χωρισμό του διαστήματος α ≤ x ≤ β σε μ υποδιαστήματα τα Δ1x, Δ2 x, …, Δμx και του διαστήματος γ ≤ y ≤ δ σε λ υποδιαστήματα τα Δ1y, Δ2y, …, Δλy.

Επομένως, η υποπεριοχή Rk θα έχει εμβαδόν ΔkA = ΔkxΔky.

Όταν το εμβαδόν αυτό γίνει πάρα πολύ μικρό (ν → ∞), τότε γράφεται ως dA = dxdy .

6

Επομένως το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται

∬R

f (x , y )dxdy=V

Θεώρημα: Αν η f είναι συνεχής στην περιοχή R τότε είναι ολοκληρώσιμη στην R.

2. Ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος

1. Έστω c μια σταθερά και z = f(x, y) μια συνάρτηση που είναι ολοκληρώσιμη στην κλειστή περιοχή R,Τότε ισχύει:

∬R

cf ( x , y )dxdy=c∬R

f ( x , y )dxdy

2. Αν οι συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) είναι ολοκληρώσιμες στην κλειστή περιοχή R, τότε και η συνάρτηση f(x, y) + g(x, y) είναι ολοκληρώσιμη στην R και ισχύει:

∬R

(f (x , y )+g( x , y )) dxdy=∬R

f ( x , y )dxdy+∬R

g( x , y )dxdy

Επίσης αν α, β είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε και η

αf(x, y) + βg(x,y) είναι ολοκληρώσιμη και ισχύει:

∬R

¿¿ =

= α∬R

f (x , y)dxdy +β∬R

g (x , y ) dxdy .

Αυτό επαγωγικά ισχύει και για άθροισμα περισσότερων πεπερασμένου πλήθους ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.

7

3. Αν οι συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) είναι ολοκληρώσιμες στην κλειστή περιοχή R και ισχύει f ( x , y )≤g ( x , y ) για κάθε (x, y) R , τότε

∬R

f (x , y )dxdy ≤ ∬R

g ( x , y )dxdy

για κάθε (x, y) R. 4. Η συνάρτηση f (x,y) =1 είναι συνεχής στον τόπο D . Τότε το

διπλό ολοκλήρωμα ∬D

1dxdy ή αλλιώς ∬D

dxdy μας δίνει το

εμβαδόν του τόπου D .

3. Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος

Από τον ορισμό του διπλού ολοκληρώματος γίνεται φανερό ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο μιας κυλινδρικής επιφάνειας της οποίας η κάτω βάση αποτελεί την περιοχή που ορίζεται η συνάρτηση, ενώ η πάνω βάση αποτελεί την επιφάνεια z=f(x, y). Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας κλειστής περιοχής από τη σχέση:

∬R

dxdy = A

Α. Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος πάνω σε ορθογώνια περιοχή

Θεώρημα του Fubini: Έστω ότι η συνάρτηση z = f(x, y) είναι συνεχής παντού σε ένα ορθογώνιο χωρίο R = {(x,y)∈R × R: a ≤x≤ b, c

≤y≤ d}. Τότε

∬R

f ( x , y ) dxdy=∫c

d

∫a

b

f (x , y ) dxdy=¿∫a

b

∫c

d

f ( x , y ) dydx¿

8

Παρατήρηση: Το θεώρημα του Fubini μας λέει ότι τα διπλά ολοκληρώματα πάνω σε ορθογώνιες περιοχές , δηλαδή όταν τα άκρα είναι σταθερά και ως προς x και ως προς y, μπορούν να υπολογισθούν σαν διαδοχικά ολοκληρώματα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα το ολοκλήρωμα ως προς τη μια μεταβλητή κάθε φορά, κρατώντας την άλλη σταθερή και στη συνέχεια να ολοκληρώσουμε αυτό που βρήκαμε, ως προς την άλλη μεταβλητή. (Αφού θα έχουμε κάθε φορά μια μεταβλητή θα ισχύουν οι γνωστοί μας κανόνες ολοκλήρωσης).

Παράδειγμα 1: Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = 1 -6x2 y στο χωρίο R = {(x,y)∈R × R: 0 ≤x≤ 2, -1 ≤y≤ 1}.

Λύση: α) V = ∬R

f ( x , y ) dxdy=∫−1

1

∫0

2

(1−6 x2 y ) dxdy=¿¿

=∫−1

1

[x - 6 x3

3

y¿x=0x=2dy = ∫

−1

1

[x - 2 x3 y ¿x=0x=2dy = ∫

−1

1

(2 - 16 y ¿dy =

= [2y - 8 y2 ¿−11 = 2 – 8 – (-2 - 8 ) = 2 – 8 + 2 + 8 = 4 .

β) V = ∬R

f ( x , y ) dxdy=∫0

2

∫−1

1

(1−6 x2 y ) dydx=¿¿

=∫0

2

[y – 6 x2 y2

2¿y=−1

y=1 dx = ∫0

2

[y – 3 x2 y2 ¿y=−1y=1 dx =

∫0

2

[1 – 3 x2−(−1−3 x2) dx = ∫0

2

(1 – 3 x2−(−1−3 x2)dx =

∫0

2

(1 – 3 x2+1+3 x2¿dx = ∫0

2

2dx = [ 2x ¿x=0x=2 = 2· 2 = 4.

Παράδειγμα 2: Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = 2x + 3y στο χωρίο R = {(x,y)∈R × R: 0 ≤x≤ 1, -1 ≤y≤ 2}.

Λύση:

9

α) V = ∬R

f ( x , y ) dxdy=∫0

1

∫−1

2

(2 x+3 y¿ ) dydx=¿¿

=∫0

1

[2xy + 3 y2

2

¿y=−1y=2 dx = ∫

0

1

[4 x+6−(−2 x+ 32)]dx=

=∫0

1

¿¿dx= ∫0

1

¿¿dx=

¿∫0

1

¿¿dx= ∫0

1

¿¿dx=¿ [6 x2

2 + 9

2 x ¿x=0x=1 =

= 3 + 92 = 6

2 + 92 = 15

2 .

