一様分布を生成する数学的なメカニズム例

についてのメモ

2014-08-25 TS

意外な所に一様分布が潜んでいる例を示す。( 主観的な感覚ではあるが、“一様分布” は他のよく知られた分布関数のように数式一つで表されないので「数学的」ではなく、何だか「人工的」と思われるかもしれない。しかし、そのような考えを覆すような興味深い例を 3 例示す。その内、連続一様分布は 2 例、離散一様分布は 1 例である。 )

一様分布が現れる例 連続一様分布が現れる場合 :

(1) 3 次元空間の球の表面の上に一様分布する点を任意の直線に射影した場合(2) 2 次元ガウス分布する各点の近傍の密度

離散一様分布が現れる場合 :(3) 乱数を連続型確率分布から 2 組 n 個ずつ生成し、各組で昇順整列して A1,..,An; B1,..,Bn として、 Ak > Bk となる k の個数

(1) 3 次元の球面左の図は 3 次元空間の球の表面に 3 万個の打点した様子。これらの点の x 座標を取り出すと一様分布になる。

一般に n 次元空間の球の表面上の一様分布を n-2 次元に射影すると、 n-2 次元の球体の一様分布になる。

(2) 2 次元ガウス分布の点に関して赤の薄さが確率密度の高さ、丸はその密度に従って取り出した点を表す。各点における密度に関して、ヒストグラムを描くと、一様分布を示す。

もしも、日本の国土に住む各人の住む町の人口密度をヒストグラムにすると、果たしてどういう形状になるだろうか ?

(3) 2 組各々整列して対で大小比較

6 個乱数生成して大小順に並べた数列の編成を多数生成する。 2 編成ずつに分け、片方の編成の数列は赤い円列の各半径、残りの編成の数列は青い円列の各半径とする。赤の円列と青の円列を中心を共有しながら縦に並べる。小さい方の円の色で内側も塗りつぶす。すると、以外と高い確率 (7 分の 2) の確率で同じ色で塗りつぶされた 6 個の円が並ぶ ( 上記で 30

例中 8 例 ) 。さらに、赤で塗りつぶされた円の個数は 0 から 6 までの整数が同じ確率で出現する。

補足

いろんな次元の空間の球の表面に一様分布した点を 2 次元に射影した様子