PHẦN 3

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Câu 1. Giải:

Vẽ . cắt tại . Tứ giác có nên là hình

chữ nhật, suy ra .

Tứ giác có

nên là hình chữ nhật, suy ra . Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông , ta có:

.Do đó và mà

. Suy ra .

Câu 2. Giải:

Ta có nên hai

đường thẳng và cắt nhau.

Gọi là giao điểm của và .

Vì có nên .

300

M FE

D

CB

A

E

D C

B

A

Các tam giác vuông tại nên theo định lý Pitago ta có: (1); (2); (3); (4).Từ (1) và (2) ta có: .Từ (3) và (4) ta có: . Do đó

.

Câu 3. Giải:

Từ giả thiết

ta nghĩ đến .

Từ đó và áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông

ta sẽ chứng minh được: .

Câu 4. Giải: Vẽ đường thẳng qua vuông góc với cắt tại .Xét và có:

(vì là hình vuông);

(hai góc cùng phụ với ). Do đó (g.c.g) .

có

theo hệ thức về cạnh và đường

cao tam giác vuông, nên ta có:

.

Do đó .

301

F

E

D

H

CB

A

AB

CGD

E

F

Câu 5.

Dựng ,dựng thì hai tam giác , bằng nhau nên . Trong tam

giác vuông ta có: , mà

nên ta có: .Ta cần chứng minh:

.Nhưng điều này là hiển nhiên

do tam giác là các tam giác đều.

Câu 6. Giải:

Vẽ tia sao cho ,

cắt cạnh tại . Vẽ .

Xét và có ; chung.

Do đó

; .

vuông tại có nên là nửa

tam giác đều, suy ra .

vuông tại , nên theo định lý Pitago ta có:

302

F

M

NHED C

BA

x

20o

ED

CB

A

. vuông tại

, nên theo định lý Pitago ta có:

.

Câu 7. Giải:

Vẽ ;

vì trong có

nên ; vì trong

có nên . Do đó

. Chứng minh tương tự ta có

.Vậy .

Câu 8. Giải:

Vẽ đường phân giác

của tam giác .

Theo tính chất đường phân

giác của tam giác ta có

303

H CB

A

I

DCB

A

. Vậy .

Vẽ , suy ra . có , do

đó ; hay .

Câu 9.

Dựng đường thẳng vuông góc

với tại cắt tại .

Dựng . Ta dễ chứng minh

được .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

( không đổi)

Câu 10.

a). Do .

Gọi là giao điểm của và . Ta có

nên tam giác

cân do đó vuông tại

( Do ).

b) Tính được: suy ra:

CHỦ ĐỀ 2:

304

I

O

H

MK

B

A

E

K

D C

BA

SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG

THẲNG

Câu 11. Giải:

Vẽ đường kính có .

Điểm thuộc đường tròn

đường kính .

Xét và có

(chung), ,

do đó . Mà

, nên .

Câu 12.

Giải:Vẽ .

Tứ giác có

nên là hình bình hành. Mà

do đó tứ giác

là hình chữ nhật, suy ra

. có , nên .

Vì nên (không đổi). Dấu “=”

305

D O E

B

A

C

H

O

D C

BA

xảy ra . Vậy khi hai đường kính và vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác lớn nhất.

Câu 13. Giải:

Vẽ , .

Ta có (gt), nên

(định lý liên

hệ dây cung và khoảng

cách đến tâm) và

lần lượt là trung điểm của

(định lý đường kính

vuông góc dây cung) . Xét

có (cạnh chung) và , do đó (cạnh huyền, cạnh góc vuông) . Ta có

.

Câu 14. Giải:

Vì suy ra tam giác

vuông cân tại nên

.Gọi là trung điểm của . Vì vuông tại ,

306

O

K

H

D

B

C

A

M

H

O

D

C

BA M

. Trong tam giác vuông ta

có: suy ra

,

Câu 15.

Gọi là giao điểm của và .

Ta có . Chỉ cần

chứng minh hoặc có độ dài

không đổi. Các đoạn thẳng

có độ dài không đổi, từ đó

gợi cho ta vẽ đường phụ là đường kính để suy ra: .

Câu 16. Giải:

cân đỉnh , ,

những điều này giúp ta nghỉ đến

chứng minh là đường phân giác

góc của .Vẽ ,

thì ta có suy ra lời giải bài toán.

Câu 17. Giải:

Vẽ ,

307

F

E

OH

D

C

B

A

K

IM

D

C B

A O

O

M

HC

B

A

suy ra (định lý

đường kính vuông góc dây cung).

