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COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADAMatemáticas Bachillerato S.C.R.

Comenzaremos recordando que era un sistema de ecuaciones lineales, Gauss y su clasificación:


Discutir un sistema es decir de qué tipo es, y recuerda que un sistema se clasifica asi:

A partir de ahora, lo que hacemos es pasar los sistemas de ecuaciones lineales a forma matricial, para poder discutir un sistema en función de un parámetro. Para esto, vamos a


recordar que es una matriz y como se opera con ellas:


Para sumar o restar matrices, se hace elemento a elemento, para multiplicarlas por un número, se multiplica cada elemento por dicho número. Lo único complejo es la multiplicación de matrices, el cual para poder hacerlo, se necesita que el número de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda, si no, no se puede hacer. En las siguientes páginas recordamos operaciones con matrices.


Rara vez suelen pedir que se organicen unos datos matricialmente y que se expliquen los resultados, para esto, os dejo este organigrama, siempre es igual.

Una vez recordadas las operaciones con matrices, debemos ir al cálculo de determinantes, que es un número que asociamos a cada matriz cuadrada (si no es cuadrada no tiene determinante) y que me dará información de dicha matriz, (inversa, rango)


Revisemos más propiedades de los determinantes (necesarias en algunos ejercicios para realizarlos rápidamente)


Con este número llamado determinante que asociamos a una matriz cuadrada, ya podemos abordar el cálculo de la matriz inversa y el cálculo del rango. Empecemos recordando que es el menor complementario y adjuntos, y a partir de este último, una regla para calcular cualquier determinante de orden mayor que tres, y directamente al cálculo de inversa de una matriz.


Recordar que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo de la misma, y que el rango se puede calcular en cualquier matriz, sea cuadrada o no. Para calcularlo, primero


vemos el orden de la matriz, y el menor número del mismo, es el valor máximo del rango dado que será la mayor matriz cuadrada que pueda formar. Empezamos valorando posibilidades: rango uno: si tiene algún elemento distinto de cero; rango 2: si hay algún menor de orden dos distinto de cero (soy capaz de encontrar una submatriz de orden dos, con determinante distinto de cero), rango 3: igual que para el 2 pero con submatriz de orden tres….y así sucesivamente. Basta con encontrar una sola submatriz cuadrada de orden “n” para afirmar que el rango es como mínimo “n”

Con esto antes de abordar la discusión de sistemas de ecuaciones lineales con matrices, conviene recordar que las ecuaciones matriciales, se resuelven como si “fuesen de grado uno” y el paso de despejar la “x” que es pasar dividiendo, se cambia por multiplicar por la inversa, dado que en matrices no hemos visto como se divide, pero dividir es multiplicar por el inverso del divisor. Dado un sistema de ecuaciones lineales, lo pasamos a forma matricial así:


(en el apartado b) de la estrategia dice “resolver rango por Gauss” quiere decir, obtener el rango de la matriz ampliada, es decir, si nos da para un valor rango de la de coeficientes cero, pruebo en la ampliada, que tendré tres matrices para probar que ocurre).


Vectores

Recordemos que es un vector, y como se opera con ellos:

Dados dos vectores, podemos multiplicarlo de dos formas distintas, escalar, y vectorial, recordemos cómo se hace y sus aplicaciones importantes para resolver ejercicios.


El producto escalar sirve para determinar el ángulo que forman dos vectores, y por tanto, puedo determinar si son perpendiculares o no. Veamos:


Otra forma de multiplicar dos vectores es la vectorial. Con esta forma conseguimos otro vector que es perpendicular a los que estamos multiplicando. Por tanto, tenemos que conseguir las coordenadas del nuevo vector, y eso se consigue así:


Este producto sirve para determinar si dos vectores son paralelos (ya que entonces su producto vectorial es cero), y calcular el área del paralelogramo que forman los vectores que multiplico. Vemos como:


Por último, recordemos el producto mixto, que es una forma de multiplicar tres vectores, obteniendo un número que sólo servirá para calcular el volumen tanto del paralelepípedo que formamos con tres vectores, como del tetraedro. Veamos como:


Una vez recordado que es un vector, y los tres productos que podemos hacer, con sus aplicaciones, entremos en determinar las ecuaciones de una recta, un plano, y resolver distintos problemas métricos:


Con esto, dada una ecuación de una recta, sabremos si un punto está en ella, si al sustituir sus coordenadas en la ecuación ésta se cumple. Vemos como determinar un plano:


Recordemos también, que un plano se puede obtener conociendo un vector normal a él y un punto por el que pasa de la siguiente forma:


Al igual que es la recta, sabremos si un punto está en un plano dado, si al sustituir sus coordenadas en la ecuación esta se cumple.

Veamos ahora varios problemas métricos sencillos. Empecemos por las posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Dos rectas en el espacio pueden ser la misma, paralelas, secantes o cruzarse, para saber de qué posición se trata, se sigue así:

Analicemos ahora como saber la posición relativa de una recta y un plano en el espacio, que puede ser que la recta esté en el plano, sea paralelo a éste, o lo corte en un punto:


A continuación vamos a recordar cómo se estudia la posición relativa de dos planos, y de tres planos en el espacio. Dos planos en el espacio, pueden ser el mismo, paralelos, o secantes en una recta. Y tres pueden tener más opciones, veamos cómo saber en qué situación estamos. Simplemente hay que discutir rangos de matrices, pues las ecuaciones de los planos forman un sistema de ecuaciones e interpretar el tipo de sistema que forman me da la posición relativa pedida.


Terminaremos estas notas sobre lo visto en clase, recordando cómo obtener la distancia entre dos puntos, un punto y una recta, una recta y un plano. Y para ello, hay que tener presente las propiedades del producto vectorial y mixto, pues de ellas y sus interpretaciones salen las distancias que queremos calcular:


Esto son ejemplos de problemas métricos, y uno puede acordarse de la fórmula, o se puede deducir, pues en geometría todo se dibuja aunque sea mal como hago yo, y se puede pensar sobre el dibujo y argumentar dónde queremos llegar.

Con esto ya tenemos los otros dos ejercicios así que dos más dos = 4 ¡SELECTIVIDAD A TIRO!

Antonio Fernández López.

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