enimathematic.files.wordpress.com · web viewsegitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga...
TRANSCRIPT
SEGITIGA
1. Pengertian Segitiga
Perhatikan Gambar A.1 berikut:
Gambar A. 1
Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB,
BC, dan AC.
Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut:
i) ∠ A atau ∠BAC atau ∠CAB.
ii) ∠B atau ∠ ABC atau ∠CBA.
iii) ∠C atau ∠ ACB atau ∠BCA.
Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ∆ ABC.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Segitiga biasanya dilambangkan dengan “∆”.
Perhatikan Gambar A.2 di bawah ini!
Gambar A. 2
Pada gambar tersebut menunjukkan ∆ ABC.
i) Jika alas ¿ AB maka tinggi ¿CD (CD⊥ AB).
Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan
mempunyai tiga buah titik sudut.
ii) Jika alas ¿ BC maka tinggi ¿ AE(AE⊥BC).
iii)Jika alas ¿ AC maka tinggi ¿ BF(BF⊥ AC).
Catatan: Simbol ⊥dibaca: tegak lurus.
Jadi, pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang sebagai alas,
dimana tinggi tegak lurus alas.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
2. Jenis-jenis Segitiga
Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan unsur-unsur
berikut ini:
a. panjang sisi-sisinya,
b. besar sudut-sudutnya,
c. panjang sisi dan besar sudutnya.
a. Jenis-jenis Segitiga ditinjau dari Panjang Sisinya
1) Segitiga Sebarang
Segitiga sebarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak
sama panjang.
Gambar A. 3
∆ ABC Pada Gambar A.3 di atas adalah segitiga sebarang.
Panjang AB, BC, AC tidak sama ( AB≠ BC ≠ AC ).
Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan
tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui
titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas.
2) Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua
buah sisi yang sama panjang.
Gambar A. 4
Pada Gambar A.4 di atas adalah segitiga sama kaki. Panjang
AB=BC.
3) Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah
sisi sama panjang.
Gambar A. 5
∆ ABC pada Gambar B.3 merupakan segitiga sama sisi.
Panjang AB=AC=BC .
b. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya
Secara umum ada tiga jenis sudut, yaitu:
1) sudut lancip (0 °<x<90 ° );
2) sudut tumpul (90 °<x<180° );
3) sudut refleks (180 °<x<360° ).
Berkaitan dengan hal tersebut, jika ditinjau dari besar sudutnya,
ada tiga jenis segitiga sebagai berikut:
1) Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya
merupakan sudut lancip.
Gambar A. 6
∆ PQR pada Gambar A.6 di atas adalah segitiga lancip. ∠P,
∠Q, dan ∠R merupakan sudut-sudut lancip.
2) Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya
merupakan sudut tumpul.
Gambar A. 7
∆ PQR pada Gambar A.7 di atas adalah segitiga tumpul. ∠Q
merupakan sudut tumpul.
3) Segitiga siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya
merupakan sudut siku-siku (besarnya 90 °).
Gambar A. 8
∆ PQR pada Gambar A.8 di atas adalah segitiga siku-siku.
∠Q merupakan sudut siku-siku.
c. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi dan Besar
Sudutnya
Ada dua jenis segitiga jika ditinjau dari panjang sisi dan besar
sudutnya, yaitu:
Besar sudut
Panjang sisi
Segitiga lancip Segitiga tumpulSegitiga siku-
siku
Segitiga sama
sisi
Lancip sama sisi
- -
Segitiga sama
kaki
Lancip sama kaki Tumpul sama kakiSiku-siku
sama kaki
Segitiga
sembarang
Lancip
sembarang
Tumpul sembarang Siku-siku
sembarang
3. Sifat-sifat Segitiga Istimewa
Segitiga istimewa merupakan segitiga yang memiliki sifat-sifat
khusus (istimewa), baik mengenai hubungan panjang sisi-sisinya maupun
hubungan besar sudut-sudutnya. Yang termasuk segitiga istimewa adalah
segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi.
a. Segitiga Siku-siku
Perhatikan Gambar A.11 dibawah ini!
