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Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: Matutino

Define los siguientes conceptos.

Trigonometría Ángulo. Un ángulo es positivo Un ángulo es negativo VérticeMagnitud Grado Radian Sexagesimal CentesimalPerimetro Area Semejantes Congruentes

a) Define Los Conceptos, Dibuja Los angulos y anota las caracteristicasANGULOS

DEFINICIÓN Figura CaracterísticaÁngulo. Es la abertura formada por dos semirrectas unidas en un solo punto llamado vértice.

Un ángulo es positivo

Un ángulo es negativo

b) Por su magnitud los ángulos se clasifican en:Ángulo agudo.

AOB 90º

Ángulo recto:

AOB = 90º

Ángulo obtuso.

90º AOB 180º

Ángulo colineal o llano.

AOB = 180º

1


Ángulo entrante.

180º AOB 360º

Ángulo perígono.

AOB = 360º

b) Por su posición los ángulos se clasifican en:

Nombre y definición figura ObservacionesÁngulos adyacentes

Son ángulos _____________:

a,b ; b,c ; c,d ; d,a Ángulos opuestos por el vértice.

Ángulos opuestos por _______

AOB = COD AOD = BOC

Ángulos Complementarios.

AOB + BOC = 90

33 + 57 = 90Ángulos suplementarios.

AOB+BOC+COD = 180°

48° + 80.5° + 51.5° = 180°

Ángulos conjugados.

AOB + BOA = 360°

Ejercicio: en las siguientes figuras encontrar el valor de “ x “.

a) b) c)

2


d) e)

f) g) h)

i) J)

Considerando que el ángulo de 1° =

π180 ° radianes, para reducir a radianes un ángulo, expresado en

grados sexagesimales es suficiente con multiplicar el número de grados por la constante

π180 ° .

Ejemplo: convertir en radianes 40°, 75°, 150°, 215°, 10°.

(40°)(

π180 ° ) =

2π9

(75°) (

π180 ° ) =

5 π12π

(150°) (

π180 ° ) =

5π6

(215°)(

π180 ° ) =

43 π36

3


(10°) (

π180 ° ) =

π18

Ejemplo 1: Convertir en radianes 65°30´40´.

Primer paso: se pasa a decimales

65°30´40´´= 65° + 30°/60 + 40/3600 = 65.5111°

Segundo paso: se aplica el procedimiento anterior.

(65.5111°) (

π180 ° ) = (65.5111)(3.1416)/180 = 1.1433 rad

Ejemplos 2: Convertir 28° 6´3´´ centesimales en grados sexagesimales.

Primer paso: convertir 28° 6´3´´ a decimal, de la forma siguiente:

28° 6´3´´ = 28° + 6°/ 100 + 3°/10000 = 28.0603 g.c

Segundo paso, por regla de tres:

360° = 400g.c

X = 28.0603 g.c

X = 25.2542 °

Para pasar a minutos:

25.25427° = 25° + 0.2542(60´) = 25°15.252´

Para pasar a segundos:

25.25427 = 25° + 15´ + 0.252(60´´) = 25° + 15´+ 15´´

el resultado final es : 25°15´15´´

Ejemplo 3: Convertir 25° 15´ 15´´ sexagesimales a centesimales.

Primer paso: se pasa a decimal

25°15´15´´ = 25° + 15°/60 + 15°/3600 = 25.2541°

Segundo paso: Por regla de tres:

360° = 400 g. c

25.2541 = X

X = 28.0601 g.c

Para pasar a minutos:

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Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: Matutino28.0601 g.c = 28 g.c + 0.0601 (100) = 16 g.c + 6.01 m.c

Para pasar a segundos:

28.0601 g.c = 28 g.c + 6 m.c + 0.01(100)

28.0601 g.c = 28 g.c + 6 m.c + 1 s.c

El resultado final es: 28° 6´ 1´´ centesimales.