β) V=∬R

f ( x , y ) dx dy=∫−1

2

∫0

1

(2 x+3 y¿ ) d xdy=¿∫−1

2

¿¿¿

= ∫−1

2

[2 12

2+3 y ·1−0]dy= ∫

−1

2

(1+3 y )dy= [ y + 3 y2

2 ¿ y=−1

y=2 =

= 2 + 3· 22

2 - ( -1 + 3 ·12 ) = 2+ 6 + 1 -

32 = 9 -

32 =

182 - 3

2 = 152 .

Β. Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος πάνω σε μη ορθογώνια περιοχή

Ορισμός 1. Έστω Τ ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R × R . Το χωρίο Τ θα λέγεται κανονικό ως προς y , αν το εσωτερικό του είναι ένα μη κενό συνεκτικό σύνολο και κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y, η οποία περνάει από το εσωτερικό του χωρίου έχει μόνο δυο κοινά σημεία με την εξωτερική γραμμή(σύνορο) του σημείου. Ομοίως ένα χωρίο Τ θα λέγεται κανονικό ως προς x, αν το εσωτερικό του είναι ένα μη κενό συνεκτικό σύνολο και κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x, η οποία περνάει από το

10

εσωτερικό του χωρίου έχει μόνο δυο κοινά σημεία με την εξωτερική γραμμή(σύνορο) του σημείου. Ένα χωρίο θα λέγεται κανονικό αν είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y. Θεώρημα: (Ισχυρό Θεώρημα του Fubini): Έστω ότι η συνάρτηση z=f(x, y) είναι συνεχής παντού σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ.

i) Αν το Τ είναι ένα χωρίο κανονικό ως προς y : Τ = {(x,y)∈R × R: a ≤x≤ b, f1(x) ≤y≤ f2(x)}, όπου οι f1(x) και f2(x) είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [ a, b], τότε

∬Τ

f (x , y)dxdy = ∫a

b

¿¿

ii) Αν το Τ είναι ένα χωρίο κανονικό ως προς x : Τ = {(x,y)∈R × R: c ≤y≤ d, g1(y) ≤x≤ g2(y)}, όπου οι g1(y) και g2(y) είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [ c, d], τότε:

∬Τ

f (x , y)dxdy = ∫c

d

¿¿

iii) Αν το Τ είναι ένα χωρίο κανονικό (δηλαδή κανονικό και ως προς x και ως προς y), τότε

∬Τ

f (x , y)dxdy = ∫a

b

¿¿ = ∫c

d

¿¿.

Παρατηρήσεις: 1. Θα μπορούσαμε να περιγράψουμε το παραπάνω θεώρημα (Ισχυρό Θεώρημα του Fubini) και ως εξής:Α) Εάν το χωρίο Τ είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x = α και y = b , και πάνω και κάτω από τις καμπύλες y = f1(x) και y = f2(x), τότε το διπλό ολοκλήρωμα θα υπολογισθεί ως εξής:

∬Τ

f (x , y)dxdy = ∫a

b

¿¿

δηλαδή η ολοκλήρωση γίνεται πρώτα ως προς y.11

Β) Εάν το χωρίο Τ είναι φραγμένο πάνω και κάτω από τις ευθείες y =d και y =c και αριστερά και δεξιά από τις καμπύλες x = g1(y) και x = g2(y), τότε το διπλό ολοκλήρωμα θα υπολογισθεί ως εξής:

∬Τ

f (x , y)dxdy = ∫c

d

¿¿

δηλαδή η ολοκλήρωση γίνεται πρώτα ως προς x.

2. To πιο σημαντικό στον υπολογισμό ενός διπλού ολοκληρώματος πάνω σε μια φραγμένη μη ορθογώνια περιοχή, είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Η μεθοδολογία προκύπτει από το προηγούμενο θεώρημα.Πιο συγκεκριμένα, έστω Τ ένα χωρίο κανονικό ως προς y. Παίρνουμε τυχαία ευθεία L, παράλληλη προς τον άξονα y΄y (ή κάθετη προς τον άξονα x΄x), ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ του χωρίου Τ, με φορά προς την διεύθυνση αύξησης των y.

Ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση ως προς y, από την τιμή y = f1(x), που είναι η τιμή εισόδου της ευθείας L στο χωρίο Τ, έως την τιμή y = f2(x), που είναι η τιμή εξόδου της ευθείας L στο χωρίο Τ.

Τα όρια του x, θα προκύψουν από την προβολή του χωρίου Τ, στον άξονα x΄x.Με ανάλογο τρόπο θα δουλέψουμε αν το χωρίο Τ είναι κανονικό ως προς x.3. Αν το χωρίο μας δεν είναι κανονικό ούτε ως προς x, ούτε ως προς y, τότε θα προσπαθήσουμε να το χωρίσουμε σε δυο χωρία κανονικά είτε ως προς x, είτε ως προς y.

Παράδειγμα 1: Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα ∬Τ

xydxdy, όπουΤ = {(x,y)∈R × R: 0 ≤x≤ 2, 0 ≤y≤ x2 }.

Λύση:

12

∬Τ

xydxdy = ∫0

2

¿¿ = ∫0

2

¿¿x y2

2 ¿ y=0

y=x2dx = ∫0

2

¿¿x (x¿¿2)2

2¿ - 0)dx =

= ∫0

2

¿¿)dx = 12 [ x6

6 ¿x=0

x=2 = 12 (26

6 - 0) = 64

12 = 163 .

Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∬R

xydR, όπου R είναι το χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες x = 1, x = 2, y = x και την καμπύλη y = √ x .Λύση: Το χωρίο ολοκλήρωσης θα είναι το μέρος του επιπέδου που φράσσεται αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x = 1 και x = 3, άρα ολοκληρώνουμε πρώτα ως προς y. Άρα θα έχουμε:

∬R

xydR =∫1

2

¿¿)dx =∫1

2

¿¿ = 12 ∫1

2

¿¿ dx =

=12 ∫1

2

x ¿¿ dx = 12∫1

2

x¿¿– x2]dx = = 12∫1

2

x¿¿- x2]dx =

= 12∫1

2

¿¿- x3]dx = 12 [ x3

3 - x4

4¿x=1

x=2 = 12 [23

3 - 24

4 -( 13

3 - 14

4 )] =

= 12 [

83 - 16

4 -( 13 - 1

4 )] = 12 [

83 - 4- 1

3 + 14 ] = 1

2 [73 – 4 + 1

4]= 12 [

2812

−4812 + 3

12]= 12 [

−1712

¿ = - 1724 .

Παράδειγμα 3: Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα Ι = ∬Τ

(x+ y )

dxdy, όπου ο τόπος Τ ορίζεται από τις συναρτήσεις y = x2 και y = x + 2.Λύση: Τα όρια του εσωτερικού ολοκληρώματος θα είναι οι δυο συναρτήσεις που ορίζουν τον τόπο Τ.

13

Από τα άνω, δηλαδή από τα μεγαλύτερα y, η y = x + 2 και από τα κάτω, δηλαδή από τα μικρότερα y, η συνάρτηση y = x2.1

Για να βρούμε τα όρια του εξωτερικού ολοκληρώματος θα βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των δυο εξισώσεων εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη( οπότε γίνεται απαλοιφή του y). Αν στη συνέχεια θελήσουμε να βρούμε και τα αντίστοιχα y, δηλαδή τις τεταγμένες των σημείων τομής, μπορούμε να αντικαταστήσουμε κάθε x, σε μια από τις εξισώσεις, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο, αφού μας ενδιαφέρουν μόνο οι τιμές του x, που θα αποτελέσουν και τα σταθερά όρια του εξωτερικού ολοκληρώματος. Οπότε θα έχουμε: y = x2

y = x + 2Αφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα, θα είναι και τα δεύτερα. Άρα:

x2 = x + 2 ⇔ x2 - x – 2 = 0. Λύνουμε αυτή την εξίσωση και βρίσκουμε τις λύσεις: x1 = -1 και x2 = 2. Αυτές οι τιμές του x, αποτελούν και τα όρια του εξωτερικού ολοκληρώματος. Άρα το ζητούμενο διπλό ολοκλήρωμα θα βρεθεί ως εξής:

Ι = ∫−1

2

¿¿) dx = ∫−1

2

¿¿ ¿ y=x2y=x+2 dx =

= ∫−1

2

¿¿ + (x+2)2

2 - ( xx2 + x4

2 ))dx =

∫−1

2

¿¿¿ +2x + (x+2)2

2 - x3 - x4

2 )dx = ∫

−1

2

¿¿ + 4 x2 + x2+4 x+4

2 - 2 x3

2 - x4

2 )dx

=

= 12 ∫

−1

2

¿¿¿ +4x + x2+4x +4 - 2x3−x4)dx = 12 ∫

−1

2

¿¿¿+8x +4 -2x3−x4)dx =

=12 [3 x3

3 + 8 x2

2 +4x - 2 x4

4 - x5

5 ¿x=−1

x=2 = 12 [x3+ 4 x2+4x - x4

2 - x5

5 ¿x=−1

x=2 =

1 Ο πιο ασφαλής τρόπος να βρούμε τη συνάρτηση που ορίζει τον τόπο Τ από τα πάνω και εκείνη που ορίζει τον τόπο Τ από τα κάτω, είναι να κάνουμε τη γραφική παράσταση των δυο συναρτήσεων σε κοινό σχήμα.

14

=12 [23+ 4· 22+ 4·2 - 24

2 - 25

5 - ( -1 +4 - 4 - 12 -

−15 )] =

= 12 [8+ 16+ 8 - 8 - 32

5 +1 -4 + 4 + 12 -

15 ] =

= 12 [24 - 32

5 +1 + 12 -

15 ] = 1

2 [25 - 335 + 1

2 ] = 12 [

25010 - 66

10 + 5

10 ] =

12 [

25510 - 66

10 ] = 18920 = 9, 45.

Παράδειγμα 4: Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ι = ∬Τ

ydxdy, όπου ο τόπος Τ είναι το τρίγωνο που ορίζεται από το άξονα y΄y και τις ευθείες: y = x – 1 και y = -x + 1. Λύση: Ο τόπος Τ έχει ως άνω φράγμα τη συνάρτηση y = -x + 1 και ως κάτω φράγμα τη συνάρτηση y = x – 1. (Μπορεί να φανεί αν γίνει γραφική παράσταση). Για να βρούμε τα όρια του εξωτερικού ολοκληρώματος θα βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των δυο εξισώσεων εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη( οπότε γίνεται απαλοιφή του y).y = -x + 1 y = x – 1 Άρα -x + 1 = x – 1 Άρα -2x = -2 ⇔ x = 1. Και επειδή ο τόπος είναι ένα τρίγωνο, του οποίου η τρίτη πλευρά είναι ο άξονας y΄y, του οποίου όλα τα σημεία έχουν x = 0, τα εξωτερικά όρια του ολοκληρώματος θα είναι x = 0 και x = 1. Οπότε το ολοκλήρωμα θα είναι:

Ι = ∬Τ

ydxdy = ∫0

1

∫x−1

−x+1

ydydx = ∫0

1

¿¿ ¿x−1−x+1dx =

= ∫0

1

¿¿]dx = 12∫0

1

¿¿dx =

= 12∫0

1

¿¿dx =

15

= 12∫0

1

[1−2 x+ x2−x2+2 x−1]dx 12∫0

1

0dx = 0.