Gambar A. 9
Bangun ABCDmerupakan persegi panjang dengan
∠ A=∠B=∠C=∠D=90 °. Jika persegi panjang ABCD dipotong
menurut diagonal AC akan terbentuk dua buah bangun segitiga, yaitu
∆ ABC dan ∆ ADC. Karena ∠B=90 °, maka ∆ ABC siku-siku di B.
Demikian halnya dengan ∆ ADC. Segitiga ADC siku-siku di D karena
∠D=90°. Jadi, ∆ ABC dan ∆ ADC masing-masing merupakan segitiga
siku-siku yang dibentuk dari persegi panjang ABCD yang dipotong
menurut diagonal AC.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
b. Segitiga Sama Kaki
Perhatikan ∆ ABC dan ∆ ADC pada Gambar A.12 dibawah ini.
Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90 °.
Gambar A. 10
Impitkanlah kedua segitiga siku-siku yang terbentuk tersebut pada
salah satu sisi siku-siku yang sama panjang. Tampak bahwa akan
terbentuk segitiga sama kaki seperti pada Gambar A.12.
Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.
Catatan:
Dua buah bangun datar yang sama bentuk dan ukuran disebut
sama dan sebangun atau kongruen.
Gambar A. 11
∆ ADC dan ∆ BDC pada Gambar A.13 di atas merupakan segitiga
siku-siku yang kongruen. Jika sama kaki ABC dilipat menurut garis CD
, maka A akan menempati B atau A ↔ B; C akan menempati C atau
C ↔C sehingga dapat ditulis AC ↔ BC.
Dengan demikian, AC=CB, ∠ ABC=∠BAC.
Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut.
Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku
yang sama besar dan sebangun.
Segitiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang
dan dua buah sudut yang sama besar.
Perhatikan Gambar A. 13 di atas!
Lipatlah ∆ ABC menurut garis CD, ∆ ADC dan ∆ BDC akan
saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC dan AD akan
menempati DB. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa CD merupakan
sumbu simetri dari ∆ ABC. (Sumbu simetri adalah garis yang tepat
membagi bangun datar menjadi dua bagian yang sama besar).
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
c. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama
panjang.
Perhatikan Gambar A.14!
Gambar A. 12
Gambar di atas merupakan segitiga sama sisi ABC dengan
AB=BC=AC .
1) Lipatlah ∆ ABC menurut garis AE.
∆ ABE dan ∆ ACE akan saling berimpit, sehingga B akan
menempati C atau B↔ C dengan titik A tetap. Dengan demikian,
AB=AC. Akibatnya,∠ ABC=∠ ACB.
2) Lipatlah ∆ ABC menurut garis CD.
∆ ACD dan ∆ BCD akan saling berimpit, sehingga A akan
menempati B atau A ↔ B dengan C tetap. Oleh karena itu,
AC=BC. Akibatnya, ∠ ABC=∠BAC.
3) Lipatlah ∆ ABC menurut garis BF.
Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri.
∆ ABF dan ∆ CBF akan saling berimpit, sehingga A akan
menempati C atau A ↔C , dengan titik B tetap. Oleh karena itu,
AB=BC. Akibatnya, ∠BAC=∠BCA.
Dari (1), (2), dan (3) diperoleh bahwa AC=BC=AB dan
∠ ABC=∠BAC=∠BCA.
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Perhatikan kembali Gambar A.14 di atas!
Jika ∆ ABC dilipat menurut garis AE, ∆ ABE dan ∆ ACE akan
saling berimpit, sehingga AB akan menempati AC dan BE akan
menempati CE. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa AE merupakan
sumbu simetri dari ∆ ABC.