Ejercicio:

Convertir a centesimales:

1. 27°30´ sexagesimales


3. 52°54´12´´ sexagesimales

4. 53° sexagesimales


Convertir a sexagesimales:

1. 58°88´88´´ centesimales

2. 30° centesimales




Convertir a radianes:




4. 8°40´ sexagesimales5. 5°52´25´´ sexagesimales







5


12. 115° 45´30´´ centesimales


Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2π radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide π2 radianes (un cuarto de

vuelta)

- 180º = π radianes (media vuelta) - Como 180º = π rad, resulta que 1º = π

180 rad

- Un ángulo de 1 radian tiene 180π = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

180 ºxº

= π rady ejemplo: 40º a rad

180 º40 º

= π rady y =

40 ºπ rad180 º

= 4 π rad18

= 2π rad9

Ejercicios:

Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º 6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

Transformar el ángulo de rad a grados:

1) π5rad

2) π

10rad

3) 3 π rad 4) 17 π

4rad

Transformar de radianes a grados. Y ubicar en la circunferencia los radianes de acuerdo a su equivalencia en grados.

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3

3π/4 5π/6 π 7π/6

5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4

11π/6 2π

Grados

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Un triángulo se denota colocando tres letras mayúsculas en sus vértices y en los lados opuestos se colocan las letras minúsculas que correspondan en conclusión podemos decir que un triángulo esta compuesto por tres elementos que son: 3 ángulos, 3 lados y tres vértices

Identifica en las siguientes triangulo los angulos, lados y vertices.

El perímetro de un triangulo lo podemos obtener sumando el valor de sus tres lados.Los triángulos se pueden clasificar:

1. Por la magnitud de sus lados.2. Por la magnitud de sus ángulos.

a) Define Los Conceptos y anota las caracteristicas

Por la magnitud de sus lados tenemos:

DEFINICIÓN Figura CaracterísticaEquilátero

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Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: MatutinoIsósceles.

Escaleno.

Por la magnitud de sus ángulos:

DEFINICIÓN Figura CaracterísticaObtusángulo.

a b c Tres lados diferentes

α > 90°un ángulo mayor de 90°

Acutángulo.a b c

Tres lados diferentes

α β γ < 90° Tres ángulos diferentes

Rectángulo.- Este tipo de triángulo tiene un ángulo recto (90°), mientras que sus otros dos lados tienen nombres especiales.

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Características:

a , b = se llaman catetos, son los lados que forman el ángulo recto.

c = es la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: MatutinoEjercicios:

1. Traza correctamente los siguientes triángulos y escribirles todos sus elementos.

a) Rectángulo.b) Acutánguloc) Acutángulo y equilátero

d) Equiláteroe) Obtusángulo y escalenof) Isósceles

g) Obtusánguloh) Rectángulo e isóscelesi) Escaleno

2. Escribe el nombre de cada uno de los siguientes triángulos, según la magnitud de sus lados. También todos sus elementos.

a) b) c)

______________________________ ___________________________ ________________________

3. Dar el nombre de cada triángulo según la medida de sus ángulos interiores.

_____________________ _______________________ _______________________

4. Calcular el valor de “x” en el siguiente Triángulo Isósceles.

5. Calcular el valor de “x” en el siguienteTriángulo rectángulo

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Triángulos semejantes.

Se dice primeramente que dos figuras u objetos son semejantes cuando tienen la misma forma así como ciertas característica, por lo cual al decir que dos triángulos son semejantes es porque tienen sus ángulos respectivamente iguales así como sus lados correspondientes, proporcionales.

Ejemplo.

Para considerar que dos triángulos son semejantes es suficiente que se cumplan algunas condiciones.

Primer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

Segundo caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los dos lados que lo forman.

Tercer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.

Cuarto caso.- Si desde el vértice del ángulo recto de un triangulo se traza una perpendicular hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman son semejantes al triangulo dado y semejantes entre sí. el triángulo rectángulo cuyas medidas son: 6 cm. y 8 cm. de los catetos y 10 cm. de la hipotenusa, se establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

En forma general establecemos que:

c 2 = a 2 + b 2

Ejercicio:La siguiente figura, muestra la forma de un jardín rectangular, se requiere cubrir la mitad de la

superficie con pasto, trazando una diagonal de extremo a extremo de la superficie de la misma. Calcular la diagonal que divide el área del jardín.