Ta có . có , theo

định lý Pitago có ; có nên mà , nên

. Do đó , suy ra . Từ đó ta có: .

Câu 18. Giải:

Vẽ .

Gọi là trung điểm của

thì là đường trung bình của

hình thang và tam giác cân

tại nên .

Suy ra là tia phân giác của nên , Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Câu 19. Gợi ý:

Dễ thấy , gọi là giao điểm của và thì tam giác vuông tại . Do (Do

cùng phụ với ) .

Áp dụng định lý Thales ta có:

mà

308

M

d'd

DNH

C

BA

OH

IP

A

D

CB

Câu 20. Giải:

Điều cần chứng minh làm ta nghĩ đến định lý Thales do vậy ta làm xuất hiện “hai đường thẳng song song”.

+ Vẽ .

Ta có (*)

+ Vì

Suy ra tam giác cân tại .Thay vào (*) ta

có:

Câu 21. Giải:

Vẽ tiếp tuyến tại của

đường tròn cắt lần lượt

tại .Ta có

.

Gọi là tiếp điểm của đường tròn tiếp xúc với .

là hai tia phân giác của hai góc kề bù và (tính chất trung tuyến) .

+ Xét và có

(cùng phụ với ).Do đó hay

309

K

I

O

E

D

M

CB

A

NEH

A

B CMD

O

K

. Tương tự cũng có . Do vậy

hay (1)

+ Trong có , áp dụng hệ quả của định lý

Thales trong tam giác ta có . Tương tự có

. Do đó hay

(2)

Từ (1) và (2) cho ta .

Câu 22. Giải: Theo đề ra có

thẳng hàng (vì cùng nằm

trên tia phân góc ).

+ Gọi là tiếp điểm của ;

với , ta có

nên (hệ quả của định lý Thales).

Mà nên có .

Mặt khác .

+ Xét và có , do đó

. Vậy thẳng hàng.

Câu 23. Giải310

I

F

K

O

D

M

CB

A

HE

N

NI

K

DCB

A

ME

F

+ Vì đường tròn tiếp xúc với

các cạnh tại nên suy ra

.

+ Dựng ta có:

, . Ta cần

chứng minh: . Nhưng

, nên ta cần chứng minh:

(điều này là hiển nhiên).

Câu 24. Giải:

là các tiếp tuyến của đường

tròn ,gọi là giao điểm của

và .

Ta có tam giác đồng dạng với

Tam giác nên .

Cũng theo tính chất tiếp tuyến ta có: .Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu 25. Giải:

Gọi lần lượt là tâm của các

đường tròn đường kính .

Cần chứng minh cho ta

311

D OCB

HE N

M

A

O I

NM

D C

BA

nghĩ đến các điểm là tiếp

điểm của đường tròn tiếp xúc

với , đường tròn tiếp xúc với .

giúp ta có

từ đó có được .

CHỦ ĐỀ 3- GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN, TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Câu 25. Giải:

Gọi là trung điểm của

thì tam giác đều nên

.Để chứng minh:

Ta cần chứng minh .

Xét tam giác vuông ta có:

suy ra

Câu 26. Giải:

Ta gọi giao điểm của và cung

là .Ta có .

Để chứng minh: ta

312

D

OM CB

A

O' O

M

D

CB

A

dựa vào các tam giác cân và .

Câu 27. Giải:

Vẽ đường kính của đường

tròn , suy ra

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét và có:

(góc nội tiếp cùng chắn ),

Do đó . Mà

. Do đó .

Câu 28. Giải:

Vẽ đường kính của đường tròn

(góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn).

có nên . Ta lại có

(góc nội tiếp cùng chắn ) nên

.

Từ bài toán này ta cần ghi nhớ kết quả quan trọng:

Trong tam giác ta có:

Câu 29. Giải:

Ta có: là tia phân giác của ,

313

O

H

D

CB

A

A

B C

D

O

O'O

KH F

ED

C

B

A

Vẽ .

Thì suy ra

Ta có: suy ra

. Đó là điều phải chứng minh.

Câu 30. Giải:

Dựng đường kính của đường tròn

cắt đường tròn tại khi đó ta có

và

.

Hay là điều phải chứng minh.

Câu 31. Giải:

Dựng đường kính của đường

tròn .Ta có (cùng chắn cung )

suy ra , từ đó suy ra

.

Câu 32.

314

D

N

E

C

K

O H

M

BA

A

B CD

E

O

x

E

D C

BA

Ta có: (cùng chắn cung )

và (so le trong)

suy ra .