Παράδειγμα 5 : Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του xy-επιπέδου που περικλείεται από την y = x και την y = x2 στο πρώτο τεταρτημόριο.

Λύση: Α) Αν σχεδιάσουμε το πεδίο ολοκλήρωσης και θεωρήσουμε τυχαία νοητή κατακόρυφη ευθεία, θα δούμε ότι συναντάει πρώτα την y = x2, άρα αυτή είναι και το κάτω άκρο. Γνωρίζουμε επίσης ότι τα σταθερά όρια θα προκύψουν από την εύρεση των σημείων τομής των δυο συναρτήσεων, που είναι τα σημεία x= 0 και x = 1

Διότι αν εξισώσουμε τις δυο συναρτήσεις θα έχουμε x = x2

⇔ x2 – x = 0 ⇔ x(x -1) = 0.

Άρα θα έχουμε

Ι =∫0

1

∫x2

x

dydx = ∫0

1

¿¿ )dx = ∫0

1

¿¿ dx = ∫0

1

( x−x2 ) dx =

= ¿ = 12 - 1

3 - 0 = 12 - 1

3 = 36 - 2

6 = 16

Β) Αν θελήσουμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης και να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x, τότε θα πρέπει να λύσουμε τις συναρτήσεις, ως προς x, δηλαδή να τις αντιστρέψουμε:

Τότε το γράφημα του πεδίου ολοκλήρωσης θα είναι:

16

Και το ολοκλήρωμα θα είναι:

Ι = ∫0

1

∫y

√ y

d x dy = ∫0

1

¿¿ = ∫0

1

¿¿dy = ∫0

1

(√ y− y )dy =

=∫0

1

( y12− y ) dy == ¿ = ¿ = = ¿ = 2

3−1

2 = 4

6 - 36 = 1

6

Μέση τιμή συνάρτησης δυο μεταβλητών

Αν z=f(x, y) είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών ορισμένη σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο R, τότε η Μέση Τιμή Μ, της συνάρτησης στο χωρίο, ισούται με το διπλό ολοκλήρωμα της f(x, y) στο χωρίο R, διά του εμβαδού του χωρίου, το οποίο, όπως

γνωρίζουμε είναι A= ∬R

dxdy.

M = ∬Rf (x , y )dA

A =

∬R

f (x , y )dxdy

∬R

dxdy

Παράδειγμα: Να βρεθεί η μέση τιμή της συνάρτησης f(x, y) = xcos(xy), στο ορθογώνιο χωρίο R = { (x, y): 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤1 }.

Λύση: Α=∬R

dΑ =∫0

π

∫0

1

dydx =∫0

π

¿¿ dx =∫0

π

(1¿−0)¿dx=

=∫0

π

1dx =∫0

π

dx = ¿ = π.

∬R

xcos( xy)d Α = ∫0

π

¿¿ = ∫0

π

¿¿

∫0

π

¿¿ = ∫0

π

¿¿ dx =

17

= ∫0

π

¿¿dx = ∫0

π

sinxdx = [ -cosx ¿0π= - cos π + cos0 = -(-1) + 1 = 1+ 1

=2.

Άρα η μέση τιμή της f(x, y) = xcos(xy) θα είναι:

M = ∬

Rf (x , y )dA

A=∬

Rxcos(x y )d ydx

∬R

dΑ = 2

π .

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∬D

y2dxdy, όπου

D = { ((x, y) ∈R x R: 0 < x < 1 , 1 < y < 2 }.

Λύση:

∬D

y2dxdy = ∫0

1

(∫1

2

y2¿dy )dx ¿ =∫0

1

¿¿ ¿12 dx

=∫0

1

¿¿ )dx = ∫0

1

¿¿ )dx=

= ∫0

1 73 dx =

73 ∫

0

1

dx=73 [ x ¿0

1 = 73 – 0 =

73 .

Παρατήρηση: Το παραπάνω ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογισθεί γενικότερα για δυο οποιαδήποτε σημεία α, β, πάνω στους θετικούς ημιάξονες Οx, Oy, όπως φαίνεται στην επόμενη άσκηση:

18

2) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∬D

y2dxdy, όπου

D = { ((x, y) ∈R x R: 0 < x < α , 0 < y < β }.

Λύση:

∬D

y2dxdy = ∫0

α

(∫0

β

y2¿dy )dx ¿ = ∫0

a

¿¿ ¿0β dx = ∫

0

α

¿¿ - 0 )dx = ∫0

α β3

3 dx =

= β3

3 ∫0

α

dx = β3

3 [ x ¿0α = β3

3 [ - 0 α ¿= αβ3

3 .

3) Να υπολογιστεί ο όγκος του πρίσματος που έχει ως βάση το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που καθορίζεται στο xy-επίπεδο από τις σχέσεις 0 < x < 2 , 0 < y < 1 και προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο z=4-x-y.

ΛΥΣΗ

∫0

2

∫0

1

(4−x− y )dydx = ∫0

1

∫0

2

(4−x− y )dxdy

= ∫0

1

¿ = ∫0

1

[4 x – x2

2− yx ]

0

2

dy =

= ∫0

1

[ 8−2−2 y ] dy = ∫0

1

[ 6−2 y ] dy = [6 y−2 y2

2]0

1

=

¿ [6 y− y2]01 =6 -1 = 5.

19

4) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα ∫D

xydydx, όπου

D = { ((x, y) ∈R x R: 0 < x < 2 , 0 < y <  x2 }.

Λύση: ∬D

xydydx = ∫0

2

(∫0

x2

xy¿dy )dx ¿ = ∫0

2

¿¿dx = ∫0

2

¿¿ - 0 )dx =

= ∫0

2 x5

2 dx = 12 [ x6

6 ¿0

2 = 12 [ 26

6 - 0 ] = 1

2 · 646 = 64

12 = 163 .

5) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∬R

sinxx

dA, όπου R είναι το

τρίγωνο που δημιουργείται στο xy-επίπεδο από τον x-άξονα και τις ευθείες y=x και x=1.

Λύση: Εδώ το πεδίο ολοκλήρωσης δεν είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και η σειρά ολοκλήρωσης επηρεάζει τα όρια του κάθε ολοκληρώματος. Θεωρητικά η τιμή ενός διπλού ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη από την σειρά ολοκλήρωσης. Η σειρά όμως μπορεί να επηρεάζει την δυσκολία υπολογισμού , όπως στην παρoύσα άσκηση.

=-cos1+1 = -0,5403 +1 ≈ 0,46.

Εάν όμως προσπαθούσαμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

   

θα αντιμετωπίζαμε το ολοκλήρωμα ∫ sinxx  dx

που δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις.

20

6) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από την παραβολή y = x2 και την ευθεία y = 2x + 3.

Λύση: Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι το διπλό ολοκλήρωμα

Ι =

∬R

dxdy

Αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των δυο συναρτήσεων, θα έχουμε: y = x2 y = 2x + 3 Άρα: x2 = 2x + 3 ⇔ x2 -2x -3 = 0. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: x1 = –1, x2 = 3 Η συνάρτηση y = x2 ορίζεται ολόκληρη από το –1 μέχρι το 3, το ίδιο και η y = 2x + 3. Άρα (σχήμα 7) η ολοκλήρωση θα γίνει πρώτα κατά τον άξονα Oy και μετά κατά τον Ox. Οι ευθείες x = –1 και x = 3 θα είναι τα όρια του εξωτερικού ολοκληρώματος. Τα όρια του εσωτερικού ολοκληρώματος θα είναι οι δυο συναρτήσεις

21

y = x2 και y = 2x + 3. Έτσι θα έχουμε:

Ι = ∬R

dxdy = ∫−1

3

[ ∫x2

2x +3

dy¿]¿dx = ∫−1

3

¿¿ ¿x22 x+3dx = ∫

−1

3

¿¿)dx =

= [2 x2

2 + 3x - x3

3 ¿−1

3 = [ x2 + 3x - x3

3 ¿−1

3 = 32 +3·3 - 33

3 - (1 – 3 +

13 ) =

= 9 + 9 -9 -1 + 3 - 13 = 11 - 1

3 = 333 -1

3 = 323 .

7) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα ∬Τ

xydxdy, όπου

Τ = {(x,y)∈R × R: 2≤x≤ 4, x2 ≤y≤ √ x }.

Λύση:

∬Τ

xydxdy = ∫2

4

¿¿ = ∫2

4

¿¿ x y2

2 ¿ y= x

2

y=√xdx =

=12 ∫2

4

¿¿ x y2 ¿y=

x2

y=√xdx =

= 12 ∫2

4

¿¿ x¿ - ( x2 )2 )) dx = 1

2 ∫24

¿¿ x¿ - x2

4 )) dx = 1

2 ∫24

¿¿ x2 - x3

4)dx

¿ 12 [ x3

3 - 14 x4

4 ¿x=2x=4 = 1

2 [ x3

3 - x4

16 ¿x=2x=4 = 1

2 [ 43

3 - 44

16 - (23

3 - 24

16 )] =

= 12 [

643 - 43

4 - 83 + 16

16 ] = 12 [

643 - 16 - 8

3 + 1 ] = 12 [

563 -15] =

12 [

563 -45

3 ] =

= 12 [ 11

3] = 11

6 .

TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

22

To τριπλό ολοκλήρωμα μπορεί να ορισθεί με ανάλογο τρόπο, όπως και το διπλό ολοκλήρωμα. Αλλά τώρα θα υπάρχει μια επί πλέον διάσταση. Δηλαδή τα τριπλά ολοκληρώματα είναι γενικεύσεις των διπλών ολοκληρωμάτων για συναρτήσεις τριών μεταβλητών.

Ορισμός τριπλού ολοκληρώματος:

Α) Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Δ στο R3 , Δ = [α, β] [γ, δ] [ε, ζ],

δηλαδή το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R3 με α ≤ x ≤ β,     γ ≤ y ≤ δ,    ε ≤ z ≤ ζ,

και μια συνάρτηση f(x, y, z)  φραγμένη στο Δ. Μια διαμέριση P του Δ, θα αποτελείται

από στοιχειώδη παραλληλεπίπεδα, που θα καλύπτου όλο το Δ.

Όπως στην περίπτωση των απλών και των διπλών ολοκληρωμάτων, ορίζουμε το κάτω και το άνω άθροισμα της f ως προς την διαμέριση Ρ. Το τριπλό ολοκλήρωμα, εάν υπάρχει, θα είναι ο μοναδικός αριθμός που θα αποτελεί το κοινό όριο του κάτω και του άνω αθροίσματος.

Αν υπάρχει το όριο αυτό, έστω Ο, τότε η συνάρτηση f θα λέγεται ολοκληρώσιμη στο Δ, για όλες τις διαμερίσεις του Δ.

Όπως και στο διπλό ολοκλήρωμα έτσι και στο τριπλό ισχύει ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ τότε θα είναι και ολοκληρώσιμη. 