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Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: Matutino a = 25 m

b = 18 cm

Ejercicio:

La sombra de una torre es de 80 pies, y la distancia del punto más alto de la torre al punto donde termina la sombra que se proyecta es de 230 pies. ¿Cuál es la altura de la torre?

80 pies

Ejercicio:

Michael Jordan mide 2.10 m de estatura, si se encuentra en la Alameda Central, y en ese momento la proyección de su sombra es de 3.75 m, ¿cuál es la distancia de su sombra?

Ejercicios.

1. Calcular el valor de la hipotenusa o el cateto según sea el caso.

2. Calcular la altura de un

triángulo isósceles, si su base mide 6 cm. y cada uno de los lados iguales mide 4 cm.

3. Calcular la altura de un triángulo equilátero que mide 8 cm. de lado.

4. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 cm?

5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal es igual a 9 cm.?

6. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 15 m de altura se desea poner 4 tirantes, la base de los tirantes se encuentra a una distancia de 9 m de la base de la antena, ¿cuántos metros cable de acero se necesitan?

Razones trigonométricas.

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230 pies

a) a = 5 cm. b = 12 cm. c =b) b = 7 cm. c = 25 cm. a =c) a = 29.4 Mm. c = 57.1 Mm. b =

d) a = 15 cm. c = 17 cm. b =e) a = 49 m b = 69 m c = f) b = 1.5 Km. c = 0.5 Km. a =


Definición de las razones trigonométricas

En geometría Euclidiana encontramos que existen, respecto al estudio de los triángulos, tres relaciones significativas.

1. Relación entre los ángulos interiores de un triángulo.

2. Relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

a) La primera, aplicable a cualquier triángulo, expresa:

“Para todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre igual a dos ángulos rectos o 180° “.

b) La segunda relación es aplicable sólo a “Triángulos rectángulos”, y se conoce como el Teorema de Pitágoras.

3. Relación entre un ángulo y lados de un triángulo rectángulo.

En la lección correspondiente a semejanza vimos que una razón es el cociente entre dos cantidades.

Ejercicio 1. En cada triángulo encuentra la razón que se indica.

Sen A = Sen N = Sen X = Tan X =

Cos A = Cos N = Sen Y = Tan Y =

Tan A = Tan N = Cos X = Cos Y =

Ejercicio 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.

a) b)

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c) d)

Razones trigonométricas en un ángulo en posición normal.

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las “x” y el radio vector que va del punto P al origen del sistema de referencia.

Las relaciones trigonométricas también son muy importantes ya que se utilizan mucho para resolver problemas de aplicación real.

Ejemplo. Un silvicultor de 1.65 m de altura se encuentra a 50 m de la base de un árbol y observa que el ángulo entre el suelo y la punta del árbol es de 55°. Estime la altura del árbol.

13h =


50 m

Como se observa en la figura, se puede formar un triángulo rectángulo para resolver el problema y la altura es el cateto opuesto al ángulo proporcionado.

Utilizando la función tangente tenemos

Despejando la altura

Realizando operaciones el resultado es:

Ejercicios.

1. Resolver los siguientes triángulos rectángulos.a) b) c)

En las siguientes figuras calcular únicamente los datos que se piden

a) el ángulo β = b) “x “ y “y “.

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Según los datos proporcionados la función trigonométrica que podemos utilizar es la tangente para calcular el cateto opuesto que es la altura del árbol.

55°

tan 55 °= h50 m

tan 55 ° ( 50 m )= h

h = 40 .95 m

Escuela Preparatoria Oficial No. 15Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero. Asignatura: Trigonometria Turno: Matutino2. Calcule los valores exactos de las funciones trigonométricas del ángulo θ.