Jika ∆ ABC dilipat menurut garis CD, ∆ ACD dan ∆ BCD akan
saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC dan AD akan
menempati BD. Berarti, CD merupakan sumbu simetri ∆ ABC.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
A. JUMLAH SUDUT-SUDUT SEGITIGA
1. Menunjukkan Jumlah Sudut-sudut Segitiga adalah 180 °
Kegiatan:
a. Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailah ∆ ABC.
b. Potonglah masing-masing sudut segitiga tersebut menurut garis k, l,
dan m.
c. Kemudian, letakkan masing-masing potongan sudut tersebut hingga
berimpit. Tampak bahwa ketiga sudut tersebut membentuk garis lurus.
Gambar B. 1
Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang
dan tiga buah sudut yang sama besar.
Setiap segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri.
Berdasarkan kegiatan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
2. Menghitung Besar Salah Satu Sudut Segitiga Apabila Dua Sudut
Lainnya Diketahui
Contoh:
Diketahui pada ∆ PQR, besar ∠P=48 ° dan ∠Q=72 °. Hitunglah besar
∠R!
Penyelesaian:
Diketahui ∠P=48 ° dan ∠P=72 °.
Pada ∆ PQR berlaku ∠P+∠Q+∠R=180 °, sehingga:
∠P+∠Q+∠R=180 °
48 °+72 °+∠R=180 °
120 °+∠R=180 °
∠R=180 °−120°
∠R=60°
Jadi besar ∠R=60°.
Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180 °.
B. HUBUNGAN PANJANG SISI DENGAN BESAR SUDUT PADA
SEGITIGA
1. Ketidaksamaan Segitiga
Bangun AB BC AC AB+ AC AB+BC BC+ AC
8 10 6 14 18 16
8 7 9 17 15 16
6 10 7 13 16 17
Dari tabel diatas, diperoleh hubungan sebagai berikut:
1) AB+ AC selalu lebih besar dari BC, atau AB+ AC>BC ,
2) AB+BC selalu lebih besar dari AC, atau AB+BC> AC ,
3) BC+ AC selalu lebih besar dari AB, atau BC+ AC> AB.
Beda persamaan, pertidaksamaan, dan ketidaksamaan segitiga
Persamaan segitiga: tidak ada.
Pertidaksamaan segitiga: panjang suatu sisi segitiga pastilah lebih pendek
dari jumlah panjang dua sisi lainnya, dengan kata lain jumlah panjang dua
sisi segitiga pastilah lebih panjang dari satu sisi lain yang tersisa.
Ketidaksamaan segitiga: untuk sembarang segitiga jumlah panjang
sembarang dua sisinya haruslah lebih panjang daripada panjang sisi
ketiganya.
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.
2. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
Kegiatan:
Buatlah sebarang segitiga, misalnya ∆ ABC (Gambar C.1).
Bagaimana hubungan antara ∠ A dengan sisi BC, ∠B dengan sisi AC,
dan ∠C dengan sisi AB?
Gambar C. 1
Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah panjang setiap
sudutnya, yaitu ∠ A, ∠B, dan ∠C. Kemudian dengan menggunakan
penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan
AC. Amatilah besar sudut dan panjang sisi dari segitiga tersebut.
Untuk setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua sisinya
selalu lebih panjang daripada sisi ketiganya.
Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah
satu dari ketidaksamaan berikut.
1)a+b>c
2)a+c>b
3)b+c>a
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.
Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan memperoleh
bahwa:
a) sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu
sisi AC merupakan sisi terpanjang;
b) sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu
sisi AB merupakan sisi terpendek.
Dari kegiatan tersebut dapat disimpulkan:
3. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
Sudut luar segitiga adalah sudut yang dibentuk oleh salah satu sisi
segitiga dan perpanjangan sisi lainnya.
Gambar C. 2
Perhatikan gambar C.2 di atas!
∠CBD disebut sudut luar segitiga ∆ ABC. ∠ A ,∠C , dan∠ABC disebut
sudut dalam ∆ ABC. ∠ ABC dan∠CBD saling berpelurus maka:
∠ ABC+∠CBD=180 °
∠CBD=180 °−∠ABC ..................(1)
Jumlah sudut dalam ∆ ABC=180 °, maka:
∠BAC+∠ABC+∠ ACB=180 °
∠BAC+∠ACB=180 °−∠ ABC...............(2)
Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan
dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak
berhadapan dengan sisi terpendek.