Vì vậy tia là tia tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác

Câu 33. Giải:

+ Vẽ đường tròn đường kính .

vuông tại có

(gt) nên là tam giác vuông cân

. Từ đó ta có

(hai góc nội

tiếp cùng chắn )

; do đó thuộc đường tròn đường kính . + Gọi là giao điểm của và ( khác ). Ta có

cố định. Vậy luôn đi qua một điểm cố định .

Câu 34. Giải:

Dựng đường kính của .

Ta chứng minh là trực tâm của

. Thật vậy ta có:

315

x

y

E

C

D

N

MBA

H

O

D

CB

A

. Tương tự ta cũng có:

. Như vậy

là trực tâm của . Suy ra trực tâm là điểm cố định.

Câu 35. Giải:

cắt tại và . Vì

suy ra .

Để chứng minh là trực tâm

của tam giác , ta cần chứng

minh , nghĩa là cần có

.

Nhưng ta có: (Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến) hoặc có thể dùng tam giác đồng dạng

Câu 36. Giải:

Gọi là giao điểm của đường tròn

với các cạnh thì

là giao điểm của .

Chứng minh được ,

từ đó có thẳng hàng.

Câu 37. Giải:

Hai tam giác cân

có chung góc ở đáy ,

316

F

A

MNE

H

B COD

D

OCB

HE

NM

A

K

M

O

DCB

A

do đó . Suy ra là tiếp

tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác

Câu 38. Giải:

Vẽ tiếp tuyến của đường tròn .

và lần lượt là góc tạo

bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

góc nội tiếp cùng chắn cung của

nên .

và lần lượt là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung và góc nội tiếp cùng chắn cung của nên

.

Do đó . Mà suy ra .

Câu 39. Giải:

Giả sử cắt tại thì là

đường kính của , ta có

(vì ) . Ta có:

317

I

O

D

CB

A

x

O

C

D

B

EAF

Từ đó suy ra . Xét tam giác có chung,

.

Câu 40) . Giải:

a) Ta có cân tại . Mà

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

cũng là đường phân giác , nghĩa là

(hai góc ở tâm bằng

nhau nên cung chắn bằng nhau)

cân tại .

b) và có (chung);

(cmt); , (c.g.c) hay tại , là bán kính

là tiếp tuyến của và .

Câu 41. Giải:

a) Do là hai tiếp tuyến cắt nhau đối với đường tròn

là tia phân giác

318

O' O

N

M

K

H

E

D

C

BA

212

1AB

C

D

M

N

P

O HK

I

.Lý luận tương

tự là tia phân giác của

.

b) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

. Vậy , mà

(gt) nên thẳng hàng. Ta có là đường trung bình của hình thang vuông nên

mà (gt) tại , là bán kính của là tiếp tuyến của đường tròn tại .

c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn, có:

.Áp dụng

hệ thức lượng trong tam giác vuông:

(do vuông có là

trung tuyến ứng với cạnh huyền).

d) Ta có (vì cùng vuông góc với ).Kéo dài cắt tại ; có là đường trung bình trung điểm của . Mà cố định nên cố định. Điểm

luôn nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông nên chuyển động trên đường tròn đường kính .

Câu 42. Giải:

319

A B

C

E

H

K

F

O

a) Ta có (góc nội tiếp

chắn nủa đường tròn) .

Tương tự có

hai đường cao cắt nhau tại

là trực tâm (tính chất ba đường cao).

b) Do là điểm chính giữa (hai

góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau). Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn ) .

có là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( và đối xứng qua )

cân tại .Ta có

tại là tiếp tuyến của .

c) mà

có vừa là

đường cao vừa là đường phân giác cân tại nên cũng là đường trung trực .

.Ta có

.

320

[

AB

C

M

NQ

O

Và . Suy ra

.

Câu 43. Giải:

a) Do là điểm chính giữa

(hai góc nội tiếp chắn hai cung

bằng nhau) là đường phân

giác trong .Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

có vừa là đường cao vừa là đường phân giác cân tại

.Ta lại có (vì cùng bù ). Do đó cân tại .

b) Do (gt) cân tại

(vì cùng bù với hai góc bằng nhau)

(g.g) (do cân

tại nên ) . (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Xét vuông tại , có:

(1). Đặt , biết , từ (1) cho

321

A B C

D

M O H O'

I

, và

(loại) . Vậy .

Câu 44. Giải:

a) Đường kính vuông góc

với dây tại .