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη, ο αριθμός Ο είναι το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο Δ και  συμβολίζεται:

∭Δ

f (x , y , z ) dxdydz ή απλώς ∭Δ

f

23

Β) Έστω ότι το πεδίο ορισμού της συνεχούς συνάρτησης f( x, y, z) δεν είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αλλά ένα στερεό σώμα V το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες z = g1(x,y) και z = g2(x,y) και R είναι η προβολή του στο επίπεδο Οxy. Τότε το τριπλό ολοκλήρωμα της f είναι θα είναι:

∭V

f (x , y , z ) dV=¿∭V

f (x , y , z ) dxdydz ¿=∫α

β

∫φ1(x)

φ2(x)

∫g1(x , y)

g2(x , y)

f ( x , y , z ) dzdydx

Αν f ( x , y , z ) = 1, τότε το τριπλό ολοκλήρωμα

∭V

f (x , y , z ) dV=∭V

dV=¿∫α

β

∫φ1 (x)

φ2 (x)

∫g1( x, y)

g2( x, y)

dzdydx ¿ ισούται με τον όγκο

του στερεού V.

Στα τριπλά ολοκληρώματα ισχύουν ανάλογες ιδιότητες όπως και στα απλά και τα διπλά ολοκληρώματα.

Γεωμετρική ερμηνεία του τριπλού ολοκληρώματος

Αν η 4η διάσταση συμβολίζει το χρόνο t, τότε αλλάζοντας τη σειρά των μεταβλητών μπορούμε να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση που ολοκληρώνεται είναι με μεταβλητές x, y, t και η 4η διάσταση είναι η z.

Αν υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές x, y είναι επίσης συναρτήσεις του t τότε δίνοντας μια τιμή στο t , έστω t0, το ολοκλήρωμα της νέας συνάρτησης z = f̌ ¿ t0), θα ορίζει τον όγκο του αντίστοιχου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Οπότε προκύπτει ότι:Πρόταση. Το τριπλό ολοκλήρωμα συμβολίζει γεωμετρικά την τιμή του όγκου που δημιουργείται σε μια ορισμένη χρονική στιγμή t από τα αντίστοιχα (x, y, z)∊ D.

Μέθοδοι υπολογισμού τριπλών ολοκληρωμάτων

24

Ο υπολογισμός των τριπλών ολοκληρωμάτων εξαρτάται από τη μορφή του πεδίου ορισμού. Η επιλογή των ορίων ολοκλήρωσης είναι μια ανάλογη διαδικασία, όπως και στην περίπτωση των διπλών ολοκληρωμάτων.

Θα ασχοληθούμε με δυο βασικές μεθόδους υπολογισμού.

Ι. Αν και οι τρεις μεταβλητές μεταβάλλονται σε διαστήματα που έχουν σταθερά άκρα, οπότε το πεδίο ορισμού είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, δηλαδή αν η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη επί του

D = { ((x, y, z)∊ R3: α1  x  β1,  α2  y  β2,  α3  z  β3 },

τότε ισχύει για τα τριπλά ολοκληρώματα η γενίκευση του αντίστοιχου Θεωρήματος του Fubini, για τα διπλά ολοκληρώματα. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα η τιμή του τριπλού ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη από τη σειρά ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι=∫0

3

∫0

2

∫0

5

dzdydx.

Λύση: Ι = ∫0

3

¿¿ = ∫0

3

¿¿ z ¿05 )dy)dx =

= ∫0

3

¿¿5dy)dx = ∫0

3

¿¿y¿02dx =∫

0

3

10dx = [ 10 x¿03 = 30.

Παράδειγμα 2. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι=∫0

3

∫0

2

∫0

5

xyzdzdydx.

Λύση: Ι = ∫0

3

¿¿ = ∫0

3

¿¿xy [ z2

2 ¿0

5dydz =

25

= ∫0

3

¿¿)dx= ∫0

3

x 252 y2

2 ¿02 dx = ∫

0

3 1004 x dx =

= ∫0

3

25 x dx = [ 25 x2

2 ¿03 = 25 · 9

2 =2252 .

ΙΙ. Αν η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη επί του

D = { ((x, y,z)∊ R3: α1  x  β1,  φ1(x)  y  φ2(x),  z1(x, y) z  z2(x, y)},

Τότε το ολοκλήρωμα θα είναι:

Ι = ∫D

f ¿¿z)dxdydz = ∫a1

b1 { ∫φ1(x)

φ2(x) [ ∫z1 (x , y )

z2 (x , y)

f ( x , y , z )dz ]dy}dx

Δηλαδή η ολοκλήρωση γίνεται πρώτα ως προς τη μεταβλητή που εξαρτάται από τις άλλες δυο.

Παράδειγμα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Ι = ∫Dzdxdydz,

όταν το χωρίο ολοκλήρωσης είναι: D = { ((x, y,z)∊ R3: 0   x    1,  0   y   1 - x ,   0  z   1 – x - y }.

Λύση: Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

I = ∫Dz dxdydz = ∫

0

1 {∫01−x [ ∫

0

1− x− y

zdz ]dy}dx= ¿∫0

1 {∫01−x [ z2

2 ]1−x− y0

dy }dx = 12

∫0

1

∫0

1− x

[ z2]1−x− y0

dy¿¿dx =

= 12 ∫0

1

∫0

1− x

[(1 – x – y )2dy ]dx =

= 12 ∫0

1

[ ∫0

1−x

[− (1 – x – y )2 d (1−x− y)¿]dx ¿ =

= 12 ∫0

1

¿¿ ]1−x0 )dx = 1

213 ∫

0

1

¿¿ (1 – x – y )3]1−x0 )dx =

26

= 16 ∫

0

1

¿¿3 ]1−x0 dx =

¿ 16 ∫

0

1

¿¿ dx =

= 16 ∫

0

1

¿¿ [(1−x−1+ x)3−(1−x)3]dx =

= 16 ∫

0

1

¿¿ [0−(1−x)3]dx =16 ∫

0

1

¿¿ [−(1−x)3]dx

= 16 ∫

0

1

(1−x )3dx = 16 ∫

0

1

¿¿¿d(1-x) =

= 16 [- (1−x )4

4 ¿01 = 1

6¿ (1−1−(1−0))4

4 = 16¿ ]= 1

6· 1

4 ¿ 124 .