Dari bentuk persamaan (1) dan (2) di atas didapatkan:
∠CBD=180°−∠ABC
∠BAC+∠ACB=180 °−∠ ABC
Karena bentukruas kanan kedua persamaan di atas sama, maka nilai ruas
kirinya juga harus sama, sehingga:
∠CBD=∠BAC+∠ ACB
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
C. KELILING DAN LUAS SEGITIGA
1. Keliling Segitiga
Keliling suatu segitiga adalah jumlah dari panjang sisi-sisi yang
membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga
dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga
tersebut.
Perhatikan Gambar D.1 di bawah ini!
Gambar D. 1
Keliling ∆ ABC=AB+ AC+BC
K=c+b+a
¿a+b+c
Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut
dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
2. Luas Segitiga
Perhatikan Gambar D.2 dibawah ini!
Gambar D. 2
Luas persegi panjang ¿ panjang×lebar
¿ AB× BC
Jika panjang = p dan lebar = l, maka diperoleh rumus berikut:
L=p×l atau L=pl
Cara memperoleh luas segitiga, dengan melakukan kegiatan sebagai
berikut!
Pada Gambar D.3(i), ∆ ABC di bagi menjadi dua segitiga siku-siku yaitu
∆ ADC dan ∆ BDC. Kemudian dibuat persegi panjang yang memuat
∆ ABCseperti pada Gambar D.3(ii).
(i) (ii)
Gambar D. 3
Rumus keliling (K) segitiga dengan panjang sisi a cm, b cm,
dan c cm adalah:
K=a+b+c
Persegi panjang ADCE dibagi menjadi dua oleh diagonal AC, sehingga
membentuk dua segitiga siku-siku yang sama besar yaitu ∆ ADC dan
∆ AEC,begitu juga dengan persegi BDCF, sehingga di dapatkan:
Luas∆ ADC=12
×luas persegi panjang ADCE
Luas ∆ BDC=12
×luas persegi panjang BDCF
Luas ∆ ABC=luas ∆ ADC+luas ∆ BDC
¿ 12
luas persegi panjang ADCE+12
luas persegi panjang BDCE
¿ 12
×luas persegi panjang ABFE
¿ 12
× AB× BF
Luas ∆ ABC=12
× AB ×CD (karena BF=CD).
Pada ∆ ABC Gambar D.3, AB di sebut alas dan CD disebut tinggi,
sehingga diperoleh rumus berikut:
Pada ∆ ABCpada Gambar D.4, tinggi segitiga adalah CD, dan alasnya
adalah AB.
Gambar D. 4
Luas segitiga=12
× alas ×tinggi
Luas ∆ ABC=12
× AB ×CD
Jika AB = a cm dan CD = t cm, maka rumus luas (L) segitiga adalah:
3. Menentukan Luas Bangun dengan Rumus Luas Segitiga
Suatu bangun datar dapat disekat-sekat sehingga di dalam bangun
tersebut terbentuk beberapa bangun segitiga. Dengan demikian, luas
suatu bangun dapat ditentukan berdasarkan luas segitiga.
Contoh:
Hitunglah luas bangun PQRS di samping ini, jika panjang SQ = 8
cm, PT = 4 cm, dan TR = 6 cm!
Jawab:
Luas setiap segitiga = 12
× alas×tinggi
Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga
tersebut.
Tinggi harus tegak lurus dengan alas dan
melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas, maka
Luas ∆ PQS=12
×QS × PT ¿ 12
×8 × 4=16 cm2
Luas ∆ QRS=12
× QS× TR¿ 12
×8× 6=24 cm2
Jadi, luas bangun PQRS ¿16+24=40 cm2.
Luas=12
×a×t atau L=12
at