Tứ giác có

(gt),

là hình thoi (hình bình

hành có hai đường chéo vuông góc nhau).

b) Ta có (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn )

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) và nên , mà

thẳng hàng (tiên đề Ơclit). có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền . Do (cmt)

cân tại

+ cân tại .Suy ra

( vuông tại ). Vậy

tại , bán kính đường tròn là

tiếp tuyến của đường tròn .

c) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn ) (cùng phụ )

là phân giác trong . Ta lại có là phân giác ngoài tại đỉnh của . Áp

322L

A

B CD

MN

P

K

dụng tính chất phân giác đối với có:

.

Câu 45. Giải:

Xét tứ giác có

(vì ) .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

ta có lần lượt là tia phân giác và

.Ta có:

;

(góc ngoài )

, mà ( đều) (g.g)

.

b) Ta có .

Vì là tia phân giác , có

.

c) Dựng đường tròn bàng tiếp trong góc có tâm của . Do là đường trung tuyến của đều nên

là tia phân giác . Suy ra . Gọi lần

lượt là các tiếp điểm của với . Ta có

323

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

. Mà

(gt) ( đều)

(vì )

. Mặt khác ( là trung

điểm ); ( đều) (c.g.c)

. Ta lại có (vì

) . Mà (vì là tứ giác

nội tiếp) mà (tia phân giác của hai góc kề).

Câu 46. Giải:

a) Xét và có chung;

(góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn )

(g.g)

.

b) Ta có (tính chất hai tiếp

324

A

BC

D

E

M

O

tuyến cắt nhau của một đường tròn) . Lập luận

tương tự, ta có . Suy ra

.

c) Dựng điểm sao cho

và có (cách dựng), (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (g.g)

(1). Do

, nên (g.g) (2).

Từ (1) và (2) ta có .

c) Ta có .

Mà (gt) . Suy ra tam giác cân tại .

Câu 47. Giải:

a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn ta có:

, vậy

325

I

A B

C

E

H O

MD

Tứ giác nội tiếp đường tròn. có hai đường cao cắt nhau tại là trực

tâm .

b) .

c) + Gọi là giao điểm của tiếp tuyến tại của đường tròn với . Trong đường tròn có (góc

nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn ),

(cùng phụ với ) cân tại . Ta lại có (cùng phụ với hai góc bằng nhau) cân tại . Vậy

là trung điểm của .

+ có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên , và có (cmt),

chung, (c.c.c) nên là tiếp tuyến

của đường tròn tại . Nghĩa là các tiếp tuyến tại

của đường tròn cắt nhau tại một điểm thuộc .

d) có , vuông cân tại . ;

. Ta có

.

Vậy (đvdt).

Câu 48. Giải:

326

a) Ta có ,

mà

(g.g)

(không đổi).

b)

mặt khác

(c.g.c) , mà tia nằm giữa hai tia là tia phân giác

.

c) đều nên đường trung tuyến cũng là đường phân giác trong của , mà là phân giác ngoài tại đỉnh là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc của

ĐƯờng tròn luôn tiếp xúc .

d) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau),

, mà

là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác Tứ giác nội tiếp (cùng thuộc một cung chứa

góc). Suy ra . Lý luận tương tự .

Vậy tứ giác ( và cùng nhìn dưới một góc

327

ED

NIQP

DCB

A

vuông) . Vậy (g.g)

.

Câu 49. Giải:

a) Do là hai tiếp tuyến

cắt nhau của đường tròn

nên

thuộc đường tròn đường kính có tâm là trung điểm . b) Ta

có .

c) Gọi là trung điểm , do là trọng tâm nên

và . Mặt khác (vì

nên ) , theo định lý Ta-lét đảo

.

d) Gọi là giao điểm của và là trọng tâm

. Nên , theo định lý Ta-lét đảo

(1)

là đường trung bình trong , mà (cmt) , nghĩa là (2). Từ (1)

và (2) cho , ta lại có (vì ) nên là trực tâm tức .

Câu 50. Giải:

a). Gọi là giao điểm của 328

E

HIG'

G

M

K

A

C

B

O

O'

O

NME

D

CB

A

với cung nhỏ của đường tròn

thuộc đường phân giác

của trong . Ta có

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Mà

là phân giác là tâm đường tròn nội tiếp . Do đó .

b) Do (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

cân tại nên . Mà

(do là phân giác

nên )

. Mặt khác

(do là tia phân giác ). Suy ra

, mà là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác Tứ giác nội tiếp (vì cùng thuộc một cung

chứa góc).

c) và có (đối đỉnh);

(cmt) (g.g) . Tương tự

329

(g.g) ; (g.g)

.Vậy .

330