Παράδειγμα 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Ι = ∫D

x3 y2z dxdydz,

όταν

D = { ((x, y,z)∊ R3: 0   x    1,  0   y   x ,   0  z   xy }.

Λύση: Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο:

I = ∫D

x3 y2z dxdydz = ∫0

1 {∫0x [∫0

xy

x3 y2 z dz] dy}dx=

= ∫0

1

¿¿ dy)dx = ∫0

1

¿¿ dy)dx

= ∫0

1

¿¿ dy)dx = 12 ∫0

1

¿¿ = 12 ∫0

1

[x¿¿5 y5

5¿] x

0¿¿ dx =

27

= 110 ∫

0

1

x10 dx=

= 110 [ x11

11 ]10 = 1

10· 111 = 1

110 .

Παρατήρηση: Τα τριπλά ολοκληρώματα μας χρησιμεύουν στον υπολογισμό όγκων, μαζών και ροπών στερεών σωμάτων και μέσων τιμών συναρτήσεων τριών μεταβλητών.

Μέση τιμή συνάρτησης στο χώροR3.

Έστω f(x,y,z) μια συνάρτηση τριών μεταβλητών με πεδίο ορισμού ένα φραγμένο κλειστό χωρίο D του τρισδιάστατου χώρου R×R×R = R3.

Τότε η Μέση Τιμή Μ, της συνάρτησης στο χωρίο, ισούται με το τριπλό ολοκλήρωμα της f(x, y, z) στο χωρίο R, διά του όγκου του χωρίου.

M = ∭Df (x , y , z)d V

V =

∭D

f (x , y , z)dxdydz

∭D

dV

Ο όγκος του χωρίου θα είναι:

V = ∭D

d V ή V = ∭D

dxdydz

Παράδειγμα: Να βρεθεί η μέση τιμή της F(x,y,z) =xyz στο κυβικό χωρίο που ανήκει στο πρώτο οκτημόριο και φράσσεται από τα επίπεδα που ορίζουν ανά δυο οι άξονες συντεταγμένων και από τα επίπεδα: x = 2, y = 2, z = 2.

Λύση:

28

V = = ∫0

2

∫0

2

∫0

2

dxdydz =∫0

2

∫0

2

[ x]20 dydz =

=2∫0

2

∫0

2

dydz = 2∫0

2

[ y ]20 dz =2∫

0

2

2dz = 4∫0

2

dz = 4[ z]20 = 4∙2 = 8.

M = ∭DF (x , y , z)dxdydz

V = 1

8∫02

∫0

2

∫0

2

xyzdxdydz =18∫0

2

∫0

2

¿¿]20 yzdydz = 1

8∫02

∫0

2

2 yzdydz =

14∫0

2

¿¿ ]20zdz =

14∫0

2

2 zdz=¿ 12∫0

2

zdz=12 [ z2

2 ]20=12

∙2=1 .¿

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = x y2

dxdy, όπου το χωρίο ολοκλήρωσης D είναι το χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες x =1, x = 2 και y = -2, y = 0.

2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = x2 + y2 + 3, στο χωρίο ολοκλήρωσης D, που ορίζεται από τις σχέσεις : -1 ≤ x≤ 1και−1≤ y≤ 1.

29

3. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου R, που περικλείεται μεταξύ της παραβολής y = x2 , της ευθείας y = x + 2 και των ευθειών x = -1, x = 2.

4. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του xy-επιπέδου που περικλείεται από την y = 2x και την y = x2 , με x≤ 1.

5. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του xy-επιπέδου που περικλείεται από την y = x και την y2 = x3 .

6. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∬R

¿¿+ y)dxdy, όπου R είναι η περιοχή που περικλείεται από τις ευθείες y = 0, x = 2 και την παραβολή y = √8 x .

7. Να υπολογισθεί ο όγκος του πρίσματος που έχει ως βάση στο επίπεδο xy το τρίγωνο που ορίζεται από τον άξονα x΄x και τις ευθείες y =x , x = 1, ενώ προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο z = 3 –x – y.

8. Να υπολογισθεί ο όγκος ενός αμμόλοφου , του οποίου η βάση καλύπτει περιοχή του επιπέδου xy, και φράσσεται από την παραβολή y + x2 = 6 και την ευθεία y = x.

To ύψος του αμμόλοφου, πάνω από το σημείο (x, y), είναι x2.

9. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περιβάλλεται από τη επιφάνεια f(x, y) = x2 + y2 και έχει βάση το επίπεδο χωρίο των αξόνων xOy, που περικλείεται από την καμπύλη y = 2x2 και από τις ευθείες x = 2, y = 2.

10. Nα υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ι = ∭D

8 xyzdxdydz, όταν30

D = { ((x, y,z)∊ R3: 2   x   3,  1   y   2 ,   0  z   1 }.

11. Nα υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ι = ∭D

(x+ y+z )dxdydz, όταν

D = { ((x, y,z)∊ R3: 0  x   1,  0   y  1 - x ,   0  z   1- x - y }.

12. Nα υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ι =∭D

(x2+ y2−z2)dxdydz , όταν

D = { ((x, y,z)∊ R3: x, y, z ≥ 0 , x+ y+z ≤ 1}.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ  -  ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω  I   ανοιχτό διάστημα (φραγμένο ή μη) ( ) και  Ω ανοιχτό υποσύνολο του  ,  .

Ορισμός 1: Αν   είναι μια πραγματική συνάρτηση n+2  μεταβλητών και  y: I → R μια άγνωστη συνάρτηση, η εξίσωση

, (1)31

όπου  ,  , ονομάζεται συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.). 

Ορισμός 2: Η (1) ονομάζεται Σ.Δ.Ε. τάξης  n , όταν η μεγαλύτερης τάξης παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης που

εμφανίζεται στην εξίσωση είναι η  .

