PROBLEMA“TARJETAS NUMERADAS”

Calculín, Pitagorín, Thalesa, Hipotenusia y

Arquimedín tienen un montón de 100 tarjetas

enumeradas del 1 al 100. Como son  muy

maniáticos con los números se dedican a

incluir o quitar del montón aquellas tarjetas

según le gusten o no, los números que en ellas

aparecen.

Calculín toma las cien tarjetas y como detesta

los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a Pitagorín, éste que es un amante de

los múltiplos de cinco se da cuenta que le faltan algunos, y los coge de los que Calculín

había eliminado, y seguidamente le entrega las tarjetas a Thalesa.

Thalesa como está enfadada con Calculín y Pitagorín decide deshacerse de ellas y coger

las tarjetas que éstos habían descartado y se las pasa a Hipotenusia.

Hipotenusia tras observarlas elimina aquellas que son múltiplos de seis y de ocho

porque las considera de mal gusto y finalmlente se las pasa a Arquimedín, que odia

tanto los números primos mayores que 7 que elimina las tarjetas que tienen como

divisor alguno de esos números.

Arquimedín hace recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en

su poder?, ¿cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

Resuelve especificando los pasos de Polya

Para resolver este problema utilizaré los 4 pasos de Polya. Estos son los siguientes:

1. Comprender el problema2. Concebir un plan3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución (Comprobar si el plan ha tenido éxito)

1. Comprender el problema

En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo. El problema nos da una grandísima cantidad de información y de datos que nos permiten resolverlo poco a poco.

El problema nos dice que hay 5 personajes los cuales tienen un montón de 100 tarjetas, y estas tarjetas se van eliminando poco a poco según las manías de cada uno.

En un primer momento, Calculín elimina todas las tarjetas pares y pasa las tarjetas

restantes a Pitagorín.

En segundo lugar, Pitagorín, decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calculín

había eliminado, todas las que fueran múltiplos de 5, ya que le encanta esos números.

En tercer lugar, Thalesa como está enfadada con Calculín y Pitagorín decide deshacerse

de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado y se las pasa a Hipotenusia.

En cuarto lugar, Hipotenusa, elimina de ese montón de tarjetas que han quedado,

aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 al mismo tiempo.

Y por último, las tarjetas caen en manos de Arquimedín, el cual elimina todas aquellas

tarjetas que tienen como divisor algún número primo mayor que 7.

Hasta ahí son los datos que el problema nos da, y lo que nos pide es que, averigüemos

después de todos estos pasos que tenemos que dar, con cuántas tarjetas nos quedamos, y

cuál es el número mayor escrito en estas tarjetas.

2. Concebir un plan

En segundo lugar, y una vez estudiado el problema, debemos concebir un plan, una estrategia

para comenzar a resolverlo.

En esta ocasión, creo que la mejor forma de llegar a la solución es escribir todos los números,

del 1 al 100, e ir tachando poco a poco, según los datos que nos da el problema.

3. Ejecutar el plan

Llegados a este punto del problema, comenzaremos a resolverlo.

En primer lugar, y tal como habíamos planeado, escribiremos todos los números del 1 al 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Ahora, comenzamos a tachar números según los datos:

- Tal y como nos dice Calculín, eliminamos todas las tarjetas pares

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

- Después, como Pitagorín decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calculín había eliminado, todas las que fueran múltiplos de 5, volvemos a rescatar algunos números de los que habíamos tachados, más concretamente aquellos de la última fila que terminan en 0.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

- A continuación y atendiendo al dato que nos da Thalesa, se le da al problema un giro, ya que, a partir de este momento, los números que valdrán, serán los que hasta ahora habíamos eliminado.

2 4 6 812 14 16 1822 24 26 2832 34 36 3842 44 46 4852 54 56 5862 64 66 6872 74 76 7882 84 86 8892 94 96 98

- El siguiente paso será eliminar todas las tarjetas que sean múltiplos de 6 y de 8

al mismo tiempo. Para ello, calculamos el mcm de 6 y 8 y averiguamos sus

múltiplos.

mcm (6 y8) = 24

Múltiplos de 24 = 24, 48, 72, 96… (con que lleguemos hasta el 96 es suficiente

puesto que el siguiente sería 120 y este ya se pasa del 100, que es el número

máximo que nosotros tenemos)

2 4 6 812 14 16 1822 24 26 2832 34 36 3842 44 46 4852 54 56 5862 64 66 6872 74 76 7882 84 86 8892 94 96 98

- Y por último, eliminamos, según el que nos da Arquimedín, todas aquellas

tarjetas que tienen como divisor algún número primo mayor que 7.

Para ello, en primer lugar escribiremos todos los números primos mayores que el

7 y calcularemos sus múltiplos para que sea más fácil saber cuáles son las

tarjetas que tenemos que eliminar.

Primos: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51… (con que lleguemos hasta

el 51 es suficiente puesto que 51x2=102 y eso se pasa ya del 100)

Múltiplos de 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104…

Múltiplos de 17: 17, 34, 51, 68, 85, 102…

Múltiplos de 19: 19, 38, 57, 76, 95…

Múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115…

Múltiplos de 29: 29, 58, 87, 116…

Múltiplos de 31: 31, 62, 93,…

Múltiplos de 37: 37, 74, 111,…

Múltiplos de 41: 41, 82, 123…

Múltiplos de 43: 43, 86, 129,…

Múltiplos de 47: 47, 94, 141…

Múltiplos de 51: 51, 102…

2 4 6 812 14 16 1822 24 26 2832 34 36 3842 44 46 4852 54 56 5862 64 66 6872 74 76 7882 84 86 8892 94 96 98

Por lo tanto, nos quedarían un total de 17 tarjetas las cuales serían: 2, 4, 6,

8,12,14,16,18,28,32,36,42,54,56,64,84 y 98

Y el número más grande de ellas tal y como podemos observar es el 98.

4. Examinar la solución

Una vez hallada la solución, repasamos todo el problema para ver si hemos seguido al

pie de la letra todos los pasos y de esta forma intentar localizar cualquier posible error.