3. Obtenga el valor aproximado de los siguientes ángulos en decimales.

4. Un cohete se dispara a nivel del mar y sube a un ángulo constante de 75° a una distancia de 5000 m. Calcule la altura que alcanza.

5. Un aeroplano despega formando un ángulo de 10° y viaja a una velocidad de 225 m/s ¿qué tiempo tarda aproximadamente en llegar a una altura de 15000 m.

6. Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación visto por una persona en el suelo es de 19° 20’ y por otra en el lado contrario es de 48° 55’ y la distancia que separa a estas dos personas es de 500 m. Calcular la altura del globo.

7. Una caja rectangular tiene las dimensiones 8 cm x 6 cm x 4 cm. Calcule con exactitud el ángulo θ que forma una diagonal de la base y la diagonal de la caja, como se ve en la figura.

la igualdad conocida como Ley de Senos, y la representamos de la siguiente manera:

La Ley de los Senos se utiliza para resolver triángulos (escalenos, isósceles equiláteros, etc.), en los siguientes casos:

A) Cuando conoces dos ángulos y un lado adyacentes a uno de ellos.

B) Cuando conoces dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Ejemplo del caso 1: Calcular los lados y ángulo que falta en el siguiente triángulo.

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2 ) cos θ = 817

3 ) cot θ= 723

1) sen θ = 65

4 ) csc θ= 4

3 ) sec 67° 50' 47''2) tan 49° 53' 48 .59''1) sen 22° 56' 36''

sen αa

= sen β b

= sen γc


El valor de γ lo encontramos por la diferencia:

24° + 132° + γ = 180°

γ = 180° - 24° - 132°

γ = 24°

Para calcular el lado a buscamos un lado y un ángulo conocidos que se correspondan, en este caso pueden ser el lado c y el ángulo C.

Si despejamos a, tenemos:

a = 350 cm.

Para calcular el lado b se utiliza el mismo procedimiento.

Trazo correcto del triángulo con todos sus lados y ángulos.

16

a=350 cm ( sen 24° )sen 24°

asen 24 °

= 350 cmsen 24°

asen α

= csen γ

350 cm sen 24 °

= b sen 132 °

b=350 cm ( sen 132 ° )sen 24°

b= 639. 4818 cm


Ejercicio del caso 2: calcular los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo.

Para obtener el ángulo α utilizamos

Sustituyendo los datos que tenemos

Despejando sen α

Despejando α

Para obtener el ángulo β despejamos

α + β + γ = 180°

β = 180° - α - γ

β = 180° - 50° 25’ 45.27’’ - 42°17

sen αa

= sen γc

sen α 3 .6 cm

= sen 42 °3 .125cm

sen α = sen 42° (3 .6 cm )3 .125cm

α= 50 ° 25' 45 .27''α = 50 . 4292 °α = sen-1 0. 7708


β = 87° 34’ 14.73’’

Para obtener el lado b

Sustituyendo datos y despejando el lado b

Trazo correcto del triángulo con todos sus lados y ángulos

Ejercicios: calcula los lados y ángulos que faltan y trázalos correctamente.

1) α = 83° β = 5° 15' b = 81 cm.2) α = 41° β = 60° 40' a = 13.5 cm.3) α = 51° 40' β = 62° b = 24 m4) α = 41° γ = 76° a = 10.5 m5) β = 27° 40' γ = 52° 10' a = 32.6 m6) β = 50° 40' γ = 70° 40' c = 537 m7) γ = 81° c = 11 m b = 12.5 m8) α = 32.32° c = 574.3 cm. a = 263.4 cm.9) β = 113° 40' b = 248 cm. c = 195 cm.10) β = 121.624° b = 0.283 mm c = 0.178 mm

* Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.

* Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema

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bsen β

= csen γ

b = 3 .125 cm ( sen 87° 34' 14 . 73'' )sen 42°

b = 4 . 66 cm


* Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema

* La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa?

* Según los datos de la ilustración. ¿cuál es la distancia que separa al velero de la costa?

CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

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