Ορισμός 3: Ονομάζουμε λύση της (1) κάθε πραγματική συνάρτηση 

 y: I → Rη οποία είναι n φορές παραγωγίσιμη στο I  ενώ παράλληλα για κάθε   ισχύουν τα εξής:

,

και

.

Το x στην εξίσωση (1) ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το y  άγνωστη συνάρτηση. Το γράφημα μιας λύσης y(x)  ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη της (1).

Ορισμός 4: Αν μια Σ.Δ.Ε. n τάξης μπορεί να γραφεί στη μορφή

, (2)

όπου f είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα ανοικτό υποσύνολο  D του Rn+1, τότε θα λέμε ότι η (2) είναι η κανονική ή λυμένη της μορφή. H μορφή (1) μιας Σ.Δ.Ε. θα λέγεται γενική ή πεπλεγμένη.

 Ορισμός 5: Έστω ότι δίνεται η διαφορική εξίσωση (2) και ένα σημείο   του πεδίου ορισμού της f . Το πρόβλημα της εύρεσης μιας λύσης της (2) η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες

32

, (3)

λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών ή πρόβλημα Cauchy για την (2).

Οι συνθήκες (3) ονομάζονται αρχικές συνθήκες ή συνθήκες Cauchy.

Ορισμός 6: Μια συνάρτηση

  (4)

που εξαρτάται από  n πραγματικές σταθερές  , θα λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (2) όταν

(i) για κάθε σημείο  , όπου  Δ ανοικτό υποσύνολο του  , η (4) είναι λύση της (2)

και

(ii) για κάθε σημείο  , όπου   ανοικτό υποσύνολο του πεδίου ορισμού  D της f , υπάρχει ακριβώς ένα σημείο   τέτοιο ώστε η y  να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (3).

Η λύση που παίρνουμε για μια συγκεκριμένη επιλογή των σταθερών  , ονομάζεται μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης (2).

 Ορισμός 7: Το σύστημα των n  ισοτήτων

,

……………………..………….. (5) 

,

θα λέμε ότι αποτελεί ένα γενικό ολοκλήρωμα της (2) όταν για

κάθε σημείο , όπου Δ  ανοικτό υποσύνολο του 

33

, υπάρχει λύση y(x) της (2) η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις (5) και, αντίστροφα, όταν κάθε n  φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση y(x)  η οποία ικανοποιεί τις (5) είναι λύση της (2). H διαδικασία προσδιορισμού των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται επίλυση ή ολοκλήρωση της εξίσωσης.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 

Ορισμός: Μια Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης λέγεται ότι είναι χωριζόμενων μεταβλητών όταν μπορεί να πάρει τη μορφή

(1)

Μέθοδος επίλυσης: Το γενικό ολοκλήρωμα της (1) δίνεται άμεσα από την σχέση

, (2)

Αν η εξίσωση (1) συνοδεύεται από την αρχική συνθήκη

μπορούμε να υπολογίσουμε και τη σταθερά C.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογισθεί η γενική και η μερική λύση των παρακάτω διαφορικών εξισώσεων:

α ¿ dydx =

ημ xy , με αρχική συνθήκη: y(0) = 2

β) dydx =

συνxy , με αρχική συνθήκη: y(0) = -1

34

Λύση:

α) dydx = ημx

y ⇔

Άρ

α η γενική λύση:

Μερική λύση: y(0) = 2

β)

dydx = συνx

y ⇔

ydy = συνxdx ⟹∫ ydy = ∫ συν xdx ⟹ y2 = ημx + c

Άρα η γενική λύση:

Μερική λύση: y(0) = -1

2. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση:

   

Λύση:

Αν  , η εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών αφού μπορεί να γραφεί στη μορφή

35

, (1)

και άρα

,

ή

,

ή

 όπου  . (2)

Η εξίσωση έχει επίσης ως λύσεις τις y = 0  και x = -1.  Η πρώτη προκύπτει άμεσα από τη γενική λύση (2)  αν θέσουμε C1 = 0  και άρα είναι απλώς μια ειδική λύση.

Η δεύτερη όμως είναι μια ιδιάζουσα λύση αφού δεν μπορεί να προκύψει από τη (2) για κάποια πραγματική τιμή της σταθεράς C1 .

 Έτσι, οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι

,  ,

και .

3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση:

 

Λύση

Αν  , η εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών αφού γράφεται στη μορφή

36

. (1)

Αναλύοντας σε μερικά κλάσματα το δεξιό μέλος της (1) έχουμε

,

και με ολοκλήρωση παίρνουμε τη γενική λύση

, (2)

Όπου C  είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Από την άλλη μεριά, η εξίσωση έχει ως ιδιάζουσες λύσεις τις παρακάτω:

, (3)

, (4)

, (5)

και

. (6)

4. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση:

  ,   

Λύση

Ολοκληρώνοντας κατ΄ ευθείαν τη διαφορική εξίσωση παίρνουμε

37

,

ή

. (1)

Για τον προσδιορισμό της σταθεράς C εφαρμόζουμε την αρχική συνθήκη, θέτοντας στην (1) x =0 και y = 1 , και βρίσκουμε ότι C =1

2. 

Έτσι, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από την

, (2)

και λύνοντας την (2) ως προς  ,

. (3)

Από τις δύο λύσεις στην (3) η μοναδική που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι αυτή με το θετικό πρόσημο. Άρα, η μορφή της συνάρτησης y(x) της λύσης είναι

  . (4)

Το μέγιστο διάστημα της ανεξάρτητης μεταβλητής x  στο οποίο ορίζεται η λύση του προβλήματος προσδιορίζεται από το αντίστοιχο διάστημα για το οποίο η ποσότητα μέσα στην τετραγωνική ρίζα της (4) είναι θετική, δηλαδή το  .

38